最優(yōu)化單純形法例題講解

例1用單純形法解下列問題:minx1-Ix2+x3sJ.x1+x2-2x3+x4=10,2工1一工2+4工3<8,-x1+2X2-4x3<4,X7-0,7=1,—,4-解：將原問題化成標(biāo)準(zhǔn)形:max-xx+2x2-x3sJ.xi+蘇-2x3+x4=10,2xx-X2+4X3+X5=8,-X1+IX2-4x3+x6=4,X/-0,/=l,...,6.Xl與添加的松弛變量有，益在約束方程組中其系數(shù)列正好構(gòu)成一個3階單位陣，它們可以作為初始基變量，初始基可行解為￥二（0,0,0,10,8,4）T列出初始單純形表，見表1。分量對應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對應(yīng)的基變量作為換出的基變量?！?min（一，）=2=一1o2因此確定2為主元素（表1中以防括號口括起），意味著將以非基變量與去置換基變量與，采取的做法是對約束方程組的系數(shù)增廣矩陣實施初等行變換，將4的系數(shù)列（1,'、，2）t變換成益的系數(shù)列（O,O,l）t,變換之后重新計算檢驗數(shù)。變換結(jié)果見表2。檢驗數(shù)6=3>0,當(dāng)前基可行解仍然不是最優(yōu)解。繼續(xù)“換基”，確定2為主元素，即以非基變量與置換基變量與。變換結(jié)果見表，此時，3個非基變量的檢驗數(shù)都小于O?e=-9/4,os=-3/2,氣=-7/4,表明已求得最優(yōu)解：M=(0,12,5,8,0,0)，去除添加的松弛變量，原問題的最優(yōu)解為：X'=(0,12,5,8)T,最小值為J9例2用大M法求解下列問題：minxi+x2-3x3sJ.xi-2x2+x3<工Z2xi+x2&4巧A3,K-2七=1,xy>0寸=l,?..,3.解引進松弛變量X4、、剩余變量XS和人工變量*6、X7,解下列問題：minxi+x2-3x3+oa4+0x5+M(x6+X7)sJ.x1-2x2：x3+x4=112xi+x2-4x3-X5+x6=3玉-2X3+x7=1Xj嘰j=l,2,...『用單純形法計算如下：表1CLII-3OOMMCR基bXl*3Xi必XiOX411-21OO0MX632I-4O-110MX71⑴O-20OOiCpZj4M1?3MI-M3+6MOMOO由于0,說明表中基可行解不是最優(yōu)解，所以確定為為換入非基變量：以為的系數(shù)列的正分量對應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對應(yīng)的基變量作為換出的基變量。gz=3mln(一，一，一)=1=-

因此確定I為主元素（表1中以防括號口括起），意味著將以非基變量與去置換基變量不，采取的做法是對約束方程組的系數(shù)增廣矩陣實施初等行變換，將占的系數(shù)列（1,2,I）T變換成七的系數(shù)列（0,0,1A，變換之后重新計算檢驗數(shù)。變換結(jié)果見表2。由于0,說明表中當(dāng)前基可行解仍不是最優(yōu)解，所以確定力為換入非基變量：以赴的系數(shù)列的正分量對應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對應(yīng)的基變量作為換出的基變量。因此確定1為主元素，意味著將以非基變量M去置換基變量與，采取的做法是對約束方程組的系數(shù)增廣矩陣實施初等行變換，將Q的系數(shù)列（?2,1,O）T變換成X的系數(shù)列?I,°）L變換之后重新計克檢驗數(shù)。變換結(jié)果見表3。由于只有6<0,表中當(dāng)前基可行解仍不是最優(yōu)解，所以確定必為換入非基變量：乂由于X3的系數(shù)列的正分量只有3,所以確定3為主元素，意味著將以非基變量后去置換基變量Xi，對約束方程組的系數(shù)增廣矩陣實施初等行變換，將力的系數(shù)列（3,0,?2）T變換成七的系數(shù)列（l,0,0）T,變換之后重新計算檢驗數(shù)。變換結(jié)果見表4。得原問題的最優(yōu)解：再=9,《二1，必=4,最小目標(biāo)函數(shù)值為?2。

例3用兩階段法求解卜列問題:max2x1-x^si.x2+x2>2,X1-X1IX[K3,x1,x2>0.解將原問題化成標(biāo)準(zhǔn)形為：min-2X[+x2si.xi+x2-x3=2xi-X2-XA=1xi+x5=3xi，x2--sx5>0第一階段用單純形法求解第一階段的線性規(guī)劃問題:minbx&+x7sJ.X]+X2-X3+,r6=2士一工2一工4+x7=1il=3X”.>0G…，J:Io求解過程見若表1CLOOOOOI1Cb基hxMXl必打M1X62\1-1OO1O1I[i]-1O-1OO10x531OOO1OOC產(chǎn)i3-2O11OOO1X61O[2]-11OI-I0X/11-IO-1OOIO必2OIO11O-1IO-21-1OI20必1Z2O1-1/21/2O1/2-1/2OX3/2IO1/2-IZ2O1/21/2O必3/2OO1/21/21-1/2-1/2OOOOOO2I

因此，第一階段求得最優(yōu)解為(X22,9匕內(nèi)尸=(5,5,O,O,式，基變量為樸M和左，不包含人工變量。第二階段以第一階段的最終單純形表為基礎(chǔ)，除去人工變量工6、M及其系數(shù)列，恢復(fù)目標(biāo)價值向量為C=(2,?l,0,0,0)t,重新計算檢驗數(shù)，維續(xù)迭代，見表2。表2-2IOOOCB基bxlMX4I1/20I-1/2[10O-2必3/21O-1/2-1/2O0XS3/2OO1/21/21C產(chǎn))-5/2OO-1/2-3/2O0X4IO2-11O-2XJ21I-1O0O1O-1⑴01-403-2OOOx420IO1I-231O0OIO1O-110CT4O10O2因此，求得原問題的最優(yōu)解為(玉，七，玉，大4，/),二(3,0,1,2,0)7，最大目標(biāo)函數(shù)值為6&例4用K-r條件求下列問題min/(x1,x2)=(xi-1)2+(x2-2)2sJ.x1+x2-2<0-x1<0-x2<0-x1+x2-1=0解該問題的LagJ"gc函數(shù)是L(Ar,2,x>)=(玉-I)?+(x2-2)e-xi(-xi-.v2+2)->irvi->i3x2+x?—1)由于f人=2(乂]-1)+%—蛔一//言二2(三言二2(三*■2)+4-4+〃故該問遨的KT條件是2(X：-I)-A-A-"=02(x2-2)+4-A3-//=O“Ff+2)=0&XI=OAX2=B4,4,4NO作為K-r點，除滿足上述條件，自然還應(yīng)滿足可行性條件xi+x2-2-0,-x1+x2-1=0X【-0,x2-0為使求解易于進行，從互補松緊條件入手討論：Ie設(shè)X]WQ,x2尹0r4=0由互補松緊條件知4=4=。，由KT條件知2(x,-1)-x/=0,2(X2-2)+//=0再由可行性條件+工-1=0得到*=LW=2,〃=0,但是顯然不滿足可行性X1+W-2-0,故此解舍棄。2。設(shè)4尹o由互補松緊條件知再+i-2=0?再加上可行性條件-占+工-1=0知再=；/2=|，從而由互補松緊條件知4=4=0,將已知值代入易得4=1，M=0,易知這時K-T條件和可行性條件滿足，因而X?=g,I)7'為K-T點。易見/區(qū)，電)和一％(芭,工2)=芯+工2-2為凸函數(shù)，A(xpx2)=-xt+x2-1是線性函數(shù)，所以由定理3.6知X"=(；§)'為全局最優(yōu)解。(力〃彳三)二Ba正定)例5用0.618法求解問題tTnn/(x)=x3-2x+l的近似最優(yōu)解，已知f(x)的單峰區(qū)間為[0,3],要求最后區(qū)間精度￡=0.5。解a=0,b=3,X1=a-0382(6-a)=1.146,/】=/(x1)=0.2131:x2=a^0.618(Z>-a)=1.1854,f2=/(x2)=3.6648:因為力〈力，所以向左搜索，貝Ua=0,6=X2=1854,X2=Xl=LI46,4=力=0.2131：x1=a+0382(6-a)=0.708,f}=/(x1)=-0.0611：因為f\<h，所以向左搜索，則a=0,b=x2=Ll46,X2=Xl=0.7086,/2=f\=-0.06I工:$=a+0.382(6一a)=0.438-f=/(x1)=0.208：因為f\>頃所以向右搜索，則a=0.438,b=*2=1.146,x1=x2=0-7086，力沁f2=-0.06”：x2=a+O.618(b-a)=0.876rf2=f(x?)=0.0798:因為/L〉。人所以向右搜索，貝。a=0.708,h^x2=1.146?X1=X2=0,876,/=/蛔=-0.0798:x=以+0.618(A-a)=0.9787,f。=，(X。)=一0.0199:因為|“〃卜0.438<0.5=￡，所以算法停止，得到?a+A0.708+1.146X0.927o22例6用FR共短梯度法求解問題min/(X)=X；+2夫，要求選取初始點X。=用g。用g。=10V/(X)=八<20r0/5-10a._小+必)=(-2。，J1O,do=_g0=「20(5-10a)2-2(5—20a)2,20,于是/二工。+劭念二da(40y貝I]g工=W(P)=令W/(x°+ado)=1800a-500=0,貝劭二一罕廣二弓M=今旦，Ao=

20,于是/二工。+劭念二da(40y貝I]g工=W(P)=乙】/、4oozl20、250,]20a、2令?JA?f(xI+8/工)=0,KiJoI=-1.于是x?=xI+勺由二(：):則g2=Y/(x2)=0.IIg2II=6<A*故一二”二(；)為所求。例7用外罰函數(shù)法求解：min^(r)=(ri-1)1+xjSJX)-工NO解P(x,Z\/)=(xi-1)2+x；+M[min(0,x2-1)1z“、[Cri-02+xtW-INomiDP(X,A^)=<.)(Xj-1)2+工工+;V/(x2-i),x2-1<0

于是dp于是dpXC==2(x-l)cx.cP2x2,x2>\5x2112x2+2M(x2TXx2<12==O2==Odxidx2最優(yōu)值內(nèi)(M)=IP(KM)==C),尸(=C),尸(x,")T/(x?)=l…，、\)、當(dāng)“一+8時，x^M)-、,x2(M)4,X(M)—X例8用內(nèi)罰函數(shù)法求解:min—(xi+1)3+x2sJ.XI-I>Ox2>O解定義障礙函數(shù)第r*)=蛔(xi一。3-x2+/-寸-、+-l)，12X|-1X2用解析法求minP(x/Q,令竺出生2=L