第11講有理數(shù)全章復習與測試-2022年七年級數(shù)學暑假課（蘇科版）

第11講有理數(shù)全章復習與測試【學習目標】.有理數(shù)的概念及運算，數(shù)軸，絕對值及科學記數(shù)法的相關(guān)內(nèi)容..重點是有理數(shù)的四則運算，.難點是絕對值的相關(guān)運算以及有理數(shù)的混合運算.【基礎(chǔ)知識】.正數(shù)和負數(shù)1、在以前學過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負號“-，叫做負數(shù)，一個數(shù)前面的“+號叫做它的符號.2、0既不是正數(shù)也不是負數(shù).0是正負數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù).3、用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量.具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量..有理數(shù)1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).2、有理數(shù)的分類：①按整數(shù)、分數(shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)：②按正數(shù)、負數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù).注意：如果一個數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分數(shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分數(shù)形式，因而不屬于有理數(shù)..數(shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向.（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù).（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù).）（3）用數(shù)軸比較大小：一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大..相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).(2)相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.(3)多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“-”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“-”號，結(jié)果為正.(4)規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-”，如。的相反數(shù)是-a,m+n的相反數(shù)是-(m+n),這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號..絕對值(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).(2)如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)“絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當。是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a：②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當a是零時，。的絕對值是零.即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0).非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0.根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值..倒數(shù)(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).一般地，a,=l(aWO),就說a(aWO)的倒數(shù)是.(2)方法指引：①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的.②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而。沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個數(shù)的相反數(shù) 求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可求一個數(shù)的倒數(shù) 求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：。沒有倒數(shù)..有理數(shù)的加法(1)有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加.②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).(在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0.從而確定用那一條法則.在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”.)(2)相關(guān)運算律交換律：a+b=b+a；結(jié)合律(a+6)+c=a+(b+c)..有理數(shù)的減法(1)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即：a-h=a+(-b)(2)方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號(減號變加號)；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(減數(shù)變相反數(shù))；【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換：因為減法沒有交換律.減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算..有理數(shù)的加減混合運算(1)有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法.(2)方法指引：①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式.②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化..有理數(shù)的乘法(1)有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.(2)任何數(shù)同零相乘，都得0.(3)多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于。的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.(4)方法指引：①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘.②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單..有理數(shù)的除法(1)有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即：a^b=a-(6H0)(2)方法指引：(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.(2)有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”.如果有了分數(shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分.乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右..有理數(shù)的乘方(1)有理數(shù)乘方的定義：求〃個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.乘方的結(jié)果叫做嘉，在a”中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù).a"讀作。的〃次方.(將/看作是。的〃次方的結(jié)果時，也可以讀作a的〃次寨.)(2)乘方的法則：正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次幕都是0.(3)方法指引：①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定幕的符號，然后再計算幕的絕對值；②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減..非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負性.任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0..有理數(shù)的混合運算(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算;如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算..湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解..分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算..巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便..科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成aX10"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，〃是正整數(shù),這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：“X10",其中〃為正整數(shù).】(2)規(guī)律方法總結(jié)：①科學記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)〃.②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號..計算器一有理數(shù)計算器包括標準型和科學型兩種，其中科學型使用方法如下：—(1)鍵入數(shù)字時，按下相應的數(shù)字鍵，如果按錯可用(DEL)鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字.—(2)直接輸入數(shù)字后，按下對應的功能鍵，進行第一功能相應的計算.(3)按下(-)鍵可輸入負數(shù)，即先輸入(-)號再輸入數(shù)值.(4)開方運算按用到乘方運算鍵)的第二功能鍵”和的第二功能鍵.(5)對于開平方運算的按鍵順序是：2〃嶼2被開方數(shù)硒住或直接按鍵，再輸入數(shù)字后按“=”即可.(6)對于開立方運算的按鍵順序是：32〃力人被開方數(shù)ENTE或直接按x3,再輸入數(shù)字后按“=”即可注意：由于計算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進行操作..無理數(shù)(1)、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根等.(2)、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),比如4=4.0,13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2=1.414213562.②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比：而無理數(shù)不能.（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有71的數(shù)，如分數(shù)立2是無理數(shù)，因為TT是無理數(shù).無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等.（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）.（3）含有n的絕大部分數(shù)，如2n.注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如是有理數(shù)，而不是無理數(shù).【考點剖析】一.正數(shù)和負數(shù)（共1小題）（2021秋?海滄區(qū)期末）如果向西走3hm記作+3&"i,那么-表示（ ）A.向東走65 B.向南走6bnC.向西走D.向北走二.有理數(shù)（共1小題）（2021秋?靖江市月考）下列各數(shù)：-,1.010010001,0,-n,-2.626626662…（每兩個2之間多一個,0.1222-,其中有理數(shù)有個.三.數(shù)軸（共1小題）（2021秋?鎮(zhèn)江期末）數(shù)軸上點A表示的數(shù)是-4,將點A在數(shù)軸上平移5個單位長度得到點B.則點B表示的數(shù)是.四.相反數(shù)（共1小題）（2022?寶山區(qū)模擬）2022的相反數(shù)是.五.絕對值（共1小題）（2021秋?無錫期末）-3.6的絕對值是.六.非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值（共1小題）（2022春?東臺市期中）■-2|+9有最小值為.七.倒數(shù)（共1小題）（2022?南京一模）的倒數(shù)是:的相反數(shù)是.A.有理數(shù)的加法（共1小題）（2022?鎮(zhèn)江一模）（-7）+7=.九.有理數(shù)的減法（共1小題）（2021秋?射陽縣校級期末）比0小4的數(shù)是.一十.有理數(shù)的加減混合運算（共1小題）（2021秋?文山市期末）檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負，某天檢修工從A地出發(fā)，到收工時行程記錄為（單位：千米）+8,-9,+4,-7,-2,-10,+11,-3,+7,-5；（1）收工時，檢修工在A地的哪邊？距A地多遠？（2）若每千米耗油0.3升，從4地出發(fā)到收工時，共耗油多少升？一十一.有理數(shù)的乘法（共1小題）（2021秋?東城區(qū)校級期中）（-+）X（-36）一十二.有理數(shù)的除法（共1小題）（2018秋?仁壽縣校級期中）（-81）+X+（-16）一十三.有理數(shù)的乘方（共1小題）（2022春?姜堰區(qū)期中）計算：42n-（-）2"+1=（〃為正整數(shù)）.一十四.非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）（2021秋?射陽縣校級期末）已知|a-3|+（b+2）2=0,貝Ua+b=.一十五.有理數(shù)的混合運算（共1小題）（2022?通州區(qū)校級開學）計算題：(1)24+(-14)+(-16)+8；(2)0.25X(-2)3-[44-(-)(1)24+(-14)+(-16)+8；（2022?江陰市模擬）2021年3月23日下午，“天宮課堂”時隔3個月后再度開課，中國航天員再次進行太空授課，此時空間站距離地球約37000。米，數(shù)據(jù)370000用科學記數(shù)法表示為.一十七.計算器一有理數(shù)（共1小題）（2018秋?海安市期末）小江利用計算器計算15X15,25X25,…，95X95,有如下發(fā)現(xiàn)：15X15=225=1X2X100+25,25X25=625=2X3X100+2535X35=1225=3X4X100+25,小江觀察后猜測：如果用字母。代表一個正整數(shù)，則有如下規(guī)律：（aX10+5）2=a（a+1）X100+25.但這樣的猜測是需要證明之后才能保證它的正確性.請給出證明.一十八.無理數(shù)（共1小題）（2021秋?阜寧縣期末）在，2n,-1,0.181181118…四個數(shù)中，無理數(shù)有個.【過關(guān)檢測】選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）（3分）化簡-（-8）的結(jié)果是（ ）A.8 B.-8 C. D.-（3分）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進1,用來記錄孩子自出生后的天數(shù).由圖可知，孩

子自出生后的天數(shù)是(TOC\o"1-5"\h\zA. 10 B. 89 C. 165 D. 294(3分)點A、8在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對應的數(shù)分別是。和6,下列結(jié)論中正確的是( )A. b+a>0 B. a-b<0 C. \a\>\b\ D. <0(3分)下列各式運算結(jié)果為正數(shù)的是( )A. -23X5 B. (2-3) 2X5 C. (1-22) X5 D. 1- (2X3)2(3分)下列計算正確的是( )A.(-4)X4-X2=-2-?(-1)=2B.-32+(7-10)2-4X(-2)2=9+9-16=2C.(-6.25)X(-4)-1204-(-15)=25-8=17D.0-(-3)2-r3X(-2)3=0-94-3X(-2)3=0-3X(-8)=24TOC\o"1-5"\h\z(3分)程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》，如圖所示的程序框圖，當輸入的值是20時，根據(jù)程序計算，第一次輸出的結(jié)果為10,第二次輸出的結(jié)果為5……這樣下去第2020次輸出的結(jié)果為( )A.-2 B.-1 C.-8 D.-4(3分)下列說法中正確的個數(shù)是( )①兩個有理數(shù)相加，和一定大于每一個加數(shù)；②兩個正數(shù)相加，和為正數(shù)；③正數(shù)加負數(shù)，其和一定等于0;④互為相反數(shù)的兩個數(shù)相減得0：⑤減去一個負數(shù)，差一定大于被減數(shù).A.1個 B.2個 C.3個 D.4個(3分)表示一種運算符號，其意義是：a/^b=2a-b,那么(-5)△(1A3)的值等于( )A.-9 B.-11 C.-15 D.-12(3分)如圖，數(shù)軸上點A,B,C分別表示數(shù)a,h,c,有下列結(jié)論：①a+b>0；?abc<Qx?a-c<0；④-1VV0,則其中正確結(jié)論的序號是( )A.①②B.A.①②B.②③C.②??（3分）在數(shù)軸上表示有理數(shù)a,b,c,d如圖所示，則正確的結(jié)論是（B.ab<cdA.B.ab<cdD.(a-d)(c-b)>0二.填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）（3分）比較大小：--.（3分）若貝!1a=.（3分）比-4大而比5小的所有整數(shù)的和為.（3分）當aWO,b/0時，設+=切，則.（3分）-2的相反數(shù)是.（3分）在數(shù)軸上，點A表示數(shù)-2,點8到點A的距離為3,則點B表示的數(shù)是.（3分）如圖所示是計算機某計算程序，若開始輸入x=-2,則最后輸出的結(jié)果是.（3分）一條數(shù)軸上有點4、B、C,其中點48表示的數(shù)分別是-16、9,現(xiàn)以點C為折點，將數(shù)軸向右對折，若點A對應的點A'落在點8的右邊，并且A'5=3,則C點表示的數(shù)是.三.解答題（共6小題，滿分46分）（10分）計算：（--+-）X（-15X4）；（2）；(3)(-18)4-2X4-(-16)； (4)；（4分）。與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，求的值.（6分）小王上周五在股市以收盤價（收市時的價格）每股25元買進某公司股票1000股，在接下來的一周交易日內(nèi)，小王記下該股票每日收盤價格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）星期 一 二 三 四 五每股漲跌（兀） +2 -0.5 +1.5 -1.8 +0.8根據(jù)上表回答問題：（1）星期二收盤時，該股票每股多少元？（2）本周內(nèi)該股票收盤時的最高價，最低價分別是多少？（3）已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費.若小王在本周五以收盤價將全部股票賣出，他的收益情況如何？（8分）一只螞蟻從原點0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10.回答下列問題：（1）螞蟻最后是否回到出發(fā)點