導熱問題的數(shù)值解法

關于導熱問題的數(shù)值解法第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法2§4-0引言求解導熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計算法；(3)實驗法

三種方法的基本求解過程

(1)

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

(2)

數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法3

(3)

實驗法就是在傳熱學基本理論的指導下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法3三種方法的特點

(1)分析法

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；

b局限性很大，對復雜的問題無法求解；

c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見

第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法4(2)

數(shù)值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低(3)實驗法:

是傳熱學的基本研究方法，a適應性不好；

b費用昂貴數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學模擬（MD）第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法5§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想

及內部節(jié)點離散方程的建立1物理問題的數(shù)值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進初場是否第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法6二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，常物性的導熱問題2例題條件第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法7控制方程：是指描寫物理問題的微分方程針對圖示的導熱問題，它的控制方程（即導熱微分方程）為：

其四個邊的邊界條件為三個邊界條件中的一種，三個邊界條件為：第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法8xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，常物性的導熱問題第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法9

用一系列與坐標軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(結點)，節(jié)點的位置用該節(jié)點在兩個方向上的標號m，n表示。

相鄰兩節(jié)點間的距離稱步長。△x,△y

每個節(jié)點都可以看成是以它為中心的一個小區(qū)域的代表把節(jié)點代表的小區(qū)域稱為元體（又叫控制容積）。

第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法104建立離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；(2)多項式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法11第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法12若取上面式右邊的前三項，并將式①和式③相加移項整理即得二階導數(shù)的中心差分：同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數(shù)余項中的ΔX的最低階數(shù)為2第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法13

對于二維穩(wěn)態(tài)導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：其節(jié)點方程為：第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法14(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內能的增量即：單位：第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法15即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝控制體內能的增量注意：上面的公式對內部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法16穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內部節(jié)點：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法17以二維、穩(wěn)態(tài)、有內熱源的導熱問題為例此時：可見：當溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道所以，必須假設相鄰節(jié)點間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法18(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見，節(jié)點越多，假設的分段線性分布越接近真實的溫度布。此時：內熱源：第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法19時：第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法20無內熱源時：變?yōu)椋褐匾f明：所求節(jié)點的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點溫度前的系數(shù)之和。這一結論也適用于邊界節(jié)點。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法214-2邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界節(jié)點與內節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用Φ表示內熱源強度。第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法221.邊界節(jié)點離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法23(2)外部角點xyqw第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法24(3)內部角點xyqw第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法25qw的情況：(1)第二類邊界條件：將，帶入上面各式即可

絕熱或對稱邊界條件？第三類邊界條件：將，帶入上面各式即可

？課堂作業(yè)：將帶入外部角點的溫度離散方程，并化簡到最后的形式(3)輻射邊界條件：或其他第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法262.節(jié)點方程組的求解寫出所有內節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法27直接解法：通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點：所需內存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法28在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點溫度：第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法29判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t時，第三個較好第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法30迭代公式的選擇1）對于常物性導熱問題所組成的差分方程組，迭代公式的選擇應使每一個迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此時，結果一定收斂。這一條件數(shù)學上稱主對角線占優(yōu)（對角占優(yōu)）；

2）采用熱平衡法導出差分方程時，若每一個方程都選用導出該方程中心節(jié)點的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。

第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法314.3非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法

非穩(wěn)態(tài)導熱與問題導熱的主要區(qū)別在于控制方程中多了一個非穩(wěn)態(tài)項，而其中擴散項的離散與穩(wěn)態(tài)導熱的是一樣的，因此，本節(jié)討論的重點在非穩(wěn)態(tài)項的離散以及擴散項離散時所取時間層的不同對計算結果的影響。1.1時間空間區(qū)域的離散化1.非穩(wěn)態(tài)項的離散

以一維非穩(wěn)態(tài)導熱為例討論時間－空間區(qū)域的離散化。如圖所示，x為空間坐標，我們將計算區(qū)域劃分為（N-1）等份，得到N個空間節(jié)點；τ為時間坐標，我們將時間坐標上的計算區(qū)域劃分為（I-1）等份，得到I個時間節(jié)點。從一個時間層到下一個時間層的間隔Δτ成為時間步長。空間網(wǎng)格線與時間網(wǎng)格線的交點，如（n,i）代表了時間－空間區(qū)域中的一個節(jié)點的位置，相應的溫度記為。

第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法321.2非穩(wěn)態(tài)項的離散有三種不同的格式

①向前差分如將函數(shù)t在節(jié)點(n，i＋1)對點(n,i)作泰勒級數(shù)展開，則有于是有同樣，此處符號表示余項中△τ的最低階為一次?？傻迷邳c（n，i）處一階導數(shù)的差分表示式：，此式稱為的向前差分。第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法33②類似的，如將函數(shù)t在節(jié)點(n，i－1)對點(n,i)作泰勒級數(shù)展開，可得的向后差分的表達式③如將函數(shù)t在節(jié)點(n，i－1)及(n,i＋1)處的展開式相加，則可得一階導數(shù)的中心差分表達式在非穩(wěn)態(tài)導熱的數(shù)值計算中，非穩(wěn)態(tài)項的上述三種差分格式都有采用，本書主要采用向前差分的格式，但也簡單介紹了向后差分的格式。第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法342.一維非穩(wěn)態(tài)導熱離散方程的建立2.1內節(jié)點一維非穩(wěn)態(tài)導熱離散方程的建立對于形如式（3－11）所示的一維非穩(wěn)態(tài)導熱方程，如擴散項取中心差分，非穩(wěn)態(tài)項取向前差分，則有

（1）可進一步改寫為（2）

求解非穩(wěn)態(tài)導熱方程就是從已知的初始溫度出發(fā)，根據(jù)邊界條件依次求得各個時間層上的溫度值，有此式可見，一旦i時層上各節(jié)點的溫度已知，可立即算出（i+1）時層上各點的溫度值，而不必聯(lián)立方程，因而該式所代表的計算格式稱為顯示差分格式。顯式的優(yōu)點是計算工作量小，缺點是對時間步長及空間步長有一定的限制，否則會出現(xiàn)不合理的結果。

第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法35如果把式（1）中的擴散項也用（i＋1）時層的值來表示，則有式中已知的是i時層的溫度值，而未知量有3個，因此不能直接由上式立即算出之值，而必須求解（i+1）時層上的一個聯(lián)立方程組才能得出(i+1)時層各節(jié)點的溫度，此種差分格式稱隱式差分格式。從時間－空間坐標系中的節(jié)點（n,i+1）來看，上式的左端是非穩(wěn)態(tài)項的一種向后差分。隱式格式的缺點式計算工作量大，但它對步長沒有限制，不會出現(xiàn)解的振蕩現(xiàn)象。

以上介紹的式泰勒展開法，同樣我們也可以對平板中的一個元體直接應用能量守恒定律及傅立葉定律而導出以上差分方程，而這種方法不受網(wǎng)格是否均分及物性是否為常數(shù)限制，是更一般的方法。下面我們對邊界節(jié)點應用元體熱平衡法建立其離散方程。第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法362.2邊界節(jié)點離散方程的建立

下圖示出了一無限大平板的右面部分，其右側面受到流體的冷卻，對流換熱系數(shù)為h。此時邊界節(jié)點N代表寬度為的元體(圖中陰影部分)。

對該元體應用能量守恒定律可得經(jīng)整理得

（3）

第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法37于是式（3）可寫為式中及分別為網(wǎng)格傅立葉數(shù)及網(wǎng)格畢渥數(shù)。

2.3歸納

把第三類邊界條件下，厚度為2δ的無限大平板的數(shù)值計算問題作一歸納。將計算區(qū)域劃分為N-1等份（N個節(jié)點），節(jié)點1為絕熱的對稱面，節(jié)點N為對流邊界，則與微分形式的數(shù)學描寫相對應的離散形式為第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法38

n=1,2,-------,N-1n=1,2,-------,N這樣從已知的初始溫度出發(fā)，根據(jù)上式可依次求得各個時間層上的溫度值。至于空間步長及時間步長的選擇，原則上步長越小，計算結果越接近于精確解，但所需的計算機內存及計算時間則大大增加。第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章導熱問題的數(shù)值解法393.時間步長與空間步長的關系對顯式差分格式穩(wěn)定性的影響3.1對內節(jié)點顯式差分格式穩(wěn)定性的影響由內節(jié)點顯式差分方程

該式表明，點