高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)分層課時(shí)作業(yè)-3

一、多選題1.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）,滿足f（x）=《2x-3 ,下列敘述正確的x2-2x+2,Q<x<2是（）A.存在實(shí)數(shù)使關(guān)于x的方程/。）=H有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b.當(dāng)-1<為<.<1時(shí)，恒有/a）>/（/）C.若當(dāng)xw（O,a］時(shí)，f（x）的最小值為1,則ae［l,Q3 _ 3D.若關(guān)于x的方程/（幻=不和〃x）=m的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則山=-；2.已知定義在R上的函數(shù)/（力的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)使得〃x+r）+/x）=O對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱/（x）是回旋函數(shù).給出下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.常值函數(shù)/（x）=a（a*0）為回旋函數(shù)的充要條件是-=-1；B.若y=a*（0<a<l）為回旋函數(shù)，貝卜>1；C.函數(shù)/3）=/不是回旋函數(shù)；D.若〃x）是f=2的回旋函數(shù)，則/（x）在［0,4030］上至少有2015個(gè)零點(diǎn).二、填空題.若二次函數(shù)/（力=奴2+區(qū)+4。工0）的圖像和直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①方程=X一定沒有實(shí)數(shù)根;②若a>0,則不等式/對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立：③若。<0,則必存在實(shí)數(shù)%,使/［/伉）］>/；④若a+/?+c=0,則不等式/對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立：⑤函數(shù)8（》）=奴2一法+。的圖像與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.已知函數(shù)/'（DacR）滿足/（-x）=8-/（4+x）,函數(shù)g（x）=^?,若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象共有12個(gè)交點(diǎn)，記作爪不凹）。=1,2，…,12）,貝IJ（玉+凹）+（憶+%）+?一+（%12+凹2）的值為?.定義區(qū)間(a,b),[a,b],(a,b],[a,切的長(zhǎng)度為d=6-a,多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如：(1,2)U[3,5]的長(zhǎng)度d=(2-l)+(5-3)=3,設(shè)火x)=[x]?{x},g(x)=x-l,其中[x]表示不超過X的最大整數(shù)，{x}=x-|幻，若用d表示不等式貝X)溝(X)解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)時(shí)XC[-2009,2009],d=..已知函數(shù)= 其中常數(shù)a>0,給出下列結(jié)論：|x+a|-a,x<0①/(x)是R上的奇函數(shù)：②當(dāng)aN4時(shí)，/卜-/)2/(力對(duì)任意xwR恒成立；③?/(x)的圖象關(guān)于x="和x=-a對(duì)稱；④若對(duì)w(-oo,-2),川 使得/(大)/(毛)=1,則aw(g,l其中正確的結(jié)論是.(請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào))三、解答題.某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100件時(shí)，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價(jià)就降低0.02元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售商一次訂購量不會(huì)超過600件.(1)設(shè)一次訂購x件，服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為。元，寫出函數(shù)P=f(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)最大？其最大利潤(rùn)是多少？.某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi)..設(shè)函數(shù)/(x)="-tr(a>0且awl).⑴判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若〃1)<0,試判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性.并求使不等式/(丁+戊)+/(4-月<0對(duì)一切xeR恒成立的f的取值范圍；⑶若〃1)="g(x)=〃'+ag—2時(shí)(x)且g(x)在[1，+8)上的最小值為一2,求加的值..已知函數(shù)^(jc)=x2-tzr+l.(1)若對(duì)任意xeR，ae[-l,l],不等式〃x)4g(r)+3恒成立，求f的取值范圍.(2)若存在aw/?,對(duì)任意為4。,+0)),總存在唯一使得/(芭)=@(飛)成立，求。的取值范圍.參考答案:AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)/(-x)=-/(x),利用已知定義域的解析式，可得到對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象分析各選項(xiàng)的正誤，即可確定答案【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，故f(x)在R上的解析式為:2x4-3—x2—2x—2,—2<x<00,x=0x2-2x+2,0<x<2 ,x>22x-3對(duì)8：當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤;對(duì)C：如下圖直線/”y=i,與函數(shù)圖交于

故當(dāng)”X)的最小值為1時(shí)有故C正確f(x)=，-21+2f(x)=—x2.2n—2對(duì)。：f(x)=I時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有X==、x=l+業(yè)、x=l-也;2 6 2 2若使得其與/。)=，"的所有零點(diǎn)之和為0,【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的圖象分析命題是否成立ACD【解析】A.利用回旋函數(shù)的定義即可判斷；B.代入回旋函數(shù)的定義，推得矛盾，判斷選項(xiàng);C.利用回旋函數(shù)的定義，令x=0,則必有f=0,令x=l,則/+3/+1=0,推得矛盾；D.根據(jù)回旋函數(shù)的定義，推得〃x+2)=-2〃x),再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，推得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】A.若/(x)=a,則/(x+f)=a,則。+以=0,解得：t=-1,故A正確；B.若指數(shù)函數(shù)y="(0<a<l)為回旋函數(shù)，貝1]/"+”=0,即d+r=O,則，<0,故B不正確；C.若函數(shù)〃x)=x2是回旋函數(shù)，則(x+r)2+tr2=0,對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，令x=0,則必有/=0,令x=l,則產(chǎn)+3r+l=0,顯然r=0不是方程的解，故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)，故C正確；D.若〃x)是f=2的回旋函數(shù)，則〃x+2)+2/(x)=0,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，即有/(x+2)=-2/(x),則/(x+2)與/(x)異號(hào)，由零點(diǎn)存在性定理得，在區(qū)間(x,x+2)上必有一個(gè)零點(diǎn)，可令x=0,2,4,...2015X2,則函數(shù)/(x)在[0,4030]上至少存在2015個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查以新定義為背景，判斷函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查對(duì)定義的理解，應(yīng)用，屬于中檔題型..①②④⑤【分析】函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以/(x)>x(a>0)或/(x)<x(a<0)恒成立.因?yàn)?l/(x)]>/(x)>x或/"(x)]</(x)<x恒成立，然后再逐一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù).f(x)的圖像與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以/(x)>x(a>0)或/(x)<x(a<0)恒成立.因?yàn)?[/(.?)]>/(x)>x或f[f(x)]<f(x)<x恒成立，所以/"(x)]沒有實(shí)數(shù)根，故①正確；若。>0,則不等式/"(外]>/。)>》對(duì)一切實(shí)數(shù)》都成立，故②正確：若a<0,則不等式/"(x)]<x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，所以不存在實(shí)數(shù)%,使/[/(*]>與,故③錯(cuò)誤；若a+b+c=O,則/'(IhOvl,可得a<0,因此不等式/[/(x)]<x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，故④正確：由函數(shù)g(x)=/(-X)與f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以g(x)和直線y=-x也一定沒有交點(diǎn).故⑤正確，故答案為:①②④.72【分析】考慮“力、g(x)的對(duì)稱中心，根據(jù)對(duì)稱性確定交點(diǎn)間的關(guān)系，由此計(jì)算待求式子

的值.【詳解】因?yàn)?(r)+〃4+x)=8,所以/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,4)成中心對(duì)稱，又因?yàn)間(x)+gg(x)+g(4-x卜4x+3?19-4x8(x-2)=8,所以g(x)也關(guān)于點(diǎn)(2,4)成中心對(duì)稱,所以/(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(2,4)成中心對(duì)稱，不妨認(rèn)為所以有:::二:二二：百二，所以&+乂)+%)+…+(菁2+%)=4x6+8X6=72.%十，12一,2十y1一…一券十%—0【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，難度較難.若函數(shù)"X)滿足/(力-同+/(力=力，則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱..2011【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)/U)=[x]x-[xF，對(duì)不等式兀1忌。)分類討論，求出解集而得.【詳解】/(x)=[x]?{x}=[x]?(jc-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-l,7(x)>^(x)=>[x]x-[x]2>x-l,BP([x]-l)x>[x]2-l,當(dāng)XG[O,1)時(shí)，[x]=0,上式可化為WL/.xe[0,1)；當(dāng)xG[l,2)時(shí)，[幻=1,上式可化為OK),.*.xe[l,2)；當(dāng)xG[2,2009]時(shí)，[x]-l>0,上式可化為位[x]+l,而K[x]+L；.xG0；當(dāng)xG[-2019,0)時(shí)，[出<0,上式可化為￡[幻+1恒成立,/.xGt-2009,0)；?\/(x)%(x)在-2009W爛2009時(shí)的解集為[-2009,2),故"=2011.故答案為：2011【點(diǎn)睛】解決問題的關(guān)鍵是讀懂取整函數(shù)田的意義及符號(hào){x}=x-[幻的意義..①②【分析】作出fM的圖象，由圖象對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.當(dāng)吐f(x)=2a-x,當(dāng)-a<x<a時(shí)，f(x)=x,當(dāng)x<-a時(shí)，f(x)=-2a-x,由圖易知①正確，③錯(cuò)誤；y=f(x-a2)的圖象是由y=f(x)向右平移/個(gè)單位，故可得②正確；對(duì)于④主要需注意求/(%)，/(9)范圍，考慮在0附近的值以及臨界值的取舍.{2a-x,x>ax-a<x<a,其圖象如下圖所示，-2a-x,x<-a由于圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；

-.-a>4-.-a>4時(shí)，a2>4a,故可得y=f(x-a2的圖象是由y=/(x)向右平移個(gè)單位,故可得②正確;觀察圖可知③錯(cuò)誤;對(duì)于④：當(dāng)一°4-2,即a>2時(shí)%+8),/(々)6[-％+8),故當(dāng)/(^)從負(fù)方向接近于0時(shí)，/(%)不滿足題意，當(dāng)-2<-a<-l,即lvav2時(shí),/(^)e(2-2a,+oo),/(x2)e^Oj+oo),同上可知不滿足題意，當(dāng)-”>一1,即a<\時(shí),/(xl)e(2-2a,+oo),/(x2)6(l-2a,+oo)要使得和/(xJt+co時(shí)相對(duì)應(yīng)時(shí)，需滿足1—1—2a<0,B|JaN；，故④錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象，單調(diào)性，奇偶性等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于難題.7.(1).,.p=f(x)7.(1).,.p=f(x)=60,62-0.02x,0<x<100100<x<600(2)當(dāng)一次訂購550件服裝時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元【詳解】本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確寫出分段函數(shù)的解析式,屬于中檔題.(1)根據(jù)題意，函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)OVxWlOO時(shí)，p=60；當(dāng)100VXW600時(shí),p=60-(x-100)x0.02=62-0.02x.(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則當(dāng)0<x<100時(shí)，y=60x-40x=20x；當(dāng)100<x<600時(shí)，y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2,分別求出各段上的最大值，比較即可得到結(jié)論.解：(1)當(dāng)0<xW100時(shí)，p=60；當(dāng)100<xW600時(shí)，p=60-(x-100)x0.02=62-0.02x.? _160.0X100,**P—t62-O.02A.I00<.v<600.(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則當(dāng)0<xW100時(shí)，y=60x-40x=20x；當(dāng)100<xW600時(shí)，y=(62—0.02x)x—40x=22x—0.02x2.? _120x.0<a<I00.**y—^22x-0.02?.100<r<600.當(dāng)0<xS00時(shí)，y=20x是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x=100時(shí)，y最大，此時(shí)y=20xl00=2000；當(dāng)100<xW600時(shí)，y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6050,.,.當(dāng)x=55O時(shí)，y最大，此時(shí)y=6050.顯然6050>2000.所以當(dāng)一次訂購550件時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元.(14.4x>20.4x—4.S>24x—96x>^.(2)甲戶用水量為5x=7.5噸，付費(fèi)Si=4x1.8+3.5x3=17.70(元)；乙戶用水量為3x=4.5噸，付費(fèi)S2=4xl.8+0.5x3=8.70(元).4【詳解】試題分析：(1)當(dāng)5x44,即—時(shí)，3x<4,所以TOC\o"1-5"\h\zj=1.8x(5x+3x)=14.4x. 1分當(dāng)5x>4,3x44,4即？ j=L8x4+3x(5x-4)+L8x3x=204x-48——3分34當(dāng)3x>4,即x>—時(shí)，35x>4,y=18x(4+4)+3x(5x-4)+3x(3x-4)=24x-9.6.

14.4x,0<r<-14.4x,0<r<-TOC\o"1-5"\h\z4綜上:20.4x-4.8,-<x<-——5分3424x-9.6, x>-4 4 4 4(2)由(1)知:當(dāng)0KxV—時(shí)，OWy411S2；當(dāng)一<xW-時(shí)，ll_52<y?22.4；當(dāng)x>一時(shí),5 5 3 34y>224.所以若甲、乙兩戶共交水費(fèi)26.4元時(shí)，x>-一一一7分3所以24工一9一6=26一4,解得：x=155,x=753x=4_5； 9分所以甲戶用水量為7.5噸，應(yīng)繳水費(fèi)L8x4+3x35=17一7元;乙戶用水量為4.5噸，應(yīng)繳水費(fèi)L8x4+3x0_5=&7元.——10分考點(diǎn)：分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)函數(shù)模型的構(gòu)建及利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.(1)奇函數(shù)(2)-3<r<5(3)/n=2【分析】(1)用證明奇偶性的定義，/(一6=—/@)可證得了(力為奇函數(shù).⑵利用題目條件/⑴<0求出。的范圍，再將/[2+a)+/(4-外<0轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解即可.(3)用換元法轉(zhuǎn)化為新函數(shù)(二次函數(shù))，再分類討論參數(shù)切，分別求出函數(shù)的最小值為2.從而求出加的值.f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(一制=「一"=r。)，???/(X)為奇函數(shù).f(x)=ax~a'(a>0且aH1).v/(l)<0,/.o——<0,a又a>0,且awl,/.0<?<1,故/(x)在R上單調(diào)遞減，不等式化為/(f+a)v/(L4),.??f+儀>x-4,即d+(Ll)x+4>0恒成立，.?.△=(1)2一]6<0,解得一3<f<5；八3 13 .,**/(1)=—, a——=—9即2/—3a—2=0?2 a2解得a=2或a=—g(舍去)，..g(x)=a2x+a2x~2mf(x)=(2x-2-xJ-2m(2*-2-x)+2,令f=/(x)=2，一2T,由⑴可知〃x)=2'—2T為增函數(shù)，3vx>l,/.r>/(l)=~,令=r-2/nr+2=(f-/w)24-2-m2^>-1j,3若—,當(dāng)，=加時(shí)，h(t).=2-m2=-2,:.m=2；2 - \/nun若.《時(shí)，當(dāng)r=:時(shí)，W)*=-2,解得機(jī)=得>],無解：綜上，6=2.— — 5(1)，<一1或7=0或，之1；(2)一2或〃>一.2【分析】(1)求出“X)的最大值，可知〃x)a4一一4+4恒成立，可得ra+->(),aG[-l,l],一/、，皿向-1)20進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)〃(a)=Ta+/，只需J01)；。，求解即可；(2)可求得“X)在[0,+oo)上的值域?yàn)閇0,4],可知[0,4]a{y|y=x2-ar+l(-14x42)},且對(duì)任意y<0,4],總存在唯一不?-1,2],使得y=g(x0)成立，進(jìn)而分葭4-1,和

-1<q<2三種情況分別討論，從而可求出。