中-國(guó)-古-代-數(shù)-學(xué)-史課件

中國(guó)古代數(shù)學(xué)史中國(guó)古代數(shù)學(xué)史1專(zhuān)題一：萌芽和初創(chuàng)期

中國(guó)是世界文明古國(guó)之一。數(shù)學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要學(xué)科，其發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌。根據(jù)它本身的特點(diǎn)，可以分為5個(gè)時(shí)期，古代史：(1)

先秦萌芽時(shí)期；(2)

漢唐初創(chuàng)時(shí)期；(3)

宋元全盛時(shí)期；(4)

西學(xué)輸入時(shí)期；近現(xiàn)代史：(5)

近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期。專(zhuān)題一：萌芽和初創(chuàng)期

中國(guó)是世界文明古國(guó)之一。數(shù)學(xué)是中國(guó)古代2一、先秦萌芽時(shí)期－算籌制度早在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們通過(guò)生產(chǎn)和生活的實(shí)踐活動(dòng)，逐漸有了數(shù)量概念和認(rèn)識(shí)了各種簡(jiǎn)單的幾何圖形?！兑住は缔o》說(shuō)：“上古結(jié)繩而治。后世圣人易之以書(shū)契”。距今約5—6千年的仰韶文化時(shí)期出上的陶器上已刻有表示數(shù)目字的符號(hào)，說(shuō)明此時(shí)人們已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對(duì)稱(chēng)及一些較復(fù)雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基?！妒酚洠谋居洝氛f(shuō)夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具。農(nóng)業(yè)和天文的需要促使早期數(shù)學(xué)知識(shí)萌發(fā)。一、先秦萌芽時(shí)期－算籌制度早在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們通過(guò)生產(chǎn)和生活的3商代中期(約公元前13世紀(jì))出現(xiàn)了甲骨文，其中有十進(jìn)位制的記數(shù)法，共有13個(gè)獨(dú)立的符號(hào)，記數(shù)用合文書(shū)寫(xiě)，出現(xiàn)的最大數(shù)字為三萬(wàn)。商代人還用10個(gè)天干和l2個(gè)地支組成甲子、乙丑等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期。到周代(公元前11世紀(jì)到公元前3世紀(jì))又將以前的八卦發(fā)展成為六十四封，表示64種事物。西周初期能用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及環(huán)矩為圓等知識(shí)。西周青銅器上的金文數(shù)字與商代數(shù)字基本一致，是我們今天文字記數(shù)的源泉。此時(shí)我國(guó)已有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，《韓詩(shī)外傳》中還記載了公元前7世紀(jì)齊桓公招賢納士之事，將會(huì)背誦“九九”乘法表的人當(dāng)作貴客款待，而這在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是比較一般的學(xué)問(wèn)了。商代中期(約公元前13世紀(jì))出現(xiàn)了甲骨文，其中有十進(jìn)位制的記4春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期(公元前8世紀(jì)－公元前3世紀(jì))算籌已得到普遍使用。算籌是一種特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制做的。解放以后在湖南、陜西、湖北、河北等地均有出土的實(shí)物。算籌式記數(shù)法采用10進(jìn)位值制?！赌?jīng)》(約公元前4世紀(jì))中說(shuō)“一少子二而多子五，說(shuō)在建位”。即一在個(gè)位少于二，在十位就多子五，每個(gè)數(shù)字的大小除由它本身表示的數(shù)值決定外，還要看它在整個(gè)數(shù)中所處的位置?！秾O子算經(jīng)》(約公元4世紀(jì))中對(duì)算籌式記數(shù)法描述說(shuō)：“一縱十橫，百立千僵，干、十相望，萬(wàn)、百相當(dāng)……”，說(shuō)明記數(shù)有縱橫兩種形式。記數(shù)時(shí)為避免混淆將縱橫式交錯(cuò)放置，以空位表示零。這是世界上最早的10進(jìn)位值制記數(shù)體系，其優(yōu)越性十分明顯，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展有劃時(shí)代的意義。到了漢代還出現(xiàn)了表承正數(shù)的紅籌和表示負(fù)數(shù)的黑籌。用算籌進(jìn)行運(yùn)算據(jù)推測(cè)可能在西周或更早時(shí)期就已產(chǎn)生．到15世紀(jì)珠算普及之前，算籌制度在中國(guó)沿用了兩干多年，為個(gè)國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊國(guó)人著的《考工記》中有許多關(guān)關(guān)于分?jǐn)?shù)、角度和標(biāo)準(zhǔn)量器的資科，其中分別用矩、勾、倨、宣等等來(lái)表示直角、銳角、鈍角、45度，還有用規(guī)(圓周)的部分(圓弧)表示刀和弓的大小。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念，其個(gè)著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和幾何命題。例如圓，一中同長(zhǎng)也(從中心到周界有相同的長(zhǎng)度)；方，柱隅四谫也(四邊四角皆正)；平，同高也(高度相等)；直，參也(三點(diǎn)相齊)；次(相切)，無(wú)間而不相接也(既無(wú)大小又下相合)；端(點(diǎn))，體之無(wú)厚而最前者也(部分中沒(méi)有大小并處于最前緣者)，等等。墨家還給出有窮和無(wú)窮的定義，說(shuō)‘域不容尺，有窮；莫不容尺，無(wú)窮也”(在區(qū)域前緣連一橫線也容不下為有窮，不論區(qū)域多大，在其前緣總能容下一線之寬為無(wú)窮)。稍后于墨子的莊子記敘了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)，例如至大無(wú)外，謂之大一；至小無(wú)內(nèi)，謂之小一；無(wú)厚不可積也，其大干里等，還記敘了辯者桓團(tuán)、公孫龍等人提出的23條問(wèn)題，其中一個(gè)問(wèn)題是“—尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”至今講極限時(shí)還常常被引用。墨家和各家關(guān)于數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展很有意義，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想沒(méi)有得到很好地繼承和發(fā)展。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期(公元前8世紀(jì)－公元前3世紀(jì))算籌已得到普5二、漢唐初創(chuàng)時(shí)期這一時(shí)期包括從秦漢一直到隋唐l000多年間的數(shù)學(xué)發(fā)展，秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)、文化和科學(xué)技術(shù)都得到迅速發(fā)展。中國(guó)古代四人發(fā)明之—的造紙術(shù)就是東漢形成的，它對(duì)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播起到不可估量的作用。雕版印刷術(shù)的發(fā)明也在這一時(shí)期，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展同樣起了重要作用。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，其主要標(biāo)志是算術(shù)已成為—個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，以及一大批數(shù)學(xué)書(shū)籍的出現(xiàn)。二、漢唐初創(chuàng)時(shí)期這一時(shí)期包括從秦漢一直到隋唐l000多年間的6《漢書(shū)·藝文志》記載有《杜忠算術(shù)》16卷和《許商算術(shù)》2卷，這是最早見(jiàn)于著錄的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，但均已失傳。1983年12月在湖北江陵張家山出土3大批竹簡(jiǎn)，其中有數(shù)學(xué)著作《算數(shù)書(shū)》。該書(shū)抄寫(xiě)于西漢初年(約公元前2世紀(jì))．成書(shū)時(shí)間應(yīng)更早，是一部比較完整的，也是目前可以見(jiàn)到的中國(guó)最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著。全書(shū)采用問(wèn)題集形式，共有60多個(gè)小標(biāo)題，90多個(gè)題目，內(nèi)容包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、比例問(wèn)題、面積和體積問(wèn)題等等。農(nóng)業(yè)生產(chǎn)要求更精確的歷法，約在戰(zhàn)國(guó)晚期，已有了每年365又1／4日的“四分歷”?！稘h書(shū)·藝文志》記載有《杜忠算術(shù)》16卷和《許商算術(shù)》2卷，7隨著天文學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)也不斷豐富?！吨荀滤憬?jīng)》正是在這樣的條件下出現(xiàn)的?！吨荀滤憬?jīng)》還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算，并創(chuàng)造許多數(shù)學(xué)名詞(如勾、股、弦、開(kāi)方等），是研究古代天文學(xué)史和數(shù)學(xué)史的較完整的寶貴文獻(xiàn)。隨著天文學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)也不斷豐富?！吨荀滤憬?jīng)》正是在這樣8《九章算術(shù)》的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成。它經(jīng)歷了幾代人的整理、刪補(bǔ)和修訂，約成書(shū)于東漢初年。內(nèi)容采用問(wèn)題集形式，共246問(wèn)，列為九章，分別是方田（各種形狀的田地面積計(jì)算)、粟米(各種糧食谷物間按比例交換)、衰分(按比例分配)、少?gòu)V(開(kāi)平方、開(kāi)立方)、商功(體積計(jì)算問(wèn)題)、均輸(按比例攤派賦稅和徭役)、盈不足（根據(jù)兩次假設(shè)求解問(wèn)題)、方程(求解一次方程組)相勾股(有關(guān)勾股測(cè)量的各種問(wèn)題)，是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)?！毒耪滤阈g(shù)》的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成。它經(jīng)歷了幾代9主要成就世界上最早的系統(tǒng)分?jǐn)?shù)理論，包括分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和約分、通分、求最大公約數(shù)等方法；先進(jìn)的比例算法，提出從已知三個(gè)數(shù)求第四個(gè)數(shù)的今有術(shù)；開(kāi)平人與開(kāi)立方的方法，包括二次方程數(shù)值解法，是世界上最早記載這一具體運(yùn)算法則的文獻(xiàn)，在運(yùn)算過(guò)程中還發(fā)展了籌算的位值制，并開(kāi)辟了求解數(shù)字高次方程的途徑；各種面積和體積公式，包括各種直線形以及圓、環(huán)、圓錐、圓臺(tái)等面積和體積的正確的計(jì)算公式；主要成就世界上最早的系統(tǒng)分?jǐn)?shù)理論，包括分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和約分、10勾股形解法，包括勾股定理的應(yīng)用和求勾股數(shù)的方法，以及二次方程的解法等；線性方程組解法，用算籌表示一次聯(lián)立方程組，類(lèi)似于由方程各系數(shù)構(gòu)成的矩陣，創(chuàng)立遍乘、直除、連減等消元方法，比西方同類(lèi)算法要早1500多年；負(fù)數(shù)概念和正、負(fù)數(shù)加、減法則，反映出對(duì)意義相反數(shù)量的正確理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)量范圍的一次新擴(kuò)充，在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上遙遙領(lǐng)先。中-國(guó)-古-代-數(shù)-學(xué)-史課件11《九章算術(shù)》的特點(diǎn)它形成了—個(gè)以籌算為中心，與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。它注重應(yīng)朋，內(nèi)容大多來(lái)自生產(chǎn)和生活實(shí)踐，理論密切聯(lián)系實(shí)際，對(duì)以后中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響非常深遠(yuǎn)。此后一千多年中《九章算術(shù)》—直被當(dāng)作教科書(shū)，隋肩時(shí)期還曾傳到朝鮮、日本，成為這些國(guó)家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書(shū)。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲，促進(jìn)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展?！毒耪滤阈g(shù)》的特點(diǎn)它形成了—個(gè)以籌算為中心，與古希臘數(shù)學(xué)完全12魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大發(fā)展。其個(gè)趙爽和劉徽的工作被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，他約公元3世紀(jì)初對(duì)《周髀算經(jīng)》做了深入研究，為該書(shū)寫(xiě)了序，并作了詳細(xì)的注釋?zhuān)渲醒a(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是數(shù)學(xué)史上極有價(jià)值的文獻(xiàn)?！肮垂蓤A方圖”注文共有530余字，簡(jiǎn)練地總結(jié)了后漢時(shí)期勾股算術(shù)的輝煌成就，最早給出勾股定理的證明和解勾股形的5個(gè)公式，并對(duì)二次方程的解法提出新的見(jiàn)解?！叭崭邎D及注”亦用圖形面積證明了漢代普通應(yīng)用的重差公式，成為劉徽工作的先導(dǎo)。魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大發(fā)展。其個(gè)趙爽和劉徽的工作被13劉徽注釋《九章算術(shù)》的年代是根據(jù)《隋書(shū)·律歷志》確定的，他的注不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述過(guò)程中多有創(chuàng)新，還撰寫(xiě)《重差》作為該書(shū)第10卷。唐初以后，《重差》以《海島算經(jīng)》為名單行。他重視邏輯推理，同時(shí)又注意幾何直觀的作用。主要成就有：創(chuàng)立割圓術(shù)，為圓周率的研究工作奠定了理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法。他的基本思想是將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍．使其周長(zhǎng)和面積逐漸通近團(tuán)的周長(zhǎng)和面積，他指出“割之彌細(xì)．所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣?！彼眠@種極限思想證明了圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率的近似值157／50和3927／1250，其計(jì)算程序較古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的割圓方法簡(jiǎn)便；提出用無(wú)窮分割的方法證明直角方錐與直角四面體的體積之比恒為2：1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。中-國(guó)-古-代-數(shù)-學(xué)-史課件14南北朝時(shí)期中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài)，但由于社會(huì)的需要，數(shù)學(xué)仍在繼續(xù)發(fā)展。《孫子算經(jīng)》給出“物不知數(shù)問(wèn)題”，導(dǎo)致求解一次同余組“N三2(mod3)三3(mod5)三2(mod7)，解答為N＝7×2十21×3十15×2—2×105＝23?！痹搯?wèn)題與古代歷法中推算上元積年有關(guān)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶創(chuàng)造“大衍求一術(shù)”，完滿地解決了這一問(wèn)題。南北朝時(shí)期中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài)，但由于社會(huì)的需要，數(shù)學(xué)15祖沖之父子的工作在這一時(shí)期具有代表性，他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上做出突出貢獻(xiàn)《大明歷》。隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》(約630年)，主要是討論木土工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題。祖沖之父子的工作在這一時(shí)期具有代表性，他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽16唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有了長(zhǎng)足發(fā)展。656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教。王孝通等人做過(guò)算學(xué)博士。算學(xué)館共招生30人，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，科舉取士還設(shè)置明算科．考試內(nèi)容也從十部算經(jīng)中選題。《算經(jīng)十書(shū)》除了巳提到《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》外，還有《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》。后來(lái)《綴術(shù)》失傳，南宋時(shí)用《數(shù)書(shū)記遺》補(bǔ)齊十書(shū)。李淳風(fēng)等人編纂的《算經(jīng)十書(shū)》對(duì)于保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要作用，他們對(duì)《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》及《海島算經(jīng)》所作的注解長(zhǎng)期為人稱(chēng)道。特別是在《周髀算經(jīng)》注中，不僅修改了缺陷，還給出測(cè)量中計(jì)算的新方法唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有了長(zhǎng)足發(fā)展。656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)17中國(guó)古代數(shù)學(xué)史中國(guó)古代數(shù)學(xué)史18專(zhuān)題一：萌芽和初創(chuàng)期

中國(guó)是世界文明古國(guó)之一。數(shù)學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要學(xué)科，其發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌。根據(jù)它本身的特點(diǎn)，可以分為5個(gè)時(shí)期，古代史：(1)

先秦萌芽時(shí)期；(2)

漢唐初創(chuàng)時(shí)期；(3)

宋元全盛時(shí)期；(4)

西學(xué)輸入時(shí)期；近現(xiàn)代史：(5)

近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期。專(zhuān)題一：萌芽和初創(chuàng)期

中國(guó)是世界文明古國(guó)之一。數(shù)學(xué)是中國(guó)古代19一、先秦萌芽時(shí)期－算籌制度早在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們通過(guò)生產(chǎn)和生活的實(shí)踐活動(dòng)，逐漸有了數(shù)量概念和認(rèn)識(shí)了各種簡(jiǎn)單的幾何圖形?！兑住は缔o》說(shuō)：“上古結(jié)繩而治。后世圣人易之以書(shū)契”。距今約5—6千年的仰韶文化時(shí)期出上的陶器上已刻有表示數(shù)目字的符號(hào)，說(shuō)明此時(shí)人們已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對(duì)稱(chēng)及一些較復(fù)雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基?！妒酚洠谋居洝氛f(shuō)夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具。農(nóng)業(yè)和天文的需要促使早期數(shù)學(xué)知識(shí)萌發(fā)。一、先秦萌芽時(shí)期－算籌制度早在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們通過(guò)生產(chǎn)和生活的20商代中期(約公元前13世紀(jì))出現(xiàn)了甲骨文，其中有十進(jìn)位制的記數(shù)法，共有13個(gè)獨(dú)立的符號(hào)，記數(shù)用合文書(shū)寫(xiě)，出現(xiàn)的最大數(shù)字為三萬(wàn)。商代人還用10個(gè)天干和l2個(gè)地支組成甲子、乙丑等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期。到周代(公元前11世紀(jì)到公元前3世紀(jì))又將以前的八卦發(fā)展成為六十四封，表示64種事物。西周初期能用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及環(huán)矩為圓等知識(shí)。西周青銅器上的金文數(shù)字與商代數(shù)字基本一致，是我們今天文字記數(shù)的源泉。此時(shí)我國(guó)已有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，《韓詩(shī)外傳》中還記載了公元前7世紀(jì)齊桓公招賢納士之事，將會(huì)背誦“九九”乘法表的人當(dāng)作貴客款待，而這在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是比較一般的學(xué)問(wèn)了。商代中期(約公元前13世紀(jì))出現(xiàn)了甲骨文，其中有十進(jìn)位制的記21春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期(公元前8世紀(jì)－公元前3世紀(jì))算籌已得到普遍使用。算籌是一種特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制做的。解放以后在湖南、陜西、湖北、河北等地均有出土的實(shí)物。算籌式記數(shù)法采用10進(jìn)位值制。《墨經(jīng)》(約公元前4世紀(jì))中說(shuō)“一少子二而多子五，說(shuō)在建位”。即一在個(gè)位少于二，在十位就多子五，每個(gè)數(shù)字的大小除由它本身表示的數(shù)值決定外，還要看它在整個(gè)數(shù)中所處的位置?！秾O子算經(jīng)》(約公元4世紀(jì))中對(duì)算籌式記數(shù)法描述說(shuō)：“一縱十橫，百立千僵，干、十相望，萬(wàn)、百相當(dāng)……”，說(shuō)明記數(shù)有縱橫兩種形式。記數(shù)時(shí)為避免混淆將縱橫式交錯(cuò)放置，以空位表示零。這是世界上最早的10進(jìn)位值制記數(shù)體系，其優(yōu)越性十分明顯，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展有劃時(shí)代的意義。到了漢代還出現(xiàn)了表承正數(shù)的紅籌和表示負(fù)數(shù)的黑籌。用算籌進(jìn)行運(yùn)算據(jù)推測(cè)可能在西周或更早時(shí)期就已產(chǎn)生．到15世紀(jì)珠算普及之前，算籌制度在中國(guó)沿用了兩干多年，為個(gè)國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊國(guó)人著的《考工記》中有許多關(guān)關(guān)于分?jǐn)?shù)、角度和標(biāo)準(zhǔn)量器的資科，其中分別用矩、勾、倨、宣等等來(lái)表示直角、銳角、鈍角、45度，還有用規(guī)(圓周)的部分(圓弧)表示刀和弓的大小。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念，其個(gè)著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和幾何命題。例如圓，一中同長(zhǎng)也(從中心到周界有相同的長(zhǎng)度)；方，柱隅四谫也(四邊四角皆正)；平，同高也(高度相等)；直，參也(三點(diǎn)相齊)；次(相切)，無(wú)間而不相接也(既無(wú)大小又下相合)；端(點(diǎn))，體之無(wú)厚而最前者也(部分中沒(méi)有大小并處于最前緣者)，等等。墨家還給出有窮和無(wú)窮的定義，說(shuō)‘域不容尺，有窮；莫不容尺，無(wú)窮也”(在區(qū)域前緣連一橫線也容不下為有窮，不論區(qū)域多大，在其前緣總能容下一線之寬為無(wú)窮)。稍后于墨子的莊子記敘了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)，例如至大無(wú)外，謂之大一；至小無(wú)內(nèi)，謂之小一；無(wú)厚不可積也，其大干里等，還記敘了辯者桓團(tuán)、公孫龍等人提出的23條問(wèn)題，其中一個(gè)問(wèn)題是“—尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”至今講極限時(shí)還常常被引用。墨家和各家關(guān)于數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展很有意義，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想沒(méi)有得到很好地繼承和發(fā)展。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期(公元前8世紀(jì)－公元前3世紀(jì))算籌已得到普22二、漢唐初創(chuàng)時(shí)期這一時(shí)期包括從秦漢一直到隋唐l000多年間的數(shù)學(xué)發(fā)展，秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)、文化和科學(xué)技術(shù)都得到迅速發(fā)展。中國(guó)古代四人發(fā)明之—的造紙術(shù)就是東漢形成的，它對(duì)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播起到不可估量的作用。雕版印刷術(shù)的發(fā)明也在這一時(shí)期，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展同樣起了重要作用。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，其主要標(biāo)志是算術(shù)已成為—個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，以及一大批數(shù)學(xué)書(shū)籍的出現(xiàn)。二、漢唐初創(chuàng)時(shí)期這一時(shí)期包括從秦漢一直到隋唐l000多年間的23《漢書(shū)·藝文志》記載有《杜忠算術(shù)》16卷和《許商算術(shù)》2卷，這是最早見(jiàn)于著錄的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，但均已失傳。1983年12月在湖北江陵張家山出土3大批竹簡(jiǎn)，其中有數(shù)學(xué)著作《算數(shù)書(shū)》。該書(shū)抄寫(xiě)于西漢初年(約公元前2世紀(jì))．成書(shū)時(shí)間應(yīng)更早，是一部比較完整的，也是目前可以見(jiàn)到的中國(guó)最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著。全書(shū)采用問(wèn)題集形式，共有60多個(gè)小標(biāo)題，90多個(gè)題目，內(nèi)容包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、比例問(wèn)題、面積和體積問(wèn)題等等。農(nóng)業(yè)生產(chǎn)要求更精確的歷法，約在戰(zhàn)國(guó)晚期，已有了每年365又1／4日的“四分歷”。《漢書(shū)·藝文志》記載有《杜忠算術(shù)》16卷和《許商算術(shù)》2卷，24隨著天文學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)也不斷豐富。《周髀算經(jīng)》正是在這樣的條件下出現(xiàn)的?！吨荀滤憬?jīng)》還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算，并創(chuàng)造許多數(shù)學(xué)名詞(如勾、股、弦、開(kāi)方等），是研究古代天文學(xué)史和數(shù)學(xué)史的較完整的寶貴文獻(xiàn)。隨著天文學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)也不斷豐富?！吨荀滤憬?jīng)》正是在這樣25《九章算術(shù)》的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成。它經(jīng)歷了幾代人的整理、刪補(bǔ)和修訂，約成書(shū)于東漢初年。內(nèi)容采用問(wèn)題集形式，共246問(wèn)，列為九章，分別是方田（各種形狀的田地面積計(jì)算)、粟米(各種糧食谷物間按比例交換)、衰分(按比例分配)、少?gòu)V(開(kāi)平方、開(kāi)立方)、商功(體積計(jì)算問(wèn)題)、均輸(按比例攤派賦稅和徭役)、盈不足（根據(jù)兩次假設(shè)求解問(wèn)題)、方程(求解一次方程組)相勾股(有關(guān)勾股測(cè)量的各種問(wèn)題)，是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)?！毒耪滤阈g(shù)》的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成。它經(jīng)歷了幾代26主要成就世界上最早的系統(tǒng)分?jǐn)?shù)理論，包括分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和約分、通分、求最大公約數(shù)等方法；先進(jìn)的比例算法，提出從已知三個(gè)數(shù)求第四個(gè)數(shù)的今有術(shù)；開(kāi)平人與開(kāi)立方的方法，包括二次方程數(shù)值解法，是世界上最早記載這一具體運(yùn)算法則的文獻(xiàn)，在運(yùn)算過(guò)程中還發(fā)展了籌算的位值制，并開(kāi)辟了求解數(shù)字高次方程的途徑；各種面積和體積公式，包括各種直線形以及圓、環(huán)、圓錐、圓臺(tái)等面積和體積的正確的計(jì)算公式；主要成就世界上最早的系統(tǒng)分?jǐn)?shù)理論，包括分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和約分、27勾股形解法，包括勾股定理的應(yīng)用和求勾股數(shù)的方法，以及二次方程的解法等；線性方程組解法，用算籌表示一次聯(lián)立方程組，類(lèi)似于由方程各系數(shù)構(gòu)成的矩陣，創(chuàng)立遍乘、直除、連減等消元方法，比西方同類(lèi)算法要早1500多年；負(fù)數(shù)概念和正、負(fù)數(shù)加、減法則，反映出對(duì)意義相反數(shù)量的正確理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)量范圍的一次新擴(kuò)充，在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上遙遙領(lǐng)先。中-國(guó)-古-代-數(shù)-學(xué)-史課件28《九章算術(shù)》的特點(diǎn)它形成了—個(gè)以籌算為中心，與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。它注重應(yīng)朋，內(nèi)容大多來(lái)自生產(chǎn)和生活實(shí)踐，理論密切聯(lián)系實(shí)際，對(duì)以后中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響非常深遠(yuǎn)。此后一千多年中《九章算術(shù)》—直被當(dāng)作教科書(shū)，隋肩時(shí)期還曾傳到朝鮮、日本，成為這些國(guó)家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書(shū)。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲，促進(jìn)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展?！毒耪滤阈g(shù)》的特點(diǎn)它形成了—個(gè)以籌算為中心，與古希臘數(shù)學(xué)完全29魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大發(fā)展。其個(gè)趙爽和劉徽的工作被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，他約公元3世紀(jì)初對(duì)《周髀算經(jīng)》做了深入研究，為該書(shū)寫(xiě)了序，并作了詳細(xì)的注釋?zhuān)渲醒a(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是數(shù)學(xué)史上極有價(jià)值的文獻(xiàn)?！肮垂蓤A方圖”注文共有530余字，簡(jiǎn)練地總結(jié)了后漢時(shí)期勾股算術(shù)的輝煌成就，最早給出勾股定理的證明和解勾股形的5個(gè)公式，并對(duì)二次方程的解法提出新的見(jiàn)解?！叭崭邎D及注”亦用圖形面積證明了漢代普通應(yīng)用的重差公式，成為劉徽工作的先導(dǎo)。魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大發(fā)展。其個(gè)趙爽和劉徽的工作被30劉徽注釋《九章算術(shù)》的年代是根據(jù)《隋書(shū)·律歷志》確定的，他的注不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述過(guò)程中多有創(chuàng)新，還撰寫(xiě)《重差》作為該書(shū)第10卷。唐初以后，《重差》以《海島算經(jīng)》為名單行。他重視邏輯推理，同時(shí)又注意幾何直觀的作用。主要成就有：創(chuàng)立割圓術(shù)，為圓周率的研究工作奠定了理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法。他的基本思想是將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍．使其周長(zhǎng)和面積逐漸通近團(tuán)的周長(zhǎng)和