北師版九年級數(shù)學上冊第1章特殊平行四邊形復習課件

方法技巧訓練1利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題第一章特殊平行四邊形第一章特殊平行四邊形123412341．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動，且保持BE＝DF，連接AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對你的猜想加以證明．1類型平行四邊形中的動點問題1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動，且保AE＝CF，AE∥CF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.返回解：AE＝CF，AE∥CF.證明如下：返回解：2．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，垂足為O.(1)如圖①，連接AF，CE，試證明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長．2類型矩形中的動點問題2．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.證明：∵四邊形ABCD是矩形，證明：∴四邊形AFCE為平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形．設AF＝CF＝xcm，則BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5cm.∴四邊形AFCE為平行四邊形．(2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為t

s，當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．(2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿△AFB顯然當點P在AF上，點Q在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點P在AB上時，點Q在DE或CE上，也不可能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當點P在BF上，點Q在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形。顯然當點P在AF上，點Q在CD上時，A，C，P，Q四點不可能如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PC＝QA.∵點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為ts，∴PC＝5tcm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝.∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝.返回如圖，連接AP，CQ，則以A，C，返回3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上．

(1)如圖①，若E是BC的中點，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF；3類型菱形中的動點問題3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，

連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等邊三角形．又∵E是BC的中點，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.

∴BE＝DF.返回證明：連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，返回證明：3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上．(2)如圖②，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形．3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，連接AC.由(1)知△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等邊三角形．證明：連接AC.由(1)知△ABC是等邊三角形，證明：4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；4類型正方形中的動點問題4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四邊形EFGH為菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH為正方形．∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH.(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由．4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別解：直線EG經(jīng)過一個定點．理由如下：如圖，連接BD，DE，BG，EG，EG與BD交于O點．∵BE

DG，∴四邊形BGDE為平行四邊形．∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.∴點O為正方形的中心．∴直線EG必過正方形的中心．返回解：直線EG經(jīng)過一個定點．返回方法技巧訓練2特殊平行四邊形中的五種常見熱門題型第一章特殊平行四邊形第一章特殊平行四邊形123456789101112345678910111．如圖，將一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線(圖③中的虛線)剪下，再打開，得到的菱形的面積為(

)A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2A返回1題型特殊平行四邊形中的折疊問題1．如圖，將一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩2．(中考·泰安)如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中

點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB＝6，BC＝4，則FD的長為(

)A．2 B．4C. D．2B返回2．(中考·泰安)如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中3．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角線BD上，得折痕BE，BF，則∠EBF的大小為(

)

A．15° B．30°C．45° D．60°C返回3．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角4．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，2題型特殊平行四邊形中的動點問題4．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運

動．設點D，E運動的時間是t

s(0≤t≤15)．過點D作DF⊥BC于點F，連接EF.若四邊形AEFD為菱形，則t的值為(

)

A．5 B．10C．15 D．20B返回當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，5．如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E.若點P，Q分別是AD和AE上的動點，則DQ＋PQ的最小值是(

)A．2 B．4C．2 D．4C返回5．如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于6．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得四邊形A2B2C2D2，…，如此進行下去，得四邊形AnBnCnDn.3題型特殊平行四邊形中的中點四邊形問題6．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，AC⊥BD下列結(jié)論正確的是(

)①四邊形A4B4C4D4是菱形；②四邊形A3B3C3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7的周長為；④四邊形AnBnCnDn的面積為.A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②③④A返回下列結(jié)論正確的是()A返回7．(中考·廣安)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為菱形ABCD四邊的中點，AB＝6cm，∠ABC＝60°，則四邊形EFGH的面積為________．9cm2返回7．(中考·廣安)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為菱形ABCD四邊8．(中考·棗莊)如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是(

)A.

B.

C.

D．1＋C4題型特殊平行四邊形中的圖形變換問題返回8．(中考·棗莊)如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針9．如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，交AG于點F.(1)求證：AF－BF＝EF.9．如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，D∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG＋∠EAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°.∴∠EAD＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BAF.又BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，證明：在△AED和△BFA中，∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD＝AB，∴△AED≌△BFA(AAS)．∴BF＝AE.∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF.在△AED和△BFA中，(2)將△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應點為點F′.若正方形ABCD的邊長為3，求點F′與旋轉(zhuǎn)前的圖形中點E之間的距離．(2)將△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時如圖，將△ABF繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADF′，B與D重合，連接F′E，由(1)得DE＝AF.根據(jù)題意，知∠FAF′＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°.即∠F′AE＋∠AED＝180°.解：如圖，將△ABF繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADF′，解：∴AF′∥ED.∴四邊形AEDF′為平行四邊形．又∵∠AED＝90°，∴四邊形AEDF′是矩形．∴AD＝EF′.∵AD＝3，∴EF′＝3.即點F′與旋轉(zhuǎn)前的圖形中點E之間的距離為3.返回∴AF′∥ED.返回10．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接AF，CE.(1)求證：△BEC≌△DFA；5題型靈活應用特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定進行計算或證明10．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA(SAS)．返回證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，返回證明：10．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接AF，CE.(2)連接AC，當CA＝CB時，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并說明理由．10．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連四邊形AECF是矩形．理由如下：∵AE＝

AB，CF＝

CD，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．當CA＝CB時，∵AE＝EB，∴CE⊥AB.∴∠AEC＝90°.∴四邊形AECF是矩形．返回解：四邊形AECF是矩形．理由如下：返回解：11．(中考·漳州)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作FG∥CD，交AE于點G，連接DG.(1)求證：四邊形DEFG為菱形；11．(中考·漳州)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，∵FG∥CD，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴FG＝FE.∴DG＝GF＝EF＝DE.∴四邊形DEFG為菱形．證明：如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得證明：11．(中考·漳州)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作FG∥CD，交AE于點G，連接DG.(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．11．(中考·漳州)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，設DE＝x，則EF＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，F(xiàn)C2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴DE＝5，CE＝8－x＝3.∴ .解：設DE＝x，則EF＝DE＝x，EC＝8－x，解：12．如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC上的點，且AF⊥BE.(1)求證：AF＝BE.12．如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC上

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠BAE＝90°.∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE(ASA)．∴AF＝BE.證明：∵四邊形ABCD是正方形，證明：(2)如圖②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，且MP⊥NQ.MP與NQ是否相等？并說明理由．(2)如圖②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊ABMP與NQ相等．理由如下：過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，則四邊形AMPF、四邊形BNQE都是平行四邊形，∴AF＝MP，BE＝NQ.∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE.由(1)知AF＝BE，∴MP＝NQ.返回解：MP與NQ相等．理由如下：返回解：方法技巧訓練3菱形性質(zhì)與判定的靈活運用第一章特殊平行四邊形第一章特殊平行四邊形123412341．(中考·北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE.(1)求證：四邊形BCDE為菱形；1類型利用菱形的判定證明菱形1．(中考·北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線∵AD＝2BC，E為AD的中點，∴DE＝BC.∵AD∥BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形．∵∠ABD＝90°，E為AD的中點，∴BE＝

AD＝DE.∴四邊形BCDE是菱形．證明：∵AD＝2BC，E為AD的中點，證明：1．(中考·北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE.(2)連接AC,若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長．1．(中考·北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.∴AB＝BC＝1.∵∠ABD＝90°，E為AD的中點，∴BE＝AE＝

AD.∵AD＝2BC＝2，

∴BE＝AE＝1＝AB.解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD，解：∴△ABE為等邊三角形．∴∠BAE＝60°.∴∠DAC＝30°，∠ADB＝30°.∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，∵AD＝2，∠DAC＝30°，∴CD＝1.∴AC＝ .返回∴△ABE為等邊三角形．返回2．(中考·蘭州)如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.(1)求證：△BDF是等腰三角形；2類型利用菱形的性質(zhì)與判定解折疊問題2．(中考·蘭州)如圖①，將一2類型利用菱形的性質(zhì)與判定解折由折疊得△BDC≌△BDE，∴∠DBC＝∠DBE.又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DBC＝∠FDB.∴∠DBE＝∠FDB.∴DF＝BF.∴△BDF是等腰三角形．證明：由折疊得△BDC≌△BDE，證明：(2)如圖②，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長．(2)如圖②，過點D作DG∥BE，交①四邊形BFDG是菱形．理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴FD∥BG.∵DG∥BE，∴四邊形BFDG是平行四邊形．∵DF＝BF，∴四邊形BFDG是菱形．解：①四邊形BFDG是菱形．理由如下：解：②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∴BD＝ .∵四邊形BFDG是菱形，∴GF⊥BD，F(xiàn)G＝2OF，OB＝

BD＝5.設DF＝BF＝x，則AF＝AD－DF＝8－x，②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，返回在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，返回3．(中考·包頭)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，

∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，已知CD＝3.(1)求AD的長；3類型利用菱形的性質(zhì)與判定求線段的長3．(中考·包頭)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝

∠CAB＝30°.在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，解：3．(中考·包頭)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，

∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，已知CD＝3.(2)求四邊形AEDF的周長．(注意：本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號)3．(中考·包頭)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠∵DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF.又∵∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD.∴AF＝DF.∴四邊形AEDF是菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF.解：∵DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，解：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝30°.在Rt△CED中，∵∠CDE＝30°，∴CE＝

DE.又∵CE2＋CD2＝DE2，

∴DE＝2(負值舍去)．∴四邊形AEDF的周長為8.返回∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝30°.返回4．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，給出如下結(jié)論：4類型利用菱形的性質(zhì)與判定解決相關(guān)問題4．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向△A①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD.其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③

B．①②④C．①③④

D．②③④C返回①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；C返回方法技巧訓練4矩形性質(zhì)與判定的靈活運用第一章特殊平行四邊形第一章特殊平行四邊形123412341．(中考·揚州)如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；1類型利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長1．(中考·揚州)如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB由題意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°.∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.證明：由題意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠在△ANF和△CME中，∠FAN＝∠ECM，AN＝CM，∠ANF＝∠CME，∴△ANF≌△CME(ASA)．∴AF＝CE.又∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形．在△ANF和△CME中，1．(中考·揚州)如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．(2)若AB＝6，AC＝10，求四邊形AECF的面積．1．(中考·揚州)如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8.設CE＝x，則EM＝BE＝8－x，CM＝10－6＝4.在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.∴四邊形AECF的面積為CE·AB＝5×6＝30.返回解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8.返回解：2．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一

點，BD＝DC，P是BC上的任意一點，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足．試判斷線段PE，PF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2類型利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關(guān)系2．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一點，BPE＋PF＝AB.理由：過點P作PG⊥AB于G，交BD于O，如圖所示．∵PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四邊形AGPF是矩形．∴AG＝PF，PG∥AC.解：PE＋PF＝AB.解：又∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP.

∴OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°.在△BGO和△PEO中，∠BGO＝∠PEO，∠GOB＝∠EOP，OB＝OP，∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE.∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB.返回又∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP.∴OB＝OP.3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點

O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；3類型利用矩形的性質(zhì)與判定求角3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴?ABCD是矩形．證明：∵AO＝CO，BO＝DO，證明：3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點

O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四邊形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.返回解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，返回解：4．如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.(1)連接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；4類型利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4．如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵點E為BC的中點，∴BE＝CE.在△ABE和△FCE中，∠ABE＝∠FCE，BE＝CE，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，證明：又∵AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形．∴AE＝EF.∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四邊形ABFC為矩形．又∵AB∥CF，4．如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.(2)在(1)的條件下，若△AFD是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC的面積．4．如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長∵四邊形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等邊三角形，返回解：∵四邊形ABFC是矩形，返回解：全章熱門考點整合應用第一章特殊平行四邊形全章熱門考點整合應用第一章特殊平行四邊形123456789101112131412345678910111213141．如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，M，N分別是AB，CD的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若AB＝10，CD＝8，求MN的長．1考點一個定理—直角三角形斜邊上的中線定理1．如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，M，N分別是AB，CD連接DM，CM.由已知得CM＝

AB，DM＝

AB.∴CM＝DM.又∵點N為CD的中點，∴MN⊥CD.∵AB＝10，CD＝8，∴DM＝

AB＝5，DN＝

CD＝4.又MN⊥CD，∴MN＝

＝3.返回(1)證明：(2)解：連接DM，CM.∵AB＝10，CD＝8，返回(1)證明：(22．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于點D，在線段AD上任取一點P(點A除外)，過點P作EF∥AB，分別交AC，BC于點E，

F，作PM∥AC，交AB于點M，連接ME.(1)求證：四邊形AEPM為菱形．（菱形）2考點三個圖形2．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC∵EF∥AB，PM∥AC，∴四邊形AEPM為平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠EAP＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四邊形AEPM為菱形．證明：∵EF∥AB，PM∥AC，證明：(2)當點P在何處時，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？請說明理由．解：當點P為EF的中點時，S菱形AEPM＝S四邊形EFBM.理由：∵四邊形AEPM為菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.(2)當點P在何處時，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四邊形EFBM為平行四邊形．過點E作EN⊥AB于點N，如圖，∵EP＝

EF，∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝

EF·EN＝S四邊形EFBM.返回∴EM∥BC.又∵EF∥AB，返回3．感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內(nèi)部的點F處，連接AF并延長，交CD于點G，連接FC，易證∠GCF＝∠GFC.（矩形）2考點三個圖形3．感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF＝∠GFC是否仍然成立，并說明理由．探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如∠GCF＝∠GFC仍然成立．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠B＋∠ECG＝180°.∵△AFE是由△ABE翻折得到的，∴∠AFE＝∠B，EF＝BE.又∵∠AFE＋∠EFG＝180°，∴∠ECG＝∠EFG.解：∠GCF＝∠GFC仍然成立．理由如下：解：∵點E是邊BC的中點，

∴EC＝BE.∵EF＝BE，∴EC＝EF.∴∠ECF＝∠EFC.∴∠ECG－∠ECF＝∠EFG－∠EFC.∴∠GCF＝∠GFC.∵點E是邊BC的中點，∴EC＝BE.應用：如圖②，若AB＝5，BC＝6，則△ADG的周長為________．16返回應用：如圖②，若AB＝5，BC＝6，則△ADG的周長為___4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.(1)求證：CE＝AD.（正方形）2考點三個圖形4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線M∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形．∴CE＝AD.證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.證明：(2)當點D為AB的中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？請說明理由．(2)當點D為AB的中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？四邊形BECD是菱形．理由：∵D為AB的中點，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.又∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形．∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝BD.

∴四邊形BECD是菱形．解：四邊形BECD是菱形．解：(3)若點D為AB的中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明理由．(3)若點D為AB的中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵點D為AB的中點，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∵四邊形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形．即當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形．返回解：當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形．返回解：5．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE＝AC，EF∥BC交AD于點F.求證：四邊形CDEF是菱形．（判定與性質(zhì)1菱形）3考點三個判定與性質(zhì)5．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D，E是A如圖，連接CE，交AD于點O.∵AC＝AE，∴△ACE為等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠1＝∠2.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OF＝OD，即CE與DF互相垂直且平分．∴四邊形CDEF是菱形．返回證明：如圖，連接CE，交AD于點O.返回證明：6．(中考·湘西州)如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).求證：(1)△ADE≌△CBF；（判定與性質(zhì)2矩形）3考點三個判定與性質(zhì)6．(中考·湘西州)如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.∴△ADE≌△CBF.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，證明：6．(中考·湘西州)如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).求證：(2)四邊形DEBF為矩形．6．(中考·湘西州)如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.又∵CD∥AB，∴四邊形DEBF為平行四邊形．又∵∠DEB＝90°，∴四邊形DEBF為矩形．返回證明：∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.返回證明：7．如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長線上一點，DE交AC于點F，交BC于點G，H為GE的中點．求證：FB⊥BH.（判定與性質(zhì)3正方形）3考點三個判定與性質(zhì)7．如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長線上一點，DE交A∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°，∠DCB＝90°，∠CBE＝90°.又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF＝∠CBF.證明：∵四邊形ABCD是正方形，證明：∵H為GE的中點，∴HB＝HG＝

GE.∴∠HGB＝∠HBG.∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠BGH＝∠HBG，∴∠FBG＋∠HBG＝90°，即∠FBH＝90°.∴FB⊥BH.返回∵H為GE的中點，∴HB＝HG＝GE.返回8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，求陰影部分圖形的周長．（技巧1解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧）4考點四個技巧8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點E，F(xiàn)分∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，解：設線段D1F與線段AB交于點M，則陰影部分的周長為(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.返回設線段D1F與線段AB交于點M，則陰影部分的周長為返回9．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O也是正方形A′B′C′O的一個頂點，如果兩個正方形的邊長都等于1，那么正方形A′B′C′O繞頂點O轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)律？請說明理由．（技巧2解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧）4考點四個技巧9．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O也是正方形A兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四邊形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，解：兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.解：即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF.∴兩個正方形重疊部分的面積等于S△BOC.∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝S正方形ABCD＝.∴兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是.返回即∠BOE＝∠COF.返回10．如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16，對角線AC，BD相交于點G，點O是直線BD上的動點，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積．（技巧3解與四邊形有關(guān)的動態(tài)問題的技巧）4考點四個技巧10．如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16，解：解：(2)如圖①，當點O在對角線BD上運動時，OE＋OF的值是否發(fā)生變化？請說明理由．OE＋OF的值不變．(2)如圖①，當點O在對角線BD上運動時，OE＋OF的值是否理由如下：如圖①，連接AO，則S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，∴

BD·AG＝

AB·OE＋

AD·OF，即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.解得OE＋OF＝9.6，是定值，不變．理由如下：(3)如圖②，當點O在對角線BD的延長線上時，OE＋OF的值是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請?zhí)骄縊E，OF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．OE＋OF的值發(fā)生變化，OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系為OE－OF＝9.6.(3)如圖②，當點O在對角線BD的延長線上時，OE＋OF的值理由如下：如圖②，連接AO，則S△ABD＝S△ABO－S△AOD，∴

BD·AG＝

AB·OE－

AD·OF，即×16×6＝×10·OE－×10·OF.解得OE－OF＝9.6，是定值，不變．∴OE＋OF的值發(fā)生變化，OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系為OE－OF＝9.6.返回理由如下：如圖②，連接AO，則S△ABD＝S△ABO－S△A11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O在△ABC的內(nèi)部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC，AC的中點．(1)求證：四邊形DEFG是矩形；（技巧4解中點四邊形的技巧）4考點四個技巧11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O在△ABC的內(nèi)部，如圖，連接AO并延長，交BC于H.∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH是BC的中垂線，即AH⊥BC于H.∵D，E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC，AC的中點，∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.證明：如圖，連接AO并延長，交BC于H.證明：∴四邊形DEFG是平行四邊形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.∵DE∥AH，∴DE⊥EF.∴∠DEF＝90°.∴?DEFG是矩形．∴四邊形DEFG是平行四邊形．(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面積．∵△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6，AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7.∴S△ABC＝

BC·AH＝×6×7＝21.返回解：(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面積．∵△BOC是等12．如圖，把矩形紙片ABCD折疊，使點B落在點D處，點C落在點C′處，折痕EF與BD交于點O，已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的長．（思想1方程思想）5考點三種思想12．如圖，把矩形紙片ABCD折疊，使點B落在點D處，點由已知易知∠C′DF＝∠CDA＝90°，∴∠C′DE＝∠ADF.∵∠A＝∠C＝∠C′＝90°，AD＝BC＝DC′，∴△DAF≌△DC′E.

∴DF＝DE＝BF.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB

DC.連接BE，則四邊形DFBE是菱形．∴OE＝OF，BD⊥EF.解：由已知易知∠C′DF＝∠CDA＝90°，解：設AF＝x，則DF＝BF＝16－x.在Rt△DAF中，AD2＋AF2＝DF2，即122＋x2＝(16－x)2.整理得32x＝112.∴x＝.

∴DF＝.∵在Rt△ABD中，DB2＝AD2＋AB2＝122＋162＝400，設AF＝x，則DF＝BF＝16－x.返回返回13．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一點，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點E，F(xiàn).求證：PA＝EF.（思想2轉(zhuǎn)化思想）5考點三種思想13．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠C如圖，連接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.∴四邊形PECF是矩形．∴PC＝EF.證明：如圖，連接PC.證明：在△ABP和△CBP中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.∴PA＝EF.返回在△ABP和△CBP中，返回14．閱讀在平面直角坐標系中，以任意兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)為端點的線段的中點坐標為.（思想3數(shù)形結(jié)合思想）5考點三種思想14．閱讀（思想3數(shù)形結(jié)合思想）5考點三種思想運用(1)如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M，ON，OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為(4，3)，則點M的坐標為________．(2，1.5)運用(2，1.5)(2)在平面直角坐標系中，有A(－1，2)，B(3，1)，

C(1，4)三點，另有一點D與點A，B，C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．設點D的坐標為(x，y)．以點A，B，C，D為頂點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，(2)在平面直角坐標系中，有A(－1，2)，B(3，1)，北師版九年級數(shù)學上冊第1章特殊平行四邊形復習課件北師版九年級數(shù)學上冊第1章特殊平行四邊形復習課件返回返回方法技巧訓練1利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題第一章特殊平行四邊形第一章特殊平行四邊形123412341．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動，且保持BE＝DF，連接AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對你的猜想加以證明．1類型平行四邊形中的動點問題1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動，且保AE＝CF，AE∥CF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.返回解：AE＝CF，AE∥CF.證明如下：返回解：2．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，垂足為O.(1)如圖①，連接AF，CE，試證明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長．2類型矩形中的動點問題2．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.證明：∵四邊形ABCD是矩形，證明：∴四邊形AFCE為平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形．設AF＝CF＝xcm，則BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5cm.∴四邊形AFCE為平行四邊形．(2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為t

s，當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．(2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿△AFB顯然當點P在AF上，點Q在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點P在AB上時，點Q在DE或CE上，也不可能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當點P在BF上，點Q在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形。顯然當點P在AF上，點Q在CD上時，A，C，P，Q四點不可能如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PC＝QA.∵點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為ts，∴PC＝5tcm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝.∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝.返回如圖，連接AP，CQ，則以A，C，返回3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上．

(1)如圖①，若E是BC的中點，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF；3類型菱形中的動點問題3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，

連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等邊三角形．又∵E是BC的中點，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.

∴BE＝DF.返回證明：連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，返回證明：3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上．(2)如圖②，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形．3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動點E在邊BC上，連接AC.由(1)知△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等邊三角形．證明：連接AC.由(1)知△ABC是等邊三角形，證明：4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；4類型正方形中的動點問題4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四邊形EFGH為菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH為正方形．∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH.(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由．4．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F(xiàn)，G，H分別解：直線EG經(jīng)過一個定點．理由如下：如圖，連接BD，DE，BG，EG，EG與BD交于O點．∵BE

DG，∴四邊形BGDE為平行四邊形．∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.∴點O為正方形的中心．∴直線EG必過正方形的中心．返回解：直線EG經(jīng)過一個定點．返回方法技巧訓練2特殊平行四邊形中的五種常見熱門題型第一章特殊平行四邊形第一章特殊平行四邊形123456789101112345678910111．如圖，將一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線(圖③中的虛線)剪下，再打開，得到的菱形的面積為(

)A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2A返回1題型特殊平行四邊形中的折疊問題1．如圖，將一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩2．(中考·泰安)如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中

點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB＝6，BC＝4，則FD的長為(

)A．2 B．4C. D．2B返回2．(中考·泰安)如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中3．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角線BD上，得折痕BE，BF，則∠EBF的大小為(

)

A．15° B．30°C．45° D．60°C返回3．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角4．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，2題型特殊平行四邊形中的動點問題4．如圖，在Rt△AB