線性代數(shù)-線性方程組第四章

第四章線性方程組一、非齊次線性方程組的解的存在性m

個(gè)方程，n

個(gè)未知量的非齊次線性方程組(1)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm§1線性方程組的消元法稱為方程組(1)的系數(shù)矩陣為方程組(1)的增廣矩陣A=定義1若非齊次線性方程組(1)有解，則稱該方程組是相容的。否則，則稱不相容。例1解方程組2x1–x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=6解：用消元法2x1–x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=62x1–x2+3x3=14x2–x3=2x2–x3=5r2–2r1r3–r1(2)–2(1)(3)–(1)2x1–x2+x3=13x3=–18x2–x3=5(2)(2)(3)2x1–x2+x3=1x2–x3=5x3=–6r2–4r3r2r2r3(2)–4(3)x1=9x2=–1x3=–6此時(shí)(未知數(shù)的個(gè)數(shù))是方程組的唯一解例2討論方程組是否有解。2x1+x2+x3=2x1+3x2+x3=5x1+x2+5x3=–72x1+3x2–3x3=15解：r(A)=3,r(A)=4初等行變換1對(duì)應(yīng)的方程組化成x1+3x2+x3=5x2–2x3=62x3=–20x1+0x2+0x3=1方程組無(wú)解!例3討論方程組是否有解x1+x2+x3–x4=1x1–x2–x3+x4=02x1–2x2+2x3–2x4=2解r2–r1r(A)=r(A)=2<4(未知量個(gè)數(shù))對(duì)應(yīng)的方程組化成x1–x2+x3–x4=1

–2x3+2x4=–1x1+x3=1+x2+x4有兩個(gè)自由未知量任取r(A)=r(A)=2<4(未知量個(gè)數(shù))得方程組解其中c1,c2

可任意選定x2=c1x4=c2在非齊次線性方程組(1)中，若定理2(1)若r=n

則方程組(1)有唯一組解(2)若r<n

則方程組(1)有無(wú)窮多個(gè)解定理1非齊次線性方程組(1)有解例4討論，，取何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多個(gè)解？x1+2x3=1x1+x23x3=22x1x2+

x3=

解：r2+r1r3–2r1r3+r2(I)=5,3時(shí)，無(wú)解.

(II)=5,=3時(shí),有無(wú)窮多個(gè)解.(III)5時(shí),有唯一解.一、齊次線性方程組有非零解的條件設(shè)有n

元齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(1)簡(jiǎn)記為(2)AX=0方程組(1)總有解。x1=x2=…=xn=0.稱為零解或平凡解?！?齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)若引入向量方程組(1)又可記為x11+x22+…+xnn=0(3)結(jié)論：

1,

2,…,

n線性相關(guān)r(A)<n方程組(1)總有零解：x1=x2=…=xn=0.1.方程組(1)有非零解2.齊次線性方程組(1)有非零解r(A)<n定理1齊次線性方程組(1)，當(dāng)m<n

時(shí)，有非零解推論1(方程個(gè)數(shù)<未知量個(gè)數(shù))推論2齊次線性方程組(1)，當(dāng)m=n

時(shí)，有非零解|A|=0例1:

判定下列齊次線性方程組是否有非零解。(1)x1+2x2+5x3=0x1+3x2–2x3=03x1+7x2+8x3=0x1+4x2–9x3=0解：A=r2–r1r3–3r1r4–r1r1–2r2r(A)=2方程組有非零解進(jìn)一步:還可得：x1=–17x3x2=7x3(2)x1+x2+x3=0x1+2x2+3x3=0x1+3x2+6x3=0解法一：|A|==10所以方程只有唯一的一組零解。r(A)=3方程組無(wú)非零解，只有唯一的一組零解.A=r2–r1r3–r1r3–2r2解法二：二、齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)定義1齊次線性方程組AX=0的解稱為方程組的解向量?？闯梢粋€(gè)列向量，定理2設(shè)X1和X2是齊次線性方程組AX=0的解，(2)

R,

X1仍是AX=0的解。(1)

X1+X2

仍是

AX=0的解則定理3記V={X|AX=0}，則V

是Rn

的一個(gè)子空間，稱為齊次線性方程組AX=0的解空間，方程組

AX=0的基稱為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。對(duì)齊次線性方程組AX=0，(1)若r=n，方程組AX=0只有零解。(2)若r<n，方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有

n–r個(gè)解向量。設(shè)r(A)=r,例2求齊次階梯方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中a11,a22,…,arr

0。解：初等行交換A=0a11a22arr……11……1a11x1+a12x2+…+a1rxr+…+a1nxn=0a22x2+…+a2rxr+…+a2nxn=0...……arrxr+…+arnxn=0對(duì)應(yīng)的方程組經(jīng)初等變換化成同解方程組x1=c1,r+1xr+1+c1,r+2xr+2+…+c1n

xnx2=c2,r+1xr+1+c2,r+2xr+2+…+c2n

xnxr=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+…+crn

xn………………

有n–r

個(gè)自由未知量,…..x

r+1,x

r+2,…,xn,分別令

111依次代入方程組X1=,…,Xn–r

=X2=,顯然：(1)X1,X2,…,X

n–r

線性無(wú)關(guān)。(2)XV,可由X1,X2,…,X

n–r

線性表出方程組解滿足：

x1=c1,r+1xr+1…+c1n

xnx2=c2,r+1xr+1…+c2n

xnxr=cr,r+1xr+1…+crn

xn…………xr+1=xr+1xr+2=xr+2xn=xn…………+…++X=xr+1

X1+xr+2

X2+…+xn–r

Xn–rX1,X2,…,Xn–r一個(gè)基礎(chǔ)解系。AX=0是注：設(shè)方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0am1x1+am2x2+…+amnxn=0…有一個(gè)基礎(chǔ)解系：X1,X2,…,Xn–r

，其中ki

是任意實(shí)數(shù)，X

=k1X1+

k2

X2+…+kn–r

Xn–r(3)則方程組的任一解可表為：(3)

式稱為齊次線性方程組的通解。求解齊次線性方程組x1x2+2x4+x5=0,3x13x2+7x4=0,x1x2+2x3+3x4+2x5=0,2x12x2+2x3+7x43x5=0.例5解：A=r2–3r1r3–r1r4–2r1r2

r3r4–r3r4–2r3121x1

x2

x3

x4

x5(取x2,x5為自由未知量)r1–2r3r2–r3x1

x2

x3

x4

x5121(取x2,x5為自由未知量)對(duì)應(yīng)于方程組x1=x2–7x5x3=–2x5x4=3x5x1

x2

x3

x4

x5121分別令x2=1,x5=0；x2=0,x5=1X2=故方程組的通解為k1X1+k2

X2,k1、k2R。得X1=，三、特征值和特征向量的求法齊次線性方程組(A

–E)X=0有非零解設(shè)A

R

nn，為矩陣A

的一個(gè)特征值，而X為矩陣A

對(duì)應(yīng)于特征值

的一個(gè)特征向量。A

X=

X，有其中X

是非零向量(A

–E)X=0|A

–E|=0A

X=

X即：方程(4)是一個(gè)關(guān)于的n

次多項(xiàng)式方程，稱為

A的特征方程。

的n

次多項(xiàng)式()=|A

–E|，稱為A

的特征多項(xiàng)式。|A

–E|==0(4)–––求矩陣A的特征值，特征向量的過(guò)程(1)由特征方程|A

–E|=0，求出特征值。(2)由(A

–E)X=0，求出非零向量X，注：若齊次線性方程組(A

–E)X=0的基礎(chǔ)解系是

X1,X2,…,Xn–r。X=k1X1+k2X2+…+Kn–rXn–r則對(duì)應(yīng)于的所有特征向量X

可表示成

其中ki

不全為0，i=1,2,…,n–r。即為對(duì)應(yīng)于的特征向量。例6求的特征值和特征向量。解：A有一個(gè)特征單根

1=2二重特征根

2=3=1|A

–E|==(

–2)(

–1)2–––(1)設(shè)A的對(duì)應(yīng)于1=2的特征向量為

X=解方程組(A

–2E)X=0A

–2E=r1

r3r2

+4r1r3

+3r1r3

–

r2r(A–2E)=2<3有一個(gè)自由未知量x3x1=0,x2=0取x3=1得X1=A的對(duì)應(yīng)于

=2的特征向量為其中k10R

X=k1X1=k1(2)對(duì)于2=3=1，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量X=解方程組(A

–E)X=0A

–E=r1

r3r2

+4r1r3

+2r1r3

r2r3

–2r2對(duì)應(yīng)的方程組為x1=–x3x2=–2x3取x3=1,

得X2=A的對(duì)應(yīng)于

=1的特征向量為其中k20R

X=k2例7解：的特征值：例8解：的特征值和特征向量:求實(shí)對(duì)稱矩陣(1)解=0同理，解=0其中：，X1與X2正交。定理4

設(shè)A

Rnn

為實(shí)對(duì)稱陣，則A的特征值全是實(shí)數(shù)，且對(duì)每個(gè)特征值都存在實(shí)的特征向量。定理5

設(shè)ARnn

為實(shí)對(duì)稱陣，則A的不同特征值相應(yīng)的特征向量相互正交。例9證明相似矩陣有相同的特征值設(shè)A~B，存在可逆矩陣

C，使

B=C1AC證明：例10證明n階方陣A與AT有相同的特征值證明：由二、非齊次線性方程組AX=b

的解的結(jié)構(gòu)§3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmm

個(gè)方程，n

個(gè)未知量的非齊次線性方程組方程組(1)的其它形式(2)I)其中：,簡(jiǎn)記為(4)x11+

x22+…+xnn=bII)(3)定理1(1)設(shè)X、Y

是方程組AX=b

的兩個(gè)解，則XY

是齊次線性方程組AX=0

的解。(2)設(shè)X

是方程組AX=b

解，而X0

是AX=0

的解則X+X0

是AX=b

的解。定理2設(shè)X*

是AX=b

的一個(gè)解向量，X

是AX=0的通解，則AX=b的所有解都可以表示成~X=X*

+X~證(1)X

=X*

+X顯然是方程組AX=b

的解。~(2)方程組

AX=b

的任一解都有X

=(XX0)+X0其中XX0是AX=b的解，X0是AX=0的解。注(1)當(dāng)r(A)=r(A)=r<n

時(shí)，X

=X*

+X=X*

+k1X1+k2X2++knrXnr~其中ki

R,i=1,2,…,n–r則：方程AX=b

的通解為AX=