根軌跡的概念和系統(tǒng)

第六章根軌跡法§6–1根軌跡的概念§6–2繪制根軌跡的規(guī)則§6–3廣義根軌跡§6–4系統(tǒng)性能分析1

根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的分布，因此，用根軌跡法分析控制系統(tǒng)十分方便，特別是對(duì)于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的基本規(guī)則和用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)的方法。2

§6–1根軌跡的概念

一﹑根軌跡圖根軌跡圖是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的變化軌跡。例6-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)的變化在S平面上的分布情況。3

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是設(shè)〔0,∞﹚，當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)，與為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，為等實(shí)根；4

當(dāng)時(shí)，為一對(duì)共軛復(fù)根，其實(shí)部都等于-1，虛部隨值的增加而增加；當(dāng)→∞時(shí)，、的實(shí)部都等于-1，是常數(shù)，虛部趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。

該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)在S平面上變化的軌跡如圖6-1所示。5圖6-1例6-1的根軌跡6

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能。值的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來(lái)分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，這對(duì)于二階系統(tǒng)并非難事，但對(duì)于高階系統(tǒng)，求解特征方程的根就比較困難了。如果要研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的影響，需要大量反復(fù)的計(jì)算。

1948年伊萬(wàn)斯（W·R·EVANS）提出了根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可會(huì)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。7二、開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系

通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此建立開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制，并由此引導(dǎo)出根軌跡方程。設(shè)控制系統(tǒng)如圖6-2所示，閉環(huán)傳遞函數(shù)為(6-1)

-圖6-2控制系統(tǒng)8

前向通路傳遞函數(shù)G(s)和反饋通路傳遞函數(shù)H(s)可分別表示

（6-2）

（6-3）

式中為前向通路增益，為前向通路根軌跡增益；為反饋通路增益，為反饋通路根軌跡增益。9系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-4)

為系統(tǒng)的開環(huán)增益，為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；m=f+L為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)，為開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)。

將式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得

（6-5）10比較較式式（（6-4））和和式式（（6-5）），，可可得得以以下下結(jié)結(jié)論論：：⑴閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)根根軌軌跡跡增增益益，，等等于于開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)前前向向通通路路根根軌軌跡跡增增益益；；對(duì)對(duì)于于單單位位反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)，，閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)根根跡跡增增益益就就等等于于開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)根根軌軌跡跡增增益益。。⑵閉閉環(huán)環(huán)零零點(diǎn)點(diǎn)由由開開環(huán)環(huán)前前向向通通路路傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)和和反反饋饋通通路路傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)所所組組成成；；對(duì)對(duì)于于單單位位反反饋饋系系統(tǒng)統(tǒng)，，閉閉環(huán)環(huán)零零點(diǎn)點(diǎn)就就是是開開環(huán)環(huán)零零點(diǎn)點(diǎn)。。⑶閉閉環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)與與開開環(huán)環(huán)零零點(diǎn)點(diǎn)、、開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)以以及及根根軌軌跡跡增增益益均均有有關(guān)關(guān)。。11根軌軌跡跡法法的的基基本本任任務(wù)務(wù)：：由由已已知知的的開開環(huán)環(huán)零零、、極極點(diǎn)點(diǎn)的的分分布布及及根根軌軌跡跡增增益益，，通通過(guò)過(guò)圖圖解解的的方方法法找找出出閉閉環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn),一一旦旦閉閉環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)被被確確定定，，閉閉環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)的的形形式式便便不不難難確確定定，，因因?yàn)闉殚]閉環(huán)環(huán)零零點(diǎn)點(diǎn)可可由由式式（（6-5））直直接接得得到到。。在在已已知知閉閉環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)的的情情況況下下，，閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的時(shí)時(shí)間間響響應(yīng)應(yīng)可可利利用用拉拉氏氏反反變變換換的的方方法法求求出出，，或或利利用用計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)直直接接求求解解。。12三、、根根軌軌跡跡增增益益與與開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)增增益益K的關(guān)關(guān)系系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)增增益益（（或或開開環(huán)環(huán)放放大大倍倍數(shù)數(shù)））為為（6-6））式中中是是開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)中中含含積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，，由由它它來(lái)來(lái)確確定定該該系系統(tǒng)統(tǒng)是是零零型型系系統(tǒng)統(tǒng)（（））,ⅠⅠ型型系系統(tǒng)統(tǒng)（（））或或ⅡⅡ型型系系統(tǒng)統(tǒng)（（））等等。。將（（6-4））代代入入（（6-6））可可得得13開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的根根軌軌跡跡增增益益與與開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的增增益益K之之間間僅僅相相差差一一個(gè)個(gè)比比例例常常數(shù)數(shù)，，這這個(gè)個(gè)比比例例常常數(shù)數(shù)只只與與開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)中中的的零零點(diǎn)點(diǎn)和和極極點(diǎn)點(diǎn)有有關(guān)關(guān)。。由式式（（6-4））可可知知，，根根軌軌跡跡增增益益（（或或根根軌軌跡跡放放大大系系數(shù)數(shù)））是是系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)的的分分子子﹑﹑分分母母的的最最高高階階次次項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)為為1的的比比例例因因子子。。在在例例6-1中中系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為其開開環(huán)環(huán)增增益益為為對(duì)于于該該系系統(tǒng)統(tǒng)，，根根軌軌跡跡增增益益與與開開環(huán)環(huán)增增益益K之之間間的的是是，，它它們們之之間間僅僅相相差差一一個(gè)個(gè)比比例例常常數(shù)數(shù)2。。14四、、根根軌軌跡跡與與系系統(tǒng)統(tǒng)性性能能以圖圖6-1為為例例進(jìn)進(jìn)行行說(shuō)說(shuō)明明穩(wěn)定定性性如果果系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征方方程程的的根根都都位位于于S平平面面的的左左半半部部，，系系統(tǒng)統(tǒng)是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的，，否否則則是是不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。。若若根根軌軌跡跡穿穿越越虛虛軸軸進(jìn)進(jìn)入入右右半半S平平面面，，根根軌軌跡跡與與虛虛軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)處處的的K值值，，就就是是臨臨界界穩(wěn)穩(wěn)定定的的開開環(huán)環(huán)增增益益Kc。穩(wěn)態(tài)性能能開環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)在坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)有有一個(gè)極極點(diǎn)，所所以屬ⅠⅠ型系統(tǒng)統(tǒng)，因而而根軌跡跡上的K值就是是靜態(tài)速速度誤差差系數(shù)。。如果給給定系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)態(tài)誤差要要求，則則由根軌軌跡圖確確定閉極極點(diǎn)位置置的允許許范圍動(dòng)態(tài)性能能當(dāng)時(shí)時(shí)，，所有閉閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)均位于于實(shí)軸上上，系統(tǒng)統(tǒng)為過(guò)阻阻尼系統(tǒng)統(tǒng)，其單單位階躍躍響應(yīng)為為單調(diào)上上升的非非周期過(guò)過(guò)程。當(dāng)當(dāng)時(shí)，特征征方程的的兩個(gè)相相等負(fù)實(shí)實(shí)根，系系統(tǒng)為臨臨界阻尼尼系統(tǒng)，，單位階階躍響應(yīng)應(yīng)為響應(yīng)應(yīng)速度最最快的非非周期過(guò)過(guò)程。當(dāng)當(dāng)時(shí)，特征征方程為為一對(duì)共共軛復(fù)根根，系統(tǒng)統(tǒng)為欠阻阻尼系統(tǒng)統(tǒng)，單位位階躍響響應(yīng)為阻阻尼振蕩蕩過(guò)程，，振蕩幅幅度或超超調(diào)量隨隨值值的增增加而加加大，但但調(diào)節(jié)時(shí)時(shí)間不會(huì)會(huì)有顯著著變化。。15§6–2繪繪制根軌軌跡的規(guī)規(guī)則一、繪制制根軌跡跡的依據(jù)據(jù)根軌法的的基本任任務(wù)在于于，由已已知的開開環(huán)零、、極點(diǎn)的的分布及及根軌跡跡增益，，通過(guò)圖圖解的方方法找出出閉環(huán)極極點(diǎn)。由由零變到到無(wú)窮大大時(shí)，閉閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)特征方方程的根根在S平平面上運(yùn)運(yùn)動(dòng)的軌軌跡。因因此，系系統(tǒng)的特特征方程程便是繪繪制根軌軌跡的依依據(jù)。系系統(tǒng)的特特征方程程為16當(dāng)系統(tǒng)有有m個(gè)開開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)和n個(gè)個(gè)開環(huán)極極點(diǎn)時(shí)，，特征方方程可寫寫成式中，為為已已知的開開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)，為為已知的的開環(huán)極極點(diǎn)，為為可從零零變到無(wú)無(wú)窮的開開環(huán)根軌軌跡增益益。我們們把上式式稱為根軌跡方方程，由根軌軌跡方程程，可以以畫出當(dāng)當(dāng)由由零變變到無(wú)窮窮時(shí)系統(tǒng)統(tǒng)的根軌軌跡。在繪制根根軌跡時(shí)時(shí)，參數(shù)數(shù)不限定定是根軌軌跡增益益，，可為為系統(tǒng)的的其它參參數(shù)（如如時(shí)間常常數(shù)、反反饋系數(shù)數(shù)等）這這時(shí)只要要把系統(tǒng)統(tǒng)的特征征方程化化為上式式，將感感興趣的的參數(shù)取取代根軌軌跡增益益的的位置置就可以以繪制根根軌跡。。17根軌跡方方程實(shí)際際上是一一個(gè)向量量方程，，用模和和相角的的形式表表示就是是可得到滿滿足系統(tǒng)統(tǒng)特征方方程的幅幅值條件件和相值值條件為為幅值條件件：相值條件件：18設(shè)系統(tǒng)的的開環(huán)傳傳遞函數(shù)數(shù)為滿足幅值值條件的的表達(dá)式式為滿足相角角條件的的表達(dá)式式為19綜上分析析，可以以得到如如下結(jié)論論：⑴繪制根根軌跡的的相角條條件與系系統(tǒng)開環(huán)環(huán)根軌跡跡增益值值的的大小無(wú)無(wú)關(guān)。即即在S平平面上，，所有滿滿足相角角條件的的點(diǎn)的集集合的構(gòu)構(gòu)成系統(tǒng)統(tǒng)的根軌軌跡圖。。即相角條件件是繪制制根軌跡跡的主要要依據(jù)。⑵繪制根根軌跡的的幅值條條件與系系統(tǒng)開環(huán)環(huán)根軌跡跡增益值值的的大小有有關(guān)。即即值值的變化化會(huì)改變變系統(tǒng)的的閉環(huán)極極點(diǎn)在S平面上上的位置置。⑶在系統(tǒng)統(tǒng)參數(shù)確確定的情情況下，，凡能滿滿足相角角條件和和幅值條條件的S值，就就是對(duì)應(yīng)應(yīng)給定參參數(shù)的特特征根，，或系統(tǒng)統(tǒng)的閉環(huán)環(huán)極點(diǎn)。。⑷由于相相角條件件和幅值值條件只只與系統(tǒng)統(tǒng)的開環(huán)環(huán)傳遞函函數(shù)有關(guān)關(guān)，因此此，已知知系統(tǒng)的的開環(huán)傳傳遞函數(shù)數(shù)便可繪繪制出根根軌跡圖圖。20二、繪制制根軌跡跡的基本本規(guī)則通常，我我們把以以開環(huán)根根軌跡增增益為為可變變參數(shù)繪繪制的根根軌跡叫叫做普通通根軌跡跡（或一一般根軌軌跡）。。繪制普普通根軌軌跡的基基本規(guī)則則如下。。21規(guī)則一根根軌跡的的起點(diǎn)和和終點(diǎn)幅值條件件可寫成成當(dāng)，，必必須有此時(shí)，系系統(tǒng)的閉閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)與開環(huán)環(huán)極點(diǎn)相相同(重重合)，，我們把把開環(huán)極極點(diǎn)稱為為根軌跡跡的起點(diǎn)點(diǎn)，它對(duì)對(duì)應(yīng)于開開環(huán)根軌軌跡增益益。。當(dāng)時(shí)時(shí)，，必須有有，，此時(shí)時(shí)，系統(tǒng)統(tǒng)的閉環(huán)環(huán)極點(diǎn)與與開環(huán)零零點(diǎn)相同同(重合合)，我我們把開開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)稱為根根軌跡的的終點(diǎn)，，它對(duì)應(yīng)應(yīng)于開環(huán)環(huán)根軌跡跡增益。22下面分三三種情況況討淪。。1．當(dāng)m=n時(shí)，即即開環(huán)零零點(diǎn)數(shù)與與極點(diǎn)數(shù)數(shù)相同時(shí)時(shí)，根軌軌跡的起起點(diǎn)與終終點(diǎn)均有有確定的的值。2．當(dāng)m<n時(shí)時(shí)，即開開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)數(shù)小于于開環(huán)極極點(diǎn)數(shù)時(shí)時(shí)，除有有m條根根軌跡終終止于開開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)(稱為為有限零零點(diǎn))外外，還有有n-m條根軌軌跡終止止于無(wú)窮窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)無(wú)限零點(diǎn)點(diǎn))。如如例6-1。3．當(dāng)m>n時(shí)時(shí)，即開開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)數(shù)大于于開環(huán)極極點(diǎn)數(shù)時(shí)時(shí)，除有有n條根根軌跡起起始于開開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)(稱為為有限極極點(diǎn))外外，還有有m-n條根軌軌跡起始始于無(wú)窮窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)無(wú)限極點(diǎn)點(diǎn))。這這種情況況在實(shí)際際的物理理系統(tǒng)中中雖不會(huì)會(huì)出現(xiàn)，，但在參參數(shù)根軌軌跡中，，有可能能出現(xiàn)在在等效開開環(huán)傳遞遞函數(shù)中中。23結(jié)論：根軌跡起起始于開開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)，，終止止于開環(huán)環(huán)零點(diǎn)（（或或)；如如果開環(huán)環(huán)極點(diǎn)數(shù)數(shù)n大于于開環(huán)零零點(diǎn)數(shù)m，則有有n-m條根軌軌跡終止止于S平平面的無(wú)無(wú)窮遠(yuǎn)處處(無(wú)限限零點(diǎn))，如果果開環(huán)零零點(diǎn)數(shù)m大于開開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)數(shù)n，，則有m-n條條根軌跡跡起始于于S平面面的無(wú)窮窮遠(yuǎn)處(無(wú)限極極點(diǎn))。。24規(guī)則二根根軌跡跡的分支支數(shù)、連連續(xù)性和和對(duì)稱性性根軌跡的的分支數(shù)數(shù)即根軌軌跡的條條數(shù)。既既然根軌軌跡是描描述閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)特特征方程程的根（（即閉環(huán)環(huán)極點(diǎn)））在S平平面上的的分布，，那么，，根軌跡跡的分支支數(shù)就應(yīng)應(yīng)等于系系統(tǒng)特征征方程的的階數(shù)。。由例4-1看出出，系統(tǒng)統(tǒng)開環(huán)根根軌跡增增益(實(shí)變變量）與與復(fù)變量量S有一一一對(duì)應(yīng)應(yīng)的關(guān)系系，當(dāng)由由零零到無(wú)窮窮大連續(xù)續(xù)變化時(shí)時(shí)，描述述系統(tǒng)特特征方程程根的復(fù)復(fù)變量S在平面面上的變變化也是是連續(xù)的的，因此此，根軌軌跡是n條連續(xù)續(xù)的曲線線。由于實(shí)際的物物理系統(tǒng)的參參數(shù)都是實(shí)數(shù)數(shù)，如果特征征方程有復(fù)數(shù)數(shù)根，一定是是對(duì)稱于實(shí)軸軸的共軛復(fù)根根，因此，根根軌跡總是對(duì)對(duì)稱于實(shí)軸的的。結(jié)論：根軌跡跡的分支數(shù)等等于系統(tǒng)的閉閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。。根軌跡是連連續(xù)且對(duì)稱于于實(shí)軸的曲線線。25例4-3設(shè)設(shè)系統(tǒng)的開開環(huán)傳遞函數(shù)數(shù)為其其中、、、、、、為實(shí)實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零零點(diǎn)，為為共軛復(fù)數(shù)數(shù)零、極點(diǎn)，，它們?cè)赟平平面上的分布布如圖4-4所示，試分分析實(shí)軸上的的根軌跡與開開環(huán)零點(diǎn)和極極點(diǎn)的關(guān)系。。實(shí)軸上的根軌軌跡必須滿足足繪制根軌跡跡的相角條件件，即規(guī)則三實(shí)實(shí)軸上的根軌軌跡若實(shí)軸上某線線段右側(cè)的開開環(huán)零、極點(diǎn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和和為奇數(shù)，則則該線段是實(shí)實(shí)軸上的根軌軌跡。26圖6-4實(shí)軸上上的根軌跡P1P2P3P5P4z1z2S0z4z30θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3為確定實(shí)軸上上的根軌跡，，選擇s0作為試驗(yàn)點(diǎn)。。圖6-4中中，開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相相角為開環(huán)零點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相相角為確定實(shí)軸上的的某點(diǎn)是否在在根軌跡上時(shí)時(shí)，可以不考考慮復(fù)數(shù)開環(huán)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)對(duì)相角的影響響。實(shí)軸上，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)環(huán)極點(diǎn)P3和開環(huán)零點(diǎn)z2構(gòu)成的向量的的夾角均為零零度，而s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)環(huán)極點(diǎn)P1、P2和開環(huán)零點(diǎn)z1構(gòu)成的向量的的夾角均為。。若s0為根軌跡上的的點(diǎn)，必滿足足相角條件，，由以上分析知知，只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上上的開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和和為奇數(shù)時(shí)，，才滿足相角角條件。27規(guī)則四漸漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)數(shù)n大于開環(huán)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌軌跡終止于S平面的無(wú)窮窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌軌跡變化趨向向的直線叫做做根軌跡的漸漸近線，因此此，浙近線也也有n-m條條，且它們交交于實(shí)軸上的的一點(diǎn)。漸近近線與實(shí)軸的的交點(diǎn)位置和和與實(shí)軸軸正方向的交交角分分別為28在例6-1中，開環(huán)傳傳遞函數(shù)為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2,開環(huán)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m=0,n-m=2,兩條條漸近線在實(shí)實(shí)軸上的交點(diǎn)點(diǎn)位置為它們與實(shí)軸正正方向的交角角分別為和，，兩條漸近近線正好與時(shí)時(shí)的的根軌跡重合。29例6-2已知知系統(tǒng)的開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)為為試試畫畫出該系統(tǒng)根根軌跡的漸近近線。解對(duì)于該該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸漸近線與實(shí)軸軸交點(diǎn)位置為為它們與實(shí)軸正正方向的交角角分別是漸近線如圖6-3所示。30圖6-3根軌跡跡的漸近線31規(guī)則五根根軌跡的分分離點(diǎn)分析例6-1，當(dāng)系統(tǒng)開開環(huán)增益由由零到無(wú)窮窮大變化時(shí)，，兩條根軌跡跡先是在實(shí)軸軸上相向運(yùn)動(dòng)動(dòng)(),然然后它們相遇遇在點(diǎn)點(diǎn)，，當(dāng)后后，它們便離離開實(shí)軸進(jìn)入入S平面，且且離開實(shí)軸時(shí)時(shí)，根軌跡與與實(shí)軸正交。。我們稱該點(diǎn)為為根軌跡的分分離點(diǎn)。實(shí)際上,點(diǎn)點(diǎn)是例6-1系統(tǒng)特征征方程的等實(shí)實(shí)根，它對(duì)應(yīng)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)環(huán)根軌跡增益益。。一般，，常見的根軌軌跡分離點(diǎn)是是位于實(shí)軸上上兩條根軌跡跡分支的分離離點(diǎn)。如例6-1中的點(diǎn)點(diǎn)。若根軌軌跡位于實(shí)軸軸上兩個(gè)相鄰鄰的開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)之間（其中中一個(gè)可以是是無(wú)限極點(diǎn)）），則在這兩兩個(gè)極點(diǎn)之間間至少存在一一個(gè)分離點(diǎn)；；若根軌跡位位于實(shí)軸上兩兩個(gè)相鄰的開開環(huán)零點(diǎn)之間間（其中一個(gè)個(gè)可以是無(wú)限限零點(diǎn)），則則在這兩個(gè)零零點(diǎn)之間也至至少有一個(gè)分分離點(diǎn)。如圖圖6-5上的的分離點(diǎn)和和。。但在有些情情況下，根軌軌跡的分離點(diǎn)點(diǎn)也可能以共共軛形式成對(duì)對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平平面上，如圖圖6-6中的的分離點(diǎn)A和和B。顯然，，復(fù)平面上的的分離點(diǎn)表明明系統(tǒng)特征方方程的根中至至少有兩對(duì)相相等的共軛復(fù)復(fù)根存在。32圖6-5實(shí)軸上上根軌跡的分分離點(diǎn)圖6-6復(fù)平面面上的分離點(diǎn)點(diǎn)33由上面分析可可知，確定根根軌跡的分離離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上上就是求出系系統(tǒng)特征方程程的等實(shí)根（（實(shí)軸上的分分離點(diǎn)）或等等共軛復(fù)根（（復(fù)平面上的的分離點(diǎn)）。。系統(tǒng)的特征方方程可寫成（6-22））對(duì)式（6-22）求導(dǎo)可可得（6-23））式（6-23）稱為分離離點(diǎn)方程。對(duì)對(duì)于一個(gè)n階階系統(tǒng)，解式式（6-23）可得到n-1個(gè)根分離點(diǎn)方程的的另一種形式式為（6-24））式中，為為開環(huán)零點(diǎn)的的數(shù)值，為為開環(huán)極點(diǎn)的的數(shù)值。34當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無(wú)無(wú)有限零點(diǎn)時(shí)時(shí)，則在方程程（6-24）中，應(yīng)取取。此時(shí)，分離離點(diǎn)方程即為為（6-25））只有那些在根根軌跡上的解解才是根軌跡跡的分離點(diǎn)。。若在這些根中中有共軛復(fù)根根，如何判斷斷共軛復(fù)根是是否在根軌跡跡上，是一個(gè)個(gè)比較復(fù)雜的的問(wèn)題，但由由于只有當(dāng)開開環(huán)零、極點(diǎn)點(diǎn)分布非常對(duì)對(duì)稱時(shí)，才會(huì)會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面面上的分離點(diǎn)點(diǎn)（如圖6-6所示），，因此，用觀觀察法可大體體上判斷，然然后將其代入入特征方程中中進(jìn)行驗(yàn)算，，即可確定。。對(duì)于例6-1，由式（6-23）可可得分離點(diǎn)方方程即解得，，位位于實(shí)軸根軌軌跡上（由0到-2的線線段上），故故它是實(shí)軸上上的分離點(diǎn)。。35例6-4已知知系統(tǒng)的開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)為為

試求求出系統(tǒng)根軌軌跡與實(shí)軸的的交點(diǎn)。解本系系統(tǒng)無(wú)有限限開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)，由式（（6-25）可得即解出，，，，由規(guī)則五知知，實(shí)軸上上的根軌跡跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不不在上述述兩線段上上，應(yīng)舍去去。是實(shí)軸根軌軌跡上的點(diǎn)點(diǎn)，它就是是根軌跡在在實(shí)軸上的的分離點(diǎn)。。運(yùn)用前面面的六條規(guī)規(guī)則，可繪繪制如圖6-7所示的根根軌跡圖。。36圖6-7根軌軌跡的分離離點(diǎn)37規(guī)則六起起始角角與終止角角當(dāng)開環(huán)傳遞遞函數(shù)中有有復(fù)數(shù)極點(diǎn)點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)時(shí)，根軌跡跡是沿著什什么方向離離開開環(huán)復(fù)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或或進(jìn)入開環(huán)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)的呢？這這就是所謂謂的起始角角和終止角角問(wèn)題,先先給出定定義如下：：⑴起始角根根軌跡跡離開開環(huán)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)點(diǎn)處在切線線方向與實(shí)實(shí)軸正方向向的夾角。。參看圖4-8（a）中的和和。。⑵終止角根根軌跡跡進(jìn)入開環(huán)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)處的切線線方向與實(shí)實(shí)軸正方向向的夾角。。參看圖6-8（b）中的和和。。38圖6-8(a)根根軌軌跡的起始始角和終止止角39圖6-8(b)根根軌跡的起起始角和終終止角40通過(guò)例6-5分析起始始角與終止止角的大小小。例6-5已已知系系統(tǒng)的開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)數(shù)為且且和和為為一對(duì)共軛軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)點(diǎn)，和分分別別為實(shí)極點(diǎn)點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)點(diǎn)，它們?cè)谠赟平面上上的分布如如圖6-9所示。試試依據(jù)相角角條件求出出根軌跡離離開開環(huán)復(fù)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和和的的起起始角和和。。41圖6-9起始始角的的求取對(duì)于根軌跡跡上無(wú)限靠靠近p1的點(diǎn)A，由由相角條件件可得由于A點(diǎn)無(wú)無(wú)限靠近點(diǎn)點(diǎn)，，推廣為一般般情況可得得求起始角角的關(guān)系式式為同理，可得得到求終止止角的關(guān)系系式為42規(guī)則七根根軌跡跡與虛軸的的交點(diǎn)根軌跡與虛虛軸的交點(diǎn)點(diǎn)就是閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)特征征方程的純純虛根（實(shí)實(shí)部為零））。這時(shí)，，用代代入特征征方程可得得即由此可得虛虛部方程和和實(shí)部方程程為解虛部方程程可得角頻頻率，，即根軌軌跡與虛軸軸的交點(diǎn)的的坐標(biāo)值；；用代代入實(shí)部部方程，可可求出系統(tǒng)統(tǒng)開環(huán)根軌軌跡增益的的臨界值。。的的物理含義義是使系統(tǒng)統(tǒng)由穩(wěn)定（（或不穩(wěn)定定）變?yōu)椴徊环€(wěn)定（或或穩(wěn)定）的的系統(tǒng)開環(huán)環(huán)根軌跡增增益的臨界界值。43例6-6試試求出出例6-4中根軌跡跡與虛軸的的交點(diǎn)及及相應(yīng)應(yīng)的開環(huán)根根軌跡增益益的臨界值值。。解由例例6-4知知系統(tǒng)的開開環(huán)傳遞函函數(shù)為其特征方程程是令并并代代入特征方方程得其虛部和實(shí)實(shí)部方程分分別為44解虛部方程程得由于不不是根軌跡跡上的點(diǎn)，，應(yīng)舍去，，故為根軌跡與與虛軸的兩兩個(gè)交點(diǎn)。。將其代入入實(shí)部方程程便可求出出系統(tǒng)開環(huán)環(huán)根軌跡增增益的臨界界值。系統(tǒng)的根根軌跡如圖圖6-10所示。當(dāng)系統(tǒng)的階階次較高時(shí)時(shí)，解特征征方程將會(huì)會(huì)遇到困難難，此時(shí)可可用勞斯判判據(jù)求出系系統(tǒng)開環(huán)根根軌跡增益益的臨界值值和根軌跡與與虛軸的交交點(diǎn)。。45圖6-10根根軌跡與虛虛軸的交點(diǎn)點(diǎn)46以上七條規(guī)規(guī)則是繪制制根軌跡圖圖所必須遵遵循的基本本規(guī)則。此此外，繪制制一幅完整整的根軌跡跡圖尚須注注意以下幾幾點(diǎn)規(guī)范畫畫法。⑴根軌跡的的起點(diǎn)（開開環(huán)極點(diǎn))用符號(hào)““”標(biāo)標(biāo)示；根軌軌跡的終點(diǎn)點(diǎn)(開環(huán)零零點(diǎn))用符號(hào)““”標(biāo)標(biāo)示。⑵根軌跡由由起點(diǎn)到終終點(diǎn)是隨系系統(tǒng)開環(huán)根根軌跡增益益值的的增加而運(yùn)運(yùn)動(dòng)的，要要用箭頭標(biāo)標(biāo)示根軌跡跡運(yùn)動(dòng)的方方向。⑶要標(biāo)出一一些特殊點(diǎn)點(diǎn)的值值，其中中直接標(biāo)出出的有起點(diǎn)點(diǎn)(或或)，終點(diǎn)或或)；根軌跡跡與實(shí)軸的的交點(diǎn)即實(shí)實(shí)軸上的分分離點(diǎn)()；與與虛軸的交交點(diǎn)（））。還還有一些要要求標(biāo)出的的閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)及及其對(duì)應(yīng)的的開環(huán)根軌軌跡增益，，也也應(yīng)在根軌軌跡圖上標(biāo)標(biāo)出，以便便于進(jìn)行系系統(tǒng)的分析析和綜合。。47例6-7已知知系統(tǒng)的開開環(huán)傳遞函函數(shù)為試試?yán)L制該該系統(tǒng)完整整的根軌跡跡圖。解⑴該系系統(tǒng)的特征征方程為這是一個(gè)三三階系統(tǒng)，，由規(guī)則一一知，該系系統(tǒng)有三條條根軌跡在S平面面上。三、繪制根根軌跡圖示示例⑵由規(guī)則二二知，三條條根軌跡是是連續(xù)且對(duì)對(duì)稱于實(shí)軸軸的。⑶根軌跡的的起點(diǎn)是該該系統(tǒng)的三三個(gè)開環(huán)極極點(diǎn)，即由于沒(méi)有開開環(huán)零點(diǎn)（（m=0））,三條根軌跡跡的終點(diǎn)均均在無(wú)窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處。48當(dāng)k=0時(shí)時(shí)當(dāng)k=1時(shí)時(shí)當(dāng)k=2時(shí)時(shí)⑷由規(guī)則四四知，可求求出根軌跡跡三條漸近近線的交點(diǎn)點(diǎn)位置和它它們與實(shí)軸軸正方向的的交角。49⑸由規(guī)則五五，實(shí)軸上上的根軌跡跡為實(shí)軸上上到的的線線段和由至至實(shí)實(shí)軸上負(fù)無(wú)無(wú)窮遠(yuǎn)線段段。⑹由規(guī)則六六知，根軌軌跡與實(shí)軸軸的交點(diǎn)（（分離點(diǎn)））應(yīng)是方程程解的合理值值，即得由于不不在實(shí)軸的的根軌跡上上，應(yīng)舍去去；實(shí)際的的分離點(diǎn)應(yīng)應(yīng)為。。⑺無(wú)復(fù)數(shù)開環(huán)環(huán)極點(diǎn)和零零點(diǎn)，不存存在出射角角和入射角角。⑻由規(guī)則八八，可求出出根軌跡與與虛軸的交交點(diǎn)及及對(duì)應(yīng)的開開環(huán)根根軌跡增益益的臨界值值。。用代代入特特征方程得得50解虛部方程程得其中是是開環(huán)極極點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)的坐坐標(biāo)值，它它是根軌跡跡的起點(diǎn)之之一。合理理的交點(diǎn)應(yīng)應(yīng)為將代代入入實(shí)部方程程得到對(duì)應(yīng)應(yīng)的開環(huán)根根軌跡增益益的臨界值值。。繪制制出該系統(tǒng)統(tǒng)的根軌跡跡圖如圖6-11所所示。⑻由規(guī)則八八，可求出出根軌跡與與虛軸的交交點(diǎn)及及對(duì)應(yīng)的開開環(huán)根根軌跡增益益的臨界值值。。用代代入特特征方程得得51圖6-11例例6-7系統(tǒng)根軌軌跡圖52解⑴這這是一個(gè)二二階系統(tǒng)，，在S平面面上有兩條條連續(xù)且對(duì)對(duì)稱于實(shí)軸軸的根軌跡跡。⑵由開環(huán)傳傳遞函數(shù)可可知，該系系統(tǒng)有一個(gè)個(gè)開環(huán)實(shí)零零點(diǎn)和和一對(duì)開開環(huán)共軛復(fù)復(fù)數(shù)極,因此，，根軌跡的的起點(diǎn)為和和，，其終終點(diǎn)為和和無(wú)窮窮遠(yuǎn)點(diǎn)。。⑶由規(guī)則五五知，實(shí)軸軸上由-2至-∞的的線段為實(shí)實(shí)軸上的根根軌跡。例6-8已知知系統(tǒng)的開開環(huán)傳遞函函數(shù)為試試?yán)L制制該系統(tǒng)的的根軌跡圖圖。⑷由規(guī)則六六，可求出出根軌跡與與實(shí)軸的交交點(diǎn)（分離離點(diǎn)）。分分離點(diǎn)方程程是53即解方程可得得不在實(shí)軸上上的根軌跡跡上，舍去去，，實(shí)際的分分離點(diǎn)為。。⑸由規(guī)則七七，可求出出開環(huán)復(fù)數(shù)數(shù)極點(diǎn)（根根軌跡的起起點(diǎn)）的出出射角。它它們是54證明已已知系統(tǒng)統(tǒng)的開環(huán)零零點(diǎn)和極點(diǎn)點(diǎn)分別為，，，令令s=u+jv為根根軌跡的任任一點(diǎn)，由由繪制根軌軌跡的相角角條件可得得將s、、、和代代入得即應(yīng)用三角公公式⑹為了準(zhǔn)確地地畫出S平平面上根軌軌跡的圖形形，運(yùn)用相相角條件可可證明本系系統(tǒng)在S平平面上的根根軌跡是一一個(gè)半徑為為，，圓心位位于點(diǎn)的的圓圓弧。55將上式等號(hào)號(hào)左邊合并并可得到將上上式式等等號(hào)號(hào)兩兩邊邊取取正正切切，，則則有有方程程表表示示在在S平平面面上上的的根根軌軌跡跡是是一一個(gè)個(gè)圓圓心心位位于于點(diǎn)點(diǎn)、、半半徑徑為為的的圓圓弧弧。。由由此此，，可可畫畫出出根根軌軌跡跡的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確圖圖形形如如圖圖6-12所所示示。。56圖6-12例例6-8系系統(tǒng)統(tǒng)的的根根軌軌跡跡圖圖57由本本例例不不難難發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，，由由兩兩個(gè)個(gè)開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)（（實(shí)實(shí)極極點(diǎn)點(diǎn)或或復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)））和和一一個(gè)個(gè)開開環(huán)環(huán)實(shí)實(shí)零零點(diǎn)點(diǎn)組組成成的的二二階階系系統(tǒng)統(tǒng)，，只只要要實(shí)實(shí)零零點(diǎn)點(diǎn)沒(méi)沒(méi)有有位位于于兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)極極點(diǎn)點(diǎn)之之間間，，當(dāng)當(dāng)開開環(huán)環(huán)根根軌軌跡跡增增益益由由零零變變到到無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)，，復(fù)復(fù)平平面面上上的的閉閉環(huán)環(huán)根根軌軌跡跡，，是是以以實(shí)實(shí)零零點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心，，以以實(shí)實(shí)零零點(diǎn)點(diǎn)到到分分離離點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離為為半半徑徑的的一一個(gè)個(gè)圓圓（（當(dāng)當(dāng)開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)為為兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)極極點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)））或或圓圓的的一一部部分分（（當(dāng)當(dāng)開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)為為一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)））。。這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論在在數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)上上的的嚴(yán)嚴(yán)格格證證明明可可參參照照本本例例進(jìn)進(jìn)行行。。58例6-9已已知知系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為試試?yán)L繪制制該該系系統(tǒng)統(tǒng)的的根根軌軌跡跡圖圖。。解⑴由由已已知知系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)可可得得到到它它的的特特征征方方程程為為由規(guī)規(guī)則則一一和和規(guī)規(guī)則則二二知知，，該該系系統(tǒng)統(tǒng)的的根根軌軌跡跡共共有有4條條分分支支（（n=4）），，4條條根根軌軌跡跡連連續(xù)續(xù)且且對(duì)對(duì)稱稱于于實(shí)實(shí)軸軸。。⑵由由規(guī)規(guī)則則三三知知，，4條條根根軌軌跡跡的的起起點(diǎn)點(diǎn)分分別別是是系系統(tǒng)統(tǒng)的的4個(gè)個(gè)開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn),即即，，。。由由于于系系統(tǒng)統(tǒng)無(wú)無(wú)有有限限開開環(huán)環(huán)零零點(diǎn)點(diǎn)（（m=0）），，4條條根根軌軌跡跡的的終終點(diǎn)點(diǎn)均均在在S平平面面的的無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處處（（無(wú)無(wú)窮窮零零點(diǎn)點(diǎn)））。。59漸近近線線與與實(shí)實(shí)軸軸正正方方向向的的交交角角為為當(dāng)k=0時(shí)時(shí)，，當(dāng)k=1時(shí)時(shí)，，當(dāng)k=2時(shí)時(shí)，，當(dāng)k=3時(shí)時(shí)，，⑶由由規(guī)規(guī)則則四四可可求求出出4條條根根軌軌跡跡漸漸近近線線與與實(shí)實(shí)軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為60⑷由由規(guī)規(guī)則則五五知知，，實(shí)實(shí)軸軸上上的的根根軌軌跡跡是是實(shí)實(shí)軸軸上上由由0到到-2的的線線段段。。⑸⑸由由規(guī)規(guī)則則六六可可求求出出根根軌軌跡跡與與實(shí)實(shí)軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)（（分分離離點(diǎn)點(diǎn)））。。分分離離點(diǎn)點(diǎn)方方程程是是即解方方程程得得到到三三個(gè)個(gè)根根，，它它們們是是不在在實(shí)實(shí)軸軸上上的的根根軌軌跡跡上上，，不不是是分分離離點(diǎn)點(diǎn)；；和和在在實(shí)實(shí)軸軸根根軌軌跡跡上上，，它它們們是是根根軌軌跡跡與與實(shí)實(shí)軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)的的合合理理值值，，即即和是是兩兩個(gè)個(gè)分分離離點(diǎn)點(diǎn)。。⑹由由規(guī)規(guī)則則七七可可求求出出復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)和和的的出出射射角角61⑺該該系系統(tǒng)統(tǒng)為為4階階系系統(tǒng)統(tǒng)，，用用解解析析法法求求根根軌軌跡跡與與虛虛軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)和和對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的開開環(huán)環(huán)根根軌軌跡跡增增益益的的臨臨界界值值比比較較困困難難。。下下面面采采用用勞勞斯斯判判據(jù)據(jù)求求出出和和的的值值。。根據(jù)據(jù)系系統(tǒng)統(tǒng)的的特特征征方方程程列列出出勞勞斯斯表表如如下下：：16440500令勞勞斯斯表表中中行行的的首首項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)為為零零，，求求得得，，由行行系系數(shù)數(shù)寫寫出出輔輔助助方方程程為為令，，并并將將代代入入輔輔助助方方程程可可求求出出。。系系統(tǒng)統(tǒng)的的根根軌軌跡跡如如圖圖6-13所所示示。。62圖6-13例例6-9系系統(tǒng)統(tǒng)的的根根軌軌跡跡圖圖63§6-3廣廣義義根根軌軌跡跡前面面介介紹紹的的普普通通根根軌軌跡跡或或一一般般根根軌軌跡跡的的繪繪制制規(guī)規(guī)則則是是以以開開環(huán)環(huán)根根軌軌跡跡增增益益為為可可變變參參數(shù)數(shù)的的，，大大多多數(shù)數(shù)系系統(tǒng)統(tǒng)都都屬屬于于這這種種情情況況。。但但有有時(shí)時(shí)候候，，為為了了分分析析系系統(tǒng)統(tǒng)方方便便起起見見，，或或著著重重研研究究某某個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)參參數(shù)數(shù)(如如時(shí)時(shí)間間節(jié)節(jié)數(shù)數(shù)、、反反饋饋系系數(shù)數(shù)等等)對(duì)對(duì)系系統(tǒng)統(tǒng)性性能能的的影影響響，，也也常常常常以以這這些些參參數(shù)數(shù)作作為為可可變變參參數(shù)數(shù)繪繪制制根根軌軌跡跡，，我我們們把把以以非非開開環(huán)環(huán)根根軌軌增增益益作作為為可可變變參參數(shù)數(shù)繪繪制制