拉格朗日中值定理的推廣及其應用

嘉應學院本科畢業(yè)論文（設計）（2014屆）題目:拉格朗日中值定理的推廣及其應用姓名：徐佳琳學號：101010045學院:數(shù)學學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學（師范）指導老師：溫坤文申請學位：學士學位嘉應學院教務處摘要拉格朗日中值定理是微分學的基礎定理之一，在理論和應用上都有極其重要的意義.本文先對拉格朗日中值定理作了一定的闡述，并將其進行了推廣，然后通過對幾種類型問題的解決，對拉格朗日值定理的應用作一些探討和歸納，以起到對定理的深入理解，熟悉掌握并能夠正確應用的作用.關鍵詞:拉格朗日中值定理，定理的推廣及應用，極限，不等式，級數(shù)的斂散性.AbstractLagrangemeanvaluetheoremisoneofthebasictheoremofdifferentialcalculus,Ithasextremelyimportantmeaninginthetheoryandapplication.ThisarticlefirsttomaketheLagrangetheoremcertain,andputittothepromotion,thenthroughseveraltypesonthesolutionoftheproblem,anditwillmakesomediscussionsandstudiesontheapplicationoflagrangemeanvaluetheorem.It’spurposeistohavein-depthunderstandingoftheorem,theroleofexpertknowledgeandbeabletocorrectapplication.KeyWOrds：Lagrangemeanvaluetheorem,Thegeneralizationandapplicationofthetheorem,Thelimit,Inequality,Theconvergenceanddivergenceoftheseries.引言羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分學的基本定理，這些定理都具有中值性，所以統(tǒng)稱微分學中值定理，以拉格朗日中值定理為中心，他們之間的關系可用簡圖示意如下：羅爾定理I?羅爾定理I?特例拉格朗日中值定理推廣柯西定理泰勒公式以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，尤其是拉格朗日中值定理，他建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)，中值定理的主要作用在于理論分析和證明，例如為利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性、取極值、凹凸性、拐點等重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征.拉格朗日中值定理是微分學的基礎定理之一，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，它有許多推廣，這些推廣都有一個基本特點，就是把定理條件中可微性概念拓寬，然后推廣微分中值表達公式.除此之外，拉格朗日中值定理在理論和應用上也有著極其重要的意義.該定理敘述簡單明了，并有明確的幾何意義，一般掌握問題不大，但要深刻認識定理的內容，特別是中值點的含義，就有較大難度.總之，微分學中值定理是溝通導數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質推斷函數(shù)的整體性質的工具，而著名的拉格朗日中值定理作為其中一個承上啟下的定理，是應用數(shù)學研究函數(shù)在區(qū)間整體性態(tài)的有力工具，必須深刻認識定理的內容，熟練掌握定理的本質，在解題時游刃有余，若對定理的實質了解不夠深刻的話，會進入不少誤區(qū).現(xiàn)借下文中的若干例子來對拉格朗日中值定理作一些探討，以起到對定理深入理解、熟練掌握并正確應用的作用.拉格朗日中值定理定理2.1(拉格朗日中值定理)若函數(shù)f⑴滿足下列條件:f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點，使得f⑶=^^f.b-a拉格朗日中值定理的推廣命題3.1若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，函數(shù)極限limf(x)與limf(x)都存在;xTa+xrb-則至少存在一點我(a,b)，使得limf(x)-limf(x),x>bx^a^=f，(g),a<g<b.b—a證明不妨記limf(x)=A,limf(x)=B,xTa+xrb—令函數(shù)'f(x),avxvb,中(x)=<A,x=a,、B,x=b.則函數(shù)中(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，函數(shù)中(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，"(x)=f'(x).由拉格朗日中值定理，至少存在一點&e(a,b)，使得中(b)或(a)*，(&),

b一a又中(b)=B=limf(x),中(a)=A=limf(x),f'(&)=時(&),

xrb一xTa+所以limf(x)-limf(x),x>bx>a+=f，(g),avgvb.b-a命題3.2若函數(shù)f(x)在(-8,+8)內可導，函數(shù)極限limf(x)與limf(x)都存在;則至xT+8xT-8少存在一點&e(-8,+8)，使得limf(x)—limf(x)xT+^xt*=(1+g2)f，(g),-3vgv+g丸，立立、、，立立、證明令x=tantte--,生，則復合函數(shù)頃)=f(tant)在開區(qū)間-生,-內可導，其I22)k22)導數(shù)為中(t)=也空=f導數(shù)為中(t)=也空=f'(x)sec21=f'(tant)sec21.dxdt由已知函數(shù)極限lim中(t)=limf[tant]=limf(x)，正+正+xT—3tT—tT—22lim中(t)=limf[tant]=limf(x)，正—t—T2五一t—T2由命題3.1,至少存在一點門e，使得令&=tan門，則門e并且lim中(t)由命題3.1,至少存在一點門e，使得令&=tan門，則門e并且lim中(t)一lim中(t)正一正+12t■一2兀、2」，-勺=何=55&e(一8,+8),sec2叩=1+tan2叩=1+&2.所以，至少存在一點&e(-8,+8)，使得limf(x)—limf(x)xT+gxT—g=(1+g2)f'(g),-3<g<+g丸命題3.3若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,+8)內可導，函數(shù)極限limf(x)與limf(x)都存在,xTa+xT+8則至少存在一點&e0,+8),使得limf(x)-limf⑴(b一a+g)2(I*r+?xra±=—if'(&),.b>maxia,0攵a<&<+8.b—a(b-a)b1證明令bi>gx抑，且x=彳芋，Eb，則復合函數(shù)E)=f1間(i,b「內可導，其導數(shù)為對)=半半=E^b=f

dxdt(b一t)2(b—a)t(b—a)b—ib—ti,(b-1)2i(b一a)t―ib-1在開區(qū)由已知函數(shù)極限lim中(t)=limftfa+tfa+(b一a)t—ib-11=limf(x),xfa+都存在.lim中(t)=limftfb~t由已知函數(shù)極限lim中(t)=limftfa+tfa+(b一a)t—ib-11=limf(x),xfa+都存在.lim中(t)=limftfb~tfb~(b一a)t—ib-1=limf(x),xf+^由命題3.1,至少存在一點門6(a,b),使得ilim中(t)一lim中(t)*一一.——tfa±*0)=f'(b一a川—ib一門i令&=當,貝V—=n6(a,b)時，&6(a,+8),匕一門已一a+&所以，至少存在一點&6(a,+8),使得limf(x)-limf(x)xf+mxfa+b一a(b一a)b(b―門)2，1—ia+'"f'(&),b>max{a,0?a<&<+m.(bi-a)bii命題3.4若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-8,b)，使得limf(x)—limf(x)xfbxf-mb—ai凹"+''f，(&),a<minhb}-m<&<b.(%b)a^證明令a<min奴b},且x=(b,t6(a,b),則復合函數(shù)中(t)=ft—aii在開區(qū)間(a「b)內可導，其導數(shù)為心)=半缶廣⑴爭*=廣

dxdt(t—a)2(b—a)tt—ai由已知函數(shù)極限lim甲(t)=limftfb-tfb-(b—a)tt—ai(b-a)tt—ai(a—b)a(t—a)2=limf(x),xfb-(b—a)tt—ai=limf(x),xf-m都存在.由命題3.1,至少存在一點門e(ai,b)，使得(b一a川1——門一a1(a一b)a(門-a1)2，lim中(t)一lim中(t)m一*0)=f，b一a1令&=(b_(a^,貝V—=叩e(a,b)時，&e(一8,b),門一ab一a-&1limf(x)一limf(x)xTb一xfb一ai所以,至少存在一點&(b一a川1——門一a1(a一b)a(門-a1)2，limf(x)一limf(x)xTb一xfb一ai(-1"f，(&),a<minhb｝一8<&<b.ii顯然，有如下的推論:若把上述命題的第二個條件加強為:有關的函數(shù)極限存在且相等，則至少存在一點&屬于上述各區(qū)間，使得f'(&)=0.于是我們得到了推廣的羅爾中值定理.不難看出，推廣的羅爾中值定理，有其明確的幾何意義:在符合定理的條件下，曲線y=f(x)在點l&,f(&)］處有水平的切線.拉格朗日中值定理的應用拉格朗日中值定理的應用廣泛，可用于計算、證明、估算、判定等，在應用中靈活性較大，下面從求極限、證明不等式、判別級數(shù)斂散性等方面對拉格朗日中值定理的應用做進一步的研究.4.1利用拉格朗日中值定理求極限用拉格朗日中值定理，最重要的是去找函數(shù)f(x)和相應的區(qū)間［a,b］，而公式可變形為:f^f=f(&).

b一a它的左端是有特點的，恰好是f(x)在區(qū)間［a,b］上的增量與［a,b］的區(qū)間長度的比值.因此公式變形后就可以確定函數(shù)f(x)和相應的區(qū)間［a,b］.例1.求極限：lim心*皿x.xT0x一Sinx

解函數(shù)y=et在\x,sinx］或"inx,x］上運用拉格朗日中值定理，得竺士蘭=e&（&在x與sinx之間）.x一sinx當x—0時，sinx—0,可知&—0,ex—esinxlim=lime&=1.x—0x一sinxg—0例2?設f〃(x)連續(xù)，f〃(a)衛(wèi)0，有公式f(a+x)=f(a)+xf'(a+0x)，(1)試求lim0.x—0解對函數(shù)f'(x)在la,a+0x］或［a+0x,x］上運用拉格朗日中值定理，得f'(a+0x)=f'(a)+0xf"(a+00x)(0<0<1)，代入(1)式，得f(a+x)=f(a)+xf'(a)+0x2f"(a+00x).i(2)將f(a+x)按泰勒公式展開：x2(0<02<1)，f(a+x)=f(a)+xf(a)+—■f(a(0<02<1)，由（2）（3）得0f”(a+00x)=—f"(a+0x)i222f〃(a+0*)2f(a)2lim0=lim尸("氣x)2f〃(a+0*)2f(a)2例3.求極限：limx—1k1一xm1一x-7解令f(尤,y)=—-一在［m,n］或［n,m］上對變量j運用拉格朗日中值定理，得1-X-(&在m,n之間),mn/.1-X&+&X&lnx=(m-n)1-Xm1-Xn(1-X&)2故(mn)「，、1-X&+女&lnx「，、-O&t+&2x&tIn(&在m,n之間),lim=lim(m-n)=lim(m-n)m-n2XT111一Xm1一Xn)XT1(1—X&)2xt12(1—x&)(-&X&-1)=(m-n)lim——''，X=(m-n)lim——女】

xt12(1-X&)xt1-2&Xm-n24.2利用拉格朗日中值定理證明不等式拉格朗日中值定理存在的形式并不是不等式的形式.那么怎么能用拉格朗日中值公式去證明不等式呢？我們知道，在拉格朗日中值公式中&6(a,b),而不知道&具體是多少，但根據(jù)&在(a,b)之間的取值卻可以估計f(&)的取值范圍.或者說可以估計出f低)取值的上、下界，分別用住)取值的上、下界去代換拉格朗日中值公式中的住)就可以得到不等式.這就是用拉格朗日中值公式證明不等式的思想.例4證明當x>0時，工<ln(1+x)<X.1+X證明設f(X)=ln(1+X)，顯然f(x)在區(qū)間［0,X］上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有f(X)-f(0)=f(&)(x-0)(0<&<X).(1)又f(0)=0,f'(x)=—,1+X故(1)式為ln(1+x)=1X&(0<&<x),則XX<<X，1+X1+&<ln(1+x)<x.例5?設函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，有二階連續(xù)導數(shù)且f(a)=f(b)，若有ce(a,b)使得f(c)>f(a)，則必有&e(a,b)，使得f〃怎)v0.證明由題知，f(x)在［a,c］,［c,b］上分別滿足拉格朗日中值定理的條件，則有f‘(&)=，如,&￡(a,c),1c-a1f'(&)=、虺,&e(c,b).2b-c2因f(a)=f(b)且f(c)>f(a),又由題知f'(X)在電,&2］上滿足拉格朗日中值定理，即f仕)=乓呂安v0&—&21例6?證明：當X>1時，ex>ex.證明令f(x)=ex，則f(x)在［1,X］上滿足拉格朗日中值定理的條件,故存在&e(1,x)，使得f(提=1),X-1即f(X)-f(1)=ex-e=(X-1)f，(提=(x-1)e&.又因&e(1,x),故e&>e.當x>1時，ex-e=(X-1)e&>(X-1)e,ex>ex.所以當X>1時,不等式成立.4.3利用拉格朗日中值定理證明恒等式由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內取兩點x,x(不妨設xvx)，有1212f(x2)-f(xi)=廣(提(尤2-氣)，那么若f(x恒為0,則有f'G)=0,所以f(x2)=f(xi).由氣,x2的任意性可知，f(x)在定義域內函數(shù)值恒等.即有下面一個推論：推論如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內的導數(shù)恒為零，那么f(x)在I內是一個常數(shù).利用這個推論可以證明一類反三角恒等式的題目.TOC\o"1-5"\h\z2x丸例7.證明arctanx-arccos=—(x>1)恒等.\o"CurrentDocument"1+x242x2x證明令中(x)=arctanx-arccos(x>1).在(x>1)時，arccos有意義,1+x21+x2且中,(x)=1+112(1+x2)-2x-2x=1+11+x22(1-x2)=01+x22'2x(1+x2)21+x22x2-1(1+x2)2V1-(1+x2)2所以，在x>1時，中(x)=C(常數(shù)).又取(1,+8)內任一點，如73,有中(\：'3)—=—，且中⑴=生一0=—，3264442x—所以端點值也成立，由推論有arctanx-arccos=—(x>1)恒等.1+x244.4利用拉格朗日中值定理證明等式用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應用中很重要的一項，證明的目標在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機會應用.例8?設f(x)在［a,b］內可導，且f(a)=f(b)=1，試證北me(a,b),使得e”&［f(n)+fr(n)］=1.證明令F(x)=exf(x)，則F(x)在［a,b］上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在ne(a,b)，使得ebf(b)-eaf(a)——=en[f(n)+f(n)],b-a由條件f(b)=f(a)=1,可得eb—ea-——=en[f(n)+f'(n)],b—a再令中⑴=ex，則中⑴在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理條件,故存在&e(a,b)，使得eb—ea“=e七，b—a綜合上述兩式可得e"n[f(n)+f'(n)]，即enY[f(n)+f(n)]=1.4.5利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質因為拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導數(shù)的聯(lián)系，很多時候我們可以借助其導數(shù)，研究導數(shù)的性質從而了解函數(shù)在整個定義域區(qū)間上的整體認識.比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉格朗日中值定理的結論，通過對函數(shù)局部性質的研究把握整體性質，這是數(shù)學研究中一種重要的方法.例9.證明:若函數(shù)f(x)在有窮或無窮的區(qū)間(a,b)內存在有界的導函數(shù)f'(x)，則f(x)在(a,b)內一致連續(xù).證明設當xe(a,b)時，If'(x)|<M,對于Vx,xe(a,b)，在以x,x為端點的區(qū)間上由1212拉格朗日中值定理，有f(x)—f(x)2=f怎)，&在氣,x2之間，21那么|尸(&)|<M,￡對于Vs>0,取5=一，則當x,xe(a,b)，且x一x<6,M121121就有If(x)一f(x)|=|x-x卜\f'(&)|<M|x-xI<￡(&在x,x之間)，12''1212’12由一致連續(xù)定義可知，f(x)在(a,b)內一致連續(xù).4.6利用拉格朗日中值定理證明估值問題證明估值問題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡便，特別是二階及二階以上的導函數(shù)估值時.但對于某些積分估值，可以采用拉格朗日中值定理來證明.例10.設f〃(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)=f(b)=0，試證:ja|f〃(x)|dxZ-^max|f(x)\.bb一aa<x<b證明若f(x)三0，不等式顯然成立；若f(x)不恒等于0,Bee(a,b)，使max|f(x)\=f(e),a<x<b在［a,e］及［e,b］上分別用拉格朗日中值定理，有f'(&)=也,&e(a,e),f'(&)=翌,&e(e,b),1e-a12e-b2從而ja|f〃(x)］dxzk|f〃(x)|dx>卜f〃(x)dx=f(&)-f(&)|=f(e)(b-a)-—1~~-b或l21(b-e)(e-a)f(e)(b-a)4=—^maXf(x)\,(b一a)2b一aa<x<b這里利用了(e-a)(b-e)<￥，所以原不等式得證.4.7利用拉格朗日中值定理判別級數(shù)的斂散性在級數(shù)斂散性的判別問題上，可以構造輔助函數(shù)，研究在各個區(qū)間上的特點，最后相加可以進行化簡，利用級數(shù)斂散性的判別法則給出判斷.11例11.證明調和級數(shù)1+—+…的斂散性.3n證明作輔助函數(shù)/(x)=Inx,其在區(qū)間(N,N+1)上符合拉格朗日中值定理的條件,則存在一點&g(N,N+1),使11

ln(^+l)-ln^=-<—,故有l(wèi)n2-lnl<1,In3-In2<—,2In4-In3<—,3ln(n+1)-Inn<—.

n把不等式兩邊分別累加，得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1,八，111ln(n+1)<1+—+——.23n由于limln(zi+1)=+co,所以111S=1—+—+???—,limS+co.n23n八即調和級數(shù)是發(fā)散的.例12.若一正項級數(shù)#。>0)發(fā)散，S=。+a+???+】，證明級數(shù)nnn12nn=lY-^(8〉0)收斂.Si+8〃Tn證明作輔助函數(shù)f(x)=—(5>0)，則/r(x)=-—，當心2時，在［S,5］上用拉x5xi+8"T11格朗日中值定理，得弋)一；七)=廣化曷)，S—Snn-1nnn—1

于是由于11—SSSa_5——nn1=——agi+a二〈土=1———_!),Sl+8g1+8SSaSs\o"CurrentDocument"血1111Y1」——馬=4\o"CurrentDocument"S于是由于11—SSSa_5——nn1=——agi+a二〈土=1———_!),Sl+8g1+8SSaSs\o"CurrentDocument"血1111Y1」——馬=4\o"CurrentDocument"SSsSSSn=2n-1n(￡SS1—)+(————)+SSSSSS223+(小SSm——1由比較原則知，級數(shù)工切一(S>0)收斂.S1+Sn=1n4.8利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性證明方程根的存在性，所給根的范圍就是區(qū)間［a,b］,把所給方程設為函數(shù)f(x),就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性(一般用反證法).例13.設f(x)在［0,1］上可導，且0vf(x)v1,又對于(0,1)內所有的點有f(x)衛(wèi)——1.證明方程f(x)+x-1=0在(0,1)內有唯一的實根.證明先證存在性.令g(x)=f(x)+x-1,則g(x)在［0,