向量方法在高考立體幾何題中的應(yīng)用

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,￡22一,一,0),44UULU(I)證明：MNA(0,0,0),B(1,0,0),P(0,￡22一,一,0),44UULU(I)證明：MN、2.2UUU..2UUir(1n1),0P(07,2),OD設(shè)平面OCD的法向量為n(x,y,z),則n?OP—y2z0即2、.2.2—x—y222z0取z板,解得n(0,4,.2)(央，2)22-、2MN?n(1——472,1)?(0A2)0,向量方法在高考立體幾何題中的應(yīng)用廣東省梅州市五華縣琴江中學(xué)(514400)廖偉山在立體幾何中引入向量后，解題思路更加廣闊，規(guī)律越趨明顯，利用它可為我們處理立體幾何問題提供了新的視角，它是三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題的有效工具。我們要體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想像力。向量方法是解決問題的一種重要方法，坐標(biāo)法是研究向量問題的有力工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示，可以把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，從而溝通了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，并在一定程度上降低空間思維難度。雖然有時計算量較大，但還是能幫學(xué)生較好地從代數(shù)方面入手方便解決立體幾何題，下面結(jié)合2008年各省高考題談向量方法的運用。一，兩條異面直線所成角的向量求法例1安徽卷(18)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC-,4OA底面ABCD,OA2,M為OA的中點，N為BC的中點。(I)證明：直線MN||平面OCD；(n)求異面直線AB與MD所成角的大?。?m)求點C到平面APB的距離。B解：作APCD于點P如圖，分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標(biāo)系22,0),D(y,y,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1

MN//平面OCDunruuuu22(R)設(shè)AB與MD所成的角為，「AB(1Q°)，MD(3亍1)cos一,ABcos一,AB與MD所成角的大小為一33點評：利用向量知識直接套用公式求解，是求解異面直線所成的角常用的方法，要熟練掌握。練習(xí)1:天津卷（19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD點評：利用向量知識直接套用公式求解，是求解異面直線所成的角常用的方法，要熟練掌握。練習(xí)1:天津卷（19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB3,AD2,PA2,PD2v2,PAB60.（I）證明AD平面PAB;（H）求異面直線PC與AD所成的角的大小。二，線面所成角的向量求法例2湖北卷18（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC側(cè)面AABB1.（I）求證：ABBC;（II）若直線AC與平面ABC所成的角為，二面角ABCA的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明證明（I）略解（H）:由（I）知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BBi所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)人8=&則B(0,0,0),A(0,c,0),C(Jb2c2,0,0),A(0,c,a),于是uur—uuirBC(.b2c2,0,0),BA(0,c,a),iiur-3——2uuurAC(Jb2c2,c,0),AA(0,0,a).設(shè)平面A1BC的一個法向量為n(x,y,z),則AA1=a,AC=b,tn?BA1rhn?Bc0/日

,得0cyaz0,0,可取n(0,a,c),于是n?ACac0,AC與n的夾角為銳角,則與互為余角.cossincosn?AC_actn?BA1rhn?Bc0/日

,得0cyaz0,0,可取n(0,a,c),于是n?ACac0,AC與n的夾角為銳角,則與互為余角.cossincosn?AC_acn?|AC|bja2c2BAi?AC[ba]?|ac"所以sin.acb\acac2練習(xí)2:例1第(田)問點評：線面所成的角是通過直線的方向向量和平面的法向量的夾角求得。三，二面角的向量求法例3(全國二19)(本小題滿分12分)如圖，正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi且C〔E3EC。(I)證明：AC平面BED;(H)求二面角ADEB的大小。2AB4，點E在CCi上解：以2AB4，點E在CCi上建立如圖所示直角坐標(biāo)系Dxyz.依題設(shè)，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,i),A(2,0,4).ULLTUULTUJiruurnDE(0,2,i),DB(2,2,0),AC(2,2,4),DA(2,0,4).(I)因為AC?DB0,AC?DE0,故ACBD,ACDE.又DBIDED,所以AC平面DBE.(H)設(shè)向量n(x,y,z),是平面DA〔E的法向量，則nDE,nDA.故2yz0,2x4z0.令yi,WJz2,x4,n(4,i,2).DE,nDA.n,A1C等于二面角ADEB的平面角,n?ACnAC,14~A2n?ACnAC,14~A214所以一面角ADEB的大小為arccos—.42點評：二面角的大小通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。練習(xí)3:陜西卷19（本小題滿分12分）三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為AB1C1,BAC90°,AA平面ABC,A1A73,AB(I)證明：平面AAD平面BCC1B1;(H)求二面角ACC1B的大小。四，點到面的距離的向量求法例4.（北京卷16）如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2,ACB900,APBPAB,PCAC.（I）求證：PCAB;（H）求二面角BAPC的大小;（m）求點C到平面APB的距離。證明（I）略解：（H）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.x則C(0,0,0),A(0,2,0)B(2,0,0).設(shè)P(0,0,t).xQPBAB2衣，t2,P(0,0,2).取AP中點E,連結(jié)BE,CE.ACPC,ABBP,CEAP,BEAP.BEC是二面角BAPC的平面角.uuruurQE(011),EC(0,1,1),EB(2,1,1),EC?EB23cosBEC—ECEB

ECEB而角BAP而角BAPC的大小為arccos(m)QACBCPC,C在平面APB內(nèi)的射影為正AAPB的中心H,且CH的長為點C到平面APB的距離.uuirunr如(H)建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.QBH2HE,222點H的坐標(biāo)為333uuur入222點H的坐標(biāo)為333CH2—?點C到平面APB的距離為仝L.33練習(xí)4:福建卷(18)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中,則面PAD,底面ABCD,側(cè)棱FA=PD=V2,底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點。(I)求證：POL平面ABCD;(H