（精心整理）數(shù)列常見(jiàn)解題方法

數(shù)列解題方法基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)列數(shù)列數(shù)列的定義數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列：1．?dāng)?shù)列、項(xiàng)的概念：按一定次序排列的一列數(shù)，叫做數(shù)列，其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)：①有序性；②確定性；③可重復(fù)性．3．?dāng)?shù)列的表示：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng)，其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)，因此數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，（…），簡(jiǎn)記作{an}．其中an是該數(shù)列的第n項(xiàng)，列表法、圖象法、符號(hào)法、列舉法、解析法、公式法（通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法．4．?dāng)?shù)列的一般性質(zhì)：①單調(diào)性；②周期性．5．?dāng)?shù)列的分類：①按項(xiàng)的數(shù)量分：有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列；②按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、其他；③按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；④按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列．6．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式a=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號(hào)是指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值．由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是散點(diǎn)圖，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是項(xiàng)的序號(hào)值，縱坐標(biāo)是各項(xiàng)的值．不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一．7．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)an-1，an-2，…）間關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f（a）（n=2，3，…）（或an=f（a,a）(n=3，4，5，…)，…）來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．8．?dāng)?shù)列的求和公式：設(shè)Sn表示數(shù)列{an}和前n項(xiàng)和，即Sn==a1+a2+…+an，如果Sn與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式Sn=f（n）（n=1，2，3，…）來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的求和公式．9．通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式an與求和公式Sn的關(guān)系可表示為：等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。符號(hào)定義分類遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：擺動(dòng)數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：通項(xiàng)其中（）前n項(xiàng)和其中中項(xiàng)主要性質(zhì)等和性：等差數(shù)列若則推論：若則即：首尾顛倒相加，則和相等等積性：等比數(shù)列若則推論：若則即：首尾顛倒相乘，則積相等其1、等差數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：等差，公差為則有1、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即：等比，公比為。2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。它性質(zhì)2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。如：（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、等差，則，，，也等差。4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是的一次函數(shù)，即：()等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是一個(gè)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的的二次函數(shù)，即：()5、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有：項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有：，如：（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、等比，則，，也等比。其中4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于的指數(shù)函數(shù)，即：，其中等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是一個(gè)平移加振幅的的指數(shù)函數(shù)，即：5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。6、則則則證明方法證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1、定義法：2、中項(xiàng)法：證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1、定義法：2、中項(xiàng)法：設(shè)元技巧三數(shù)等差：四數(shù)等差：三數(shù)等比：四數(shù)等比：聯(lián)系1、若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。2、若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，其中是常數(shù)且，是的公比。數(shù)列的項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系：數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列和（其中等差）可裂項(xiàng)為：，等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題：1、若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則前項(xiàng)和有最大值。（ⅰ）若已知通項(xiàng)，則最大；（ⅱ）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)最大；2、若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則前項(xiàng)和有最小值（?。┤粢阎?xiàng)，則最小；（ⅱ）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)最??；數(shù)列通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。⑵已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。⑶已知條件中既有還有，有時(shí)先求，再求；有時(shí)也可直接求。⑷若求用累加法：。⑸已知求，用累乘法：。⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求；形如的遞推數(shù)列都可以除以得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求。（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。（3）形如的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。（8）遇到時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、公式法2、3、求差（商）法解：［練習(xí)］4、疊乘法解：5、等差型遞推公式［練習(xí)］6、等比型遞推公式［練習(xí)］7、倒數(shù)法數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法：1、公式法：等差、等比前n項(xiàng)和公式2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。解：［練習(xí)］3、錯(cuò)位相減法：