《高等數(shù)學(xué)》模塊課件

高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)1模塊3

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值3.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)模塊3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理23.1中值定理圖3-13.1中值定理圖3-13圖3-1圖3-143.1.1羅爾（Rolle）定理圖3-23.1.1羅爾（Rolle）定理圖3-25《高等數(shù)學(xué)》模塊課件63.1.2拉格朗日（Lagrange）定理圖3-33.1.2拉格朗日（Lagrange）定理圖3-37《高等數(shù)學(xué)》模塊課件8《高等數(shù)學(xué)》模塊課件9《高等數(shù)學(xué)》模塊課件10由推論1可得到下面的推論．由推論1可得到下面的推論．113.1.3柯西（Cauchy）定理3.1.3柯西（Cauchy）定理123.2洛必達(dá)法則3.2洛必達(dá)法則13《高等數(shù)學(xué)》模塊課件14《高等數(shù)學(xué)》模塊課件15《高等數(shù)學(xué)》模塊課件16《高等數(shù)學(xué)》模塊課件17

洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法，但不一定是最簡(jiǎn)捷的方法．因此，在求極限過程中，最好將洛必達(dá)法則與其他求極限的方法結(jié)合使用．例如，能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能化簡(jiǎn)，能用兩個(gè)重要極限時(shí)應(yīng)盡可能用兩個(gè)重要極限等．只有這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)捷．另外，應(yīng)注意洛必達(dá)法則的條件．否則，洛必達(dá)法則可能失效．當(dāng)法則失效時(shí)，并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)改用其他方法求解．洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法，但不18《高等數(shù)學(xué)》模塊課件193.2.3其他類型的未定式3.2.3其他類型的未定式20《高等數(shù)學(xué)》模塊課件213.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值圖3-43.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值圖3-422

案例2（易拉罐的設(shè)計(jì)）

圖3-5所示為生活中常見的易拉罐．企業(yè)在設(shè)計(jì)易拉罐時(shí)，為了用最小的成本獲得最大的利潤(rùn)，需要考慮在體積一定的情況下用料最省的問題．測(cè)量一個(gè)你身邊的易拉罐，分析它的設(shè)計(jì)是否達(dá)到了企業(yè)的期望．如果沒有達(dá)到，請(qǐng)你改進(jìn)．圖3-5案例2（易拉罐的設(shè)計(jì)）圖3-5所示為生活233.3.1函數(shù)的單調(diào)性（a）

（b）

圖3-6 3.3.1函數(shù)的單調(diào)性（a）24《高等數(shù)學(xué)》模塊課件25表3-1表3-126《高等數(shù)學(xué)》模塊課件27例3表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．例3表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．283.3.2函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義圖3-73.3.2函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義圖3-729

由定義知，函數(shù)的極值概念是局部性的．在指定的區(qū)間上，一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)極值，極大值也可能小于極小值，但函數(shù)的極值一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部．由定義知，函數(shù)的極值概念是局部性的．在指定302．函數(shù)極值的判定和求法圖3-72．函數(shù)極值的判定和求法圖3-731《高等數(shù)學(xué)》模塊課件32下面研究極值存在的充分條件．圖3-10

圖3-11下面研究極值存在的充分條件．圖3-10圖3-1133圖3-8圖3-9

綜上所述，函數(shù)的極值只可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得．因此，求函數(shù)的極值時(shí)，可以先求出函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再判別這些點(diǎn)中哪些是極值點(diǎn)．圖3-8圖3-9綜上所述，函數(shù)的極值只可能34《高等數(shù)學(xué)》模塊課件35《高等數(shù)學(xué)》模塊課件36《高等數(shù)學(xué)》模塊課件37《高等數(shù)學(xué)》模塊課件383.3.3函數(shù)的最值及其應(yīng)用3.3.3函數(shù)的最值及其應(yīng)用39《高等數(shù)學(xué)》模塊課件40（a）

（b）

圖3-12（a）41《高等數(shù)學(xué)》模塊課件423.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

在圖3-13和圖3-14中的曲線上各點(diǎn)作切線，可以看出：當(dāng)曲線弧是凹的時(shí)，曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線弧的下方；當(dāng)曲線弧是凸的時(shí)，曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線弧的上方．圖3-13圖3-143.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)在圖3-13和43《高等數(shù)學(xué)》模塊課件44圖3-15圖3-1545《高等數(shù)學(xué)》模塊課件46《高等數(shù)學(xué)》模塊課件47《高等數(shù)學(xué)》模塊課件48《高等數(shù)學(xué)》模塊課件49數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

用MATLAB求一元函數(shù)的最大值和最小值數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用MATLAB求一元函數(shù)的最大值和最小值50《高等數(shù)學(xué)》模塊課件51THEENDTHEEND52

高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)53模塊3

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值3.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)模塊3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理543.1中值定理圖3-13.1中值定理圖3-155圖3-1圖3-1563.1.1羅爾（Rolle）定理圖3-23.1.1羅爾（Rolle）定理圖3-257《高等數(shù)學(xué)》模塊課件583.1.2拉格朗日（Lagrange）定理圖3-33.1.2拉格朗日（Lagrange）定理圖3-359《高等數(shù)學(xué)》模塊課件60《高等數(shù)學(xué)》模塊課件61《高等數(shù)學(xué)》模塊課件62由推論1可得到下面的推論．由推論1可得到下面的推論．633.1.3柯西（Cauchy）定理3.1.3柯西（Cauchy）定理643.2洛必達(dá)法則3.2洛必達(dá)法則65《高等數(shù)學(xué)》模塊課件66《高等數(shù)學(xué)》模塊課件67《高等數(shù)學(xué)》模塊課件68《高等數(shù)學(xué)》模塊課件69

洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法，但不一定是最簡(jiǎn)捷的方法．因此，在求極限過程中，最好將洛必達(dá)法則與其他求極限的方法結(jié)合使用．例如，能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能化簡(jiǎn)，能用兩個(gè)重要極限時(shí)應(yīng)盡可能用兩個(gè)重要極限等．只有這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)捷．另外，應(yīng)注意洛必達(dá)法則的條件．否則，洛必達(dá)法則可能失效．當(dāng)法則失效時(shí)，并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)改用其他方法求解．洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法，但不70《高等數(shù)學(xué)》模塊課件713.2.3其他類型的未定式3.2.3其他類型的未定式72《高等數(shù)學(xué)》模塊課件733.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值圖3-43.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值圖3-474

案例2（易拉罐的設(shè)計(jì)）

圖3-5所示為生活中常見的易拉罐．企業(yè)在設(shè)計(jì)易拉罐時(shí)，為了用最小的成本獲得最大的利潤(rùn)，需要考慮在體積一定的情況下用料最省的問題．測(cè)量一個(gè)你身邊的易拉罐，分析它的設(shè)計(jì)是否達(dá)到了企業(yè)的期望．如果沒有達(dá)到，請(qǐng)你改進(jìn)．圖3-5案例2（易拉罐的設(shè)計(jì)）圖3-5所示為生活753.3.1函數(shù)的單調(diào)性（a）

（b）

圖3-6 3.3.1函數(shù)的單調(diào)性（a）76《高等數(shù)學(xué)》模塊課件77表3-1表3-178《高等數(shù)學(xué)》模塊課件79例3表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．例3表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．803.3.2函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義圖3-73.3.2函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義圖3-781

由定義知，函數(shù)的極值概念是局部性的．在指定的區(qū)間上，一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)極值，極大值也可能小于極小值，但函數(shù)的極值一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部．由定義知，函數(shù)的極值概念是局部性的．在指定822．函數(shù)極值的判定和求法圖3-72．函數(shù)極值的判定和求法圖3-783《高等數(shù)學(xué)》模塊課件84下面研究極值存在的充分條件．圖3-10

圖3-11下面研究極值存在的充分條件．圖3-10圖3-1185圖3-8圖3-9

綜上所述，函數(shù)的極值只可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得．因此，求函數(shù)的極值時(shí)，可以先求出函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再判別這些點(diǎn)中哪些是極值點(diǎn)．圖3-8圖3-9綜上所述，函數(shù)的極值只可能86《高等數(shù)學(xué)》模塊課件87《高等數(shù)學(xué)》模塊課件88《高等數(shù)學(xué)》模塊課件89《高等數(shù)學(xué)》模塊課件903.3.3函數(shù)的最值及其應(yīng)用3.3.3函數(shù)的最值及其應(yīng)用91《高等數(shù)學(xué)》模塊課件92（a）

（b）

圖3-12（a）93《高等數(shù)學(xué)》模塊課件943.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

在圖3-13和圖3-14中的曲線上各點(diǎn)作切線，可以看出：當(dāng)曲線弧是凹的時(shí)，曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線弧的下方；當(dāng)曲線弧是凸的時(shí)，曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線弧的上方．圖3-1