【600分考點(diǎn)-700分考法】2020版高考理數(shù)：專題(12)概率與統(tǒng)計(jì)課件

專題十二

概率與統(tǒng)計(jì)專題十二概率與統(tǒng)計(jì)目錄CONTENTS

考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型1考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例4

考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差

考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布32目錄考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型必備知識全面把握核心方法重點(diǎn)突破考法例析成就能力考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型必備知識全面把握必備知識全面把握(1)事件的分類①必然事件：一般地，我們把在條件S

下，一定會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S

的必然事件，簡稱必然事件．如三角形的內(nèi)角和是180°，這個事件是必然事件．②不可能事件：在條件S

下，一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S

的不可能事件，簡稱不可能事件．如拋擲兩次骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)之和大于12，這個事件是不可能事件．確定事件：必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S

的確定事件，簡稱確定事件．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型1．事件的分類及表示方法必備知識全面把握(1)事件的分類考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、5③隨機(jī)事件：在條件S

下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S

的隨機(jī)事件，簡稱隨機(jī)事件．如拋擲一枚骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)為2，這個事件是一個隨機(jī)事件．(2)事件的表示方法確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C……表示．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型1．事件的分類及表示方法5③隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相

2.頻率與概率(1)事件的頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對于給定的隨機(jī)事件A，當(dāng)n很大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率．(3)概率是一個確定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型(1)概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)，它度量該事件發(fā)生的可能性．(2)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事件的頻率不一定相同．(3)頻率是概率的估計(jì)值，在實(shí)際問題中，僅當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時，頻率可近似地看作概率．2.頻率與概率(1)事件的頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)7考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型3．事件間的關(guān)系及運(yùn)算

對立事件是針對兩個事件來說的，是一種特殊的互斥事件．一般地，若兩個事件對立，則這兩個事件一定是互斥事件；若兩個事件互斥，但這兩個事件不一定是對立事件．7考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型3．事件間的關(guān)84．概率的幾個基本性質(zhì)①事件A的概率的取值范圍②必然事件的概率為1，不可能的事件概率為0，隨機(jī)事件的概率在(0，1)范圍內(nèi)．③當(dāng)事件A與事件B互斥時，A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于A發(fā)生的頻數(shù)與B發(fā)生的頻數(shù)之和，從而A∪B發(fā)生的頻率fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)．由此可得概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).④若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝1.再由概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)，其中與事件A互為對立事件的事件B可記為，即P(A)＝1－P().(1（1)概率加法公式的應(yīng)用前提是“事件A與事件B互斥”，否則不能使用．(2)概率公式P(A)＝1－P(B)的應(yīng)用前提是“事件A與事件B互為對立事件”，否則不能使用．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型84．概率的幾個基本性質(zhì)(1（1)概率加法公式的應(yīng)用前提是“9考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型5．古典概型(1)基本事件一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件．所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間．基本事件空間通常用大寫希臘字母Ω表示．(2)基本事件的特點(diǎn)①一次試驗(yàn)中只能出現(xiàn)一個基本事件．②一次試驗(yàn)中的任意兩個基本事件都是互斥的．③任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(3)古典概型的概念及特點(diǎn)具有以下兩個特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型．①：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個．②：每個基本事件發(fā)生的可能性相等．下列三類試驗(yàn)不是古典概型：(1)基本事件個數(shù)有限，但非等可能；(2)基本事件個數(shù)無限，但等可能；(3)基本事件個數(shù)無限，也非等可能．9考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型5．古典概型考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型(4)古典概型的概率公式①在基本事件總數(shù)為n的古典概型中，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個基本事件發(fā)生的概率都是n(1).②如果隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝n(m).對于古典概型，隨機(jī)事件A的概率為考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型(4)古典概型的6．幾何概型幾何概型是基本事件的個數(shù)是無限的，每個基本事件發(fā)生的可能性相等的一個概率模型，這個概率模型的顯著特點(diǎn)是每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)有關(guān)．(1)幾何概型的特點(diǎn)①在一次試驗(yàn)中，基本事件的個數(shù)是無限的．②每個基本事件發(fā)生的可能性相等．(2)幾何概型的概率計(jì)算公式在幾何概型中，隨機(jī)事件A的概率為古典概型與幾何概型的異同名稱古典概型幾何概型相同點(diǎn)每個基本事件發(fā)生的可能性相等不同點(diǎn)基本事件有有限個基本事件有無限個考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型6．幾何概型古典概型與幾何概型的異同名稱古典概型幾何概型相同12核心方法重點(diǎn)突破隨機(jī)事件的頻率與概率的常見題型及解題策略(1)補(bǔ)全或列出頻率分布表：可直接依據(jù)已知條件，逐一計(jì)數(shù)，寫出頻率．(2)由頻率估計(jì)概率：先根據(jù)已知條件計(jì)算所求事件發(fā)生的頻數(shù)，再計(jì)算事件發(fā)生的頻率，最后根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計(jì)概率．(3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值：可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．方法1

概率與頻率關(guān)系的應(yīng)用考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型12核心方法重點(diǎn)突破隨機(jī)事件的頻率與概率的常見題型及解題策13例1[課標(biāo)全國Ⅲ2017·18]某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到了頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型13例1[課標(biāo)全國Ⅲ2017·18]某超市計(jì)劃按月訂購一種14【解】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為(2＋16＋36)/90＝0.6，所以估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值為900，300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為(36＋25＋7＋4)/90＝0.8，因此估計(jì)Y大于零的概率為0.8.【反思】在實(shí)際問題中經(jīng)常以頻率估計(jì)概率，而頻率根據(jù)頻數(shù)除以總數(shù)得到．因此求解本題應(yīng)明確用頻率估計(jì)概率，則概率等于頻數(shù)除以總數(shù)．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型14【解】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)15方法2

求互斥事件與對立事件概率的方法(1)求簡單的互斥事件、對立事件概率的方法首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析出所給的兩個事件是互斥事件，還是對立事件，再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算．(2)求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法①直接法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算．②間接法：運(yùn)用逆向思維(正難則反)，先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()計(jì)算，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解較簡便．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型15方法2求互斥事件與對立事件概率的方法(1)求簡單16例2有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥而不對立的兩個事件是(

)A．至少有1件次品與至多有1件正品B．恰有1件次品與恰有2件正品C．至少有1件次品與至少有1件正品D．至少有1件次品與都是正品【解析】在A中，至少有1件次品與至多有1件正品能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；在B中，恰有1件次品與恰有2件正品不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故B正確；在C中，至少有1件次品與至少有1件正品能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；在D中，至少有1件次品與都是正品是對立事件，故D錯誤．【答案】B考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型16例2有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件17例3經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下表．

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04【解】記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型17例3經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率18方法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.【反思】(1)可轉(zhuǎn)化為等候的人數(shù)為0人、1人和2人的概率和；(2)可轉(zhuǎn)化為等候的人數(shù)為3人、4人和5人及5人以上的概率和，或轉(zhuǎn)化為求其對立事件“至多2人排隊(duì)等候”的概率，再用1減去此概率即為所求概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型例3經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下表．

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.0418方法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對立事件為事19方法3

古典概型及其概率計(jì)算方法(1)求古典概型概率的步驟①判斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事件；②求出總的基本事件的個數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個數(shù)m；③計(jì)算事件A的概率P(A)＝

.考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型19方法3古典概型及其概率計(jì)算方法(1)求古典概型概20對于較為復(fù)雜的古典概型概率問題的處理方法：①轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的概率加法公式求解；②采用間接法，先求事件A的對立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．(2)常用的求基本事件個數(shù)的方法①普通列舉法：把所有的基本事件一一列舉出來，此方法適用于情況相對簡單的試驗(yàn)．②列表法：是列舉法的一種，借助表格，使結(jié)果更清晰明了．③樹狀圖法：逐次記錄試驗(yàn)結(jié)果，適用于進(jìn)行多次的試驗(yàn)．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型20對于較為復(fù)雜的古典概型概率問題的處理方法：考點(diǎn)一隨機(jī)21

例4[江西南昌2018復(fù)習(xí)測試]A，B，C，D四位媽媽相約各帶一個小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動車出行，每輛車只能載一大人和一小孩，其中孩子們都表示不坐自己媽媽的車，則A的小孩坐C媽媽或D媽媽的車的概率是(

)考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型【解析】設(shè)A，B，C，D的小孩分別是a，b，c，d，所有的坐車方式為(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，共9種，其中A的小孩坐C媽媽或D媽媽的車有6種，其概率【能力解法】A的小孩等概率坐B媽媽或D媽媽或C媽媽的車，故選D.【答案】D21例4[江西南昌2018復(fù)習(xí)測試]A，B，C，D四位媽22例5將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是________．【解析】根據(jù)題意，將一顆骰子先后拋擲3次，每次有6種情況，共6×6×6＝216種情況．記至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上為事件A，則其對立事件A為沒有一次出現(xiàn)6點(diǎn)向上．事件A為先后3次拋擲同一顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)都不是6點(diǎn)，有5×5×5＝125種情況，

【反思】利用古典概型求解概率問題時，若某一個事件的概率較難求解或者情況比較復(fù)雜時，則常先求其對立事件的概率，再利用公式求這個事件的概率．一般地，含有“至多”“至少”“不都”型的概率問題，利用對立事件的概率公式較為簡單．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型22例5將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)23例6已知集合M＝{－1，0，1，2}，從集合M中有放回地任取兩元素x，y作為點(diǎn)P的坐標(biāo)．(1)寫出這個試驗(yàn)的所有基本事件，并求出基本事件的個數(shù)；(2)求點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上的概率；(3)求點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝4內(nèi)的概率．【分析】(1)因?yàn)槭怯蟹呕氐厝稳蓚€數(shù)，所以共有4×4＝16種取法，按規(guī)律一一列舉即可；(2)點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上，即橫坐標(biāo)為0或縱坐標(biāo)為0，從總的基本事件中找出此事件包含的基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；(3)找到滿足x2＋y2＜4的點(diǎn)的坐標(biāo)，其個數(shù)與總的基本事件數(shù)之比即為所求事件的概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型23例6已知集合M＝{－1，0，1，2}，從集合M中有放回24【解】(1)“從M中有放回地任取兩元素作為點(diǎn)P的坐標(biāo)”，所有基本事件如表.

yx－1012－1(－1，－1)(－1，0)(－1，1)(－1，2)0(0，－1)(0，0)(0，1)(0，2)1(1，－1)(1，0)(1，1)(1，2)2(2，－1)(2，0)(2，1)(2，2)共有16個基本事件．(2)用事件A表示“點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上”這一事件，則A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(2，0)}，事件A由7個基本事件組成，所以P(A)＝

所以點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上的概率為

(3)用事件B表示“點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝4內(nèi)”這一事件，則B＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，事件B由9個基本事件組成，所以P(B)＝

所以點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝4內(nèi)的概率為.考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型24【解】(1)“從M中有放回地任取兩元素作為點(diǎn)P的坐標(biāo)”，25例7小明準(zhǔn)備到上海參觀世博會博物館，但只需要一名家長陪同前往，爸爸、媽媽都很愿意陪同，于是商定用拋擲硬幣的方法決定由誰陪同．每次擲一枚硬幣，連擲三次．(1)用樹狀圖列舉三次拋擲硬幣的所有結(jié)果．(2)若規(guī)定：有兩次或兩次以上正面向上，由爸爸陪同前往上海；有兩次或兩次以上反面向上，則由媽媽陪同前往上海．分別求由爸爸陪同小明前往上海和由媽媽陪同小明前往上海的概率．【分析】(1)列舉出所有情況即可；(2)由有兩次或兩次以上正面向上的情況占總情況的多少可求得爸爸陪同的概率，由有兩次或兩次以上反面向上的情況占總情況的多少可求得媽媽陪同的概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型25例7小明準(zhǔn)備到上海參觀世博會博物館，但只需要一名家長26【解】(1)列樹狀圖如下：(2)由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，有兩次或兩次以上正面向上包含的基本事件數(shù)為4，∴P(由爸爸陪同前往)＝

有兩次或兩次以上反面向上包含的基本事件數(shù)為4，∴P(由媽媽陪同前往)＝

【反思】對于相對較復(fù)雜的概率問題，列樹狀圖或表格能有效避免列舉不全的情況，使解題思路清晰明了．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型26【解】(1)列樹狀圖如下：(2)由(1)可知，基本事件總27方法4

幾何概型及其概率計(jì)算方法(1)求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法①設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，點(diǎn)落在線段l上的概率；②當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，如扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域測度來計(jì)算概率，且不可用線段代替，這是兩種不同的測度．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型27方法4幾何概型及其概率計(jì)算方法(1)求解與長度、28【解析】由題意知，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，故他只能乘坐8：00或8：30發(fā)的車，當(dāng)小明到達(dá)時間在7：50至8：00，或8：20至8：30時，小明等車時間不超過10分鐘，所以他等車時間不超過10分鐘的概率【答案】B例8某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(

)考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型28【解析】由題意知，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車29考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型29考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型30方法4

幾何概型及其概率計(jì)算方法(2)與面積(體積)有關(guān)的幾何概型①求解與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．②求解與體積有關(guān)的幾何概型的方法對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對立事件求解．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型30方法4幾何概型及其概率計(jì)算方法(2)與面積(體積31【分析】由題意，本題是幾何概型問題．首先求出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω的面積，然后求出事件A所構(gòu)成的區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率計(jì)算公式求值．例10小明家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30至7：30之間把報(bào)紙送到小明家，小明離開家去上班的時間在早上7：00至8：30之間，問小明在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少？考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型31【分析】由題意，本題是幾何概型問題．首先求出試驗(yàn)的全部結(jié)32考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型32考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型33考法例析成就能力

考法1

求隨機(jī)事件的概率

隨機(jī)事件的頻率與概率在高考中主要考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體頻率分布，涉及頻率分布直方圖的概率問題，常用頻率代替概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型33考法例析成就能力考法1求隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事34記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率．【解】舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.例1[課標(biāo)全國Ⅱ2017·19改編]海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型34記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的35【解析】從5支彩筆中任取2支共有10種取法，其中含有紅色彩筆的取法有紅、黃，紅、藍(lán)，紅、綠，紅、紫，共4種．故所求的概率為

故選C.例2[天津2017·3]有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(

)考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型【答案】C考法2

求古典概型的概率35【解析】從5支彩筆中任取2支共有10種取法，其中含有紅色36例3[課標(biāo)全國Ⅱ2016·8]某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(

)考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型【答案】B【解析】此人來到該路口時，正好是紅燈，若至少需要等待15秒，說明此時距紅燈開始時間小于等于25秒．所求概率P＝.故選B.考法3

求幾何概型的概率36例3[課標(biāo)全國Ⅱ2016·8]某路口人行橫道的信號燈考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差必備知識全面把握核心方法重點(diǎn)突破考法例析成就能力考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差必備知識38(3)連續(xù)型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量可以取一個區(qū)間的一切值，那么稱之為連續(xù)型隨機(jī)變量．必備知識全面把握考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差1．離散型隨機(jī)變量的概念(1)隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗(yàn)結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量通常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值我們按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.38(3)連續(xù)型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量可以取一個區(qū)間的一切值39一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱下表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：①pi≥0，i=1,2，…，n；②p1+p2+…pn=1；③P(xi≤X≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj(i<j且i，j∈N*)．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差2．離散型隨機(jī)變量的分布列39一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…40(2)特殊分布列：①兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列是X01P1－pp

則稱這樣的分布列為兩點(diǎn)分布列，兩點(diǎn)分布又稱0－1分布或伯努利分布．若隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能性，且它們的概率之和為1.考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差40(2)特殊分布列：X01P1－pp兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只41②超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，若其中恰有X件次品，

若隨機(jī)變量X滿足：①試驗(yàn)是不放回地抽取n次；②隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)，則該隨機(jī)變量X服從超幾何分布．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差41②超幾何分布若隨機(jī)變量X滿足：①試驗(yàn)是不放423．離散型隨機(jī)變量的期望與方差Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．則稱D(X)＝n(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作σ(X)．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差423．離散型隨機(jī)變量的期望與方差Xx1x2…xi…xnPp43(2)兩點(diǎn)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與方差：①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則②若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則(1)數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為常數(shù))；②E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；③D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))；考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差43(2)兩點(diǎn)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與方差：(1)數(shù)學(xué)期44核心方法重點(diǎn)突破方法1

求離散型隨機(jī)變量的分布列的方法

求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟：第一步，確定X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…)，并明確每個取值代表的意義；第二步，利用概率的有關(guān)知識求出隨機(jī)變量每個取值的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…)；第三步，寫出分布列；第四步，根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)．其中，第二步求出相應(yīng)的概率最關(guān)鍵，在求解時注意計(jì)數(shù)原理、排列組合等知識的應(yīng)用考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差44核心方法重點(diǎn)突破方法1求離散型隨機(jī)變量的分布列45

例1設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列如下.則q為(

)考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差【答案】D45例1設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列如下.則q為46方法2

求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的方法

求數(shù)學(xué)期望與方差的一般步驟：①理解X的意義，寫出X的所有可能取值；②求X取各個值的概率，寫出分布列；③由數(shù)學(xué)期望的定義求E(X)；④由方差的定義求D(X)．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差46方法2求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的方法47例2根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9.求工期延誤天數(shù)Y的均值與方差．降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差47例2根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：m48【解】由已知條件和概率的加法公式得：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列為

Y02610P0.30.40.20.1所以，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.

故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.【反思】求隨機(jī)變量的均值與方差，應(yīng)在準(zhǔn)確列出分布列的前提下，使用期望、方差公式求解．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差48【解】由已知條件和概率的加法公式得：Y02610P0.349方法3

超幾何分布的求解方法

(3)求超幾何分布的均值與方差的方法①列出隨機(jī)變量X的分布列，利用均值與方差的計(jì)算公式直接求解；②利用公式

求解．(1)判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布若隨機(jī)變量X滿足如下條件，則服從超幾何分布：①該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；②隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．(2)求超幾何分布的分布列的步驟第一步：驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差49方法3超幾何分布的求解方法(3)求超幾何分布的50考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差50考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差51方法4

利用數(shù)學(xué)期望和方差進(jìn)行決策的方法

利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的意義在于描述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況．品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個特征量有關(guān)．若E(ξ甲)>E(ξ乙)，在均值意義下，甲優(yōu)于乙；若D(ξ甲)>D(ξ乙)，說明甲的波動大于乙．若E(ξ甲)＝E(ξ乙)，且D(ξ甲)>D(ξ乙)，則乙優(yōu)于甲．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差51方法4利用數(shù)學(xué)期望和方差進(jìn)行決策的方法利用隨機(jī)52

例5[安徽合肥2017第一次教學(xué)質(zhì)檢]某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇．方案甲：員工最多有兩次抽獎機(jī)會，每次抽獎的中獎率均為5(4).第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束．若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎．規(guī)定若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進(jìn)行第二次抽獎；若正面朝上，員工則進(jìn)行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲獎金為0元．方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為

每次中獎均可獲獎金400元．(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列．(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎，哪個方案更劃算？考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差52例5[安徽合肥2017第一次教學(xué)質(zhì)檢]某公司在53考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差53考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差54方法5綜合應(yīng)用概率知識求解離散型隨機(jī)變量的概率問題(1)求解離散型隨機(jī)變量概率的綜合問題，應(yīng)充分利用古典概型的概率公式，互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式，以及對立事件的概率公式等知識．(2)求解離散型隨機(jī)變量取某一值對應(yīng)的概率時，若較難直接求解此概率值，可根據(jù)分布列的性質(zhì)及對立事件的概率公式求此概率．(3)涉及兩個線性隨機(jī)變量之間的關(guān)系時，可利用其隨機(jī)變量的概率、期望、方差性質(zhì)，如η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)等．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差54方法5綜合應(yīng)用概率知識求解離散型隨機(jī)變量的概率問題考55考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差55考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差56考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差56考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差57考法例析成就能力考法1服從兩點(diǎn)分布的離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差

例1[浙江2017·8]已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，則(

)A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差57考法例析成就能力考法1服從兩點(diǎn)分布的離散型隨機(jī)變量的58

例2[山東2017·18]在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．考法2服從超幾何分布的離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差58例2[山東2017·18]在心理學(xué)研究中，常采用59

考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差59考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差60考法3離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的綜合應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差是近幾年高考中主要的概率題型，幾乎每套試題都要考．高考中此考點(diǎn)還經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，且有時還要對數(shù)學(xué)期望與方差的意義給出解釋．另外，由于計(jì)算量較大，考試時要確保計(jì)算正確．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差60考法3離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的綜合應(yīng)61例3[北京2018·17]電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率；(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k＝1，2，3，4，5，6)．寫出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小關(guān)系．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差61例3[北京2018·17]電影公司隨機(jī)收集了電影的有62【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用概率的統(tǒng)計(jì)定義求解；(2)應(yīng)用事件間的關(guān)系“交”“并”“對立”表示所求事件，然后求概率；(3)考查兩點(diǎn)分布的應(yīng)用，分布列與方差的計(jì)算．【解】(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50.故所求概率為2000(50)＝0.025.(2)設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”．故所求概率為

·(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．由題意知P(A)估計(jì)為0.25，P(B)估計(jì)為0.2.故所求概率估計(jì)為0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)＝D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6)．考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差62【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用概率的統(tǒng)計(jì)定義求解；(2)應(yīng)用事件間的考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布必備知識全面把握核心方法重點(diǎn)突破考法例析成就能力考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布必備知識641．條件概率

公式P(B|A)＝既是條件概率的定義，也是條件概率的計(jì)算公式．(1)設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．(2)條件概率的性質(zhì)：①0≤P(B|A)≤1；②若B和C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③必然事件的條件概率是1，不可能事件的條件概率為0.若事件A與B互斥，即A，B不可能同時發(fā)生，則P(B|A)＝0.必備知識全面把握考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布641．條件概率公式P(B|A)＝65(1)(“AB”也可記為“A∩B”)．(2)若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則這些事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(3)若事件A，B相互獨(dú)立，則

也相互獨(dú)立．(4)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)P(B)(P(A)>0)．

互斥事件與獨(dú)立事件的區(qū)別：兩事件互斥是指一個試驗(yàn)中的兩個結(jié)果在一次試驗(yàn)中不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0；兩事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率無影響．2．事件的相互獨(dú)立性考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布65互斥事件與獨(dú)立事件的區(qū)別：兩事件互斥是指一66(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)(各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)必須滿足兩個特征：①每次試驗(yàn)的條件完全相同，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布66(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考點(diǎn)三67(3)二項(xiàng)分布的概念與分布列一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.

此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．于是得到二項(xiàng)分布的分布列如表所示：ξ01…k…nPCn0p0(1－p)nCn1p1(1－p)n－1…Cnkpk(1－p)n－k…Cnnpn(1－p)0考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布67(3)二項(xiàng)分布的概念與分布列ξ01…k…nPCn0p0(68(4)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X~B(n,p)，那么E(X)=np,D（X）=np（1-p）.

判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵：①獨(dú)立性，②重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次．一般地，若試驗(yàn)可以看作是一個只有兩種可能結(jié)果A和A的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布．注意在實(shí)際應(yīng)用中往往出現(xiàn)“較大”“很大”“非常大”“頻率近似等于概率”等字眼，這表明試驗(yàn)可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于二項(xiàng)分布是有放回抽樣，而超幾何分布是不放回抽樣．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布68(4)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立69(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值σ(1)；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．正態(tài)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布69(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)4．正態(tài)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)三條件概70(3)正態(tài)分布的定義及表示若對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝∫abφμ，σ(x)dx(即由直線x＝a，x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．(4)正態(tài)分布的“3σ”原則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布70(3)正態(tài)分布的定義及表示考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)71核心方法重點(diǎn)突破方法1

條件概率的求法

第二步，計(jì)算概率．這里有兩種方法：方法一，直接利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝P（A）(P（AB）)計(jì)算；方法二，對于古典概型，可以利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)來計(jì)算，在這種觀點(diǎn)下，原來的樣本空間Ω縮小為已知的條件事件A，原來的事件B縮小為事件AB，再利用公式

計(jì)算．計(jì)算條件概率時，可按以下步驟進(jìn)行：第一步，判斷是否為條件概率．若題目中出現(xiàn)“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布71核心方法重點(diǎn)突破方法1條件概率的求法計(jì)算條件72

例1

[東北三省三校2018一模]從標(biāo)有1，2，3，4，5的五張卡中，依次抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為(

)考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【答案】B72例1[東北三省三校2018一73

例2將外形相同的球分裝在三個盒子，每盒10個．其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A，3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球．如果第二次取出的是紅球，則試驗(yàn)成功．求試驗(yàn)成功的概率．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布73例2將外形相同的球分裝在三個盒子，每盒10個．74方法2

相互獨(dú)立事件的概率的求法

(1)首先要搞清事件間的關(guān)系，正確區(qū)分“互斥事件”與“對立事件”．當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B相互獨(dú)立時，才有P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)A，B中至少有一個發(fā)生：A∪B.①若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否則不成立．②若A，B相互獨(dú)立（不互斥），則概率的求法如下：方法一：方法二：(3)某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運(yùn)算量，提高準(zhǔn)確率．要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布74方法2相互獨(dú)立事件的概率的求法考點(diǎn)三條件概75

例3將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為，則n的最小值為(

)A．4B．5C．6D．7考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【答案】A75例3將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有76考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布76考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布77方法3

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

解決二項(xiàng)分布的分布列問題一般遵循以下三個步驟：第一步，判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，即若滿足①：一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發(fā)生；②：試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變．第二步，若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，還需要通過古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出試驗(yàn)“成功”和“不成功”的概率．第三步，根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)列出相應(yīng)的分布列．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布77方法3二項(xiàng)分布及其應(yīng)用解決二項(xiàng)分布的分布列問題78【解析】由題知1000粒種子每粒不發(fā)芽的概率為0.1，∴不發(fā)芽的種子數(shù)ξ～B(1000，0.1)，∴1000粒種子中不發(fā)芽的種子數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝1000×0.1＝100(粒)．又∵每粒不發(fā)芽的種子需補(bǔ)種2粒，∴需補(bǔ)種的種子數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2×100＝200.

例6某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(

)A．100B．200C．300D．400考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【答案】B78例6某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1079方法4

正態(tài)分布及其應(yīng)用

在高考中主要考查正態(tài)分布的概率計(jì)算問題，其解決方法如下：第一步，弄清正態(tài)分布的均值；第二步，若均值為μ，則根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得P(X≥μ)＝0.5，P(X≤μ)＝0.5，P(X≤μ＋c)＝P(X≥μ－c)(c>0)等結(jié)論；第三步，根據(jù)這些結(jié)論、題目中所給條件及對稱性，對目標(biāo)概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布79方法4正態(tài)分布及其應(yīng)用在高考中主要考查正態(tài)分布80

例7[貴州貴陽第一中學(xué)2017第五次適應(yīng)性考試]設(shè)隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(1<x≤3)＝0.6827，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為(

)(附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.9973)）A．8426B．8641C．9544D．9973考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布80例7[貴州貴陽第一中學(xué)2017第五次適應(yīng)性考試]81【反思】關(guān)于服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的變量X在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的求法：(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用“正態(tài)曲線的對稱性”和“曲線與x軸之間的面積為1”的性質(zhì)．【解析】由題知，μ＝2，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，∴σ＝1，P(0≤X≤1)＝1/2×(0.9545－0.6827)＝0.1359，∴估計(jì)陰影區(qū)域內(nèi)有10000×(1－0.1359)＝8641個點(diǎn)，故選B.考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【答案】B81【解析】由題知，μ＝2，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682考法例析成就能力考法1

利用條件概率公式求概率問題解決條件概率問題的關(guān)鍵，首先是能夠正確判斷出問題屬于條件概率問題，其次是使用條件概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．計(jì)算條件概率在近幾年高考中也時常出現(xiàn)，難度一般中等偏下．

例1[課標(biāo)全國Ⅱ2014·5]某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6.已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(

)A．0.8

B．0.75

C．0.6

D．0.45【解析】設(shè)“第一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A，“第二天空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件B，則P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由題知，要求的是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，根據(jù)條件概率公式得考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【答案】A82考法例析成就能力考法1利用條件概率公式求概率問83考法2

相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算相互獨(dú)立事件的概率是高考考查的一個重點(diǎn)，是解決復(fù)雜問題的基礎(chǔ)，在高考中主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．

例2[課標(biāo)全國Ⅰ2015·4]投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為(

)A．0.648

B．0.432

C．0.36

D．0.312【解析】由題意，設(shè)P3(2)表示投3次恰好投中2次，P3(3)表示投3次恰好投中3次；則該同學(xué)通過測試的概率為P3(2)＋P3(3)．由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好有k次發(fā)生的概率計(jì)算公式知，該同學(xué)通過測試的概率為P3(2)＋P3(3)＝C320.62·(1－0.6)1＋C330.63(1－0.6)0＝0.648，故選A.【答案】A考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布83考法2相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算相互獨(dú)立事件的概率是84考法3服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差二項(xiàng)分布是一種重要的概率分布，在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛，在高考中是考查的熱點(diǎn)之一．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵是看某一事件是否進(jìn)行了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)是否只有兩種結(jié)果．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率為Cnkpk(1－p)n－k(p為事件A發(fā)生的概率，k＝0，1，2，…，n)，服從二項(xiàng)分布可表示為X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

例4[四川2016·12]同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布84考法3服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差85考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布85考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布86考法4

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率

正態(tài)分布是自然界中常見的一種分布，許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布，這也是高中階段唯一連續(xù)隨機(jī)變量的分布，其中概率計(jì)算是考查的一個熱點(diǎn)．要求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化到已知概率的區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上即可．考點(diǎn)三條件概率、獨(dú)立性試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布86考法4服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率正態(tài)分布是自考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例必備知識全面把握核心方法重點(diǎn)突破考法例析成就能力考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例必備知識全面把握核心方法重點(diǎn)突破88(1)總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．(2)個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體．(3)樣本：從總體中抽取若干個個體進(jìn)行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本．(4)樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．必備知識全面把握(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本．1．總體、個體、樣本、樣本容量的相關(guān)概念2．簡單隨機(jī)抽樣考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例88(1)總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集89①抽簽法(抓鬮法)：把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次(n≤N)，就得到一個容量為n的樣本．用抽簽法從容量為N的總體中抽取一個容量為n的樣本的步驟：第一步，先將總體中的所有個體(共有N個)編號(號碼可以從1到N)；第二步，把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可以用小球、卡片、紙條等制作)；第三步，將這些號簽放在一個容器里攪拌均勻；第四步，每次從中抽取1個號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取n次；第五步：從總體中將與抽到的號簽上的編號一致的個體取出，得到一個容量為n的樣本．

從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本(n≤N)，那么每個個體被抽到的可能性都相等，都等于N(n).(2)特點(diǎn)：①簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體的個體數(shù)；②簡單隨機(jī)抽樣是從地進(jìn)行抽??；③簡單隨機(jī)抽樣是一種抽樣；④簡單隨機(jī)抽樣是一種抽樣．(3)常用的簡單隨機(jī)抽樣方法考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例89①抽簽法(抓鬮法)：把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號90②隨機(jī)數(shù)法隨機(jī)數(shù)法是利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)抽樣，這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法．隨機(jī)數(shù)表是由數(shù)字0，1，2，…，9組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置出現(xiàn)的機(jī)會都是一樣的．用隨機(jī)數(shù)表抽樣的步驟：第一步，將總體中的所有個體編號(每個號碼位數(shù)一致)；第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始數(shù)；第三步，從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到與編號位數(shù)一致的號碼，得到的號碼若不在編