第一篇第四章-膜系設計圖示法課件

第四章膜系設計圖示法曹建章第四章膜系設計圖示法第三章討論了對于任意多層膜反射和透射特性計算的矩陣方法，這種方法是設計各種類型膜系的基礎，也是目前最為實用的方法，因而在應用中廣泛使用，并依此編寫成專門的薄膜光學設計軟件。除此之外，膜系設計還用到矢量近似法和導納圖解法。對于層數(shù)比較少的增透膜計算和設計，作為輔助手段矢量法很有效。導納圖解法又稱斯密斯圓圖方法，該方法最早（1939年）是用于電路中求解傳輸線問題，在滿足工程需要的前提條件下，簡單易行，避免了復雜的復數(shù)運算?，F(xiàn)在，電路中的傳輸?shù)谌掠懻摿藢τ谌我舛鄬幽し瓷浜屯干涮匦杂嬀€計算問題，計算機在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方法已經很少使用。但在薄膜光學中，導納圖解法是一種很直觀的方法，在膜系設計中非常有用。另外，有文獻仍利用該方法設計誘導濾光片，并得到好的結果。4.1矢量法

假設兩個復數(shù)

和

，其指數(shù)形式為（4-1）線計算問題，計算機在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方用矢量表示如圖4-1所示，其中

和

表示兩矢量的模，而

和

分別表示兩矢量的幅角。兩復數(shù)的和（即矢量和）為這就是膜系設計矢量法的基本思想。矢量法有三個近似條件：①膜層沒有吸收；②在多層膜計算中僅考慮入射光在各個界面的一次反射；③各個界面的振幅反射系數(shù)的模取垂直入射時的反射系數(shù)，并不是取模，這樣膜層間由于折射率大小反射系數(shù)可出現(xiàn)負號。由（4-2）用矢量表示如圖4-1所示，其中和表示兩矢量的此可見，矢量法明顯存在誤差。

現(xiàn)假設四層膜系如圖4-2（a）所示，入射介質折射率為

，基底介質折射率為

，膜層折射率分別為

、

、

和

，膜層幾何厚此可見，矢量法明顯存在誤差。度分別為、、和。由此可寫出各個界面垂直入射時的反射系數(shù)和層間相位厚度為（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）度分別為、、和。由此可寫出各個界將各個界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為如果膜層折射率大小滿足那么，有如果振幅反射系數(shù)矢量大小為負，矢量指向原點；如果振幅反射系數(shù)矢量大小為正，矢量指向由原點向外。振幅反射系數(shù)矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)將各個界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為(4-8位厚度取“+”號，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時針方向旋轉；如果振幅反射系數(shù)矢量的相位厚度取“-”號，矢量圖矢量方位順時針方向旋轉。由此可畫出各個界面振幅反射系數(shù)矢量如圖4-2（b）所示，圖4-2（c）為振幅反射系數(shù)合成矢量。根據(jù)式（4-8），可得膜系反射率為

1.低折射率基底增透膜設計

例一

單層增透膜。（4-11）位厚度取“+”號，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時針方向

假設單層膜系入射介質折射率為

，基底介質折射率為

，膜層折射率為

，膜層幾何厚度為

，如圖4-3（a）所示，由此根據(jù)式（4-3）和式（4-4），可寫出兩個界面垂直入射時的反射系數(shù)和相位厚度為假設單層膜系入射介質折射率為，基底由于是增透膜，

，

，兩振幅反射系數(shù)矢量見圖4-3（b），振幅反射系數(shù)合成矢量見圖4-3（c）。顯然，當相位厚度變化時，合成矢量的軌跡為一個圓。在垂直入射的情況下，如果膜層光學厚度取四分之一波長，那么相位厚度為由于是增透膜，，，兩振幅（4-12）在中心波長

處，有由此可知兩振幅反射系數(shù)矢量方向相反（見圖4-3（c）虛線矢量），合成矢量取最小值。如果兩矢量大小相等，則在中心波長處反射率為零。根據(jù)式（4-3）和式（4-4）知，零反射條件為（4-13）（4-14）（4-12）在中心波長處，有（4-13）（4-14）求解可得式（4-15）與式（3-51）完全相同。因此，當入射介質和基底介質折射率給定之后，利用矢量法可簡單確定零反射膜層折射率和相位厚度。

例二

兩層增透膜。如圖4-4（a）所示為兩層增透膜結構，假設入射介質折射率為

，基底介質折射率為

，膜層折射率分別為

和

，且

，

，膜層幾何厚度分別為

和

。根據(jù)式（4-3）、（4-15）求解可得（4-15）第一篇第四章-膜系設計圖示法課件式（4-4）和式（4-5），可寫出三個界面垂直入射時的反射系數(shù)和垂直入射時的相位厚度分別為由此可畫出三個振幅反射系數(shù)矢量圖4-4（b）和圖4-4（c），三個矢量合成都可以得到封閉式（4-4）和式（4-5），可寫出三個界面垂直入射時的反射系三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，所以選擇圖4-4（c）為好，其合成矢量見圖4-4（d）。相位厚度小也具有對入射光波長的敏感度低和增透波段較寬的優(yōu)點。

假設入射介質為空氣

，基底介質為玻璃

，兩介質膜層折射率分別為

（氟化鎂

）和

（二氧化鈰

），中心波長取

。由此可求得三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得數(shù)值代入得到兩層膜的相位變化為在垂直入射情況下，兩層膜光學厚度為根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得根據(jù)式（4-8），有膜系反射率為數(shù)值代入，得到中心波長處的反射率為根據(jù)式（4-8），有圖4-5是兩層增透膜系的反射率矢量法理論計算曲線。2.高折射率基底三層增透膜設計

例三設三層增透膜系為圖4-5是兩層增透膜系2.高折射率基底三層增透膜設計入射介質為空氣

,基底介質為鍺

，三層介質膜折射率分別記為

，

和

，且滿足三層介質膜光學厚度均為

，其膜系構成如圖4-6（a）所示。根據(jù)式（4-3）至式（4-7）可知，反射系數(shù)

、

、

和

均取負值，四個矢量均指向原點。在垂直入射的情況下，當膜層光學厚度入射介質為空氣,基底介質為鍺時，相位厚度為或如果入射光波長

，即

，則有四個矢量均指向原點，相位相差

，如圖4-6（b）所示。如果四個矢量大小相等，就可構成如圖4-6（c）所示的封閉四邊形，合成矢時，相位厚度為量為零，即在波長

處出現(xiàn)零反射

。量為零，即在波長處出現(xiàn)零反射如果入射光波長為中心波長

,即

,則有四個矢量彼此平行并指向原點，如圖4-6（d）所示。如果四個矢量大小相等，就構成如圖4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量為零，即在

處出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長為

，即

，則有如果入射光波長為中心波長,四個矢量方向指向原點，相位相差

，如圖4-6（f）所示。如果四個矢量大小相等，合成矢量就構成如圖4-6（g）所示的封閉四邊形，矢量和為零，即在

出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長取

，即

，則有四個矢量相位相差

并指向原點，如圖4-6（h）所示。四個矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不為零。如果取

，合成矢量也取最大值，反射率與

的反射率相同。綜上所述，可畫出三層增透膜設計反射率曲線四個矢量方向指向原點，相位相差，如圖4-6（如圖4-7所示。設計過程中如果假定反射系數(shù)的大小相等

，即根據(jù)合分比定理，有求解可得如圖4-7所示。設計過程中如果假定反射系數(shù)的大小相等，即將

和

代入，得到這就是制備三層增透膜所需材料的折射率。但由于可供選擇的材料有限，一種近似選擇方案是該增透膜的實測透射率曲線如圖4-8所示，其中心波長選擇.(4-16)將和代入，得到矢量法簡單易行，不難推廣到四層、五層和更多層增透膜設計中去，以得到更寬的低反射區(qū)域。4.2導納圖解法光學等效導納

可以是單一基底介質的有矢量法簡單易行，不難推廣到四層、五層和更多層效導納，也可以是多層介質膜系的等效導納，整個膜系多界面的反射和透射問題轉化為由

和

表達的單一等效界面的反射和透射，因此光學等效導納

的變化反映了膜系的反射和透射以及相位變化特性，其軌跡可直觀描述薄膜系統(tǒng)的特性，給膜系設計帶來了很大方便。4.2.1單一等效界面等反射率導納圓圖和等相位導納圓圖

在垂直入射情況下，由式（3-63）可知，對于S-波偏振和P-波偏振光學有效導納均為效導納，也可以是多層介質膜系的等效導納，整個膜系多界面的反射(4-17)

表示介質膜層的折射率。現(xiàn)假設入射介質折射率為，透射介質的光學等效導納為其中

為介質的等效折射率，

構成光學等效導納復平面，

對應上半復平面，

對應下半復平面。需要注意的是，此處

為光學等效導納的虛部，與吸收介質的消光系數(shù)

不同，為了形式上的統(tǒng)一此處選取虛部為

。根據(jù)式（3-65）可寫出界面反射率為(4-18)(4-17)表示介質膜層的折射率?，F(xiàn)假設入射介質折射(4-19)展開并整理，可得記則有顯然這是在復平面

上關于

和

的圓方(4-20)（4-21）（4-22）(4-19)展開并整理，可得(4-20)（4-21）（4-2程，也稱導納軌跡方程，圓心

位于復平面實軸

，圓半徑為

。如果給定反射率，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等反射率圓，如圖4-9所示。當

，等反射率圓縮為在實軸上的一點

。

又根據(jù)式（3-65），將界面反射程，也稱導納軌跡方程，圓心位于復平面實軸系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有令式（4-23）中的實部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，得到(4-23)(4-24)(4-25)系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有(4-23)(4-24)(4-25)令則有這也是在復平面

上關于

和

的圓方程，圓心

位于復平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-9所示。

由式（4-25）和式（4-26）可知，等相位圓具有如下特點：（4-26）（4-27）令（4-26）（4-27）1.當

，

，

，圓心

位于復平面虛軸上正向無窮遠處，等相位圓半徑

，導納軌跡對應于實軸。2.當

，，

，圓心

位于復平面虛軸上負向無窮遠處，等相位圓半徑，導納軌跡也對應于實軸。3.

當

，

，，圓心

位于坐標原點，等相位圓半徑

，即等相位圓過點

。4.

令式（4-25）中

，得到(4-28)1.當，，表明不管

取何值等相位圓必過點

，即等相位圓均相交于實軸

處。

5.幅角

、

、

和

對應的等相位圓將復平面化為四個象限。等反射率導納圓圖和等相位導納圓圖作為光學等效導納Y的函數(shù)，包含了膜系層間厚度和膜層折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通過不同的膜系來實現(xiàn)。換句話說，就是滿足圓方程的點

都可以得到相同的反射率，這樣就給選擇鍍膜參數(shù)提供了方便。表明不管取何值等相位圓必過點，即等4.2.2單層膜系等折射率導納圓圖和等相位導納圓圖對于如圖4-10（a）所示的單層膜系，假設入射介質折射率為

，膜層折射率為

，膜層厚度為

，基底介質折射率為

，則此單層膜系可等效為如圖4-10（b）所示的單界4.2.2單層膜系等折射率導納圓圖和等相位導納圓圖面膜系。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出單層膜系組合特征向量為式中由此可得單層膜系光學等效導納為(4-29)(4-30)(4-31)面膜系。(4-29)(4-30)(4-31)令式（4-31）中的實部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡化得到令(4-32)(4-33)(4-34)令式（4-31）中的實部和虛步分別相等，得到(4-32)(4則有此式是在復平面

上關于

和

的圓方程，圓心

位于復平面實軸

，圓半徑為

。如果(4-35)給定膜層折射率

和

，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等折射率圓，如圖4-11所示。則有(4-35)給定膜層折射率和，和在式（4-32）中消去

，得到令則有此式也是在復平面

上關于

和

的圓方(4-36)（4-37）（4-38）在式（4-32）中消去，得到(4-3程，圓心

位于復平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-11所示。下面就等折射率圓方程（4-35）和等相位圓方程（4-38）作簡單討論。

1.由式（4-35），取

，得到等折射率圓與復平面實軸的交點為A點對應未鍍膜基底介質的折射率，C點對應膜層光學厚度

時的等效折射率，見（4-39）程，圓心位于復平面虛軸式（3-50）。在膜層折射率

給定的情況下，且

，式（4-35）的圓曲線反映了光學等效導納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（a）所示。當膜層光學厚度繼續(xù)增大,至

，圓曲線又從點C又回到點A，這就是第三章討論過的“無效”層，因此，在光學等效導納復平面上，圓代表“無效”層。

2.當

時，光學等效導納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（b）所示，同樣A點對應于未鍍膜基底介質的折射率，而C點對應于膜層光學厚度

時的等效折射率。式（3-50）。在膜層折射率給定的情況下，且3.由式（4-26）可以看出，對于給定的反射率R，等相位導納圓的圓心

隨著幅角

的變化從虛軸正向向負向移動，而根據(jù)式（4-3.由式（4-26）可以看出，對于給定的反射率R，-37），對于給定的折射率

，單層膜的等相位導納圓的圓心

隨相位厚度的變化從虛軸負向向正向移動，兩者正好相反，如圖4-11所示。

4.取

，代入式（4-38），得到表明等相位圓必過點

，即等相位導納圓均相交于實軸

處。

5.半圓

代表相位厚度

，即光學厚度

,B點對應的等相位厚度為

，所以

和

代表的光學厚度均為

，

和(4-40)-37），對于給定的折射率，單層膜的等相位導納圓的圓亦是如此。

6.在圖4-12等折射率導納圓圖上每一點都代表整個膜系的光學等效導納Y,任取一點

,圖4-9等反射率導納圓圖上可找到相對應的點

，如果反射率R滿足設計要求，圖4-12中點

相對應的

就可作為相位厚度的值，由此也可得到膜層厚度

。4.2.3多層膜系等折射率導納圓圖圖4-13（a）是兩層膜系構成，入射介質折射率為

,兩膜層折射率分別為

和

，

記低折射率膜，

記高折射率膜，膜層厚度亦是如此。分別為

和

，膜層光學厚度均為

，基底介質折射率

。兩層膜系等效為單一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即

，如圖4-13（b）和4-13（c）所示。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出兩層膜系組合特征向量為分別為和，膜層光學厚度均為，基(4-41)式中由式（4-41），第一次等效為由此得到(4-42)(4-43)(4-44)(4-41)式中(4-42)(4-43)(4-44)令式（4-44）中的實部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡化得到令(4-45)(4-46)（4-47）令式（4-44）中的實部和虛步分別相等，得到(4-45)(4則有此式就是折射率

所對應的等折射率導納圓。由式（4-39）可知，在復平面上等折射率導納圓與實軸的交點為（4-48）（4-49）則有（4-48）（4-49）如圖4-14所示，其中B點對應膜層2光學厚度為

。根據(jù)式（4-41），第二次等效可表達為由此得到由于膜層厚度為

，B點為銜接點，其光學等效導納取實數(shù)（4-50）（4-51）如圖4-14所示，其中B點對應膜層2光學厚度為（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡化得到（4-53）（4-54）（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實部和令則有此式就是折射率

所對應的等折射率導納圓。令

，并將式（4-52）代入，由圓方程（4-56）得到在復平面上等折射率圓與實軸的交點為（4-55）（4-56）（4-57）令（4-55）（4-56）（4-57）其中C點對應膜層1光學厚度為

，如圖4-14所示。

如果膜層2的光學厚度任意取值，等效銜接點就不在實軸上，等折射率導納圓上相對應的光學等效導納

取復值.設光學等效導納為式中

和

由式（4-44）求解得到（4-58）（4-59）其中C點對應膜層1光學厚度為，如圖4-14將

代入式（4-51），并令式中實部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡化得到令（4-60）（4-61）將代入式（4-51），并令式中實部和虛步分別相等，有（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同的圓方程，表明膜系光學厚度任意取值，等折射率導納圓圖的形式不變，僅改變圓心位置和半徑。例四

如圖4-13(a)所示,設膜系參數(shù)為,

，

，

，

，試求膜系光學等效導納Y。

解

由式（4-57）可知，膜系光學等效導納為（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同(4-63)數(shù)值代入得到利用式（4-19），求得

。通常的做法是在等反射率圓圖上找到與Y相對應的點，該點對應的反射率值R和相位

就是膜系中心波長

處的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光學等效導納Y與入射介質折射率

越接近，反射率R值越小，所以當(4-64)(4-63)數(shù)值代入得到(4-64)入射介質折射率

給定之后，也可以由等折射率導納圓圖直接對膜系在中心波長

處的反射率R做出判斷，如果

，反射率

，就近似是零反射。例五

四層膜系構成如圖4-15（a）所示，膜層光學厚度均為

，試畫出該膜系等折射率導納圓圖。

解

采用逐次等效法。根據(jù)式（4-46），第一次等效可得圓方程入射介質折射率給定之后，也可以由等折射率導納圓圖直接對膜系由此求得與導納圖實軸交點為由此求得與導納圖實軸交點為交點B光學厚度為

，該點光學等效導納

取實數(shù)，有由于

，等折射率導納圓對應于

。根據(jù)式（4-54）知，第二次等效可得圓方程為該圓與導納圖實軸交點為交點B光學厚度為，該點光學等效導納取實數(shù)C點對應光學厚度

，該點光學等效導納

取實數(shù)，有由于

，等折射率導納圓對應于

。又根據(jù)式（4-54）知，第三次等效可得圓方程為該圓與導納圖實軸交點為C點對應光學厚度，該點光學等效導納取實數(shù)D點對應光學厚度

，該點光學等效導納

取值為由于

，等折射率導納圓對應于

。第四次等效，同理可得等折射率導納圓與實軸交點為光學等效導納

取值為D點對應光學厚度，該點光學等效導納取值為由于

，等折射率導納圓對應于

。取

，

，

，

，計算可得由此可畫出膜系等折射率導納圓圖如圖4-15（b）所示。4.3金屬膜導納圓圖金屬膜存在吸收損耗，折射率

取復數(shù)由于，等折射率導納圓對應形式（1-10）。在垂直入射的情況下，由式（3-70）可知，對于S-波偏振和P-波偏振金屬膜的光學有效導納為式中

為金屬膜的折射率，

為消光系數(shù)。假設單層膜系構成入射介質折射率為

，金屬膜復折射率

，基底介質折射率為

。根據(jù)式（3-69）可寫出金屬膜相位厚度為(4-67)(4-68)形式（1-10）。在垂直入射的情況下，由式（3-70）可知，顯然，與無吸收介質的情況不同，金屬膜相位厚度為復數(shù)，不能采用§4.2節(jié)的方法進行處理。為了得到金屬膜導納圓圖，首先假定式（4-68）中

（

§4.2已經討論）。為簡單起見，記由于(4-69)（4-70）顯然，與無吸收介質的情況不同，金屬膜相位厚度為復數(shù)，不能采用代入可得根據(jù)式（3-68），可寫出膜系特征向量為由此得到膜系等效導納（4-71）（4-72）代入可得（4-71）（4-72）（4-73）令式（4-73）中的實部和虛部分別相等，有兩式中消去

，簡化得到（4-74）（4-75）（4-73）令式（4-73）中的實部和虛部分別相等，有（4-令則有這就是消光系數(shù)為

的金屬膜導納圓圖方程，圓心為

，圓半徑為

。當

，求解可得實軸上兩交點為而當

，得到虛軸兩交點為（4-76）（4-77）（4-78）令（4-76）（4-77）（4-78）（4-79）式（4-78）和式（4-79）表明，金屬膜導納圓在導納圖實軸上

僅有交點

，而在虛軸上存在兩個交點

和

，并且不管

為何值，虛軸上交點不變。消光系數(shù)為

的金屬膜導納圓如圖4-16（a）所示（實線）。在式（4-74）中消去

，得到（4-80）（4-79）式（4-78）和式（4-79）表明，金屬膜導納圓令（4-81）令（4-81）得到金屬膜等相位圓方程為圓心為

，圓半徑為

。消光系數(shù)為

的金屬膜等相位導納圓如圖4-16（a）所示（虛線）。上述討論假定

，但實際上金屬膜的折射率并不為零。比如可見光波段，金屬鉑、金、銀和鋁在波長

的復折射率分別為鉑（Pt）：（4-82）得到金屬膜等相位圓方程為（4-82）金（Au）：銀（Ag）：

鋁（Al）:對于金和銀，比值

約為

和

，鉑和鋁約為

和

。如果比值

比較大，則金屬膜的導納圖與

的情況很接近，僅需要將圖4-16（a）依

的大小逆時針方向旋轉一個小的角度，銀膜的導納圓圖如圖4-16（b）所示，導納圓均相交于點

和點

。如果金屬膜

比值比較小，其導納圓圖與

的情況相差比較大，其導納圓圖是沿螺金（Au）：旋線終止于點

。4.4膜系層間電場分布導納圖的另外一種用途是對于給定膜系的反射率R可畫出膜系內的電場分布，這對于分析薄膜抗激光損傷的能力很有幫助。假設膜系入射介質折射率為

，透射介質光學等效導納為

，對于各向同性無損耗介質膜系，根據(jù)式（2-223），在界面兩側入射波、反射波和透射波滿足能量守恒（4-83）旋線終止于點。（4-83）移項，并利用定義式（2-218）和式（2-220），得到假設入射光光強為

，根據(jù)光強的定義式（1-55），有（4-84）（4-85）移項，并利用定義式（2-218）和式（2-220），得到（4由于

，代入得到在垂直入射的情況下，并假定入射光強

，而

，代入得到該式表明，當膜系反射率R不變時，膜系內任一點透射電場強度的大小

與等效折射率

（4-86）（4-87）由于，代入得到（4-86）（4-8的平方根成反比。圖4-17所示為入射光強

時，電場強度在導納圖中隨等效折射率

的變化。顯然，電場強度等值線平行于導納圖虛軸。的平方根成反比。圖4-17所示為入射光強時，電場強第一篇第四章-膜系設計圖示法課件第一篇第四章-膜系設計圖示法課件第四章膜系設計圖示法曹建章第四章膜系設計圖示法第三章討論了對于任意多層膜反射和透射特性計算的矩陣方法，這種方法是設計各種類型膜系的基礎，也是目前最為實用的方法，因而在應用中廣泛使用，并依此編寫成專門的薄膜光學設計軟件。除此之外，膜系設計還用到矢量近似法和導納圖解法。對于層數(shù)比較少的增透膜計算和設計，作為輔助手段矢量法很有效。導納圖解法又稱斯密斯圓圖方法，該方法最早（1939年）是用于電路中求解傳輸線問題，在滿足工程需要的前提條件下，簡單易行，避免了復雜的復數(shù)運算?，F(xiàn)在，電路中的傳輸?shù)谌掠懻摿藢τ谌我舛鄬幽し瓷浜屯干涮匦杂嬀€計算問題，計算機在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方法已經很少使用。但在薄膜光學中，導納圖解法是一種很直觀的方法，在膜系設計中非常有用。另外，有文獻仍利用該方法設計誘導濾光片，并得到好的結果。4.1矢量法

假設兩個復數(shù)

和

，其指數(shù)形式為（4-1）線計算問題，計算機在精度和速度兩方面都可以滿足需要，所以該方用矢量表示如圖4-1所示，其中

和

表示兩矢量的模，而

和

分別表示兩矢量的幅角。兩復數(shù)的和（即矢量和）為這就是膜系設計矢量法的基本思想。矢量法有三個近似條件：①膜層沒有吸收；②在多層膜計算中僅考慮入射光在各個界面的一次反射；③各個界面的振幅反射系數(shù)的模取垂直入射時的反射系數(shù)，并不是取模，這樣膜層間由于折射率大小反射系數(shù)可出現(xiàn)負號。由（4-2）用矢量表示如圖4-1所示，其中和表示兩矢量的此可見，矢量法明顯存在誤差。

現(xiàn)假設四層膜系如圖4-2（a）所示，入射介質折射率為

，基底介質折射率為

，膜層折射率分別為

、

、

和

，膜層幾何厚此可見，矢量法明顯存在誤差。度分別為、、和。由此可寫出各個界面垂直入射時的反射系數(shù)和層間相位厚度為（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）度分別為、、和。由此可寫出各個界將各個界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為如果膜層折射率大小滿足那么，有如果振幅反射系數(shù)矢量大小為負，矢量指向原點；如果振幅反射系數(shù)矢量大小為正，矢量指向由原點向外。振幅反射系數(shù)矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)將各個界面反射系數(shù)矢量相加得到膜系振幅反射系數(shù)矢量為(4-8位厚度取“+”號，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時針方向旋轉；如果振幅反射系數(shù)矢量的相位厚度取“-”號，矢量圖矢量方位順時針方向旋轉。由此可畫出各個界面振幅反射系數(shù)矢量如圖4-2（b）所示，圖4-2（c）為振幅反射系數(shù)合成矢量。根據(jù)式（4-8），可得膜系反射率為

1.低折射率基底增透膜設計

例一

單層增透膜。（4-11）位厚度取“+”號，由式（4-1）知，矢量圖矢量方位逆時針方向

假設單層膜系入射介質折射率為

，基底介質折射率為

，膜層折射率為

，膜層幾何厚度為

，如圖4-3（a）所示，由此根據(jù)式（4-3）和式（4-4），可寫出兩個界面垂直入射時的反射系數(shù)和相位厚度為假設單層膜系入射介質折射率為，基底由于是增透膜，

，

，兩振幅反射系數(shù)矢量見圖4-3（b），振幅反射系數(shù)合成矢量見圖4-3（c）。顯然，當相位厚度變化時，合成矢量的軌跡為一個圓。在垂直入射的情況下，如果膜層光學厚度取四分之一波長，那么相位厚度為由于是增透膜，，，兩振幅（4-12）在中心波長

處，有由此可知兩振幅反射系數(shù)矢量方向相反（見圖4-3（c）虛線矢量），合成矢量取最小值。如果兩矢量大小相等，則在中心波長處反射率為零。根據(jù)式（4-3）和式（4-4）知，零反射條件為（4-13）（4-14）（4-12）在中心波長處，有（4-13）（4-14）求解可得式（4-15）與式（3-51）完全相同。因此，當入射介質和基底介質折射率給定之后，利用矢量法可簡單確定零反射膜層折射率和相位厚度。

例二

兩層增透膜。如圖4-4（a）所示為兩層增透膜結構，假設入射介質折射率為

，基底介質折射率為

，膜層折射率分別為

和

，且

，

，膜層幾何厚度分別為

和

。根據(jù)式（4-3）、（4-15）求解可得（4-15）第一篇第四章-膜系設計圖示法課件式（4-4）和式（4-5），可寫出三個界面垂直入射時的反射系數(shù)和垂直入射時的相位厚度分別為由此可畫出三個振幅反射系數(shù)矢量圖4-4（b）和圖4-4（c），三個矢量合成都可以得到封閉式（4-4）和式（4-5），可寫出三個界面垂直入射時的反射系三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，所以選擇圖4-4（c）為好，其合成矢量見圖4-4（d）。相位厚度小也具有對入射光波長的敏感度低和增透波段較寬的優(yōu)點。

假設入射介質為空氣

，基底介質為玻璃

，兩介質膜層折射率分別為

（氟化鎂

）和

（二氧化鈰

），中心波長取

。由此可求得三角形，即零反射。但由于矢量圖4-4（b）的相位厚度取值大，根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得數(shù)值代入得到兩層膜的相位變化為在垂直入射情況下，兩層膜光學厚度為根據(jù)余弦定理，由圖4-4（d）可得根據(jù)式（4-8），有膜系反射率為數(shù)值代入，得到中心波長處的反射率為根據(jù)式（4-8），有圖4-5是兩層增透膜系的反射率矢量法理論計算曲線。2.高折射率基底三層增透膜設計

例三設三層增透膜系為圖4-5是兩層增透膜系2.高折射率基底三層增透膜設計入射介質為空氣

,基底介質為鍺

，三層介質膜折射率分別記為

，

和

，且滿足三層介質膜光學厚度均為

，其膜系構成如圖4-6（a）所示。根據(jù)式（4-3）至式（4-7）可知，反射系數(shù)

、

、

和

均取負值，四個矢量均指向原點。在垂直入射的情況下，當膜層光學厚度入射介質為空氣,基底介質為鍺時，相位厚度為或如果入射光波長

，即

，則有四個矢量均指向原點，相位相差

，如圖4-6（b）所示。如果四個矢量大小相等，就可構成如圖4-6（c）所示的封閉四邊形，合成矢時，相位厚度為量為零，即在波長

處出現(xiàn)零反射

。量為零，即在波長處出現(xiàn)零反射如果入射光波長為中心波長

,即

,則有四個矢量彼此平行并指向原點，如圖4-6（d）所示。如果四個矢量大小相等，就構成如圖4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量為零，即在

處出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長為

，即

，則有如果入射光波長為中心波長,四個矢量方向指向原點，相位相差

，如圖4-6（f）所示。如果四個矢量大小相等，合成矢量就構成如圖4-6（g）所示的封閉四邊形，矢量和為零，即在

出現(xiàn)零反射

。如果入射光波長取

，即

，則有四個矢量相位相差

并指向原點，如圖4-6（h）所示。四個矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不為零。如果取

，合成矢量也取最大值，反射率與

的反射率相同。綜上所述，可畫出三層增透膜設計反射率曲線四個矢量方向指向原點，相位相差，如圖4-6（如圖4-7所示。設計過程中如果假定反射系數(shù)的大小相等

，即根據(jù)合分比定理，有求解可得如圖4-7所示。設計過程中如果假定反射系數(shù)的大小相等，即將

和

代入，得到這就是制備三層增透膜所需材料的折射率。但由于可供選擇的材料有限，一種近似選擇方案是該增透膜的實測透射率曲線如圖4-8所示，其中心波長選擇.(4-16)將和代入，得到矢量法簡單易行，不難推廣到四層、五層和更多層增透膜設計中去，以得到更寬的低反射區(qū)域。4.2導納圖解法光學等效導納

可以是單一基底介質的有矢量法簡單易行，不難推廣到四層、五層和更多層效導納，也可以是多層介質膜系的等效導納，整個膜系多界面的反射和透射問題轉化為由

和

表達的單一等效界面的反射和透射，因此光學等效導納

的變化反映了膜系的反射和透射以及相位變化特性，其軌跡可直觀描述薄膜系統(tǒng)的特性，給膜系設計帶來了很大方便。4.2.1單一等效界面等反射率導納圓圖和等相位導納圓圖

在垂直入射情況下，由式（3-63）可知，對于S-波偏振和P-波偏振光學有效導納均為效導納，也可以是多層介質膜系的等效導納，整個膜系多界面的反射(4-17)

表示介質膜層的折射率。現(xiàn)假設入射介質折射率為，透射介質的光學等效導納為其中

為介質的等效折射率，

構成光學等效導納復平面，

對應上半復平面，

對應下半復平面。需要注意的是，此處

為光學等效導納的虛部，與吸收介質的消光系數(shù)

不同，為了形式上的統(tǒng)一此處選取虛部為

。根據(jù)式（3-65）可寫出界面反射率為(4-18)(4-17)表示介質膜層的折射率?，F(xiàn)假設入射介質折射(4-19)展開并整理，可得記則有顯然這是在復平面

上關于

和

的圓方(4-20)（4-21）（4-22）(4-19)展開并整理，可得(4-20)（4-21）（4-2程，也稱導納軌跡方程，圓心

位于復平面實軸

，圓半徑為

。如果給定反射率，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等反射率圓，如圖4-9所示。當

，等反射率圓縮為在實軸上的一點

。

又根據(jù)式（3-65），將界面反射程，也稱導納軌跡方程，圓心位于復平面實軸系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有令式（4-23）中的實部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，得到(4-23)(4-24)(4-25)系數(shù)寫成三角函數(shù)形式，有(4-23)(4-24)(4-25)令則有這也是在復平面

上關于

和

的圓方程，圓心

位于復平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-9所示。

由式（4-25）和式（4-26）可知，等相位圓具有如下特點：（4-26）（4-27）令（4-26）（4-27）1.當

，

，

，圓心

位于復平面虛軸上正向無窮遠處，等相位圓半徑

，導納軌跡對應于實軸。2.當

，，

，圓心

位于復平面虛軸上負向無窮遠處，等相位圓半徑，導納軌跡也對應于實軸。3.

當

，

，，圓心

位于坐標原點，等相位圓半徑

，即等相位圓過點

。4.

令式（4-25）中

，得到(4-28)1.當，，表明不管

取何值等相位圓必過點

，即等相位圓均相交于實軸

處。

5.幅角

、

、

和

對應的等相位圓將復平面化為四個象限。等反射率導納圓圖和等相位導納圓圖作為光學等效導納Y的函數(shù)，包含了膜系層間厚度和膜層折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通過不同的膜系來實現(xiàn)。換句話說，就是滿足圓方程的點

都可以得到相同的反射率，這樣就給選擇鍍膜參數(shù)提供了方便。表明不管取何值等相位圓必過點，即等4.2.2單層膜系等折射率導納圓圖和等相位導納圓圖對于如圖4-10（a）所示的單層膜系，假設入射介質折射率為

，膜層折射率為

，膜層厚度為

，基底介質折射率為

，則此單層膜系可等效為如圖4-10（b）所示的單界4.2.2單層膜系等折射率導納圓圖和等相位導納圓圖面膜系。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出單層膜系組合特征向量為式中由此可得單層膜系光學等效導納為(4-29)(4-30)(4-31)面膜系。(4-29)(4-30)(4-31)令式（4-31）中的實部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡化得到令(4-32)(4-33)(4-34)令式（4-31）中的實部和虛步分別相等，得到(4-32)(4則有此式是在復平面

上關于

和

的圓方程，圓心

位于復平面實軸

，圓半徑為

。如果(4-35)給定膜層折射率

和

，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等折射率圓，如圖4-11所示。則有(4-35)給定膜層折射率和，和在式（4-32）中消去

，得到令則有此式也是在復平面

上關于

和

的圓方(4-36)（4-37）（4-38）在式（4-32）中消去，得到(4-3程，圓心

位于復平面虛軸

，圓半徑為

。如果給定相位

，

和

就是定值，導納軌跡方程就是等相位圓，如圖4-11所示。下面就等折射率圓方程（4-35）和等相位圓方程（4-38）作簡單討論。

1.由式（4-35），取

，得到等折射率圓與復平面實軸的交點為A點對應未鍍膜基底介質的折射率，C點對應膜層光學厚度

時的等效折射率，見（4-39）程，圓心位于復平面虛軸式（3-50）。在膜層折射率

給定的情況下，且

，式（4-35）的圓曲線反映了光學等效導納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（a）所示。當膜層光學厚度繼續(xù)增大,至

，圓曲線又從點C又回到點A，這就是第三章討論過的“無效”層，因此，在光學等效導納復平面上，圓代表“無效”層。

2.當

時，光學等效導納Y隨膜層厚度

的變化，如圖4-12（b）所示，同樣A點對應于未鍍膜基底介質的折射率，而C點對應于膜層光學厚度

時的等效折射率。式（3-50）。在膜層折射率給定的情況下，且3.由式（4-26）可以看出，對于給定的反射率R，等相位導納圓的圓心

隨著幅角

的變化從虛軸正向向負向移動，而根據(jù)式（4-3.由式（4-26）可以看出，對于給定的反射率R，-37），對于給定的折射率

，單層膜的等相位導納圓的圓心

隨相位厚度的變化從虛軸負向向正向移動，兩者正好相反，如圖4-11所示。

4.取

，代入式（4-38），得到表明等相位圓必過點

，即等相位導納圓均相交于實軸

處。

5.半圓

代表相位厚度

，即光學厚度

,B點對應的等相位厚度為

，所以

和

代表的光學厚度均為

，

和(4-40)-37），對于給定的折射率，單層膜的等相位導納圓的圓亦是如此。

6.在圖4-12等折射率導納圓圖上每一點都代表整個膜系的光學等效導納Y,任取一點

,圖4-9等反射率導納圓圖上可找到相對應的點

，如果反射率R滿足設計要求，圖4-12中點

相對應的

就可作為相位厚度的值，由此也可得到膜層厚度

。4.2.3多層膜系等折射率導納圓圖圖4-13（a）是兩層膜系構成，入射介質折射率為

,兩膜層折射率分別為

和

，

記低折射率膜，

記高折射率膜，膜層厚度亦是如此。分別為

和

，膜層光學厚度均為

，基底介質折射率

。兩層膜系等效為單一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即

，如圖4-13（b）和4-13（c）所示。根據(jù)式（3-61），在垂直入射情況下可寫出兩層膜系組合特征向量為分別為和，膜層光學厚度均為，基(4-41)式中由式（4-41），第一次等效為由此得到(4-42)(4-43)(4-44)(4-41)式中(4-42)(4-43)(4-44)令式（4-44）中的實部和虛步分別相等，得到兩式中消去

，簡化得到令(4-45)(4-46)（4-47）令式（4-44）中的實部和虛步分別相等，得到(4-45)(4則有此式就是折射率

所對應的等折射率導納圓。由式（4-39）可知，在復平面上等折射率導納圓與實軸的交點為（4-48）（4-49）則有（4-48）（4-49）如圖4-14所示，其中B點對應膜層2光學厚度為

。根據(jù)式（4-41），第二次等效可表達為由此得到由于膜層厚度為

，B點為銜接點，其光學等效導納取實數(shù)（4-50）（4-51）如圖4-14所示，其中B點對應膜層2光學厚度為（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡化得到（4-53）（4-54）（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的實部和令則有此式就是折射率

所對應的等折射率導納圓。令

，并將式（4-52）代入，由圓方程（4-56）得到在復平面上等折射率圓與實軸的交點為（4-55）（4-56）（4-57）令（4-55）（4-56）（4-57）其中C點對應膜層1光學厚度為

，如圖4-14所示。

如果膜層2的光學厚度任意取值，等效銜接點就不在實軸上，等折射率導納圓上相對應的光學等效導納

取復值.設光學等效導納為式中

和

由式（4-44）求解得到（4-58）（4-59）其中C點對應膜層1光學厚度為，如圖4-14將

代入式（4-51），并令式中實部和虛步分別相等，有兩式中消去

，簡化得到令（4-60）（4-61）將代入式（4-51），并令式中實部和虛步分別相等，有（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同的圓方程，表明膜系光學厚度任意取值，等折射率導納圓圖的形式不變，僅改變圓心位置和半徑。例四

如圖4-13(a)所示,設膜系參數(shù)為,

，

，

，

，試求膜系光學等效導納Y。

解

由式（4-57）可知，膜系光學等效導納為（4-62）式（4-61）就變?yōu)榕c式（4-56）形式完全相同(4-63)數(shù)值代入得到利用式（4-19），求得

。通常的做法是在等反射率圓圖上找到與Y相對應的點，該點對應的反射率值R和相位

就是膜系中心波長

處的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光學等效導納Y與入射介質折射率

越接近，反射率R值越小，所以當(4-64)(4-63)數(shù)值代入得到(4-64)入射介質折射率

給定之后，也可以由等折射率導納圓圖直接對膜系在中心波長

處的反射率R做出判斷，如果

，反射率

，就近似是零反射。例五

四層膜系構成如圖4-15（a）所示，膜層光學厚度均為

，試畫出該膜系等折射率導納圓圖。

解

采用逐次等效法。根據(jù)式（4-46），第一次等效可得圓方程入射介質折射率給定之后，也可以由等折射率導納圓圖直接對膜系由此求得與導納圖實軸交點為由此求得與導納圖實軸交點為交點B光學厚度為

，該點光學等效導納

取實數(shù)，有由于

，等折射率導納圓對應于

。根據(jù)式（4-54）知，第二次等效可得圓方程為該圓與導納圖實軸交點為交點B光學厚度為，該點光學等效導納取實數(shù)C點對應光學厚度

，該點光學等效導納

取實數(shù)，有由于

，等折射率導納圓對應于

。又根據(jù)式（4-54）知，第三次等效可得圓方程為該圓與導納圖實軸交點為C點對應光學厚度，該點光學等效導納取實數(shù)D點