線性代數(shù)習(xí)題集(帶答案)

PAGE100PAGE99第一部分專項同步練習(xí)第一章行列式一、單項選擇題1．下列排列是5階偶排列的是().(A)24315(B)14325(C)41523(D)243512．如果階排列的逆序數(shù)是,則排列的逆序數(shù)是().(A)(B)(C)(D)3.階行列式的展開式中含的項共有()項.(A)0(B)(C)(D)4．().(A)0(B)(C)(D)25.().(A)0(B)(C)(D)26．在函數(shù)中項的系數(shù)是().(A)0(B)(C)(D)27.若，則().(A)4(B)(C)2(D)8．若，則().(A)(B)(C)(D)9．已知4階行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次為,則().(A)0(B)(C)(D)210.若，則中第一行元的代數(shù)余子式的和為().(A)(B)(C)(D)11.若，則中第四行元的余子式的和為().(A)(B)(C)(D)12.等于下列選項中哪個值時，齊次線性方程組有非零解.()(A)(B)(C)(D)二、填空題1.階排列的逆序數(shù)是.2．在六階行列式中項所帶的符號是.3．四階行列式中包含且?guī)д柕捻検?4．若一個階行列式中至少有個元素等于,則這個行列式的值等于.5.行列式.6．行列式.7．行列式.8．如果，則.9．已知某5階行列式的值為5，將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所有元素，則所得的新行列式的值為.10．行列式.11．階行列式.12．已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3,其對應(yīng)的余子式依次為3,2,1，則該行列式的值為.13．設(shè)行列式，為D中第四行元的代數(shù)余子式，則.14．已知，D中第四列元的代數(shù)余子式的和為.15．設(shè)行列式，為的代數(shù)余子式，則，.16．已知行列式，D中第一行元的代數(shù)余子式的和為.17．齊次線性方程組僅有零解的充要條件是.18．若齊次線性方程組有非零解，則=.三、計算題1.;2．；3．解方程；4．；5.()；6.7.；8．;9.;10.11．.四、證明題1．設(shè)，證明：.2．.3．.4．.5．設(shè)兩兩不等，證明的充要條件是.參考答案一．單項選擇題ADACCDABCDBB二．填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;15.;16.;17.;18.三．計算題1．；2.；3.;4.5.;6.;7.;8.;9.;10.;11..四.證明題(略)第二章矩陣一、單項選擇題1.A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。(a)(b)(c)(d)2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足()時，B=C。(a)AB=BA(b)(c)方程組AX=0有非零解(d)B、C可逆3.若為n階方陣，為非零常數(shù)，則()。(a)(b)(c)(d)4.設(shè)為n階方陣，且，則()。(a)中兩行(列)對應(yīng)元素成比例(b)中任意一行為其它行的線性組合(c)中至少有一行元素全為零(d)中必有一行為其它行的線性組合5.設(shè)，為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是()。(a)(b)(c)(d)6.設(shè)為n階方陣,為的伴隨矩陣,則()。(a)(b)(c)(d)7.設(shè)為3階方陣,行列式,為的伴隨矩陣,則行列式()。(a)(b)(c)(d)8.設(shè)，為n階方矩陣,,則下列各式成立的是()。(a)(b)(c)(d)9.設(shè)，均為n階方矩陣,則必有()。(a)(b)(c)(d)10.設(shè)為階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（）。（a）(b)(c)(d)11.如果，則（）。（a）(b)(c)(d)12.已知，則（）。（a）(b)（c）（d）13.設(shè)為同階方陣，為單位矩陣，若，則（）。（a）（b）（c）（d）14.設(shè)為階方陣，且，則（）。（a）經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嚕╞）由，可得（c）當(dāng)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)闀r，有（d）以上（a）、（b）、（c）都不對15.設(shè)為階矩陣，秩，則（）。（a）中階子式不全為零（b）中階數(shù)小于的子式全為零（c）經(jīng)行初等變換可化為（d）為滿秩矩陣16.設(shè)為矩陣，為階可逆矩陣，，則()。(a)秩()>秩()(b)秩()=秩()(c)秩()<秩()(d)秩()與秩()的關(guān)系依而定17.，為n階非零矩陣，且，則秩()和秩()()。(a)有一個等于零(b)都為n(c)都小于n(d)一個小于n，一個等于n18.n階方陣可逆的充分必要條件是()。(a)(b)的列秩為n(c)的每一個行向量都是非零向量(d)伴隨矩陣存在19.n階矩陣可逆的充要條件是()。(a)的每個行向量都是非零向量(b)中任意兩個行向量都不成比例(c)的行向量中有一個向量可由其它向量線性表示(d)對任何n維非零向量，均有二、填空題1.設(shè)為n階方陣,為n階單位陣,且,則行列式_______2.行列式_______3.設(shè)2，則行列式的值為_______4.設(shè)，且已知，則行列式_______5.設(shè)為5階方陣，是其伴隨矩陣，且，則_______6.設(shè)4階方陣的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為_______7.非零矩陣的秩為________8.設(shè)為100階矩陣，且對任何100維非零列向量，均有，則的秩為_______9.若為15階矩陣，則的第4行第8列的元素是_______10.若方陣與相似，則_______11._______12._______三、計算題1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).1)；2)；3),其中；；4),其中；5),其中；2.設(shè)為階對稱陣,且,求.3.已知,求.4.設(shè),,,,求.5.設(shè),求一秩為2的方陣,使.6.設(shè),求非奇異矩陣,使.7.求非奇異矩陣,使為對角陣.1)2)8.已知三階方陣的三個特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為,求矩陣.9.設(shè),求.四、證明題1.設(shè)、均為階非奇異陣,求證可逆.2.設(shè)(為整數(shù)),求證可逆.3.設(shè)為實數(shù),且如果,如果方陣滿足,求證是非奇異陣.4.設(shè)階方陣與中有一個是非奇異的,求證矩陣相似于.5.證明可逆的對稱矩陣的逆也是對稱矩陣.6.證明兩個矩陣和的秩小于這兩個矩陣秩的和.7.證明兩個矩陣乘積的秩不大于這兩個矩陣的秩中較小者.8.證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣.9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.10.證明每一個方陣均可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和。第二章參考答案一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.；10.I；12.0；11..三、1.1）、；2）、；3）、；4）、；5）、.2.0；3.；4.；5.不唯一；6.；7.1）、.2)、；8.；9..第三章向量一、單項選擇題，都是四維列向量，且四階行列式,,則行列式設(shè)為階方陣，且,則（）。設(shè)為階方陣，，則在的個行向量中（）。階方陣可逆的充分必要條件是（）維向量組線性無關(guān)的充分條件是()都不是零向量中任一向量均不能由其它向量線性表示中任意兩個向量都不成比例中有一個部分組線性無關(guān)維向量組線性相關(guān)的充要條件是()中至少有一個零向量中至少有兩個向量成比例中任意兩個向量不成比例中至少有一向量可由其它向量線性表示維向量組線性無關(guān)的充要條件是()使得中任意兩個向量都線性無關(guān)中存在一個向量,它不能被其余向量線性表示中任一部分組線性無關(guān)設(shè)向量組的秩為,則()中至少有一個由個向量組成的部分組線性無關(guān)中存在由個向量組成的部分組線性無關(guān)中由個向量組成的部分組都線性無關(guān)中個數(shù)小于的任意部分組都線性無關(guān)設(shè)均為維向量,那么下列結(jié)論正確的是()若,則線性相關(guān)若對于任意一組不全為零的數(shù),都有,則線性無關(guān)若線性相關(guān),則對任意不全為零的數(shù),都有若,則線性無關(guān)已知向量組線性無關(guān)，則向量組（）線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)若向量可被向量組線性表示，則（）存在一組不全為零的數(shù)使得存在一組全為零的數(shù)使得存在一組數(shù)使得對的表達(dá)式唯一下列說法正確的是（）若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無關(guān)若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無關(guān)若線性相關(guān)，則其中每個向量均可由其余向量線性表示任何個維向量必線性相關(guān)設(shè)是向量組，的線性組合，則=（）設(shè)有向量組，，，，，則該向量組的極大線性無關(guān)組為（）設(shè)，，，，下列正確的是（）二、填空題若，，線性相關(guān)，則t=▁▁▁▁。n維零向量一定線性▁▁▁▁關(guān)。向量線性無關(guān)的充要條件是▁▁▁▁。若線性相關(guān)，則線性▁▁▁▁關(guān)。n維單位向量組一定線性▁▁▁▁。設(shè)向量組的秩為r,則中任意r個▁▁▁▁的向量都是它的極大線性無關(guān)組。設(shè)向量與正交，則▁▁▁▁。正交向量組一定線性▁▁▁▁。若向量組與等價，則的秩與的秩▁▁▁▁。若向量組可由向量組線性表示，則▁▁▁▁。向量組，，的線性關(guān)系是▁▁▁▁。設(shè)n階方陣,則▁▁▁▁.設(shè)，，若是標(biāo)準(zhǔn)正交向量，則x和y的值▁▁▁▁.兩向量線性相關(guān)的充要條件是▁▁▁▁.三、計算題設(shè)，，，，問（1）為何值時，能由唯一地線性表示？（2）為何值時，能由線性表示，但表達(dá)式不唯一？（3）為何值時，不能由線性表示？設(shè)，，，，問：（1）為何值時，不能表示為的線性組合？（2）為何值時，能唯一地表示為的線性組合？求向量組，，，，的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。設(shè)，，，t為何值時線性相關(guān)，t為何值時線性無關(guān)？將向量組，，標(biāo)準(zhǔn)正交化。四、證明題設(shè)，試證線性相關(guān)。設(shè)線性無關(guān)，證明在n為奇數(shù)時線性無關(guān)；在n為偶數(shù)時線性相關(guān)。設(shè)線性相關(guān)，而線性無關(guān)，證明能由線性表示且表示式唯一。設(shè)線性相關(guān)，線性無關(guān)，求證不能由線性表示。證明：向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性組合。設(shè)向量組中，并且每一個都不能由前個向量線性表示，求證線性無關(guān)。證明：如果向量組中有一個部分組線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)。8.設(shè)是線性無關(guān)向量組，證明向量組也線性無關(guān)。第三章向量參考答案單項選擇1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c11.c12.d13.a14.b15.a二、填空題1.52.相關(guān)3.4.相關(guān)5.無關(guān)6.線性無關(guān)7.-18.無關(guān)9.相等10.11.線性無關(guān)12.013.14.對應(yīng)分量成比例三、解答題1.解：設(shè)則對應(yīng)方程組為其系數(shù)行列式（1）當(dāng)時，，方程組有唯一解，所以可由唯一地線性表示;（2）當(dāng)時，方程組的增廣陣，，方程組有無窮多解，所以可由線性表示，但表示式不唯一;（3）當(dāng)時，方程組的增廣陣，，方程組無解，所以不能由線性表示。2.解:以為列構(gòu)造矩陣（1）不能表示為的線性組合；（2）能唯一地表示為的線性組合。3.解：為一個極大無關(guān)組，且,4.解：，當(dāng)時線性相關(guān)，當(dāng)時線性無關(guān)。5.解：先正交化：令==再單位化：，，為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。四、證明題1.證：∵∴∴線性相關(guān)2.證：設(shè)則∵線性無關(guān)∴其系數(shù)行列式=∴當(dāng)n為奇數(shù)時，只能為零，線性無關(guān)；當(dāng)n為偶數(shù)時，可以不全為零，線性相關(guān)。3.證：∵線性相關(guān)∴存在不全為零的數(shù)使得若，則，（）與線性無關(guān)矛盾所以于是∴能由線性表示。設(shè)①②則①-②得∵線性無關(guān)∴∴即表示法唯一4.證：假設(shè)能由線性表示∵線性無關(guān)，∴線性無關(guān)∵線性相關(guān)，∴線性表示，∴能由線性表示，從而線性相關(guān)，矛盾∴不能由線性表示。5.證：必要性設(shè)向量組線性相關(guān)則存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)，則，即至少有一個向量是其余向量的線性組合。充分性設(shè)向量組中至少有一個向量是其余向量的線性組合不妨設(shè)則，所以線性相關(guān)。6.證：用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時，，線性無關(guān)，當(dāng)s=2時，∵不能由線性表示，∴線性無關(guān)，設(shè)s=i-1時，線性無關(guān)則s=i時，假設(shè)線性相關(guān)，線性無關(guān)，可由線性表示，矛盾，所以線性無關(guān)。得證7.證：若向量組中有一部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)（r<s）線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得于是因為0，┈，0不全為零所以線性相關(guān)。8.證：設(shè)則因線性無關(guān)，所以解得所以向量組線性無關(guān)。第四章線性方程組一、單項選擇題1．設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（）(A)(B)(C)(D)2．設(shè)是矩陣，則線性方程組有無窮解的充要條件是（）(A)(B)(C)(D)3．設(shè)是矩陣，非齊次線性方程組的導(dǎo)出組為，若，則（）(A)必有無窮多解(B)必有唯一解(C)必有非零解(D)必有唯一解4．方程組無解的充分條件是（）(A)1(B)2(C)3(D)45．方程組有唯一解的充分條件是（）(A)1(B)2(C)3(D)46．方程組有無窮解的充分條件是（）(A)1(B)2(C)3(D)47．已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解，是導(dǎo)出組的基本解系，為任意常數(shù)，則的通解是（）(A)(B)(C)(D)8．設(shè)為矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）(A)若僅有零解，則有唯一解(B)若有非零解，則有無窮多解(C)若有無窮多解，則僅有零解(D)若有無窮多解，則有非零解9．設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件為（）(A)的列向量線性無關(guān)(B)的列向量線性相關(guān)(C)的行向量線性無關(guān)(D)的行向量線性相關(guān)10．線性方程組（）(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)其導(dǎo)出組只有零解二、填空題1.設(shè)為100階矩陣，且對任意100維的非零列向量，均有，則的秩為.2.線性方程組僅有零解的充分必要條件是.3.設(shè)和均為非齊次線性方程組的解（為常數(shù)），則.4.若線性方程組的導(dǎo)出組與有相同的基礎(chǔ)解系，則.5.若線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則其增廣矩陣的秩為.6.設(shè)矩陣的秩為，則的解向量組的秩為.7.如果階方陣的各行元素之和均為，且，則線性方程組的通解為.8.若元齊次線性方程組有個線性無關(guān)的解向量，則.9.設(shè)，若齊次線性方程組只有零解，則.10.設(shè)，若線性方程組無解，則.11.階方陣，對于，若每個維向量都是解，則.12.設(shè)矩陣的秩為，是非齊次線性方程組的三個不同的解向量，若，則的通解為.13.設(shè)為矩陣，，則有個解，有個線性無關(guān)的解.三、計算題1.已知是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，問是否是該方程組的一個基礎(chǔ)解系？為什么？2.設(shè)，，已知的行向量都是線性方程組的解，試問的四個行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為什么？3.設(shè)四元齊次線性方程組為（Ι）：1）求（Ι）的一個基礎(chǔ)解系2）如果是某齊次線性方程組（II）的通解，問方程組（Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若無，說明理由。4.問為何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮解？在有解時求出全部解（用基礎(chǔ)解系表示全部解）。1）2）5.求一個非齊次線性方程組，使它的全部解為6.設(shè)，求一個矩陣，使得，且。參考答案一、單項選擇題1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空題1.1002.3.14.5.6.77.（為任意實數(shù)）8.09.10.11.012.13.無窮，三、計算題1.是2.不能3.1）2）4.1）當(dāng)時，無解；當(dāng)時有唯一解：；當(dāng)時有無窮多解：2）當(dāng)時，無解；當(dāng)時有唯一解：；當(dāng)時有無窮多解：5.6.第五章特征值與特征向量一、單項選擇題設(shè),則的特征值是()。(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,2設(shè),則的特征值是()。(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,1設(shè)為階方陣,,則()。(a)(b)的特征根都是1(c)(d)一定是對稱陣若分別是方陣的兩個不同的特征值對應(yīng)的特征向量,則也是的特征向量的充分條件是()。(a)(b)(c)(d)若階方陣的特征值相同,則()。(a)(b)(c)與相似(d)與合同設(shè)為階可逆矩陣,是的特征值,則的特征根之一是()。(a)(b)(c)(d)設(shè)2是非奇異陣的一個特征值,則至少有一個特征值等于()。(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/4設(shè)階方陣的每一行元素之和均為,則有一特征值為()。(a)a(b)2a(c)2a+1(d)+1矩陣A的屬于不同特征值的特征向量（）。(a)線性相關(guān)(b)線性無關(guān)(c)兩兩相交(d)其和仍是特征向量是階矩陣與相似的()。(a)充要條件(b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件(d)既不充分也不必要條件階方陣有個不同的特征根是與對角陣相似的()。(a)充要條件(b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件(d)既不充分也不必要條件設(shè)矩陣與相似,則的值分別為()。(a)0,0(b)0,1(c)1,0(d)1,1設(shè)為相似的階方陣,則()。(a)存在非奇異陣,使(b)存在對角陣,使與都相似于(c)存在非奇異陣,使(d)與有相同的特征向量若階方陣與某對角陣相似,則()。(a)(b)有個不同的特征值(c)有個線性無關(guān)的特征向量(d)必為對稱陣若相似于,則()。(a)(b)(c)及與同一對角陣相似(d)和有相同的伴隨矩陣設(shè),則與相似的矩陣是()。(a)(b)(c)(d)下列說法不妥的是（）(a)因為特征向量是非零向量，所以它所對應(yīng)的特征向量非零(b)屬于一個特征值的向量也許只有一個(c)一個特征向量只能屬于一個特征值(d)特征值為零的矩陣未必是零矩陣若，則下列結(jié)論錯誤的是（）(a)(b)(c)存在可逆矩陣，使(d)二、填空題n階零矩陣的全部特征值為_______。設(shè)為n階方陣，且，則的全部特征值為_______。設(shè)為n階方陣，且(m是自然數(shù))，則的特征值為_______。若，則的全部特征值為_______。若方陣與相似，則_______。若n階矩陣有n個相應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量，則_______。設(shè)三階矩陣的特征值分別為-1,0,2,則行列式。設(shè)二階矩陣滿足，則的特征值為。特征值全為1的正交陣必是陣。若四階矩陣相似，的特征值為，則=。若，則，=。三、計算題若階方陣的每一行元素之和都等于,試求的一個特征值及該特征值對應(yīng)的一個特征向量.求非奇異矩陣,使為對角陣.1)2)已知三階方陣的三個特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為,求矩陣.設(shè)，有一個特征向量，求的值，并求出對應(yīng)于的特征值。設(shè)，有一個特征向量，求的值。設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量，求滿足的條件。求正交陣，使為對角陣，其中。設(shè)三階矩陣的特征值為-1,2,5，矩陣，求（1）的特征值；（2）可否對角化，若可對角化求出與相似的對角陣；（3）求.已知矩陣與相似，求；求一個滿足的可逆陣。設(shè),求.四、證明題設(shè)是非奇異陣,是的任一特征根,求證是的一個特征根,并且關(guān)于的特征向量也是關(guān)于的特征向量.設(shè),求證的特征根只能是.設(shè)階方陣與中有一個是非奇異的,求證矩陣相似于.證明:相似矩陣具有相同的特征值.設(shè)n階矩陣，如果，證明：-1是的特征值。設(shè)，證明。設(shè)是n階矩陣分別屬于的特征向量，且，證明不是的特征向量。第五章參考答案一、單項選擇題1.a2.c3.c4.d5.b6.b7.b8.d9.b10.c11.b12.a13.a14.c15.b16.b17.a18.a二、填空題1.02.1,-13.04.0,15.4I6.7.78.1,29.單位10.2411.-17,-12三、計算題1.2.(1)(2)3.4.5.6.7.8.(1)-4,2,-10(2),(3)89.（1）（2）特征值2,2,6；10.四.證明題(略)第六章二次型一、單項選擇題1．階對稱矩陣正定的充分必要條件是（）。存在階陣C，使負(fù)慣性指數(shù)為零各階順序主子式為正2．設(shè)為n階方陣，則下列結(jié)論正確的是（）。A必與一對角陣合同若A的所有順序主子式為正，則A正定若A與正定陣B合同，則A正定若A與一對角陣相似，則A必與一對角陣合同3．設(shè)A為正定矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）。A可逆正定A的所有元素為正任給4．方陣A正定的充要條件是（）。A的各階順序主子式為正；是正定陣；A的所有特征值均大于零；是正定陣。5．下列為二次型的是（）。6．設(shè)A、B為n階方陣，且則A=B的充要條件是（）。，，7．正定二次型的矩陣為A，則()必成立.A的所有順序主子式為非負(fù)數(shù) A的所有特征值為非負(fù)數(shù)A的所有順序主子式大于零 A的所有特征值互不相同8．設(shè)A，B為n階矩陣，若()，則A與B合同..存在n階可逆矩陣且存在n階可逆矩陣，且存在n階正交矩陣，且存在n階方陣，且

9．下列矩陣中，不是二次型矩陣的為（）. 10．下列矩陣中是正定矩陣的為（）11．已知A是一個三階實對稱且正定的矩陣，那么A的特征值可能是（）3，i,－1;2,－1,3;2,i,4;1,3,4二、填空題1.二次型的秩為。2．二次型的矩陣為。3．設(shè)，則二次型的矩陣為。4．若正定，則t的取值范圍是。5．設(shè)A為n階負(fù)定矩陣，則對任何均有。6．任何一個二次型的矩陣都能與一個對角陣。7．設(shè)是正定矩陣，則滿足條件。8．設(shè)實二次型則當(dāng)?shù)娜≈禐開______時，二次型是正定的。9．二次型的負(fù)慣性指數(shù)是__________。10．二次型的矩陣為。三、計算題求一個非退化的線性變換，將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。1）2）2．設(shè)，，求非奇異矩陣C，使。3．用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的滿秩線性變換4．求非奇異矩陣P，使為對角陣.四、證明題已知二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，且的第3列為.(Ⅰ)求矩陣A；（II）證明為正定矩陣，其中為3階單位矩陣.2．設(shè)A、B為同階正定矩陣，，，求證也是正定矩陣。3．設(shè)A,B是同階正定矩陣，試證A＋B也是正定矩陣。第六章參考答案一、單項選擇題1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．二、填空題1.32．3．，4．5．6．合同7．8．9．110．三、計算題1．1）2）2．，3．解：令即則：令即即使4．四、證明題解：由題意A的特征值為1,1,0.且為特征值0的特征血量所以1的特征向量若為時有 解方程即得Q的前2列為， 第二部分歷年期末試題山西財經(jīng)大學(xué)2006—2007學(xué)年第二學(xué)期期末2007級《線性代數(shù)》課程試卷（A）題號一二三四五總分分?jǐn)?shù)評卷人復(fù)核人1、本卷考試形式為閉卷，考試時間為兩小時。2、考生不得將裝訂成冊的試卷拆散，不得將試卷或答題卡帶出考場。3、考生只允許在密封線以外答題，答在密封線以內(nèi)的將不予評分。4、考生答題時一律使用藍(lán)色、黑色鋼筆或圓珠筆（制圖、制表等除外）。5、考生禁止攜帶手機(jī)、耳麥等通訊器材。否則，視為為作弊。6、不可以使用普通計算器等計算工具。一、單項選擇題（共5小題，每題2分，共計10分）二、填空題（共10小題，每題2分，共計20分）三、計算題（一）（共4小題，每題8分，共計32分）四、計算題（二）（共3小題，每題10分，共計30分）五、證明題（共2小題，每題4分，共計8分）本題得分本題得分答題要求：（每題只有一個是符合題目要求的，請將所選項填在題后的括號內(nèi)，錯選、多選或未選均無分）設(shè)n階方陣等價，則必有（）(A)當(dāng)(B)當(dāng)(C)當(dāng)(D)當(dāng)2、設(shè)為同階可逆矩陣，則（）(A)矩陣與等價(B)矩陣與相似(C)矩陣與合同(D)矩陣與可交換3、向量組Ⅰ：；可由向量組Ⅱ：線性表示，則（）(A)當(dāng)時，向量組Ⅱ必線性相關(guān)(B)當(dāng)時，向量組Ⅰ必線性相關(guān)(C)當(dāng)時，向量組Ⅰ必線性相關(guān)(D)當(dāng)時，向量組Ⅱ必線性相關(guān)4、已知和是非奇次線性方程組的兩個不同的解，是對應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組的通解（一般解）為（）(A)(B)(C)(D)5、若方陣，則的特征值為（）(A)1，0，1(B)1，1，2(C)-1，1，2（D）-1，1，1本題得分本題得分答題要求：將正確答案填寫在橫線上1、已知為2維列向量，矩陣，若行列式。2、設(shè)3階方陣則的逆矩陣=。3、設(shè)，矩陣滿足，其中為的伴隨矩陣，為三階單位矩陣，則的行列式=。4、設(shè)是35階矩陣，的秩，而，則。5、已知四階行列式中第二列元素依次為1，2，3，4，其對應(yīng)的余子式依次為4，3，2，1，則該行列式的值為。6、設(shè)三階矩陣，三維列向量，已知線性相關(guān)，則=。7、設(shè)四階矩陣相似于，的特征值為2，3，4，5，為四階單位矩陣，則行列式。8、如果10階方陣的各行元素之和均為0，且，則線性方程組的通解為。9、若方陣與對角陣相似，且，（m為自然數(shù)），則。10、若二次型正定，則的所屬區(qū)間為。本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，解題時應(yīng)寫出文字說明或計算步驟）1、解方程求向量組的一個極大無關(guān)組，并用該極大無關(guān)組表示其余的向量。其中，。3、設(shè)，求的秩。4、求矩陣，使。其中，，。本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，解題時應(yīng)寫出文字說明或計算步驟）1、已知向量，判斷向量能否由向量組線性表示，若能，寫出它的一般表示方式；若不能，請說明理由。2、設(shè)，（1）計算二次型，寫出該二次型所對應(yīng)的矩陣；（2）將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所用的可逆線性變換及變換矩陣。3、設(shè)，如果相似，求（1）的值（2）相應(yīng)的正交矩陣。本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，并寫清證明過程）1、設(shè)為n階方陣，為n階單位矩陣，且。試證：可逆，并求。2、若向量組線性無關(guān)，向量組是否線性相關(guān)？說明其理由。2008—2009學(xué)年第二學(xué)期期末線性代數(shù)課程試卷（A）本題得分本題得分答題要求：（每題只有一個是符合題目要求的，請將所選項填在題后的括號內(nèi)，錯選、多選或未選均無分）行列式的展開式中，的系數(shù)為（）(A)-1(B)2(C)3(D)42．設(shè)為n階非零矩陣，且，則（）(A)(B)(C)(D)3．向量組線性無關(guān)的充要條件是（）(A)向量組不含零向量(B)向量組中任意兩個線性無關(guān)(C)向量不能由向量組線性表出(D)任一組不全為零的數(shù)，都使4．已知四階方陣有特征值0，1，2，3，則方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)為（）(A)1(B)2(C)3(D)45．n階對稱陣為正定矩陣的充分必要條件是（）(A)(B)等價于單位矩陣(C)的特征值都大于0（D）存在n階矩陣，使本題本題得分二、填空題（共10小題，每題2分，共計20分）答題要求：將正確答案填寫在橫線上1．三階行列式的展開式中，前面的符號應(yīng)是。2．設(shè)為中元的代數(shù)余子式，則。3．設(shè)n階矩陣的秩，則的伴隨矩陣的元素之和。4．三階初等矩陣的伴隨矩陣為。5．若非齊次線性方程組有唯一解，則其導(dǎo)出組解的情況是。6．若向量組線性相關(guān)，則向量組的線性關(guān)系是。7．設(shè)矩陣的特征多項式為，則行列式。8．如果n階方陣的各行元素之和均為2，則矩陣必有特征值。9．設(shè)為正交矩陣，則其逆矩陣。10．二次型的正慣性指數(shù)為。本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，解題時應(yīng)寫出文字說明或計算步驟）1．計算n階行列式：2.設(shè),(1)用初等變換法求；（2）將表示為初等矩陣之積。3．設(shè)，，且滿足，求。4．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出可逆的線性變換。本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，解題時應(yīng)寫出文字說明或計算步驟）1．當(dāng)為何值時，方程組有無窮多組解？在有無窮多組解時，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解。判別向量組能否由向量組，線性表出，并求向量組的一個極大無關(guān)組。3．設(shè)求正交矩陣，使為對角矩陣，并寫出相應(yīng)的對角陣。 本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，并寫清證明過程）1．設(shè)n階方陣有不同的特征值，相應(yīng)的特征向量分別是，證明：當(dāng)全不為零時，線性組合不是的特征向量。2.設(shè)n維列向量組線性相關(guān)，為n階方陣，證明：向量組線性相關(guān)。附：《線性代數(shù)》（A卷）答案要點及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題（共5小題，每題2分，共計10分）1．B；2．A；3．D；4．A；5．C.二．填空題（共10小題，每題2分，共計20分）1．負(fù)號；2．1；3．0；4．或；5．唯一解（或只有零解）；6．線性相關(guān)；7．-27；8．2；9．；10．3.三、計算題（一）（共4小題，每題8分，共計32分）1、解：按照第一行展開得到………8分2、解：（1）………2分所以………5分（2）………8分3、解：方法一：由,得到，……2分……5分所以，可逆，=.……8分方法二：由,得到，……2分用初等行變換求……6分所以，可逆，=.……8分4、==………6分令即可逆線性變換為.………8分四、計算題（二）（共3小題，每題10分，共計30分）1、解：由方程組有無窮多組解，所以，故……4分原方程組等價于方程組取，得到特解……7分令，分別代入等價方程組的齊次線性方程組中求得基礎(chǔ)解系為，，方程組的全部解為其中為任意常數(shù)……10分2、解：初等行變換矩陣到行最簡梯矩陣為……6分可得到能由線性表示，且向量組的一個極大無關(guān)組為……10分3、解：………4分得到矩陣的全部特征值為當(dāng)時，由得一個基礎(chǔ)解系正交化,單位化，…7分當(dāng)時，由的一個基礎(chǔ)解將其單位化得………9分則正交陣，，相應(yīng)的對角陣為……10分五、證明題（共2小題，每題4分，共計8分）1、證明：因為而所以不是的特征向量.………4分2、證明：由線性相關(guān)，根據(jù)定義，存在不全為0的，使得，用矩陣左乘等號兩邊得到不全為0，根據(jù)線性相關(guān)的定義得到向量組線性相關(guān).………4分山西財經(jīng)大學(xué)2009—2010學(xué)年第二學(xué)期期末本題得分本題得分答題要求：（每題只有一個是符合題目要求的，請將所選項填在題后的括號內(nèi)，錯選、多選或未選均無分）1.在展開式中，的系數(shù)為（）(A)-1(B)0(C)1(D)22.是m×n矩陣，是m階可逆矩陣，是m階不可逆矩陣，且，則（）(A)的基礎(chǔ)解系由n-m個向量組成(B)的基礎(chǔ)解系由n-r個向量組成(C)的基礎(chǔ)解系由n-m個向量組成(D)的基礎(chǔ)解系由n-r個向量組成3.設(shè)n階矩陣有共同的特征值，且各自有n個線性無關(guān)的特征向量，則（）(A)(B)(C)(D)不一定相似，但4.設(shè)均為n階矩陣，且，其中為n階單位陣，則（）(A)(B)(C)(D)5．設(shè)，則（）(A)合同，且相似(B)不合同，但相似(C)合同，但不相似（D）既不合同，又不相似本題得分本題得分答題要求：將正確答案填寫在橫線上1．已知，則。2．設(shè)，若三階矩陣滿足則的第一行的行向量是。3．已知為n維單位列向量，為的轉(zhuǎn)置，若，則。4．設(shè)分別是屬于實對稱矩陣的兩個互異特征值的特征向量，則。5．設(shè)是四階矩陣，為其伴隨矩陣，是齊次方程組的兩個線性無關(guān)解，則。6．向量組的線性關(guān)系是。7．已知三階非零矩陣的每一列都是方程組的解，則。8．已知三維向量空間的基底為，則向量在此基底下的坐標(biāo)是。9．設(shè)。10．二次型的秩為。本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，解題時應(yīng)寫出文字說明或計算步驟）1．試求行列式的第四行元素的代數(shù)余子式之和.2.設(shè),求.3．設(shè)n階方陣滿足，已知，求矩陣.4．設(shè)二次型中，二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.（1）求的值；（2）用配方法化該二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，解題時應(yīng)寫出文字說明或計算步驟）1．當(dāng)為何值時，方程組無解、有唯一解或有無窮多組解？在有無窮多組解時，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解.2已知向量組，，，，（1）求向量組的秩；（2）求該向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.3．已知矩陣；判斷能否對角化，若可對角化，求正交矩陣，使為對角矩陣，并寫出相應(yīng)的對角矩陣。 本題得分本題得分答題要求：（請將答案寫在指定位置上，并寫清證明過程）1．設(shè)是n階矩陣的屬于特征值的特征向量.證明：也是的特征向量.其中為n階單位矩陣.2.設(shè)n維向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，證明：必可由線性表示.2009—2010學(xué)年第二學(xué)期期末《線性代數(shù)》（A卷）答案要點及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題（共5小題，每題2分，共計10分）1．A；2．B；3．C；4．D；5．C.二．填空題（共10小題，每題2分，共計20分）1．6m；2．(2,0,1)；3．；4．0；5．0；6．線性無關(guān)；7．1；8．1,1,-1；9．1；10．2.三、計算題（一）（共4小題，每題8分，共計32分）1、解：………4分………8分2、解：方法一：………2分所以………8分（2）方法二：………8分3、解：方法一：由,得到，……2分……5分所以，可逆，=.……8分方法二：由,得到，……2分用初等列變換求……6分所以，.……8分4、解：二次型的矩陣根據(jù)題意得到………4分=令，標(biāo)準(zhǔn)形為.………8分四、計算題（二）（共3小題，每題10分，共計30分）1、解：由克萊姆法則當(dāng)時，方程組有唯一解；……2分當(dāng)時有，所以方程組無解；……4分當(dāng)時有，方程組有無窮多組解，原方程組等價于方程組為取，得到特解令，代入等價方程組的齊次線性方程組中求得基礎(chǔ)解系為方程組的全部解為其中為任意常數(shù)……10分2、解：初等行變換矩陣到行最簡梯矩陣為……6分可得向量組的秩為3，向量組的一個極大無關(guān)組為，且……10分3、解：的特征多項式為………3分得到矩陣的全部特征值為當(dāng)時，由得一個基礎(chǔ)解系正交化,單位化，當(dāng)時，由的一個基礎(chǔ)解將其單位化得………8分因此能對角化且正交陣，，相應(yīng)的對角陣為……10分五、證明題（共2小題，每題4分，共計8分）1、證明：因為有根據(jù)特征值和特征向量的定義得也是的特征向量.………4分2、證明：由線性無關(guān)，得到線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以由線性表示，所以必可由線性表示.………4分山西財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院2008-2009學(xué)年第二學(xué)期期末線性代數(shù)課程試卷（A）1、本卷考試形式為閉卷，考試時間為兩小時。2、考生不得將裝訂成冊的試卷拆散，不得將試卷或答題卡帶出考場。3、考生只允許在密封線以外答題，答在密封線以內(nèi)的將不予評分。4、考生答題時一律使用藍(lán)色、黑色鋼筆。5、考生禁止攜帶手機(jī)、耳麥等通訊器材。否則，視為作弊。6、禁止使用電子翻譯工具和字典。客觀題：一、單項選擇題（共10題，每題2分，共20分，1—10題）二、判斷題（共10題，每題1分，共10分，11--20題）主觀題：S1：填空題（共5題，每題2分，共10分）S2：計算題(一)（共3題，每題6分，共18分）S3：計算題(二)（共2題，每題8分，共16分）S4：計算題(三)（共2題，每題10分，共20分）S5：證明題（共1題，每題6分，共6分）第一部分客觀題（共30分）一、單項選擇題（共10小題，每小題2分，共20分）1.若行列式，則等于()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)，是中元素的余子式，則=（）(A)0(B)1(C)2(D)33.設(shè)為階可逆矩陣，則下列各式恒成立的是（）(A)(B)(C)(D)4.初等矩陣滿足（）(A)任兩個之乘積仍是初等矩陣(B)任兩個之和仍是初等矩陣(C)都是可逆矩陣(D)所對應(yīng)的行列式的值為15.下列不是階矩陣可逆的充要條件為（）(A)(B)可以表示成有限個初等陣的乘積(C)伴隨矩陣存在(D)的等價標(biāo)準(zhǔn)型為單位矩陣6.設(shè)為矩陣，為階可逆矩陣，，則()。(A)秩()>秩()(B)秩()=秩()(C)秩()<秩()(D)秩()與秩()的關(guān)系依而定7.如果向量可由向量組線性表示,則下列結(jié)論中正確的是（）(A)存在一組不全為零的數(shù)，使得成立(B)存在一組全為零的數(shù)，使得成立(C)存在一組數(shù)，使得成立(D)對的線性表達(dá)式唯一8.設(shè)是齊次線性方程組的解，是非齊次線性方程組的解，則（）(A)為的解(B)為的解(C)為的解(D)為的解9.設(shè),則的特征值是()。(A)(B)(C)(D)10.若階方陣與某對角陣相似，則()。(A)(B)有個互不相同的特征值(C)有個線性無關(guān)的特征向量(D)必為對稱矩陣二、判斷題（共10小題，每小題1分，共10分）注：正確選擇A,錯誤選擇B.11.設(shè)和為階方陣，則有。（）12.當(dāng)為奇數(shù)時，階反對稱矩陣是奇異矩陣。（）13.設(shè)為同階方陣，，則。（）14.若矩陣有一個階子式，且中有一個含有的階子式等于零，則的秩等于。（）15.若非齊次線性方程組有無窮多解，則其導(dǎo)出組一定有非零解。（）16若向量組線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)。（）17.等價的向量組的秩相等。（）18.設(shè)與都是階正交矩陣，則也是正交矩陣。（）19.矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。（）20.兩個相似的方陣必等價，兩個合同的方陣也必等價。（）第二部分主觀題（共70分）題號得分三、填空題（共5小題，每小題2分，共10分）1．的符號是2．若為3階方陣，為的逆矩陣且，則.3.線性方程組僅有零解的充要條件是.4.已知三階矩陣的特征值為，則.5．實二次型，當(dāng)＝時，其秩為2.。題號得分四、計算題（一）（共3小題，每小題6分，共18分）1.計算4階行列式2.已知向量組線性相關(guān)，求 3.設(shè)，用施密特正交化法將該向量組正交化。題號得分五、計算題（二）（共2小題，每小題8分，共16分）1.設(shè)，，若矩陣滿足，求。2.設(shè)，問為何值時，矩陣能對角化？題號得分六、計算題（三）（共2小題，每小題10分，共20分）1.當(dāng)為何值時，線性方程組有解？在有解的情況下，求其全部解（若有無窮解，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。2.求向量組、、、、的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。題號得分七、證明題（共1小題，每題6分，共計6分）設(shè)和是矩陣的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為和，證明不是的特征向量。山西財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院2009-2010學(xué)年第二學(xué)期期末線性代數(shù)課程試卷（A）及答案本題本題得分一、單項選擇題（共10小題，每題2分，共計20分）答題要求：請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)1.若都是四維列向量，且四階行列式，，則四階行列式(A)m+n(B)-(m+n)(C)n-m(D)m-n2.設(shè)矩陣，則（B）(A)(B)(C)(D)3.若A、B均為非零方陣，且AB=O，則有A、B（D）(A)都可逆(B)至少有一個可逆(C)r(A)=r(B)(D)都不可逆4.下列向量中，可由與線性表示的是（B）(A)(B)(C)(D)5.設(shè)矩陣A滿足O，則（A）(A)A與A+4E同時可逆(B)A+5E一定可逆(C)齊次線性方程組O有非零解(D)A-E一定可逆6.若n階矩陣A的行列式，則A的秩為（D）(A)1(B)0(C)n-1(D)n7.設(shè)A為n階方陣，且，有（C）(A)A中必有兩行（列）元素對應(yīng)成比例(B)A中至少有一行（列）元素全為零(C)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合(D)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合8.設(shè)A為矩陣，則齊次線性方程組AX=O僅有零解的充要條件是（D）(A)A的行向量線性相關(guān)(B)A的列向量線性相關(guān)(C)A的行向量線性無關(guān)(D)A的列向量線性無關(guān)9.可逆矩陣A與矩陣（A）有相同的特征值(A)(B)(C)(D)A+E10.與分別是n階方陣A的屬于特征值的特征向量，若，則與（B）(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)相等(D)正交本題得分本題得分答題要求：判斷正誤，正確選擇A，錯誤選擇B11.若方陣可逆，則也可逆（A）12.設(shè)A、B均為n階方陣，則（B）13.對任意n階方陣（n>1）A與B，都有（B）14.若向量組與等價，則（B）15.若齊次線性方程組AX=O存在基礎(chǔ)解系，則方程組AX=b（b≠0）有無窮多解(B)16.若同階矩陣A與B的秩相等，則A可經(jīng)過有限次的初等變換化成B（A）17.若是方陣A的特征值，則是的特征值（其中為自然數(shù)）（A）18.若n階方陣