九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定練習(xí)新版北師大版

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定練習(xí)新版北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定練習(xí)新版北師大版Page33九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定練習(xí)新版北師大版《第1章菱形的性質(zhì)與判定》一、選擇題1．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（)A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直2．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為24cm，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn),E是AD的中點(diǎn)，連接OE,則線段OE的長(zhǎng)等于(）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm3．如圖，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120cm2,對(duì)角線AC=24cm,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm4．如圖，在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,若增加一個(gè)條件，使?ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是（)A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC5．如圖，菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),連接AE、EF、AF,則△AEF的周長(zhǎng)為()A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm6．如圖,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=2，∠ABC=60°,則BD的長(zhǎng)為(）A．2 B．3 C． D．27．如圖,在菱形ABCD中,AC=8，BD=6，則△ABD的周長(zhǎng)等于(）A．18 B．16 C．15 D．148．某校的校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的正六邊形（邊長(zhǎng)為2。5m）圍成的花壇，如圖中的陰影部分所示,校方先要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形區(qū)域如圖所示,并在新擴(kuò)充的部分種上草坪，則擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)為(）A．20m B．25m C．30m D．35m9．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD,下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°10．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．4二、填空題11．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=10，則菱形ABCD的面積為．12．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，線段AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△CND的周長(zhǎng)是10，則AC的長(zhǎng)為．13．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．14．如圖,將兩張長(zhǎng)為9，寬為3的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的面積有最小值9，那么菱形面積的最大值是．15．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則OE=．16．菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AD,CD邊上的中點(diǎn)，連接EF．若EF=,BD=2，則菱形ABCD的面積為．17．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為．18．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，∠EAF=60°，連接EF,則△AEF的面積最小值是．三、解答題19．已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，連接AE,CF，求證：△ADE≌△CDF．20．如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DF=BE．21．如圖,△ABC≌△ABD,點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接DE．求證:（1）∠CEB=∠CBE；(2）四邊形BCED是菱形．22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，BF∥CE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ECBF是平行四邊形;(2）當(dāng)∠A=30°時(shí),求證:四邊形ECBF是菱形．23．如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，AC與BD相交于點(diǎn)O，連接CD（1）求∠AOD的度數(shù);（2)求證：四邊形ABCD是菱形．24．如圖，在?ABCD中，BC=2AB=4，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)．（1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積．

《第1章菱形的性質(zhì)與判定》參考答案與試題解析一、選擇題1．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（)A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】由菱形的性質(zhì)可得：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直；而平行四邊形的對(duì)角線互相平分；則可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；平行四邊形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分;∴菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相垂直．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意菱形的對(duì)角線互相平分且垂直．2．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為24cm,對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長(zhǎng)等于（）A．3cm B．4cm C．2。5cm D．2cm【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OE是△ABD的中位線,再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OE=AB．【解答】解:∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為24cm，∴AB=24÷4=6cm，∵對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，∴OB=OD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE=AB=×6=3cm．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線互相平分，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120cm2,對(duì)角線AC=24cm,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)．【分析】可定四邊形ABCD為菱形，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，則可求得BD的長(zhǎng)，在Rt△AOB中,利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可求得四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【解答】解:如圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD的四邊相等，∴四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD，S四邊形ABCD=AC?BD，∴×24BD=120，解得BD=10cm，∴OA=12cm，OB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13(cm），∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4×13=52（cm）,故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì),掌握菱形的面積分式是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．4．如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若增加一個(gè)條件，使?ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是(）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC【考點(diǎn)】菱形的判定;平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形的定義和判定定理即可作出判斷．【解答】解：A、根據(jù)菱形的定義可得，當(dāng)AB=AD時(shí)?ABCD是菱形；B、根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判斷，?ABCD是菱形；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,不一定是菱形，命題錯(cuò)誤；D、∠BAC=∠DAC時(shí)，∵?ABCD中,AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=AC，∴?ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命題正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定定理,正確記憶定義和判定定理是關(guān)鍵．5．如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形的角平分線、中線和高；勾股定理．【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABE≌△ADF,然后連接AC可推出△ABC以及△ACD為等邊三角形．根據(jù)等腰三角形三線合一的定理又可推出△AEF是等邊三角形．根據(jù)勾股定理可求出AE的長(zhǎng)繼而求出周長(zhǎng)．【解答】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D，∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),∴BE=DF,在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．連接AC，∵∠B=∠D=60°,∴△ABC與△ACD是等邊三角形，∴AE⊥BC,AF⊥CD（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線重合)，∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形．∴AE=cm，∴周長(zhǎng)是3cm．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)：菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和三角形中位線定理．6．如圖，在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=2，∠ABC=60°，則BD的長(zhǎng)為(）A．2 B．3 C． D．2【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)知AC垂直平分BD，再證出△ABC是正三角形，由三角函數(shù)求出BO,即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD菱形,∴AC⊥BD，BD=2BO,∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形,∴∠BAO=60°，∴BO=sin60°?AB=2×=，∴BD=2．故選:D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形和菱形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟記菱形的對(duì)角線垂直平分，本題難度一般．7．如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6，則△ABD的周長(zhǎng)等于（）A．18 B．16 C．15 D．14【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì),可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而△ABD的周長(zhǎng)．【解答】解：菱形對(duì)角線互相垂直平分，∴BO=OD=3,AO=OC=4,∴AB=5，∴△ABD的周長(zhǎng)等于5+5+6=16，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形面積的計(jì)算，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用,考查了菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．8．某校的校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的正六邊形（邊長(zhǎng)為2。5m)圍成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方先要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形區(qū)域如圖所示，并在新擴(kuò)充的部分種上草坪，則擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)為（）A．20m B．25m C．30m D．35m【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)題意和正六邊形的性質(zhì)得出△BMG是等邊三角形，再根據(jù)正六邊形的邊長(zhǎng)得出BG=GM=2.5m,同理可證出AF=EF=2.5m，再根據(jù)AB=BG+GF+AF，求出AB，從而得出擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)．【解答】解:如圖，∵花壇是由兩個(gè)相同的正六邊形圍成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等邊三角形，∴BG=GM=2。5（m），同理可證:AF=EF=2.5(m)∴AB=BG+GF+AF=2。5×3=7.5（m），∴擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長(zhǎng)為7。5×4=30(m），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，找出等邊三角形．9．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（)A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°【考點(diǎn)】菱形的判定；平移的性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)平移的性質(zhì)得出ABCD，得出四邊形ABCD為平行四邊形,進(jìn)而利用菱形的判定得出答案．【解答】解：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ABCD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，當(dāng)AC=BC時(shí)，平行四邊形ACED是菱形．故選:B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定和菱形的判定，得出ABCD是解題關(guān)鍵．10．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH等于(）A． B． C．5 D．4【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)菱形的面積公式求出即可．【解答】解:∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得:AB==5,∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形ABCD=是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=10，則菱形ABCD的面積為30．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】由在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=10，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半,即可求得答案．【解答】解:∵在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6,BD=10，∴菱形ABCD的面積為:AC?BD=30．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)．注意菱形的面積等于對(duì)角線積的一半．12．如圖,在菱形ABCD中，AB=4，線段AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△CND的周長(zhǎng)是10，則AC的長(zhǎng)為6．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】由菱形性質(zhì)AC=CD=4，根據(jù)中垂線性質(zhì)可得DN=AN,繼而由△CND的周長(zhǎng)是10可得CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=CD=4，∵M(jìn)N垂直平分AD，∴DN=AN，∵△CND的周長(zhǎng)是10，∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10,∴AC=6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì),熟練掌握菱形的四邊相等及中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是關(guān)鍵．13．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．【考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；矩形菱形正方形．【分析】利用菱形的判定方法確定出適當(dāng)?shù)臈l件即可．【解答】解:如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件為：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成為菱形．故答案為：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定,以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，將兩張長(zhǎng)為9,寬為3的矩形紙條交叉,使重疊部分是一個(gè)菱形,容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的面積有最小值9,那么菱形面積的最大值是15．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時(shí)，菱形面積最大，然后根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖,此時(shí)菱形ABCD的面積最大．設(shè)AB=x，EB=9﹣x，AE=3，則由勾股定理得到：32+（9﹣x）2=x2,解得x=5，S最大=5×3=15；故答案為:15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，難度較大,解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的面積最大和最小，然后根據(jù)圖形列方程．15．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=8，BD=6,OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則OE=．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD,OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4,再在Rt△OBC中利用勾股定理計(jì)算出BC=5,然后利用面積法計(jì)算OE的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD,OB=OD=BD=3,OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE?BC=OB?OC，∴OE==．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了勾股定理和三角形面積公式．16．菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，E,F分別是AD，CD邊上的中點(diǎn)，連接EF．若EF=，BD=2，則菱形ABCD的面積為2．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【分析】根據(jù)EF是△ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理求的AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形的面積公式求解．【解答】解：∵E、F分別是AD，CD邊上的中點(diǎn)，即EF是△ACD的中位線，∴AC=2EF=2，則S菱形ABCD=AC?BD=×2×2=2．故答案是:2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理和菱形的面積公式，理解中位線定理求的AC的長(zhǎng)是關(guān)鍵．17．在菱形ABCD中,∠A=30°，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為45°或105°．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】如圖當(dāng)點(diǎn)E在BD右側(cè)時(shí)，求出∠EBD，∠DBC即可解決問題，當(dāng)點(diǎn)E在BD左側(cè)時(shí)，求出∠DBE′即可解決問題．【解答】解：如圖,∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，∠ABC=∠ADC=150°，∴∠DBA=∠DBC=75°，∵ED=EB,∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，當(dāng)點(diǎn)E′在BD右側(cè)時(shí)，∵∠DBE′=30°，∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，∴∠EBC=105°或45°，故答案為105°或45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，考慮問題要全面，屬于中考?？碱}型．18．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°,E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，∠EAF=60°，連接EF，則△AEF的面積最小值是3．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】首先由△ABC是等邊三角形,即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì),可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得△AEF是等邊三角形，當(dāng)AE⊥BC時(shí)得出△AEF的面積最小值即可．【解答】解：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC,∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，,∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF,∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∵當(dāng)AE⊥BC時(shí),AB=4,∴AE=，∴△AEF的面積最小值=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)解答．三、解答題19．已知：如圖，在菱形ABCD中,點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn),連接AE，CF，求證：△ADE≌△CDF．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】由菱形的性質(zhì)得出AD=CD，由中點(diǎn)的定義證出DE=DF，由SAS證明△ADE≌△CDF即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD,∵點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，∴AD=2DF，CD=2DE,∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定、菱形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．20．如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DF=BE．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分∠DAE,CD=BC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC，然后利用HL證明Rt△CDF≌Rt△CBE,即可得出DF=BE．【解答】證明：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD,∴CE=FC,∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF與Rt△CBE中,，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）,∴DF=BE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．同時(shí)考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．21．如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD,連接DE．求證：（1）∠CEB=∠CBE；（2)四邊形BCED是菱形．【考點(diǎn)】菱形的判定；全等三角形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】(1）欲證明∠CEB=∠CBE，只要證明∠CEB=∠ABD,∠CBE=∠ABD即可．(2)先證明四邊形CEDB是平行四邊形，再根據(jù)BC=BD即可判定．【解答】證明;（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE．(2)）∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四邊形CEDB是平行四邊形，∵BC=BD，∴四邊形CEDB是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定等知識(shí),熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，記住平行四邊形、菱形的判定方法，屬于中考?？碱}型．22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AC,AB的中點(diǎn),BF∥CE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ECBF是平行四邊形；(2）當(dāng)∠A=30°時(shí),求證：四邊形ECBF是菱形．【考點(diǎn)】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【分析】(1）利用平行四邊形的判定證明即可；（2）利用菱形的判定證明即可．【解答】證明:(1）∵D，E分別為邊AC，AB的中點(diǎn),∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE,∴四邊形ECBF是平行四邊形．（2)∵∠ACB=90°，∠A=30°，E為AB的中點(diǎn)，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由(1）知，四邊形ECBF是平行四邊形，∴四邊形ECBF是菱形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定與性質(zhì)，利用平行四邊形的判定以及菱形的判定是解題關(guān)鍵．23．如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，AC與BD相交于點(diǎn)O,連接CD（1）求∠AOD的度數(shù);（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【考點(diǎn)】菱形的判定．【分析】(1)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根據(jù)平行