泛函解析總結(jié)計(jì)劃

優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔薃衿蚃蕿薆PAGEPAGE5優(yōu)選文檔PAGE泛函剖析論文（數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)11趙潔1060211014036）

大綱：本文簡單介紹泛函剖析方法的基本理論，以及其在力學(xué)和工程的若干應(yīng)用，包括泛函見解下的構(gòu)造數(shù)學(xué)理論、直交投影法等。

要點(diǎn)字：泛函剖析

序言

泛函剖析是研究拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的照射的分支

學(xué)科。它是20世紀(jì)30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數(shù)論以及量子物理等的研究中發(fā)展起來的，它運(yùn)用幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)的見解和方法剖析學(xué)的課題，可看作無量維的剖析學(xué)。

2．泛函剖析歸納

2.1泛函剖析的產(chǎn)生

十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的階段。這就是由于歐幾里得第五公社的研究，引出了非歐幾何這門新的學(xué)科;對于代數(shù)方程求解的一般思慮，最后建立并發(fā)展了群論;對數(shù)學(xué)剖析的研究又建立了會(huì)集論。這些新的理論都為用同一見解把古典剖析的基本見解和方法一般化準(zhǔn)備了條件。

本世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪宣告的著作中，出現(xiàn)了把剖析學(xué)一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲來創(chuàng)了“希爾伯特空間”的

研究。到了二十年代，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般剖析學(xué)，也就是泛函剖析的基本見解。

由于剖析學(xué)中很多新部門的形成，揭露出剖析、代數(shù)、會(huì)集的很多見解和方

法常常存在相似的地方。這類相似在積分方程論中表現(xiàn)的更突出了。泛函剖析的產(chǎn)生正是和這類狀況相關(guān)，都存在著近似的地方。

非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認(rèn)知，n維空間幾何的產(chǎn)生同意我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言講解成多維空間的影響。這樣，就顯示出認(rèn)識析和幾何之間相似的地方，同時(shí)存在著把剖析幾何化的一種可能性。這類可能性要求把幾何見解進(jìn)一步推行，致使最后把歐式空間擴(kuò)大成無量維數(shù)的空間。

這時(shí)候，函數(shù)見解被賞賜了更為一般的意義，古典剖析中的見解是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的某種對應(yīng)關(guān)系。

在數(shù)學(xué)上，把無量維空間到無量維空間的變換叫做算子。研究無量維線性空

間上的泛函數(shù)和算子理論，就生了一門新的剖析數(shù)學(xué)，叫做泛函剖析。在二十世紀(jì)三十年代，泛函剖析就已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門獨(dú)立的學(xué)科了。

2.2泛函剖析的特點(diǎn)和內(nèi)容

泛函剖析的特點(diǎn)是它不但把古典剖析的基本見解和方法一般化了，而且還把這些見解和方法幾何化了。它既包括了以前議論過的幾何對象，也包括了不一樣樣的函數(shù)空間。

泛函剖析對于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個(gè)有力的工具。N維空間可以用來描述詳細(xì)有n個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)上需要有新的數(shù)學(xué)工具來描述擁有無量多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。一般來說，從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無量自由度系統(tǒng)?，F(xiàn)代物理學(xué)中的量子場理論就屬于無量自由度系統(tǒng)。

正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求n維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具相同，研究無量自由度的系統(tǒng)需要無量維空間的幾何學(xué)和剖析學(xué)，這正是泛函剖析的基

本內(nèi)容。因襲，泛函剖析也可以平時(shí)的叫做無量維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。古典剖析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，圓滿可以運(yùn)用到泛函剖析這門學(xué)科中。

泛函剖析是剖析數(shù)學(xué)中最“年輕”的分支，它是古典剖析見解的推行，它綜

合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的見解研究無量維向量空間上的函數(shù)、算子、和極限理論。

他在二十世紀(jì)四十到五十年代就已經(jīng)成為一門理論齊全、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。

半個(gè)多世紀(jì)來，泛函剖析一方面以其他眾多學(xué)科所供應(yīng)的素材來提取自己研

究的對象，和某些研究手段，并形成了自己的很多重要分支，比方算子譜理論、

巴拿赫代數(shù)、拓?fù)渚€性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強(qiáng)有力地推

動(dòng)著其他很多剖析學(xué)科的發(fā)展。它在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、

量子物理、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，還是建立

群上調(diào)停剖析理論的基本工具，也是研究無量個(gè)自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的

工具之一。今天，它的見解和方法已經(jīng)浸透到很多工程技術(shù)性的學(xué)科之中，已成

為近代剖析的基礎(chǔ)之一。

泛函剖析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。近十幾年來，泛函剖析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應(yīng)用。它還浸透到數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個(gè)分支中去，起重視要的作用。

2.3泛函剖析的主要定理

一致有界定理，該定理描述一族有界算子的性質(zhì)。

譜定理包括一系列結(jié)果，其中最常用的結(jié)果給出了希爾伯特空間上正規(guī)算子的一個(gè)積分表達(dá)，該結(jié)果在量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述中起到了核心作用。

罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何將一個(gè)算子保范數(shù)地從一個(gè)子空間延拓到整個(gè)空間。另一個(gè)相關(guān)結(jié)果是對偶空間的非平凡性

泛函見解下的近代構(gòu)造理論

眾所周知，為研究固體平衡與變形，已提出多種模型（三維、二維、一維和

失散模型等）。經(jīng)典固體理論（彈性、板殼和桿等）立足于上述諸模型求解平衡

與變形的各種詳細(xì)問題。Oliveira[6][7]以有限元和板殼理論為背景提出“構(gòu)造

的數(shù)學(xué)理論（TheMatrematicalTheoryofStructures）”。該理論不涉及詳細(xì)

解法，而是用近代泛函工具建立一般的響應(yīng)模型，察看各詳細(xì)模型的類同性，并研究由一個(gè)模型生成另一模型的可能性和合理性。

固體響應(yīng)的一般模型舉例

1.給定某彈性構(gòu)造，把滿足應(yīng)力-應(yīng)變方程的任一對應(yīng)力場和應(yīng)變場X=（e，σ）稱為構(gòu)造場。若還滿足

稱之為既協(xié)調(diào)又平衡的場稱為精確場。記全體構(gòu)造場的集為X，按

應(yīng)變和應(yīng)力分別引入線性運(yùn)算，此后配上以下泛數(shù)

X稱為Banach空間。對于任給的系統(tǒng)，X中與之的所有構(gòu)造場構(gòu)

成X的子集。X的全體子集類記為。平時(shí)，假定等協(xié)調(diào)解等

平衡子集之交僅包括一個(gè)元。于是，可建立X的元與笛卡爾積1N的元之間的

一一對應(yīng)，X=x(I,E)

。稱

為|

外面作用響應(yīng)

|

空間。由功原理獲得的總

能原理

表示：精確解使

上表達(dá)到駐值。周邊兩個(gè)構(gòu)造場

X和

X+h

的距離除了用范數(shù)定義外，更方便地另行定義為

d(X+h,X)=1/2

，由于此

時(shí)滿足

2.把構(gòu)造場空間

X中滿足

的子集

C稱為

X的拘束子集。在

X

上有連續(xù)泛函類

，其中泛函

在每個(gè)拘束子集

C上有極小點(diǎn)

s。對給定的

，

各種拘束子集

C的這類

s之全體構(gòu)成

X的最小子集

M。若兩個(gè)構(gòu)造場屬同一

子集，稱它們是的。平時(shí)，每個(gè)最小子集和拘束子集之交僅一個(gè)元，就

是精確解。應(yīng)用中的泛函剖析法4.1直交投影法

該方法把調(diào)解方程或泊松方程Dirichlet問題的解空間表達(dá)成兩個(gè)直交子

空間之和：調(diào)解函數(shù)類和界線上為零的函數(shù)類。Minihin在議論方截面桿的

Saint-Venant扭轉(zhuǎn)問題時(shí)，用本方法詳細(xì)給出方形域中泊松方程Dirichlet問題之解，并證明所算得的最大剪應(yīng)力之精度勝于Ritz法。其他還給出一般三維域中同一問題的解以及本方法對一般方程Au=0（其中A是下有界、正線性橢圓微分算子）應(yīng)用。Maurin剖析了微分方程[^|c(x)]u=0的Dirichlet問題。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之間的親近關(guān)系。此后Rafalski把之用于瞬態(tài)熱傳導(dǎo)、瞬態(tài)熱彈性和線性粘彈性，證了然Maurin所發(fā)現(xiàn)的兩種方法的關(guān)系。Bessel不等式中的等號，對應(yīng)于f的等于它在生成空間中的直交投影的狀況。Klyot-Dashinsky曾把之應(yīng)用于平面有勢問題，以及更一般的各項(xiàng)異性板的變形方程。Nowinski和Cho給出由電流加熱的長桿熱彈問題的解。4.2變分法

Mikhlin較早地用泛函剖析為工具研究直接變分法。此后，

Kato，Noble

等

的論文中在估計(jì)各種界線條件下的彈性板振動(dòng)頻率及其界線時(shí)，甚至在更一般背景下研究算子*LL（*L是L的陪同）的理論。這類算子在很多數(shù)理方程中出現(xiàn)，

比方調(diào)解方程，雙調(diào)解方程，Sturm-Liouville方程，線彈性方程以及某些Fredholm型積分方程。

Oden和Raddy進(jìn)一步推行補(bǔ)余變分原理；Sandhu和Pister給出廣義Mikhlin變分問題，對于連續(xù)統(tǒng)力學(xué)中出現(xiàn)的一類線性耦合場問題建立擴(kuò)大的變分問題。

以上諸研究中，泛函變分為零蘊(yùn)涵Fréchet導(dǎo)數(shù)為零。Tonti指出，與泛函變分問題相關(guān)的微分方程中的算子L不用對稱。若L非對稱，可以另取下述雙線性型卷積為內(nèi)積（Gurtin）思想。

Raddy利用此雙線性卷積及Gateau導(dǎo)數(shù)構(gòu)造粘彈性動(dòng)向理論的變分原理。該方法可用于流體彈性、在電學(xué)、熱彈性和其他領(lǐng)域中的靜態(tài)和動(dòng)向彈性問題。在初值問題方面，Reiss和Hang察看了極值原理，用抽象算子記號構(gòu)造了相當(dāng)一般的最小原理，把一大類線性初值和混雜問題包括在內(nèi)。其應(yīng)用包括振動(dòng)、波傳導(dǎo)、熱傳導(dǎo)，電磁體和粘彈體。Magri推行了Tonti的工作。他證明：對每個(gè)線性算子，有無量多個(gè)使該算子對稱的雙線性型，從而有可能做出相應(yīng)的變分公式。他已就擴(kuò)散問題對此作認(rèn)識釋。Collins曾對自共軛算子提出構(gòu)造補(bǔ)余極值原理的一般過程。Telega把這類思想推行到塑性邊值問題。

參照文件

魏國強(qiáng)，數(shù)學(xué)專題講選[M].高等教育初版社初版書籍第二版，北京師范大學(xué)初版社

程其襄,張奠宙等，實(shí)變函數(shù)與泛函剖析基礎(chǔ)[M].

北京：高等教育初版社出師表

兩漢：諸葛亮

先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠緊迫存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜自輕自賤，引喻失義，以塞忠諫之路也。

宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸非法及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。

侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，此后推行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。

將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于往日，先帝稱之曰愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣友好，利害得所。

“能”，是以眾議舉寵為督：

親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興旺也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，何嘗不痛惜惱恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，

愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。

臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣鄙俗，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感謝，遂許先帝以驅(qū)馳。后值推翻，受任于敗軍之際，受命于危難之間，爾來二十有一年矣。

先帝知臣謹(jǐn)慎，故臨崩