高中數(shù)學學案北師大版必修2直線與圓、圓與圓的位置關系教案

教學設計3直線與圓、圓與圓的位置關系第1課時整體設計教學分析學生在初中的學習中已了解直線與圓的位置關系，并知道可以利用直線與圓的交點的個數(shù)以及圓心與直線的距離 d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系，但是，在初中學習時，利用圓心與直線的距離 d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系的方法卻以結論性的形式呈現(xiàn)．在高一學習了解析幾何以后，要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系的方法．解決問題的方法主要是幾何法和代數(shù)法．其中幾何法應該是在初中學習的基礎上，結合高中所學的點到直線的距離公式求出圓心與直線的距離 d后，比較與半徑r的關系從而作出判斷．適可而止地引進用聯(lián)立方程組轉化為二次方程判別根的“純代數(shù)判別法”，并與“幾何法”欣賞比較，以決優(yōu)劣，從而也深化了基本的“幾何法”．含參數(shù)的問題、簡單的弦的問題、切線問題等綜合問題作為進一步的拓展提高或綜合應用，也適度地引入課堂教學中，但以深化“判定直線與圓的位置關系”為目的，要控制難度．雖然學生學習解析幾何了，但把幾何問題代數(shù)化無論是思維習慣還是具體轉化方法，學生仍是似懂非懂，因此應不斷強化，逐漸內化為學生的習慣和基本素質．三維目標1．理解直線與圓的位置關系，明確直線與圓的三種位置關系的判定方法，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想．2．會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系及會利用直線與圓的位置關系解決相關的問題，讓學生通過觀察圖形，明確數(shù)與形的統(tǒng)一性和聯(lián)系性．重點難點教學重點：直線與圓的位置關系的幾何圖形及其判斷方法．教學難點：用坐標法判斷直線與圓的位置關系．課時安排課時教學過程導入新課思路1.平面解析幾何是高考的重點和熱點內容，每年的高考試題中有選擇題、填空題和解答題，考查的知識點有直線方程和圓的方程的建立、直線與圓的位置關系等，本節(jié)主要學習直線與圓的關系．思路 2.（復習導入 ）(1)直線方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零).(2)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),圓心為(一|,-^\半徑為2>jD2+E2-4F.推進新課新知探究提出問題①初中學過的平面幾何中，直線與圓的位置關系有幾類？②在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？③如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系呢？④判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？討論結果：①初中學過的平面幾何中，直線與圓的位置關系有直線與圓相離、 直線與圓相切、直線與圓相交三種.②直線與圓的三種位置關系的含義是：直線與圓的位直大系公共點個數(shù)圓心到直線的距離 d與半徑r的關系圖形相交兩個dvr相切只有一個d=r相離沒有d>r6③方法一，判斷直線l與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解;方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.④直線與圓的位置關系的判斷方法：幾何方法步驟：1。把直線方程化為一般式，求出圓心和半徑.2。利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3。作判斷：當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當dvr時，直線與圓相交.代數(shù)方法步驟：1。將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2。利用消元法，得到關于另一個元的一元二次方程.3。求出其判別式A的值.

4。比較A與0的大小關系，若A>0,則直線與圓相交；若A=0,則直線與圓相切；若AV0,則直線與圓相離.反之也成立.應用示例思路1例1判斷下列直線與圓(x—1)2+(y—1)2=1的位置關系:⑴x—y—2=0;(2)x+2y-1=0.解：已知圓的圓心為C(1,1),半徑r=1.(1)點C到直線x-y-2=0的距離為一」1二1_2|__2(1)點C到直線x-y-2=0的距離為又r=1,所以d1>r,可知直線與圓相離(如圖1).(2)點C(2)點C到直線x+2y—1=0的距離為d2=|Vj22t^221=^5=255.因為d2<r,所以此直線與圓相交(如圖1).0+(―1)X0+2|0+(―1)X0+2|Jm2+(-1)2a的取值范圍.圖2例2設直線mx—y+2=0與圓x2+y2=1相切，求實數(shù)m的值.解：已知圓的圓心為0(0,0),半徑r=1,則O到已知直線的距離d=?^ 2_=vm^Ti.由已知得d=r,即L2—=1,解得m=±/3.,m21如圖2.變式訓練已知直線l過點P(4,0),且與圓0:x2+y2=8相交，求直線l的傾斜角解法一：設直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因為直線l與圓0相交，所以圓心0到直線l的距離小于半徑，即！產(chǎn)|v2-J2.化簡得k2v1,所以一1vkv1,即一Ivtanav1.當0Wtana<1時，0Wo<弓當一1Vtana<0時，—^<a<兀,4 4所以a的取值范圍是心4；u34j,解法二：設直線l的方程為y=k(x—4),由iyjk(x—4)， 消去y彳#(k2+1)x2-8k2x+16k2—8=0.x+y=8,■u因為直線l與圓O相交，所以A=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)>0,化簡得k2v1.(以下同解法一)點評：涉及直線與圓的位置關系的問題， 常可運用以上兩種方法. 本題若改為選擇題或填空題，也可利用圖形直接得到答案 .思路2例1已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(%,y0)的切線方程.活動：學生思考討論，教師提示學生解題的思路， 引導學生回顧直線方程的求法， 既考慮通法又考慮圖形的幾何性質.此切線過點 (x°,y°),要確定其方程，只需求出其斜率 k,可利用待定系數(shù)法(或直接求解).直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑，切線與法線垂直.解法一：當點M不在坐標軸上時，設切線的斜率為 k,半徑OM的斜率為k1，因為圓的切線垂直于過切點的半徑，所以 k=-1.因為k=也，所以k=-x°.x0 y。所以經(jīng)過點M的切線方程是y-y0=-x0(x-x0).y0整理得x0x+y0y=x2+y0.又因為點M(x0,yO)在圓上,所以x2+y0=r2所以所求的切線方程是x°x+y0y=r2當點M在坐標軸上時，可以驗證上面的方程同樣適用.解法二：設P(x,y)為所求切線上的任意一點，當P與M不重合時，△OPM為直角三角形，OP為斜邊，所以OP2=OM2+MP2,即x2+y2=x2+y2+(x—x0)2+(y—y0)2整理得x0x+y0y=r2可以驗證，當P與M重合時同樣適合上式，故所求的切線方程是xox+yoy=r2.解法三：設P(x,y)為所求切線上的任意一點，當點 M不在坐標軸上時，由OMLMP得koMkMP=1,即y0y0―-=-1,整理得x°x+y0y=r2可以驗證，當點M在坐標軸上時，x0x0xP與M重合，同樣適合上式，故所求的切線方程是 x0x+y0y=r2.點評：如果已知圓上一點的坐標，我們可直接利用上述方程寫出過這一點的切線方程變式訓練求過圓C：(x—a)2+(y—b)2=r2上一點M(x°,y°)的圓的切線方程.解：設x0wa,y°wb,所求切線斜率為k,則由圓的切線垂直于過切點的半徑，得 k=xn-a xn-a—：—= 所以所求方程為 y—yo= -(x—xo),即(y—b)(y0—b)+(x—a)(x0—a)=kcM y0—b y0—b(xo—a)2+(y0—b)2.又點M(xo,yo)在圓上，則有(xo—a)2+(yo—b)2=r2代入上式，得(y—b)(yo—b)+(x—a)(xo—a)=r2.當x0=a,yo=b時仍然成立，所以過圓C:(x—a)2+(y—b)2=r2上一點M(xO,yo)的圓的切線方程為(y—b)(yO—b)+(x—a)(%—a)=產(chǎn).例2從點P(4,5)向圓(x—2)2+y2=4引切線，求切線方程.活動：學生思考交流，提出解題的方法， 回想直線方程的求法，先驗證點與圓的位置關系，再利用幾何性質解題.解：把點P(4,5)代入(x—2)2+y2=4,得(4—2)2+52=29>4,所以點P在圓(x—2)2+y2=4夕卜.設切線斜率為k,則切線方程為 y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=o.又圓心坐標為(2,。)，r=2.因為圓心到切線的距離等于半徑，即|2k—o+5—4k] ,21因為圓心到切線的距離等于半徑，即麻—一，—2o'所以切線方程為21x—2oy+16=o.當直線的斜率不存在時還有一條切線是 x=4.點評：過圓外已知點P(x,y)的圓的切線必有兩條，一般可設切線斜率為 k,寫出點斜式方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑，寫出有關 k的方程.求出k,因為有兩條，所以應有兩個不同的k值.當求得的k值只有一個時，說明有一條切線斜率不存在， 即為垂直于x軸的直線，所以補上一條切線 x=x1.變式訓練求過點M(3,1),且與圓(x—1)2+y2=4相切的直線l的方程.解：設切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=o,因為圓心(1,o)到切線l的距離等于半徑2,|k-3k+1| 3所以心——3=2,解得k=--.Mk2+(-1)2 43所以切線萬程為y-1=-4(x-3),即3x+4y-13=o.當過點M的直線的斜率不存在時，其方程為x=3,圓心(1Q)到此直線的距離等于半徑2,故直線x=3也符合題意.

所以直線l的方程是3x+4y—12=0或x=3.例3（1）已知直線l:y=x+b與曲線C：y=^1-x2有兩個不同的公共點，求實數(shù)b的取值范圍；（2）若關于x的不等式回-x2>x+b解集為R,求實數(shù)b的取值范圍.解：（1）如圖3（數(shù)形Z合），方程y=x+b表示斜率為1,在y軸上截距為b的直線1;圖3圖3方程y=4匚7表示單位圓在x軸上及其上方的半圓，當直線過B點時，它與半圓交于兩點，此時b=1,直線記為11;當直線與半圓相切時，b=2,直線記為12.直線1要與半圓有兩個不同的公共點，必須滿足 1在11與12之間（包才11但不包括%）,所以1Wbv42,即所求的b的取值范圍是［1,串）.（2）不等式，1—x2>x+b恒成立，即半圓y=，1-x2在直線y=x+b上方，當直線1過點（1,0）時，b=—1,所以所求的b的取值范圍是（一巴—1）.點評：利用數(shù)形結合解題，有時非常方便直觀.知能訓練.已知直線1:3x+y—6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線1與圓的位置關系，如果相交，求出它們的交點坐標.2,已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當b為何值時，圓與直線有兩個公共點，只有一個公共點，沒有公共點.解答：1.解法一：由直線1：3x+y—6=0和圓x2+y2—2y—4=0的方程得3x+y-6=0, ①k2+y2-2y-4=0. ②消去y,得x2—3x+2=0.因為A=（-3）2-4X1X2=1>0,所以直線1與圓相交，有兩個公共點.由x2—3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程①，得y1=0;把x2=1代入方程①，得y2=3.所以直線1與圓相交有兩個公共點，它們的坐標分別是（2,0）和（1,3）.解法二：圓x2+y2—2y—4=0的方程可化為x2+（y—1）2=5,其圓心C的坐標為（0,1）,半徑長為乖,圓心半徑長為乖,圓心C到直線1的距離d=…十1—6| 5V32T7所以直線l與圓相交，有兩個公共點.(以后同解法一)點評：比較兩種解法，我們可以看出， 幾何法判斷要比代數(shù)法判斷快得多， 但是若要求交點，仍須聯(lián)立方程組求解.y=x+b.解法一：若直線l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個公共點，只有一個公共點，沒有X2+y2=2,公共點，則方程組1 有兩個不同解，有兩個相同解，沒有實數(shù)解.y=x+bx2+y2=2方程組\ 消去y,得2x2+2bx+b2—2=0.Iy=x+b,所以A=(2b)2—4X2(b2—2)=16—4b2所以當A=16-4b2>0,即一2vb<2時，圓與直線有兩個公共點；當A=16-4b2=0,即b=立時，圓與直線只有一個公共點；當A=16-4b2<0,即b>2或bv—2時，圓與直線沒有公共點.解法二：圓x2+y2=2的圓心C的坐標為(0,0),半徑長為V，圓心C到直線l:y=x+b_ |—1X0+1X0—b|Ibl離d= 」？z !=V7TT 2.當d>「時，即岑即|b|>2,即b>2或bv—2時，圓與直線沒有公共點；當d=r時，即步也即|b|=2,即當d=r時，即當dvr時，即援<42，即|b|<2,即一2vbv2時，圓與直線有兩個公共點.點評：由于圓的特殊性判斷圓與直線的位置關系， 多采用判斷圓心到直線的距離與半徑的大小之間的關系；而以后我們將要學習的圓錐曲線與直線位置關系的判斷， 則需要利用方程組解的個數(shù)來判斷.拓展提升圓x2+y2=8內有一點P°(—1,2),AB為過點P0且傾斜角為“的弦.⑴當a=3由寸，求AB的長；(2)當AB的長最短時，求直線AB的方程.解：⑴當“=34冷寸，直線AB的斜率為k=tan3j=—1,所以直線AB的方程為y-2=-(x+1),即y=-x+1.y=-x+1) 9解法一：(用弦長公式)由《22消去y,得2x2-2x-7=0.7設A(x1，y1)，B(x2,y2),則Xi+X2=1,XiX2=-2,所以|AB=W+(-1)2|X1-X2=位d(Xl+X2)2_4X1X2=平y(tǒng)1—4X1―7；=儂解法(幾何法)弦心距d=1,2解法(幾何法)弦心距d=1,2,半徑r=2率,弦長AB|=2〈r2—d2=1(2)當AB的長最短時，OPo^AB,因為kOPo=-2,所以kAB=1,直線AB的萬程為yC1 r—2=2(x+1),即x-2y+5=0.課堂小結(1)判斷直線與圓的位置關系的方法：幾何法和代數(shù)法.(2)求切線方程.作業(yè)習題2—2A組第4,6題；B組第1題.設計感想本節(jié)課是在學習了點和圓的位置關系的基礎上進行的， 是為后面的圓與圓的位置關系作鋪墊的一節(jié)課.本節(jié)的主題是直線和圓， 在解析幾何中，直線與圓的關系是一個非常重要的知識點，可以對學生的思維有一個很好的鍛煉，將幾種重要的數(shù)學思想灌輸給學生.首先，一開始的復習提問全面又突出重點， 特別是“初中學習的如何判斷直線和圓的位置關系？”這個問題，為學生思考提供了很好的引導. 其次對于例題的選擇有很高的要求， 好的例題是一個好教案的重要保證.在例題的設計方面，本教案共分為三個層次來一步步的推進， 讓學生由淺入深，從思維容量上層層遞進，對學生的思考和分析都有很好的引導作用， 通過思路1的例題1,2對直線與圓的幾種位置關系作了鞏固，是每個學生都必須也能夠掌握的.但這幾題雖是基礎題也并不是平淡無奇的題， 它印證了判定的條件和結論在一定條件下是可以轉化的.通過思路2的例題1,2,對圓的切線方程的求法進行了說明和總結. 這個知識點與“直線與圓”聯(lián)系起來，而且同時又滲透了數(shù)形結合的思想. 讓學生通過具體的練習，通過自主地思考、研究，來體會數(shù)學思想對我們解題和研究的作用. 例題3的設計給學生留下了討論的空間，不僅將與直線與圓有關的各知識點聯(lián)系了起來，而且還通過各知識點之間的聯(lián)系、綜合應用，組織學生一起思考起來， 對應用的加強更是體現(xiàn)了“分類活動， 激發(fā)潛能”的基本要求.備課資料備用習題1.平面a的斜線AB交a于點B,過定點A的動直線l與AB垂直，且交a于點C,則動點C的軌跡是( )一條直線答案：A一個圓一條直線答案：A一個圓一個橢圓D.雙曲線的一支2.圓（x—1）2+（y+回=12.圓（x—1）2+（y+回=1的切線方程中有一個是（）A.x—y=0 B.x+y=0C.x=0 D.y=0分析：圓心為（1,—承,半徑為1,故此圓必與y軸（x=0）相切.答案：C點評：本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關系.3,已知圓M:（x+cos0）2+（y-sin0）2=1,直線l：y=kx,下面四個命題：①對任意實數(shù)k與0,直線l和圓M相切；②對任意實數(shù)k與。，直線l和圓M有公共點；③對任意實數(shù)9,必存在實數(shù)k,使得直線l與圓M相切；④對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)0,使得直線l與圓M相切.其中真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）八小同r從尸必/八?八7 |-kcos0-sinq-1+k2|sin（。+昉|...Al.分析：圓心坐標為（一cosasin0）,d=J22--=、，2——=|sin（9+（f））|<1..1+k2 ：1+k2答案：②④.已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是點P,則點P到直線x—y—1=0的距離是.答案:..若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線 l：ax+by=0的距離為272,則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）c.[6,3」 D『A.7t7t7tJ2B.j2,12答案：B（設計者：張合森）第2課時整體設計教學分析本節(jié)課研究圓與圓的位置關系，重點是研究兩圓位置關系的判斷方法， 并應用這些方法解決有關的實際問題.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關系的初步分析的基礎上結合前面學習的點與圓、直線與圓的位置關系， 得到圓與圓的位置關系的幾何方法， 用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓， 是平面幾何問題的深化，它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此，增加了用代數(shù)方法來分析位置關系，這樣有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結合、 經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力， 其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義.三維目標培養(yǎng)學生自主探究的能力.通過用使學生理解并掌握圓和圓的位置關系及其判定方法.培養(yǎng)學生自主探究的能力.通過用代數(shù)的方法分析圓與圓的位置關系， 使學生體驗幾何問題代數(shù)化的思想， 深入了解解析幾何的本質，同時培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，并進一步體會數(shù)形結合的思想.重點難點教學重點：求弦長問題，判斷圓和圓的位置關系.教學難點：判斷圓和圓的位置關系.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.平面幾何中，圓與圓的位置關系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關系呢？判斷兩圓的位置關系的步驟及其判斷方法如下：第一步：計算兩圓的半徑 R,r;第二步：計算兩圓的圓心距O1O2,即d;第三步：根據(jù)d與R,r之間的關系，判斷兩圓的位置關系.課研究的課題，教師板書課題圓與圓的位置關系.思路2.前面我們學習了點與圓的位置關系、 直線與圓的位置關系，那么，圓與圓的位置關系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關系呢？教師板書課題：圓與圓的位置關系.推進新課新知探究提出問題①初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有幾種？②判斷兩圓的位置關系，你有什么好的方法嗎？③你能在同一個直角坐標系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？④根據(jù)你所畫出的圖形，可以直觀判斷兩個圓的位置關系 .如何把這些直觀的事實轉化為數(shù)學語言呢？⑤如何判斷兩個圓的位置關系呢？⑥若將兩個圓的方程相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？⑦兩個圓的位置關系是否可以轉化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關系的判定呢？活動：教師引導學生回顧學過的知識、舉例，并對學生活動進行評價；學生回顧知識點時，可互相交流．教師引導學生閱讀教科書中的相關內容，注意個別輔導，解答學生疑難，并引導學生自己總結解題的方法．學生觀察圖形并思考，發(fā)表自己的解題方法．教師應該關注并發(fā)現(xiàn)有多少學生利用“圖形”求解，對這些學生應該給予表揚．同時強調，解析幾何是一門數(shù)與形結合的學科．啟發(fā)學生利用圖形的特征，用代數(shù)的方法來解決幾何問題．教師指導學生利用兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置．學生互相探討、交流，尋找解決問題的方法，并能通過圖形的直觀性，利用平面直角坐標系的兩點間距離公式尋求解題的途徑．討論結果：①初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有五類，分別是外離、外切、相交、內切、內含．②判斷兩圓的位置關系，我們可以類比直線與圓的位置關系的判定，目前我們只有初中學過的幾何法，利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系判斷．③略．④根據(jù)所畫出的圖形，可以直觀判斷兩個圓的位置關系．用幾何的方法說就是圓心距 （d）與兩圓半徑（r,R）的和與差之間的關系.⑤判斷兩個圓的位置關系.一是可以利用幾何法， 即兩個圓的圓心坐標、半徑長、 連心線長的關系來判別兩個圓的位置關系．設兩圓的連心線長為d，則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：1°當d>R+r時，圓Ci與圓C2外離；2。當d=R+r時，圓Ci與圓C2外切；3°當|R—r|vdvR+r時，圓Ci與圓C2相交；4。當d=|R—r|時，圓Ci與圓C2內切；5°當dv|R—r|時，圓Ci與圓C2內含.二是看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況，解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組．若方程組有兩組不同的實數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解，則兩圓相切；若無實數(shù)解，兩圓相離．總結比較兩種方法的優(yōu)缺點．幾何方法：直觀，容易理解，但不能求出交點坐標．代數(shù)方法：i°只能判斷交點，并不能準確地判斷位置關系（有一個交點時不能判斷內切還是外切，無交點時不能判斷內含還是外離 ）．2°優(yōu)點是可以求出公共點．⑥若將兩個圓的方程相減，得到一個一元一次方程， 即直線方程，由于它過兩圓的交點，所以它是相交兩圓的公共弦的方程．⑦兩個圓的公共點的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點的判定問題.由點到直線的距離公式來判斷.應用示例思路1例1在平面直角坐標系中分別作出圓心為 Ci(0,0),C2(1,1),半徑分別為1,2的兩圓,并判斷兩圓的位置關系.解：作出兩圓，如圖1.兩圓半徑分別記作「1和「2,則1=1,「2=2,圓心距d=|C1C2|=M(0—1)2+(0—1)2=小,于是,1=|r1一r21Vdv門+「2=3,所以兩圓相交.例2判斷圓G：x2+y2+2x—6y—26=0與圓C2：x2+y2—4x+2y+4=0的位置關系，并畫出圖形.解：由已知得圓C1：(x+1)2+(y—3)2=36,其圓心C1(-1,3),半徑「1=6;圓C2：(x-2)2+(y+1)2=1,其圓心C2(2,—1),半徑「2=1.于是|C1C2|=叱2+1)2+(―1—3)2=5.又|「1一「2|=5,即|C1C2|=|「1—「2|,所以兩圓內切.如圖 2.變式訓練判斷下列兩圓的位置關系.(1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x—2)2+(y-5)2=16;(2)x2+y2+6x—7=0與x2+y2+6y—27=0.

解：(1)根據(jù)題意，得兩圓的半徑分別為 r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d=[2-(-2)]2+(5-2)2=5.因為d=r1+r2,所以兩圓外切.(2)將兩圓的方程化為標準方程，得 (x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故兩圓的半徑分別為「1=4和「2=6,兩圓的圓心距d=加0—3)2+(—3—0)2=3j2.因為|「1一「2|<dv門+「2,所以兩圓相交.例3已知圓G：x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2：x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.活動：學生審題，思考并交流，探討解題的思路，教師及時提示引導，因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程，聯(lián)立方程組，消去 x2項、y2項，即得兩圓的兩個交點所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.解：設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2,y2),則A,B兩點坐標滿足方程組x2+y2+2x-6y+1=0, ①*+y2—4x+2y-11=0, ②①—②，得3x-4y+6=0.因為A,B兩點坐標都滿足此方程，所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.易知圓C1的圓心(一1,3),半徑r=3.又點C1到直線的距離為d=1T：3—4*32t6=2[32+(-4)2 5所以AB=2^r2-d2=2#2—g)=:，即兩圓的公共弦長為24.5點評：處理圓有關的問題，利用圓的幾何性質往往比較簡單，要注意體會和應用.思路2例1求過點A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程.活動：學生思考交流，回顧圓的方程的求法， 教師引導學生注意題目的條件， 靈活處理,如圖3如圖3.所求圓經(jīng)過原點和A(0,6),且圓心應在已知圓的圓心與原點的連線上.件可確定圓的方程.圖3解：將圓C化為標準方程，得(x+5)2+(y+5)2=50,則圓心為C(-5,—5),半徑為5平所以經(jīng)過此圓心和原點的直線方程為 x-y=0.設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意，知 O(0,0),A(0,6)在此圓上，且圓心M(a,b)在直線x-y=0上，則有r(0-a)2+(0-b)2=r2,1(0-a)2+(6-b)2=r2,[a-b=0,a=3,解得/=3,卜=3啦.于是所求圓的方程是(x—3)2+(y—3)2=18.點評：求圓的方程，一般可從圓的標準方程和一般方程入手， 至于選擇哪一種方程形式更恰當，要根據(jù)題目的條件而定，總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡單.例2已知。O方程為x2+y2=4,定點A(4,0),求過點A且和。O相切的動圓圓心的軌跡方程.活動：教師引導學生回顧學過的知識，兩圓外切， 連心線長等于兩圓半徑之和，兩圓內切，連心線長等于兩圓半徑之差， 由此可得到動圓圓心在運動中所應滿足的幾何條件， 然后將這個幾何條件坐標化，即得到它的軌跡方程.解：設動圓圓心為P(x,y),因為動圓過定點A,所以|PA|即為動圓半徑.當動圓P與。。外切時，|PO|=|PA|+2;當動圓P與。。內切時，|PO|=|PA|—2.綜合這兩種情況，得||PO|-|PA||=2.將此關系式坐標化，得Mx2+y2_y(x_4)2+y21=2.化簡可得(x-2)2—￡=1.3點評：解題的過程就是實現(xiàn)條件向結論轉化的過程， 對于圓與圓，要綜合平面幾何知識、解析幾何、代數(shù)知識，將條件轉化成我們熟悉的形式，利用常規(guī)思路去解，求點的軌跡更要注意平面幾何的知識運用.

知能訓練1,已知圓Cl：x2+y2+2x+8y—8=0,圓C2：x2+y2—4x—4y—2=0,判斷兩圓的位置x?+y2+2x+8y—8=0, ①解法一：圓Ci與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組h+y2_4x_4y_2=0 ②①—②得x+2y—1=0③，由③得丫:三，把上式代入①并整理得 x2—2x—3=0④.方程④的判別式A=(—2)2—4X1X(—3)=16>0,所以方程④有兩個不相等的實數(shù)根，即圓C1與圓C2相交.解法二：把圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,化為標準方程，得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10,圓C1的圓心是點(—1,—4),半徑長「1=5;圓C2的圓心是點(2,2),半徑長「2=回.圓C1、圓C2的連心線的長為^(-1-2)2+(-4-2)2=3木,圓。、圓C2的半徑長之和為「1+「2=5十/0,半徑長之差為r1一「2=5—50.而5一寸而〈345〈5+甲0,即r^r2<3>/5<r1+r2,所以圓C1與圓C2相交.點評：判斷兩圓的位置關系一般情況下， 先化為標準方程，再利用幾何法判斷較為準確直觀.2,求經(jīng)過原點，且過圓 x2+y2+8x—6y+21=0和直線x-y+5=。的兩個交點的圓的方程.x2+y2+8x-6y+21=0,解法一：由《 求得交點(一2,3)或(一4,1).|x-y+5=0,設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因為(0,0),(-23),(—4,1)三點在圓上，所1=0,以<4+9—2D+3E+F=0,1.16+1-4D+E+F=0,」E一9解得EE5'[d=[d=195.所以所求圓的方程為x2+y2+159x-5y=0.解法二：設過交點的圓系方程為： x2+y2+8x-6y+21+y+5)=0(入為參數(shù)).將原點(0,0)代入上述方程得仁-21.

則所求方程為：x2+y2+19-x-9y=0.拓展提升求以圓C1:x2+y2—12x—2y—13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y—25=0的公共弦為直徑的圓的方程.解法一：聯(lián)立兩圓方程x2+y2—12x—2y-13=0,x2+y2+12x+16y—25=0,解法一：