反問題概述課件

1偏微分方程反問題數(shù)值解法韓波主要參考書：1、劉繼軍，不適定問題的正則化方法及應(yīng)用，科學(xué)出版社，20052、肖廷延，于慎根，王彥飛，反問題的數(shù)值解法，科學(xué)出版社，2003，3、韓波，李莉，非線性不適定問題的求解方法及其應(yīng)用，科學(xué)出版社，20112第一章反問題概述

3從墨西哥灣的漏油事件談起

2010年4月20日晚，在距美國路易斯安娜州61公里的墨西哥灣海面上，由BP（英國石油公司）租用的“深海地平線”(DeepwaterHorizon)鉆井平臺在從事Macondo油田開發(fā)作業(yè)時發(fā)生爆炸，并引發(fā)火災(zāi)，11名工作人員遇難。經(jīng)過約36個小時的劇烈燃燒，“深海地平線”于22日沉入海底。兩天后，在事故地點(diǎn)出現(xiàn)了嚴(yán)重的石油泄漏，破裂的油井管道每天向墨西哥灣海域傾倒5-10萬桶原油（約8000-16000立方米），歷時近三個月，造成了極為嚴(yán)重的環(huán)境污染。直至7月15日，油井才被成功封堵。這是美國歷史上迄今最嚴(yán)重的海上石油泄露事件。5深海石油開采的費(fèi)用高的驚人，即使從事深海石油開發(fā)的公司擁有雄厚的資本和先進(jìn)的技術(shù)，也不可能在茫茫無際的墨西哥灣到處打井窺探。ThunderHorse油田：水上鉆井平臺有3個足球場大，建筑在海水深度約為1800米的海面上。據(jù)估計英國石油公司投入該項(xiàng)目的建造費(fèi)用高達(dá)50億美元！對資源的定位和估算有一套較準(zhǔn)確的科學(xué)方法，盡量減少決策失誤。6秘密就在回聲中數(shù)學(xué)物理史上有趣的問題：不用眼睛看，僅僅通過聆聽鼓的聲音能否判斷出鼓的形狀？（盲人聽鼓）1910年丹麥著名物理學(xué)家勞倫茲(Lorentz)在哥廷根的系列演講“物理學(xué)中的新、舊問題”中提出。7當(dāng)物體的材料確定后，它的音色和其形狀密切相關(guān)。在數(shù)學(xué)上，一個物體的音色可以由一串譜來確定，它們對應(yīng)著物體的固有頻率?！懊と寺牴摹奔词且笸ㄟ^已知的譜來確定一個鼓面的形狀。Lorentz在他的講演中猜測鼓的面積可以由極限確定

據(jù)說，當(dāng)初Hilbert（希爾伯特）認(rèn)為在他的有生之年不可能看到這個公式的嚴(yán)格證明。但是一代宗師Hilbert這次作出了錯誤的預(yù)測。不到兩年時間，鼓面積的公式就被他的得意門生Weyl證明了。而且證明方法采用的正是Hilbert此前不久修煉出的獨(dú)門絕技----積分理論。1954年，Pleijel證明了從鼓聲中可以“聽”出鼓的周長。1967年，McKean和Singer證明了從鼓聲中可以“聽”出鼓的內(nèi)部是否有洞、有幾個洞。直到1992年，Gordon等人構(gòu)造出了兩面奇怪的“同聲鼓”：它們的形狀不同，卻有著相同的音色，單憑耳朵無法鑒別！810

深海區(qū)的石油探測就是應(yīng)用了類似的原理。勘探地球物理學(xué)家希望能夠叩問地球，用耳朵“聽”出地下的地質(zhì)構(gòu)造，從而判斷出油藏的“準(zhǔn)確”位置和儲量。1214現(xiàn)行的勘探技術(shù)主要分為三步：1.數(shù)據(jù)處理：海上采集到的數(shù)據(jù)有很多噪音干擾，比如海浪、背景噪聲、相鄰采集船傳來的氣槍回聲，等等。另外，潮汐現(xiàn)象周期性地改變海水的深度，造成反射時間的偏差錯落；氣槍的震源效應(yīng)和海面多次反射的混聲也會引起反射信號的畸變。所以我們要對數(shù)據(jù)進(jìn)行“整容”，使之更清晰、更干凈、更可信。152.速度建模：利用多次覆蓋的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來構(gòu)建一個統(tǒng)一的地下模型。由于反射波的傳播時間對速度的短周期變化不敏感，一步到位求解v(x,y,z)太困難。退而求其次，我們可以利用數(shù)據(jù)中的冗余信息構(gòu)造一個粗眉大眼的近似速度。這如同繪畫，先勾勒輪廓，敷設(shè)底色，留待下一步皴擦點(diǎn)染，刻畫雕琢。163.全波形反演成像

在較好的初始速度模型基礎(chǔ)上，直接利用經(jīng)過預(yù)處理的勘探資料，求取波動方程中的速度模型，給出地質(zhì)構(gòu)造解釋。目前，國際上已經(jīng)能夠進(jìn)行三維速度全波形反演。彈性波全波形反演研究已經(jīng)成為國際潮流。17正問題，一般是按著自然順序來研究事物的演化過程或分布形態(tài)，起著由因推果的作用。反問題，是根據(jù)事物的演化結(jié)果，由可觀測的現(xiàn)象來探求事物的內(nèi)部規(guī)律或所受的外部影響，起著倒果求因的作用。18線性方程Ax=yy’=y+n反問題的提法：1.已知y’，分離信號和噪音，求出y；2.已知y’和A，求出輸入數(shù)據(jù)x；3.已知y’和x

，求出模型機(jī)制A；4.已知y’，求出輸入x

和模型A，這時問題變成非線性。20反問題發(fā)展簡史數(shù)學(xué)物理反問題最早出現(xiàn)在地球物理領(lǐng)域1846年，法國人LeVerrier發(fā)現(xiàn)了海王星1880年，美國學(xué)者J.A.Ewing等人發(fā)明了近代地震儀，提出了地震記錄的分析問題1907年，Herglog提出了地震走時數(shù)據(jù)的反演1909年，A.Mohorovicic發(fā)現(xiàn)了莫霍面1912年，BenoGutenbeg發(fā)現(xiàn)了古登堡面1935年，Lehmann發(fā)現(xiàn)了地球外核和內(nèi)核的分界面這些工作都對地球物理反演學(xué)術(shù)思想的形成和發(fā)展起到了巨大的推動作用。21但在第一臺數(shù)字計算機(jī)誕生之前，反問題的發(fā)展非常緩慢，反演方法只有選擇法和量版法1967-1970年，美國地球物理學(xué)家Backus和應(yīng)用數(shù)學(xué)家Gilbert連續(xù)發(fā)表了三篇關(guān)于平均核法的文章，奠定了反演理論的基礎(chǔ)Tikhonov（吉洪諾夫）20世紀(jì)40年代，提出了正則化方法（1977，Solutionsofill-posedproblems,美國。中譯本，1979）70年代初，英國學(xué)者G.Honsfield研制出了第一臺醫(yī)用ＣＴ機(jī)以及他和美國學(xué)者A.M.Cormack共同獲得了1979年度生理性和醫(yī)學(xué)諾貝爾獎，大大推動了有關(guān)不可見物體層析成像的研究熱潮，也極大地推動了反問題數(shù)學(xué)理論、數(shù)值方法以及應(yīng)用的發(fā)展23科學(xué)史上的著名的案例1781年，天王星被確認(rèn)為太陽系的第7顆大行星。40年后，法國天文學(xué)家Bouvard搜集了一個多世紀(jì)來的全部觀測資料，包括了1781年之前的舊數(shù)據(jù)和之后的新數(shù)據(jù)，試圖用牛頓的天體力學(xué)原理來計算天王星的運(yùn)動軌道。他發(fā)現(xiàn)了一個奇怪的現(xiàn)象：用全部數(shù)據(jù)計算出的軌道與舊數(shù)據(jù)吻合得很好，但是與新數(shù)據(jù)相比誤差遠(yuǎn)超出精度允許的范圍；如果僅以新數(shù)據(jù)為依據(jù)重新計算軌道，得到的結(jié)果又無法和舊數(shù)據(jù)相匹配。Bouvard的治學(xué)態(tài)度非常嚴(yán)謹(jǐn)，他在論文中指出：“兩套數(shù)據(jù)的不符究竟是因?yàn)榕f的觀測記錄不可靠，還是來自某個外部未知因素對這顆行星的干擾？我將這個謎留待將來去揭示?！?4首先，Bouvard等天文學(xué)家核查了1750年以后英國格林尼治天文臺對各個行星所作的全部觀測記錄。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除天王星以外，對于其它行星的觀測記錄與理論計算結(jié)果都符合得相當(dāng)好。似乎沒有理由懷疑舊的天文觀測唯獨(dú)對天王星失準(zhǔn)。既然如此，天文學(xué)家就需要對天王星的不規(guī)律運(yùn)動作出科學(xué)的解釋。擺在天文學(xué)家面前的有兩條路：第一條路是質(zhì)疑牛頓力學(xué)的普適性，或許萬有引力定律不適用于距離太陽遙遠(yuǎn)的天王星，需要對之進(jìn)行修正；第二條路是尋找Bouvard所猜測的“未知因素”。于是人們提出了“彗星撞擊”、“未知衛(wèi)星”和“未知行星”等多種可能。26幾乎與此同時，法國人LeVerrier獨(dú)立地解決了同樣的反問題。1846年9月23日，柏林天文臺的Galle按照LeVerrier提交的計算軌道著手觀測，當(dāng)晚就在偏離預(yù)言位置不到1度的地方發(fā)現(xiàn)了一顆新的八等星。連續(xù)觀測的數(shù)據(jù)都與LeVerrier的預(yù)測結(jié)果吻合得很好，證實(shí)這是一顆新行星。這時英國天文臺才想起了Adams的工作，悔之晚矣。案子破了。干擾天王星正常運(yùn)行的那顆神秘天體正是太陽系的第8顆大行星——海王星！不僅長期困擾天文界的天王星軌道異常問題在牛頓力學(xué)框架內(nèi)得到了完滿解釋，而且海王星的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了牛頓力學(xué)的正確性。2728正問題----“知易行難”反問題的研究重在探測和發(fā)現(xiàn)----“知之非艱、行之惟艱”。反問題的求解往往違背了事物發(fā)展過程的自然順序，從而使正問題中的許多良好性質(zhì)不再滿足。更何況我們搜集到的資料經(jīng)常是真?zhèn)谓浑s、缺失含混的，這就更增加了求解的困難。盡管如此，解決反問題仍然像破案猜謎一樣引人入勝。30

。正問題（directproblem）：已知，求反問題（inverseproblem）：已知[0,1]上的連續(xù)可微函數(shù)到底哪一個是反問題？先前提出的、人們熟悉的是正問題，而另一個是反問題；穩(wěn)定的問題是正問題，不穩(wěn)定的是反問題。31按系統(tǒng)科學(xué)觀點(diǎn)正問題：由因求果反問題：由果求因，或由因果求關(guān)系數(shù)學(xué)物理反問題：從工程物理中提出的各類反問題，

都有明確的數(shù)學(xué)形式和定量要求，

故稱之為數(shù)學(xué)物理反問題。微分方程反問題：由微分方程描述的反問題因訊號（輸入）關(guān)系（模型）果信號（輸出）3233例如k，需要提供一些可測量的信息，例如：（物體的外界接觸表面上的各點(diǎn)流量已知），稱為附加條件，就構(gòu)成了熱傳導(dǎo)方程反問題模型。3435按問題分類：

(1)Computerizedtomography(CT)(2)Inversescattering(3)Inverseheatconductionproblems(4)Geophysicalinverseproblems(5)Inverseproblemsinimaging(6)Identificationofparametersindifferentialequations363.非線性與不適定性(1)反問題通常是非線性的，而且常常是highlynonlinear，即使相應(yīng)的正問題是線性的。(2)反問題一般來說是不適定的（ill-posed）。適定與不適定的概念，最初是從研究數(shù)學(xué)物理方程定解問題提出的。20世紀(jì)20年代，法國數(shù)學(xué)家Hadamard（阿達(dá)瑪）對數(shù)學(xué)物理方程定解問題提出了如下適定性定義，即定解問題是適定的，是指它具備如下三個條件：問題的解存在；②問題的解唯一；③解連續(xù)依賴于定解條件，即定解條件（數(shù)據(jù)）改變很小時，相應(yīng)的解也改變很小，也就是解具有穩(wěn)定性。不滿足上述三個條件之一的問題稱為不適定問題。37粗略地說，凡是解不連續(xù)地依賴數(shù)據(jù)的一切數(shù)學(xué)問題都稱為不適定的，不僅限于定解問題。符合適定性的數(shù)學(xué)物理問題很多如：①Laplace方程的Dirichlet問題；②波動方程的空間Cauchy問題；③熱傳導(dǎo)方程的初值問題。3839404142而方程組的解是434445取其解稱為原方程組的正則化解，稱為正則化參數(shù)，它在穩(wěn)定性與精度之間進(jìn)行調(diào)節(jié)。例積分方程是唯一可解的，當(dāng)，解用梯形公式近似積分得其中，從而得到線性系統(tǒng)的近似。下表表明在時，真解和近似解的誤差。表真解與近似解的誤差從表中可以看出，近似解與真解沒有關(guān)系。而且離散的程度越好，得到的結(jié)果越差。594.反問題應(yīng)用舉例盡管一些經(jīng)典反問題的研究可以追溯很早，反問題這一學(xué)科的興起卻是近幾十年來的事情。在科學(xué)研究中經(jīng)常要通過間接觀測來探求位于不可達(dá)、不可觸之處的物質(zhì)的變化規(guī)律；生產(chǎn)中經(jīng)常要根據(jù)特定的功能對產(chǎn)品進(jìn)行設(shè)計，或按照某種目的對流程進(jìn)行控制。這些都可以提出為某種形式的反問題?？梢姡磫栴}的產(chǎn)生是科學(xué)研究不斷深化和工程技術(shù)迅猛發(fā)展的結(jié)果，而計算技術(shù)的革命又為它提供了重要的物質(zhì)基礎(chǔ)。60

現(xiàn)在，反問題的研究已經(jīng)遍及現(xiàn)代化生產(chǎn)、生活、科學(xué)研究的各個領(lǐng)域。簡單的概括不足以說明問題，我們下面具體介紹一些常見的反問題類型，希望大家能夠?qū)λ幸粋€大概的了解。61物性探測給你一只管子，不允許直接進(jìn)入內(nèi)部測量，你能算出里面的形狀嗎？如果管子是軸對稱的，這時只需要知道內(nèi)部的截面半徑就可以了。美國貝爾電話實(shí)驗(yàn)室的Sondhi和Gophinath提供了一個方法：在管子的一邊發(fā)出聲音，用儀器測量管口的位移速度和壓力。通過測量結(jié)果就可以推知管內(nèi)的截面半徑。理論計算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好。不要小看了這個例子，它實(shí)際上暗示了許多不能直接測量的物性探測問題可以通過類似的間接方法來解決。我們通常說“上天入地”都是很困難的事情，可是在一些情況下似乎必須“入地”才能解決問題。62比如說石油勘探。石油通常埋在幾千米的地下，無法直接觀察油田的位置和儲量，靠試打井的辦法來探測不但費(fèi)用昂貴（一口井的代價要上千萬元），而且效率極低（只能探測到井附近的局部信息）。一個可行的辦法是通過地面爆炸向地下發(fā)射地震波，同時接收地層的反射波信號?？梢韵胂螅孛娼邮盏降姆瓷湫盘栔泻械叵碌奈镄越Y(jié)構(gòu)信息（地層的密度、聲速等等），利用數(shù)學(xué)手段將這些信息提取出來，就可以對地下的油儲及其分布作出科學(xué)的判斷。這很象在夏天人們挑西瓜，把瓜放在耳邊拍一拍，有經(jīng)驗(yàn)的人就知道瓜瓤熟不熟，不需要切開來看，不會破壞西瓜的完整。63

類似的探測方法可以應(yīng)用于許多方面，如：農(nóng)用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古發(fā)現(xiàn)上也有應(yīng)用。位于三峽庫區(qū)的四川省云陽縣故陵鎮(zhèn)有一個大土包，相傳為楚國古墓，但是歷經(jīng)三千余年的變遷，已經(jīng)難以確認(rèn)了?？萍脊ぷ髡咴诘乇砝玫卣鸩ǚ?、高精度磁法、電場巖性探測和地化方法四種手段進(jìn)行探測，不但確認(rèn)了古墓的存在，而且得到了關(guān)于古墓的埋藏深度、形狀、大小甚至墓道的準(zhǔn)確信息，為搶救和保護(hù)文物做出了貢獻(xiàn)。64掃描成像本世紀(jì)初，Hebglotz和Wiechebt應(yīng)用Abel型反演方法解決了在一定對稱條件下通過地震波的走時曲線來反推地層內(nèi)部形貌的方法。據(jù)此Mohobovic（1909年）發(fā)現(xiàn)了地殼與地幔之間的斷層?，F(xiàn)在，利用地震波的接收信號通過成像來考察地層地貌形態(tài)已經(jīng)成為地球物理勘探最為重要的手段。例如，通過走時成像，可以得到地震波在不同深度的傳播速度；而在已知速度的前提下，利用聲波方程或其單程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形狀。65

成像的另一個重要應(yīng)用是醫(yī)學(xué)上的計算機(jī)層析成像（CT），這是X光射線自Roentgen發(fā)明（獲1900年諾貝爾獎）以來在醫(yī)療診斷上的重大進(jìn)展，其發(fā)明人Hounsfield和Cormack因此獲得了1979年的諾貝爾醫(yī)學(xué)獎。CT技術(shù)是醫(yī)學(xué)、電子技術(shù)、計算機(jī)技術(shù)和反演數(shù)學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物，它利用計算機(jī)來對穿越人體的X射線信號進(jìn)行處理，來重建體內(nèi)的結(jié)構(gòu)信息，生成透視圖像供醫(yī)療診斷參考，其核心算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是二維Radon變換。繼之而起的是基于三維Radon變換的核磁共振成像，在診斷效果和無傷害性方面更為優(yōu)越。事實(shí)上，類似的方法也可以借助于聲波、光波、電磁波在無損探傷、雷達(dá)偵察、射電望遠(yuǎn)鏡探測、環(huán)境監(jiān)測等多方面有廣泛應(yīng)用。66逆時反演

在科學(xué)研究中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：知道了某個事物的現(xiàn)在狀態(tài)，希望了解它的過去，即通常所說的“恢復(fù)歷史的本來面目?！边@往往可以提為逆時反問題。當(dāng)然，反問題研究不是歷史學(xué)，它所研究的對象一般要滿足某種類型的演化方程或數(shù)學(xué)模式。例如，通過遠(yuǎn)程測得的某次爆炸產(chǎn)生的輻射波，如何確定爆炸的位置和初始能量？這是波動方程的逆時反問題；又如，根據(jù)近來的溫度變化能否確定過去某個時間的溫度狀態(tài)？這就成為熱傳導(dǎo)方程的逆時反問題。67孤立子的發(fā)現(xiàn)一個著名的例子是反散射方法在孤立子發(fā)現(xiàn)中的作用：反散射問題是量子物理學(xué)研究中的一個問題，通過譜和譜函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的散射性態(tài)反推一維Schordinger（薛定鄂）方程的位勢函數(shù)。它由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Gelfand和Levitan（1955年）一舉解決。在此基礎(chǔ)上引發(fā)了一系列突破性進(jìn)展，最為著名的是利用這個結(jié)果Lax（1968年）得到了關(guān)于KDV方程的巧妙解法，從而發(fā)現(xiàn)了非線性方程中的孤立子現(xiàn)象。這是近代非線性科學(xué)研究的重要事件。68其它問題飛行器外形設(shè)計公路、橋梁、水壩等工程質(zhì)量檢測問題沙漠找水鋼爐檢測69

前面介紹了反問題的幾種類型，它們在研究和應(yīng)用上經(jīng)常是相互聯(lián)系的，分門別類只是為了敘述方便。另外，反問題與其它數(shù)學(xué)學(xué)科之間并沒有一個嚴(yán)格的界限，而是互為補(bǔ)充，互相促進(jìn)。反問題的研究起源于數(shù)理方程，其反演算法中包含了微分方程數(shù)值解法、最優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計等方面的許多思想和技巧。另一方面，反問題的研究也促進(jìn)了人們對世界的認(rèn)識，使得研究更全面、深化。705.反問題研究的難點(diǎn)及對策與正問題相比，反問題的研究起步較晚，發(fā)展還遠(yuǎn)不成熟。從本質(zhì)上來說，反問題的研究的難度一般比相應(yīng)的正問題要大。這是因?yàn)榉磫栴}的求解往往違背了物理過程的自然順序，從而使正問題中的許多良好性質(zhì)不再滿足。這種現(xiàn)象在許多學(xué)科的研究中都是普遍存在的。比如說：曹雪芹創(chuàng)作了古典名著《紅樓夢》，這是人所共知的，但是要從現(xiàn)存的史料和文物“碎片”來恢復(fù)這位偉大作家的人生經(jīng)歷和創(chuàng)作歷程則是一件萬分艱辛的事情，更何況這些“碎片”信息真?zhèn)谓浑s，且時有含混。反問題的研究也經(jīng)常遇到類似的困難，這些困難體現(xiàn)在：711.存在性：我們要求的反問題的解很可能不存在！無解的原因多種多樣，可能是在定向設(shè)計中問題的提法不合理，也可能是探測時接收到的響應(yīng)中含有假信息（噪音），將求解引入歧途。

2.唯一性：有的反問題的解雖然存在，卻不唯一，有幾個甚至無窮多個。這是因?yàn)槭占降男畔⒉粔?，不足以確定解的性態(tài)。對大多數(shù)反問題（比如探測問題）來說，真正的解只有一個，這就要從許多解當(dāng)中進(jìn)行挑選，去偽存真，頗費(fèi)周折。72

3.穩(wěn)定性：利用計算手段，由接收信息來反演物質(zhì)的結(jié)構(gòu)和特性是反問題研究的重要內(nèi)容。可是實(shí)際的接收響應(yīng)中不可避免地含有噪音，計算過程也有累積誤差。這種微小的誤差會不會導(dǎo)致反演結(jié)果面目全非？研究表明，相當(dāng)多的反問題正是具有這樣的病態(tài)性質(zhì)！熱傳導(dǎo)方程的逆時反問題就是一個例子。熱力學(xué)第二定律告訴我們，熱傳導(dǎo)是一個不可逆過程，它的反問題求解是高度病態(tài)的。為了解決溫度的逆時反演，就不得不冒這種“差之毫厘，謬以千里”的危險。73

存在性、唯一性和穩(wěn)定性，三者之一不滿足就稱為不適定性問題。用傳統(tǒng)的眼光來看，這樣的問題是不值得研究的。正是反問題的研究開闊了人們的視野，認(rèn)識到這樣的問題是大量存在的，而且有著重要的研究和應(yīng)用價值。74如果一個問題的解不存在、不唯一、不穩(wěn)定，那么求解得到的結(jié)果可信嗎？這是反演工作者必須面對的問題。解決的辦法是有的！奠基性工作是由前蘇聯(lián)Tikhonov等學(xué)者提出的解決線性不適定問題的正則化方法。方法的主要思想是：利用對解和數(shù)據(jù)誤差的先驗(yàn)估計可以將問題的求解限定在某個較小范圍內(nèi)，對問題的提法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旌?，原本不適定的問題就可以轉(zhuǎn)化為適定的最優(yōu)化問題求解，而且先驗(yàn)估計表明在一定精度下用正則化方法求得的解是合理的。這比如猜謎：“后，打一人名”，無從猜起。如果限定“打《紅樓夢》中一人名”，范圍縮小了，可以用書中601個人物（有的書中沒有交代姓名）逐一比較，最后選出最優(yōu)的答案－“王夫人”。75充分利用各種合理的先驗(yàn)信息對問題作適當(dāng)形式的轉(zhuǎn)換，是反問題求解的重要方法，在實(shí)際生產(chǎn)中經(jīng)常要用到。拿地震波勘探為例，限于技術(shù)原因，地面接收的信號噪音很大，信息殘缺不全，完全的反演是很困難的。為了滿足生產(chǎn)的要求，必須盡最大可能恢復(fù)出地下的結(jié)構(gòu)形態(tài)。這時，多種反演方法并用是一個可行的辦法；如果在目的地有一口油井，那么可以把井下的信息作為局部約束來校正反演結(jié)果；為了計算的穩(wěn)定性還必須使用一些特殊的數(shù)學(xué)技巧。這樣得到的反演結(jié)果與資料解釋人員的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來，可以對油田的決策與發(fā)展提供參考依據(jù)。76

除了前面提到的不適定性以外，反問題的研究與應(yīng)用還經(jīng)常面臨非線性的困擾。即使正問題是線性的，它的反問題也往往表現(xiàn)為非線性，這為反演的研究和計算帶來了很多麻煩。為了求解非線性反問題，通常要線性化后反復(fù)進(jìn)行正、反演迭代，在高維情況下將導(dǎo)致十分巨大的計算量。我們知道，一個效率低下的算法在生產(chǎn)應(yīng)用中將導(dǎo)致時間和人力、物力的極大浪費(fèi)。所以反問題的計算效率也是一個非常重要的課題。它要求計算數(shù)學(xué)工作者從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，充分