風(fēng)險理論 第2章-個體風(fēng)險模型課件

§第2章個體風(fēng)險模型

本章討論保險人風(fēng)險組合的總索賠額的分布函數(shù)?！斓?章個體風(fēng)險模型

本章討論保險人風(fēng)總索賠（隨機變量的和）的分布要用卷積，因此非常麻煩。常用到均值，方差，矩母函數(shù)，特征函數(shù)，母函數(shù)等。有別于中心極限定理的近似方法。風(fēng)險隨機變量往往不能用純離散和連續(xù)隨機變量來刻畫。因此常用Riemann-Stieltjes積分。2.1引言總索賠（隨機變量的和）的分布要用卷積，因此非常麻煩。常用到均2.2混合分布和風(fēng)險

本節(jié)我們討論保險風(fēng)險的一些實例.由于純離散隨機變量和純連續(xù)隨機變量都不能描述這種風(fēng)險，所以我們必須先拓展分布函數(shù)類．2.2混合分布和風(fēng)險本節(jié)我們討論保險根據(jù)概率論的知識，任何一個分布函數(shù)都滿足根據(jù)概率論的知識，任何一個分布函數(shù)都滿足離散型的隨機變量離散型的隨機變量連續(xù)型的隨機變量連續(xù)型的隨機變量在概率論中所學(xué)到的所有的隨機變量要么為離散型要么為連續(xù)型，幾乎無一例外．然而保險領(lǐng)域卻不總是這樣．許多被用來模擬保險理賠支付的分布函數(shù)有連續(xù)增長的部分，同時也有離散的、正的跳躍部分．

在概率論中所學(xué)到的所有的隨機變量要么為離散型要么為連續(xù)型，幾設(shè)Z代表某個保單的理賠支付，則有三種情況：保單合同無理賠，因此Z=0.保單合同的索賠數(shù)額大于最大的保險金額M，則Z=M.保單合同產(chǎn)生正常的索賠數(shù)額，則0<Z<M.設(shè)Z代表某個保單的理賠支付，則有三種情況：風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型如果假設(shè)X是離散隨機變量，Y是連續(xù)隨機變量，如果假設(shè)X是離散隨機變量，Y是連續(xù)隨機變量，風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型Riemann-Stieltjes積分混合隨機變量的分布對于混合隨機變量其分布為：Riemann-Stieltjes積分對于混合隨機變量其分布風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型因此

假設(shè)理賠支付X=400和X=200的概率分別為0.05和0.15，則有因此假設(shè)理賠支付X=400和X=200的概率分別例2.2.4（有索賠，且索賠額服從指數(shù)分布）假設(shè)風(fēng)險X有如下分布：（1）X的均值是多少？（2）對于風(fēng)險厭惡系數(shù)為a=0.01且具有指數(shù)效用函數(shù)的人，愿意為風(fēng)險X支付的最大保費為多少？例2.2.4（有索賠，且索賠額服從指數(shù)分布）假設(shè)風(fēng)險X有（1）（1）（2）如果被保險人使用的是參數(shù)為a=0.01的指數(shù)效用函數(shù)，則由（1.21）得到最大保費：（2）如果被保險人使用的是參數(shù)為a=0.01的指數(shù)效用風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型同樣的，X可以表示成X=IB，其中I表示理賠支付次數(shù)(0或l),B代表理賠支付．因此，

同樣的，X可以表示成X=IB，其中I表示理賠支付次風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型為求X的分布函數(shù)F，我們有由此得為求X的分布函數(shù)F，我們有由此得風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型利用如下眾所周知的方差分解準(zhǔn)則，形如IB的風(fēng)險方差可以通過給定I,B的條件分布來計算：利用如下眾所周知的方差分解準(zhǔn)則，形如IB的風(fēng)風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型2.3卷積

在個體風(fēng)險模型中，我們感興趣的是多個保單總理賠S的分布：2.3卷積在個體風(fēng)險模型中，我們感首先來計算X+Y的分布函數(shù)：連續(xù)形式的全概率公式首先來計算X+Y的分布函數(shù)：連續(xù)形式的全概率公式其中求和是取遍所有使得的x。其中求和是取遍所有使得的x。如果X和Y是連續(xù)型的，則如果X和Y是連續(xù)型的，則為求X+Y+Z的分布函數(shù)，我們在做卷積運算時所采用的卷積次序無關(guān)緊要n個獨立同分布的隨機變量之和的分布函數(shù)是共同邊際分布F的n重卷積，記為為求X+Y+Z的分布函數(shù)，我們在做卷積運算時所采用的一個集合A的示性函數(shù)定義為

對任意x,X的分布函數(shù)可以表達(dá)為一個集合A的示性函數(shù)定義為對任意x,X的分布函數(shù)可對任意y,Y的分布函數(shù)可以表達(dá)為又，進而有對任意y,Y的分布函數(shù)可以表達(dá)為又應(yīng)用卷積公式得應(yīng)用卷積公式得風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型例2.3.2（離散分布的卷積）例2.3.2（離散分布的卷積）風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型例2.3.3(iid均勻分布的卷積）例2.3.4(泊松分布的卷積)設(shè)和相互獨立．例2.3.3(iid均勻分布的卷積）例2.3.4(泊對一個非負(fù)隨機變量X，其矩母函數(shù)定義為

其中h為某個常數(shù)．因為我們特別要用到矩母函數(shù)在0點附近的小區(qū)間里的取值，所以要求h>0．2.4變換隨機變量的矩母函數(shù)與分布函數(shù)一一對應(yīng)。如果X和Y相互獨立，則對一個非負(fù)隨機變量X，其矩母函數(shù)定義為其中h為某個常數(shù)對于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函數(shù)不存在．但是特征函數(shù)總是存在的．特征函數(shù)定義為利用展開式可以得到隨機變量的特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對應(yīng)。對于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函所以X的k階矩等于概率母函數(shù)（pgf）僅用于取值為自然數(shù)的隨機變量，定義為累積量母函數(shù)（cgf）其定義為所以X的k階矩等于概率母函數(shù)（pgf）僅用于取值為自然數(shù)隨機變量X的偏度定義為其中

隨機變量X的偏度定義為其中累積量母函數(shù)、概率母函數(shù)、特征函數(shù)和矩母函數(shù)之間有如下的關(guān)系：累積量母函數(shù)、概率母函數(shù)、特征函數(shù)和矩母函數(shù)之間有如下的關(guān)系2.5近似分布2.5近似分布這樣，我們就可以用下式來逼近的分布函數(shù)：這樣，我們就可以用下式來逼近的分布函數(shù)：例2.5.3（兩種不同的近似）假設(shè)1000個男性年輕人購買了保險期間為一年的保單．

每個投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0.001，且死亡發(fā)生的理賠支付為1.我們要計算這批保單總的理賠支付至少為4的概率。

例2.5.3（兩種不同的近似）假設(shè)1000個男性年輕人購買風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型由得(3)正態(tài)近似正態(tài)在這種情形下的估計很差！??！由得(3)正態(tài)近似正態(tài)在這種情形下的估計很差?。?！選擇伽瑪分布的理由伽瑪分布包含了常見的一些分布，如指數(shù)分布G(1,β)，卡方分布(k/2,1/2)等。伽瑪分布是不對稱的，右拖尾分布。與保險精算中的風(fēng)險的分布往往具有類似的性質(zhì)。選擇伽瑪分布的理由伽瑪分布包含了常見的一些分布，如指數(shù)分布G密度函數(shù)：矩及偏度：矩母函數(shù)：密度函數(shù)：矩及偏度：矩母函數(shù)：平移伽瑪近似可以表述如下：平移伽瑪近似可以表述如下：風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型=0.01Y~Г（4，0.002)2*0.002Y~χ2(8)=0.01Y~Г（4，0.002)NP近似

對分布函數(shù)作展開，考慮分布的偏性而得到的一種近似的計算方法。等價于，當(dāng)時，NP近似對分布函數(shù)作展開，考慮分布的偏性而得到的一種精確值正態(tài)近似Poisson近似伽瑪平移NP0.018930.00620.018990.02120.0228精確值正態(tài)近似Poisson近似伽瑪平移NP0.018930例2.5.8（用NP近似重新計算例2.5.5）我們用（2.62）決定資本量，以使資本以95％的概率不小于理賠額S:S的95％的分位點為例2.5.8（用NP近似重新計算例2.5.5）我們用（我們對和應(yīng)用（2.63）正態(tài)近似NP伽瑪平移0.00130.0110.010我們對和2.6應(yīng)用：最優(yōu)再保險一個保險人希望對20000份一年期壽險保單尋求一個最佳再保險，這批保單按保險金額可以分為以下三種：2.6應(yīng)用：最優(yōu)再保險一個保險人希保險人希望通過對最佳自留額的選取，即每份保單的最大支付，盡量提高其在業(yè)務(wù)運營中能夠滿足其財務(wù)職責(zé)的概率．一次理賠中扣除自留額以外的剩余部分是由再保險人支付．保險人希望通過對最佳自留額的選取，即每份保單的最大支付，盡量例如，對于1.6的自留額，保險金額為2的某個被保險人死亡，該保險人賠償1.6，再保險人賠償0.4．

收到保費后，保險人持有資金B(yǎng)以應(yīng)付理賠和支付再保險保費．再保險保費是凈保費的120%.

例如，對于1.6的自留額，保險金額為2的某個被保險人死亡首先，置自留額為2，從保險人的角度看，保單是如下分布保險人總的理賠數(shù)額S的均值和方差分別為首先，置自留額為2，從保險人的角度看，保單是如下分布保險人由中心極限定理，我們得到成本超過可用資金B(yǎng)的概率（成本等于S加上再保保費）

由中心極限定理，我們得到成本超過可用資金B(yǎng)的概率（成本等于S當(dāng)自留額界于2和3之間時，這個概率如何?對于給定的資金B(yǎng)如何決定自留額以使保險人不破產(chǎn)的概率達(dá)到最大?當(dāng)自留額界于2和3之間時，這個概率如何?§第2章個體風(fēng)險模型

本章討論保險人風(fēng)險組合的總索賠額的分布函數(shù)?！斓?章個體風(fēng)險模型

本章討論保險人風(fēng)總索賠（隨機變量的和）的分布要用卷積，因此非常麻煩。常用到均值，方差，矩母函數(shù)，特征函數(shù)，母函數(shù)等。有別于中心極限定理的近似方法。風(fēng)險隨機變量往往不能用純離散和連續(xù)隨機變量來刻畫。因此常用Riemann-Stieltjes積分。2.1引言總索賠（隨機變量的和）的分布要用卷積，因此非常麻煩。常用到均2.2混合分布和風(fēng)險

本節(jié)我們討論保險風(fēng)險的一些實例.由于純離散隨機變量和純連續(xù)隨機變量都不能描述這種風(fēng)險，所以我們必須先拓展分布函數(shù)類．2.2混合分布和風(fēng)險本節(jié)我們討論保險根據(jù)概率論的知識，任何一個分布函數(shù)都滿足根據(jù)概率論的知識，任何一個分布函數(shù)都滿足離散型的隨機變量離散型的隨機變量連續(xù)型的隨機變量連續(xù)型的隨機變量在概率論中所學(xué)到的所有的隨機變量要么為離散型要么為連續(xù)型，幾乎無一例外．然而保險領(lǐng)域卻不總是這樣．許多被用來模擬保險理賠支付的分布函數(shù)有連續(xù)增長的部分，同時也有離散的、正的跳躍部分．

在概率論中所學(xué)到的所有的隨機變量要么為離散型要么為連續(xù)型，幾設(shè)Z代表某個保單的理賠支付，則有三種情況：保單合同無理賠，因此Z=0.保單合同的索賠數(shù)額大于最大的保險金額M，則Z=M.保單合同產(chǎn)生正常的索賠數(shù)額，則0<Z<M.設(shè)Z代表某個保單的理賠支付，則有三種情況：風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型如果假設(shè)X是離散隨機變量，Y是連續(xù)隨機變量，如果假設(shè)X是離散隨機變量，Y是連續(xù)隨機變量，風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型Riemann-Stieltjes積分混合隨機變量的分布對于混合隨機變量其分布為：Riemann-Stieltjes積分對于混合隨機變量其分布風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型因此

假設(shè)理賠支付X=400和X=200的概率分別為0.05和0.15，則有因此假設(shè)理賠支付X=400和X=200的概率分別例2.2.4（有索賠，且索賠額服從指數(shù)分布）假設(shè)風(fēng)險X有如下分布：（1）X的均值是多少？（2）對于風(fēng)險厭惡系數(shù)為a=0.01且具有指數(shù)效用函數(shù)的人，愿意為風(fēng)險X支付的最大保費為多少？例2.2.4（有索賠，且索賠額服從指數(shù)分布）假設(shè)風(fēng)險X有（1）（1）（2）如果被保險人使用的是參數(shù)為a=0.01的指數(shù)效用函數(shù)，則由（1.21）得到最大保費：（2）如果被保險人使用的是參數(shù)為a=0.01的指數(shù)效用風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型同樣的，X可以表示成X=IB，其中I表示理賠支付次數(shù)(0或l),B代表理賠支付．因此，

同樣的，X可以表示成X=IB，其中I表示理賠支付次風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型為求X的分布函數(shù)F，我們有由此得為求X的分布函數(shù)F，我們有由此得風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型利用如下眾所周知的方差分解準(zhǔn)則，形如IB的風(fēng)險方差可以通過給定I,B的條件分布來計算：利用如下眾所周知的方差分解準(zhǔn)則，形如IB的風(fēng)風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型2.3卷積

在個體風(fēng)險模型中，我們感興趣的是多個保單總理賠S的分布：2.3卷積在個體風(fēng)險模型中，我們感首先來計算X+Y的分布函數(shù)：連續(xù)形式的全概率公式首先來計算X+Y的分布函數(shù)：連續(xù)形式的全概率公式其中求和是取遍所有使得的x。其中求和是取遍所有使得的x。如果X和Y是連續(xù)型的，則如果X和Y是連續(xù)型的，則為求X+Y+Z的分布函數(shù)，我們在做卷積運算時所采用的卷積次序無關(guān)緊要n個獨立同分布的隨機變量之和的分布函數(shù)是共同邊際分布F的n重卷積，記為為求X+Y+Z的分布函數(shù)，我們在做卷積運算時所采用的一個集合A的示性函數(shù)定義為

對任意x,X的分布函數(shù)可以表達(dá)為一個集合A的示性函數(shù)定義為對任意x,X的分布函數(shù)可對任意y,Y的分布函數(shù)可以表達(dá)為又，進而有對任意y,Y的分布函數(shù)可以表達(dá)為又應(yīng)用卷積公式得應(yīng)用卷積公式得風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型例2.3.2（離散分布的卷積）例2.3.2（離散分布的卷積）風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型例2.3.3(iid均勻分布的卷積）例2.3.4(泊松分布的卷積)設(shè)和相互獨立．例2.3.3(iid均勻分布的卷積）例2.3.4(泊對一個非負(fù)隨機變量X，其矩母函數(shù)定義為

其中h為某個常數(shù)．因為我們特別要用到矩母函數(shù)在0點附近的小區(qū)間里的取值，所以要求h>0．2.4變換隨機變量的矩母函數(shù)與分布函數(shù)一一對應(yīng)。如果X和Y相互獨立，則對一個非負(fù)隨機變量X，其矩母函數(shù)定義為其中h為某個常數(shù)對于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函數(shù)不存在．但是特征函數(shù)總是存在的．特征函數(shù)定義為利用展開式可以得到隨機變量的特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對應(yīng)。對于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函所以X的k階矩等于概率母函數(shù)（pgf）僅用于取值為自然數(shù)的隨機變量，定義為累積量母函數(shù)（cgf）其定義為所以X的k階矩等于概率母函數(shù)（pgf）僅用于取值為自然數(shù)隨機變量X的偏度定義為其中

隨機變量X的偏度定義為其中累積量母函數(shù)、概率母函數(shù)、特征函數(shù)和矩母函數(shù)之間有如下的關(guān)系：累積量母函數(shù)、概率母函數(shù)、特征函數(shù)和矩母函數(shù)之間有如下的關(guān)系2.5近似分布2.5近似分布這樣，我們就可以用下式來逼近的分布函數(shù)：這樣，我們就可以用下式來逼近的分布函數(shù)：例2.5.3（兩種不同的近似）假設(shè)1000個男性年輕人購買了保險期間為一年的保單．

每個投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0.001，且死亡發(fā)生的理賠支付為1.我們要計算這批保單總的理賠支付至少為4的概率。

例2.5.3（兩種不同的近似）假設(shè)1000個男性年輕人購買風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型由得(3)正態(tài)近似正態(tài)在這種情形下的估計很差！??！由得(3)正態(tài)近似正態(tài)在這種情形下的估計很差！?。∵x擇伽瑪分布的理由伽瑪分布包含了常見的一些分布，如指數(shù)分布G(1,β)，卡方分布(k/2,1/2)等。伽瑪分布是不對稱的，右拖尾分布。與保險精算中的風(fēng)險的分布往往具有類似的性質(zhì)。選擇伽瑪分布的理由伽瑪分布包含了常見的一些分布，如指數(shù)分布G密度函數(shù)：矩及偏度：矩母函數(shù)：密度函數(shù)：矩及偏度：矩母函數(shù)：平移伽瑪近似可以表述如下：平移伽瑪近似可以表述如下：風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型風(fēng)險理論第2章_個體風(fēng)險模型=0.01Y~Г（4，0.002)2*0.002Y~χ2(8)=0.01Y~Г（4，0.002)NP近似

對分布函數(shù)作展開，考慮分布的偏性而得到的一種近似的計算方法。等價于，當(dāng)時，NP近似對分布函數(shù)作展開，考慮分布的偏性而得到的一種精確值正態(tài)近似Poisson近似伽瑪平移NP0.018930.00620.018990.02120.0228精確值正態(tài)近似Poisson近