高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)講義-常用邏輯用語

§1.2常用邏輯用語【考試要求】?.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定.■落實(shí)■落實(shí)主干知識【知識梳理】.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p〉q,則。是〃的充分條件,a是D的必要條件p是q的充分不必要條件p=>q且c件pp是q的必要不充分條件p#q且q0Pp是q的充要條件p0qp是q的既不充分也不必要條件p#q且q#p.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的"''任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“必”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“旦表示..全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立簡記否定p(x)Vx€A/>p(x)【常用結(jié)論】.充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)4={刖力},B={x@x)}.①若p是q的充分條件，則AG8；②若P是q的充分不必要條件，則AB：③若p是g的必要不充分條件，則84④若p是q的充要條件，則4=8.

.含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”..命題p與。的否定的真假性相反.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）（1）。是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件.（V）“三角形的內(nèi)角和為180?！笔侨Q量詞命題.（V）（3）已知集合A,B, 的充要條件是A=B.（V）（4）命題“mxGR,si吟+cos]=g”是真命題.（X）【教材改編題】.ua>bn是“ad>bd”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)時，若/=0,則4/=%好,所以coh^a^bc1,當(dāng)時，c2W0,則”>6,所以ac2>Z?c2=>a>/>,即ua>bn是“ad>bd”的必要不充分條件..使一2<x<2成立的—*個充分條件是（）A.x<2 B.0<x<2C.-2Wx<2 D.x>0答案B3.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是.答案存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形-探究-探究核心題型題型一充分、必要條件的判定例1（1）已知p：0'<1,q：log2%<0,則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析由知x>0,所以p對應(yīng)的x的范圍為(0,+°°),由log2X<0知0<v<l,所以q對應(yīng)的x的范圍為(0,1),顯然(0,1)(0,+8),所以p是q的必要不充分條件.(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列｛%｝的公比為心前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：4>0,乙：｛S”)是遞增數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B解析當(dāng)0<0,q>\時，a“=aq"r<0,此時數(shù)列｛S“｝單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列｛SJ單調(diào)遞增時，有*+|—5"=m+|=0/>0,若可>0,則/X)(〃GN*),即q>0；若ai<0,則/<0(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要條件.【教師備選】.在△ABC中，“482+80=4(?”是“△ABC為直角三角形”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析在△ABC中，若A￥+BGmAC2,則NB=90。，即AABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出NB=90。，所以不一定成立，綜上，“AN+BGmAC2”是“Z\ABC為直角三角形”的充分不必要條件..(2022?寧波模擬)設(shè)a,bGR,p-log2(a-l)+log2(i-1)>0,q： 則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由題意得，/?：lOg2（fi-l）+log2（fe—1）=Iog2（?—1）S—1）>0=10g21,所以（〃一1）（6—1）>1,即a+b<ab,\a-1>0,因?yàn)?lt;.八所以A1,加>1，則[/?-1>0,所以1+4<1,ab所以〃是q的充分條件；因?yàn)槟?lt;1,若ab>0,則a+b<ab,若ab<0,則a+b>ab,所以〃是q的非必要條件，所以p是4的充分不必要條件.思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)p=>q,g=>p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.（2）集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.跟蹤訓(xùn)練1（1）“a>2,b>2"是,,a+b>4,ab>4”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若a>2,b>2,則a+b>4,ab>4.當(dāng)a=l,6=5時，滿足a+b>4,ab>4,但不滿足a>2,b>2,所以a+6>4,ah>4^>a>2,h>2,故aa>2,b>2"是ua+b>4,ab>4"的充分不必要條件.（2）（2022?太原模擬）若a,b為非零向量，則"a_Lb”是u（a+b）2=a2+b2n的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)閍_Lb,所以。0=0,則3+m2=/+2°/+展=/+公，所以“_Lb”是“3+6)2=/+/，，的充分條件；反之，由3+b)2=°2+/得〃.力=0,所以非零向量0,占垂直，%A是(i(a+by=a2+b2"的必要條件.故是a(a+b)2=a2+b29f的充要條件.題型二充分、必要條件的應(yīng)用例2已知集合A={Mr2-8x-20<0},非空集合3={x|l-機(jī)WxWl+徵}.若x￡A是的必要條件，求m的取值范圍.解由x2一8x—2(X0,得一2<x<10,，A={X-2WxW10}.由是的必要條件，知BNA.(1-機(jī)<1+機(jī),1一62-2,1+mW10,，當(dāng)0W/nW3時，x￡A是x^B的必要條件，即所求機(jī)的取值范圍是[0,3].延伸探究本例中，若把是不￡8的必要條件”改為“x￡A是的充分不必要條件”，求機(jī)的取值范圍.解VxeA是的充分不必要條件，?"B,1—mW—2, f1—m<—2,則( 或1[1+加>10 [1+機(jī)210,解得m29,故初的取值范圍是[9,+°°).【教師備選】(2022?泰安模擬)已知p： q：|x+2〃|<3,且p是夕的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()A.(—8,—1] B.(—8,—1)C.[1,+8)D.(1,+8)答案C.[1,+8)解析因?yàn)閝：|x+2a|<3,所以4：—2a—3<x<—2a+3,記A={x|—2a—3<x<—2a+3},p：記為8={小?”).因?yàn)镻是g的必要不充分條件，所以4B,所以aW—2a—3,解得aW—1.思維升華求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.⑵要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022?衡水中學(xué)模擬)若不等式(x—a)2<l成立的充分不必要條件是l<x<2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案H.2]解析由(x—a)2<l得a—l<x<a+1,因?yàn)閘<x<2是不等式(x—a)2<l成立的充分不必要條件，\a—1W1,所以滿足一、、且等號不能同時取得，a<2,即解得lWa<2.2 2(2)已知p：實(shí)數(shù)機(jī)滿足3a<機(jī)<4〃(〃>0),qz方程〃=1+25〃=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,若〃是q的充分條件，則。的取值范圍是.?「13]u案L3,8__ 3解析由2一機(jī)>機(jī)一1>0,得Ivmvg,3即q：3心1,因?yàn)椤ㄊ?的充分條件，所以[4吟，1 3解得抖$題型三全稱量詞與存在量詞命題點(diǎn)1含量詞命題的否定例3（1）已知命題p：3nGN,〃222n+5,則㈱〃為（ ）VnGN,“222〃+53?GN,〃2W2〃+5V"GN,n2<2n+5BnGN,n2=2n+5答案C解析由存在量詞命題的否定可知，為V〃dN,"<2〃+5.所以C正確，A,B,D錯誤.（2）命題：“奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是.答案存在一個奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)命題點(diǎn)2含量詞命題的真假判定例4（多選）下列命題是真命題的是（）maGR,使函數(shù)y=2*+02r在R上為偶函數(shù)VxGR,函數(shù)y=sinx+cosx+g的值恒為正數(shù)3x6R,2yt2VxG（—10,+0°）,Q}>log]X答案AC解析當(dāng)a=l時，y=2*+2r為偶函數(shù)，故A為真命題；y=sinx+cosx+啦=A/2sinCr+^+-\/2,當(dāng)sin（x+；）=-l時，y=0,故B為假命題；當(dāng)xC（2,4）時，2yx2,故C為真命題；當(dāng)x=（時，G（o,l）,log,1=1.^3<log|I，故D為假命題.命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用例5已知命題“mxGR,使ar2—x+2W0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案懸O解析因?yàn)槊}使ax2—x+2<0”是假命題，所以命題“Vx￡R,使得a?-x+2>0”是真命題，當(dāng)。=0時，得x<2,故命題“，使得ax2一工+2>0”是假命題，不符合題意;

當(dāng)時，得，〃>0,當(dāng)時，得，4=1—8。<0,解得息.O【教師備選】1.(2022?西安模擬)下列命題中假命題是()VxGR,2c>0VxGN*,(x-l)2>0lgx<ltanx=2答案B解析?.?指數(shù)函數(shù)y=2,的值域?yàn)?0,+8),.,.VxGR,均可得到2c乂)成立，故A項(xiàng)為真命題；?當(dāng)XGN*時，X-1GN,可得。-1)220,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號，3x€N*,使(x—1)2>0不成立，故B項(xiàng)為假命題；,/當(dāng)x=l時，lg1=(X1,使得lgx<l成立，故C項(xiàng)為真命題；?.,正切函數(shù)y=tanx的值域?yàn)镽,...存在銳角x,使得tanx=2成立，故D項(xiàng)為真命題.綜上所述，只有B項(xiàng)是假命題.2.若命題“VxC[l,4],/—4x-m#0”是假命題，則機(jī)的取值范圍是( )A.—3 B.zn<—4C.zn2一4 D.—4W〃W0答案D解析若命題"Vxe[l,4], 4x—是假命題，則命題x1—4x-m=0"是真命題，則m=xi—4x,設(shè)y=x2—4x=(x—2)2—4,因?yàn)楹瘮?shù)y^-4x在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=2時，yinin=-4；當(dāng)x=4時，ymax=0,故當(dāng)1WxW4時，-4Wy<0,則一4W%W0.思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可.當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題.跟蹤訓(xùn)練3⑴命題“Vx>0,xsinx<2」l”的否定是( )Vx>0,xsinx22*—13x>0,xsinx22'—1Vx^O.xsinx<2v—13x^0,xsinx22“一1答案B解析因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“Vx>0,xsinx<2x-ln的否定是：3x>0,xsinx》2*—1.(2)(2022?重慶模擬)下列命題為真命題的是()VxGR,/一儀|+1<0VxGR,-1W COSXmxCR,(Inx^WO3xGR>sinx=3答案C解析對于A,因?yàn)椤阂挥?1=(㈤-§2+1>0恒成立，所以/一年|+1<0是假命題；對于B,當(dāng)時，」一=2,所以-1犬疑1是假命題；對于C,當(dāng)x=l時，lnx=O,所以(lnx)2《0是真命題；對于D,因?yàn)橐籏sinxWl,所以sinx=3是假命題.(3)若命題x2—〃?x—m<0”為真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.答案(一8,-4)U(0,4-oo)解析依題意，J=/n2+4z/z>0,m>0或m<—4.課時精練口基礎(chǔ)保分練.命題p:“有些三角形是等腰三角形”的否定是（）A.有些三角形不是等腰三角形B.有些三角形可能是等腰三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形答案C解析命題p：u 使P（x）成立”，為“對VxCA,有P（x）不成立”.故命題P：”有些三角形是等腰三角形”，則㈱P是“所有三角形不是等腰三角形”..（2021?浙江）已知非零向量a,b,c,則“。c=bc"是ua=bn的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析由oc=b-c,得到（a—>>c=0,所以（a—〃）>Lc或a=8,所以"a-c=6-c"是"a=8"的必要不充分條件..以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角B.至少有一個實(shí)數(shù)x,使?fàn)t<0C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個負(fù)數(shù)x,使1>2答案B解析A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題;B中當(dāng)x=0時,r=0,滿足/W0,所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因?yàn)檎?（一,）=0不是無理數(shù)，所以C是假命題；D中對于任意一個負(fù)數(shù)x,都有90,不滿足52,所以D是假命題.4.（2022?沈陽模擬）在空間中，設(shè)機(jī)，〃是兩條直線，a,6表示兩個平面，如果"?Ua,a〃夕,那么是“〃邛”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)時，V/nCa,a//p,則〃與"可能平行，.??充分性不成立；當(dāng)時，"：a//p,：.n±a,m^a, .?.必要性成立，AamLnn是的必要不充分條件.5.若命題"三》《(0,+°°).使得ax>『+4成立"是假命題，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是()A.(4,+°°) B.(—8,4)C.[4,+?>) D.(-8,4]答案D解析若命題“mxG(o,+°°),使得內(nèi)>/+4成立"是假命題，則有"Vxe(O,+8),使得以?9+4成立”是真命題.即a《x+(,貝！1aW(x+￡)min,又x+1>2，5=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號，故a<4.26.(2022?南京模擬)已知集合M=[—1,1],那么"?！芬?'是"三'6時,4*一2，+|一。&0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件答案A解析V3xGA/,4x-2j+l-a^0,.?.a2(4*-2x+i)min,xe[-l,l],設(shè)t=2x,則為)=尸-2/=(/—1)2—1,twjj,2j,?\Ar)min=_/U)=—1,，4》一1,*/-|.+°°)[-I,+8),2二"a，一§”是“mxGM,4J-2/i—aWO”的充分不必要條件..（多選）（2022?煙臺調(diào)研）下列四個命題中是真命題的有（）VxGR.3*>0Vx6R,ji^+x+IWOVxGR.sinx<2x3xGR,cosx>x2+x+1答案AD解析VxGR,3，>0恒成立，A是真命題;；/+x+1=(x+。+]>。，?'?B是假命題；由sin（一|兀）=1>22"，知C是假命題;但則D是真命題.TOC\o"1-5"\h\z.（多選）（2022?臨沂模擬）下列四個條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是（ ）A.x2>yd B<-<0, xyC.|x|>|y| D.Inx>lny答案ABD解析對于A選項(xiàng)，若x/Ayc2,則/WO,則x>y,反之x>y,當(dāng)c=0時得不出x^yc2,所以“xd〉”2"是“x>y”的充分不必要條件，故A正確；對于B選項(xiàng)，由,2<0可得y<r<0,xy即能推出x>y；但x>y不能推出44<0（因?yàn)閤,y的正負(fù)不確定），XV所以是“x>y”的充分不必要條件，故B正確；對于c選項(xiàng)，由k|>僅|可得/>好，則（x+y）（x—y）>0,不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>b，|（如x=l,y=2）,所以“國>伊|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，若lnx>lny,則x>y,反之x>y得不出lnx>lny,所以“l(fā)nx>lny”是“x>y”的充分不必要條件，故D正確..若命題p：Vx￡(O,+8),5>x+l,則命題p的否定為.答案3x^(0,+°°),,Wx+1.(2022-衡陽模擬)使得“2*>牛”成立的一個充分條件是.答案x<-1(答案不唯一)解析由于4'—2Zt,故2^>2^等價于x>2x,解得xvO,使得"2'X、”成立的一個充分條件只需為集合｛x|x<0｝的子集即可..直線y=fct+l與圓爐十步二層儂乂))有公共點(diǎn)的充要條件是.答案aG[l,+8)解析直線y=H+l過定點(diǎn)(0,1)，依題意知點(diǎn)(0,1)在圓/+產(chǎn)=/內(nèi)部(包含邊界)，又a>0,.已知命題p：KVxe[1,+°°),必一a2O”,命題g：u3x￡R.爐+2"+2—a=0”,若命題p,g均為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案｛a|aW—2或4=1｝解析由題意可知p和g均為真命題，由命題p為真命題，得Vxe[i,+oo),。恒成立,(r)[?皿=1,得aWl；由命題q為真命題，知/=4/—4(2—a)20成立，得aW—2或a2l,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|aW—2或a=l).型技能提升練.(2022.蘇州中學(xué)月考)在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)锳,8是△ABC的內(nèi)角，且A>8,所以0<B<A<n,因?yàn)閥=cosx在(0，兀)上單調(diào)遞減，所以cosA<cos8,故充分性成立;

反之，y=cosx在(0,兀)上單調(diào)遞減，0<A<tt,0<8<7t,若cosA<cosB,則A>B,故必要性成立，所以在△ABC中，"A>B"是"cosA<cosB”的充要條件..已知函數(shù)式幻的定義域?yàn)?a,b),若“mxC(a,小，人力+大-x)W0”是假命題,則大。+b)=.答案0解析“mxG(a,b),y(x)+y(—x)￥0"的否定是VxG(a,b),fix)+j(—x)=0