考研數(shù)學(xué)二真題及答案解析

2021考研數(shù)學(xué)真題及答案解析數(shù)學(xué)(二)一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置上.)(1)當(dāng)x->0時(shí)，「(/-1勸時(shí)/的(A)低階無(wú)窮小. (B)等價(jià)無(wú)窮小. (C)高階無(wú)窮小. (D)同階但非等價(jià)無(wú)窮小.【答案】C.【解析】因?yàn)楫?dāng)x->0時(shí)，］：3'-1辿］=2x(Z-l)~2x7,所以是X，高階無(wú)窮小，正確答案為C.e'7a(2)函數(shù)/(x)=二^'" ，在x=0處\,x=0(A)連續(xù)且取極大值. (B)連續(xù)且取極小值.(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0. (D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0.【答案】D.-1【解析】因?yàn)閘im/(x)=lim =1=/(0),故/(x)在x=0處連續(xù)；xtO x->0x故/'(0)=,，正確答案為D.TOC\o"1-5"\h\z故/'(0)=,，正確答案為D.m?. /(X)—f(0)..Y..ex—X因?yàn)閘im ~上以=hm =hm ——xt。x-0 x-0 x(3)有一圓柱體底面半徑與高隨時(shí)間變化的速率分別為2cm/s,-3cm/s,當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm,高為5cm時(shí)，圓柱體的體積與表面積隨時(shí)間變化的速率分別為(A)125^c/n3Is,AO/rcm2Is.\257ccnv,/s,—40兀cm?/s.TOC\o"1-5"\h\z(C)-lOOzrcw3Is, Is.(D)-100ticth'/s,-40^c/h2/s.【答案】C.dr dh【解析】由題意知，—=2,—=-3,又V=兀戶h,S=2兀rh+2兀戶dt dtdV,,dr2dhdStdr_dh.dr則 =z/rrn 卜兀r—,—=2乃〃—F4Tz—dtdtdtdtdtdtdt當(dāng)r=10,〃=5時(shí)，叱=TOO匹”=40肛選C.dt dt(4)設(shè)函數(shù)/(x)=ax-61nx(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是a(A)(e,+o>). (B)(O,e).(A)(e,+o>). (B)(O,e).(C)(o,-). (D)(i,+oo).e e【答案】A.【解析】令/(x)=or-blnx=0,八%)=a-2,令/，⑴=。有駐點(diǎn)工=2,/[—?=a--i-ln—<0,x a\aJaaTOC\o"1-5"\h\z從而ln2>l,可得2>e,正確答案為A.a a(5)設(shè)函數(shù)/(x)=secx在x=0處的2次泰勒多項(xiàng)式為l+ax+bV,則(A)a=\,b=—. (B)a=\,b=—.2 2a=0,b=—. (D)a=0,b=—.2 2【答案】D.【解析】由小)=/(。)+八。)X+等1+心2)知當(dāng)CX時(shí)/(0)=sec0=1J'(0)=(secxtanx)|x=0=0,/"(0)=(secxtan2x+sec3x)|x=0=1,則/(x)=secx=1+—x2+o(/).故選D.lim^/〃一>8*=1XIn(C)2nn1lim￡/"TQO*k=lInIn(D)I喏/(6)設(shè)函數(shù)/(xj)可微，且/(x+l,1)=x(x+l)2,/(x,x2)lim^/〃一>8*=1XIn(C)2nn1lim￡/"TQO*k=lInIn(D)I喏/(\)dx+dy. (^)dx-dy.(D)-Jy【答案】c.[解析1工解+L/)+e'f；(x+l,e—0x—1 ..將—0x—1 ..將， 分別帶入①②式有y=0 ，=]加,1)+力(1,1)=1,—+2—=2聯(lián)立可得工'(1,1)=0,《(1/)=1，力'(1,1)二/'(1,1)，我+4(1,1)力=力，故正確答案為C.⑺設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，貝啖〃x*x=-2x(x+l)①/Jr(x,x2)+2xf；(x,x2)=4xlnx+2x②【答案】【答案】【解析】由定積分的定義知，將［0,1］分成〃份，取中間點(diǎn)的函數(shù)值，則2k-1]1

2/7即選B.(8)二次型/(X,,X2,X3)=(X1+X2>+(X2+X3)2-(X3-Xj2的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為(A)2,0.【答案】B.【解析】/(演，》2，》3)=(x,+x2)2+(x2+x3)2-(x3—X])2=2x22+2x}x2+2x2x3+2工丙

’011、所以4=121,故特征多項(xiàng)式為10,2-1-1\AE-A\=-1-2-1=(2+1)(2-3)2-1-1A令上式等于零，故特征值為-1,3,0,故該二次型的正慣性指數(shù)為1,負(fù)慣性指數(shù)為1.故應(yīng)選B.⑼設(shè)3階矩陣/=（q,02，。3），5=（自，62,4），若向量組4,。2，%可以由向量組61，0!線性表出，則(A)Ax=0的解均為Bx=0的解.（B）Atx=0的解均為Brx=0的解.Bx=。的解均為Ax=0的解.Brx=0的解均為Atx=0的解.【答案】D.【解析】令Z=（《,%,/），8=（四，4,A），由題％出，。3可由.，夕2,4線性表示，即存在矩陣尸,使得4則當(dāng)8%0=0時(shí),'1 0（10）已知矩陣/=2-1、T2矩陣，則尸，?？梢苑謩e取Atx0=使得4則當(dāng)8%0=0時(shí),'1 0（10）已知矩陣/=2-1、T2矩陣，則尸，?？梢苑謩e取-P1若下三角可逆矩陣尸和上三角可逆矩陣0,使24。為對(duì)角(A)000、100L‘101、013、°o，1(B)2「3(A)000、100L‘101、013、°o，1(B)2「300、-102b‘100、

010、0°，100'(C)2-10「32b’10P013、001,【答案】C.【解析】“1 0(4￡)=2-1<-12‘100、(D)010J3""120-1(00-3、21,0-1100、’10-1-13-210->01-32-6101；、000-1100)p1010->0-5001J(01 00、2-10-32"‘1 00、=(尸,尸),則尸=2-10-32 1

100100010010-1-30001100100100010010-1-30001100100010010000131/、Q,，則2=013.故應(yīng)選C.10二、上.)⑴)o鄧“去=【答案】—.(12)設(shè)函數(shù)y=)>(x)由參數(shù)方程”(12)設(shè)函數(shù)y=)>(x)由參數(shù)方程”x=2d+，+1y=4(t-1)e'+t2In3確定，則式明

dx-一ln3r=0=2【答案】--3【解析】由dy_4相'+2t【解析】由dy_4相'+2td2y(4e'+4tel+2)(2/+1)-(4招'+2f)2e’dx2e'+ldx2(2e'+iy將t=0帶入得dx2(0.2)(13)設(shè)函數(shù)z=￡(工/)由方程(x+l)z+yIne-arctan(2xy)=1確定，則"

dx(0.2)【答案】La 1【解析】方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得z+(x+1)丁—二—2ox zoxl+4xyQz將x=0,y=2帶入原方程得z=l,再將工=0/=2/=1帶入得二=1.

dx71【答案】“cosww32【解析】交換積分次序有/(f)=/?=-,71【答案】“cosww32【解析】交換積分次序有/(f)=/?=-,sin二dx，從而y(14)已知函數(shù)/(f)=J：公J]sin'八廁/'sin]x='"cos---cosy\dy、y)=/ycos，力一『ycosydytCOSU.N,?才1ycQsyy

(15)微分方程V-y=0的通解y=.【答案】y=C]ex+e^Jcos—x+C,sin—(15)微分方程V-y=0的通解y=.【答案】y=C]ex+e^Jcos—x+C,sin—x2 3 2，G,C2,C3gR.【解析】由特征方程分-i=o得4=L4.3=-g士等"故方程通解為y=C}ex+e^xC2cos^-x+C3sin^-x,Ct,C2,C3gR

[2 2,(16)多項(xiàng)式/(x)=x122X1-12x-11中1項(xiàng)的系數(shù)為【答案】-5.【解析】X/(X)=；2XX1-1X-1 11 1-2x2-lx2x21x-11所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的有-x',-4x3,即x3項(xiàng)的系數(shù)為-5.三、解答題(本題共6小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(17)(本題滿分10分)1+[e'dt1求極限lim—% x-?oexsinx【答案】【解析】limx->0【解析】limx->01+Jddt

ex—1isinx-1-ddt——=lim——；—— sinxI。(ex-l)sinx又因?yàn)镴；/力=￡(1+『+0儼)勸=x+$3+O(x3),故(x x'++X4—xi+o(x3))—X--x~+o(x")原式=lim J X

^x2+O(X2)］=lim- =—.XTOX 2(18)(本題滿分12分)XX己知/(x)=_u,求/(x)的凹凸性及漸近線.1+X【答案】凹區(qū)間(-8,-1),(0,+oo),凸區(qū)間(一1,0).斜漸近線是y=x-l,y=-x-1. ，人/u 2【解析】因?yàn)?(x)=F+x ，故x>0,f(x)=X+A-士,x?0 ' (1+x)U+xx<0,f\x)= ,/〃(x)=—_2(1+X『 (I+X)所以x\x\ L .hm—L-L=oo,x=-1x\x\ L .hm—L-L=oo,x=-1是垂直漸近線.x"l+xXXlim—-MO(1+x)xXXlim—X-?F(1+X)xXX=1,lim(^J--1)=-1.IE(l+X)XX=-1,lim(XT+8————1)=一1.斜漸近線是y=x_l,y=-x-I.(1+x)X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,-Foo)r(x)十-+〃x)凹拐點(diǎn)|"|拐點(diǎn)凹凹區(qū)間(f0,-l)，(0,+oo),凸區(qū)間(一1,0).(19)(本題滿分12分)/(x)滿足J=：/-x+C,L為曲線y=f(x)(4<x<9),L的弧長(zhǎng)為s,旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的面積為N,求s和A.…4257TOC\o"1-5"\h\z【答案】 .9f(x\1 I3［解析］中=人工_1,f(x)=-x2-x243 7 3244x1X1, 22—+--F—ax244x1X1, 22—+--F—ax=——曲線的弧長(zhǎng)s=[Ji7戶dr曲面的側(cè)面積a=24aji+v”=_425萬(wàn)"9'3iIi

2-x2)JxH F2dx(20)(本題滿分12分)函數(shù)y=y(x)的微分方程孫'-6y=-6,滿足歹(百)=10,⑴求y(x)；(2)尸為曲線y=y(x)上的一點(diǎn)，曲線y=y(x)在點(diǎn)P的法線在y軸上的截距為人，為使，最

小，求P的坐標(biāo).【答案】⑴^(X)=l+y.(2)p[±l,￡)時(shí)，4有最小值?【解析】(l)y'—?y=—2,.?.y=/xj(--> dx+C=x64+c=1+CxXX X kXJ將歹(0)=10代入，C=L.?(》)=1+土?.(2)設(shè)尸(xj),則過(guò)尸點(diǎn)的切線方程為丫-y=2x5(X-x),法線方程為Y—y= —x)，2xY61令X=0,.?.丫=。=1+§+廠，偶函數(shù)，為此僅考慮(0,+oo)令(/,)=2》5---=0,x=l.??xe(0,l),(Zv.)'<0,Zv>Z).(l)=U;xe(l,+oo),(/J>0, =].?.P(±l，q)時(shí)，/y有最小值..(21)(本題滿分12分)曲線(x?+y2)2=x2-y2(x>0,y>0)與x軸圍成的區(qū)域?yàn)镺,求，節(jié)疝過(guò)y.D【答案】—48【解析】||xydxdy=|JJoj： 廠3sin^cosOdr11114—cos220smOcosOdd421,4—cos-26dcos26016=——cos=——cos32048J_48(22)(本小題滿分12分)‘210、設(shè)矩陣力=120僅有兩個(gè)不同的特征值.若4相似于對(duì)角矩陣，求a,6的值，并求可Jab,逆矩陣P,使p-，尸為對(duì)角矩陣.2-2-