求異面直線間距離的幾種常用方法

求異面直線間距離的幾種常用方法1輔助平面法線面垂直法，用于兩條異面直線互相垂直情況.若已知兩條異面直線互相垂直，那么可以尋找一個(gè)輔助平面，使它過其中一條直線且垂直于另一條直線，在輔助平面上，過垂足引前一條直線的垂線，就得到這兩條異面直線的公垂線，并求其長度.例1如圖1所示正三棱錐V—ABC的底面邊長為a，側(cè)棱為b，求AB與VC的距離.圖1解：在正三棱錐V—ABC中，△AVCM^BVC，作BEXVC，連AE，則AEXVC，且AE=BE，AVC±平面AEBAVCXAB取AB中點(diǎn)D，連DE，則DE1AB，又VC1DE.「?DE是異面直線AB與VC的公垂線.分析：這樣求異面直線間距離就化為平面幾何中求點(diǎn)到直線的距離了.作VFLBC，則有fBC*VI..EE=VC.■.de=Jeered~fBC*VI..EE=VC.■.de=Jeeredb2b—_a73b2-a42b故AB與"的距離為三竺匚2d線面平行法，用于一般情況.其用法為：過其中一條直線作與另一條直線平行的平面，這樣可把求異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離.例2如圖2所示，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=a,BB1=a,BC=b，試求異面直線AB與AC之間的距離.1解：?「AB〃AB，「?AB〃平面ABC，于是AB與平面ABC間的距離即為異面直線AB與AC之間的距離.設(shè)AB上一點(diǎn)B到平面A回。的距離為h,利用等體積關(guān)系，有乳專廣磯^叩(都代表同一三棱錐的體積’即；(，以+8%二；,!北，a即曲fc的距離為高奇面面平行法，求兩異面直線的距離，除了上面(2)介紹的轉(zhuǎn)化為線面的距離外，還可以轉(zhuǎn)化為面面的距離，即作兩平行的輔助平面，分別過其中的一條，兩平行平面間的距離就為此兩異面直線的距離.例3如圖3所示，夾在兩平行平面a和B間的異面直線AB、CD，在平面B的射影分別是12cm和2cm，它們與平面B的交角之差是45°，求AC與BD之間的距離.屋13hLAC匚平面Q,BD匚平面目，又平面oj平面旗?.?平面a與平面B的距離為AC與BD間的距離，設(shè)此距離為xcm,即AA'=CC'=xcm,過D點(diǎn)作DE=AB且DE〃AB交平面a于E,則ABDE是一個(gè)平行四邊形.令ZC'DC=9ZABA1=92,據(jù)己知9L-92=45°,在RtACC'D和誑Z1AAE中，tanStan93=.~---tan9z-tan92.t疝（日i-日q二ty。，二目=1+tan9jtan92即萱一R=1,整理亍-S十24=0■212解得x1=4,x2=6.故異面直線AC與BD之間的距離是4cm或6cm.2等積法在一般情況下，求異面直線間的距離可轉(zhuǎn)化為一異面直線與過另一異面直線且平行于第一條異面直線的平面之間的距離.分別過兩異面直線的兩個(gè)平行平面之間的距離.上述兩種距離總是通過直線上(或平面上)一點(diǎn)到另一平面之間的距離求出，除直接求出外，一般都要通過等積計(jì)算再求高的辦法來求得的.例4如圖4所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求AC與BR的距離.DiCx解：連接AC,AB,CA,?.?AC〃AC,?.?AC〃平面ABC，則求AC與BC的距離轉(zhuǎn)化111111111為求AC與其平行平面A1BC1的距離.也就是三棱錐A-A.BC1的高h(yuǎn).而砍一組眄=磯1-雄紈即，.（號…二如!辦由上可知，等積法與作輔助平面法緊密相連，它是以輔助平面為底，與平面平行的另一條異面直線上某一點(diǎn)到該平面的距離為高組成一個(gè)三棱錐，若改變?nèi)忮F的底面易于求得三棱錐的體積，便可利用等積法求出以輔助平面為底的三棱錐的高，即異面直線間的距離.3極值法運(yùn)用極值法求異面直線a、b的距離是先在a（或b）上取點(diǎn)A，過A點(diǎn)作AB±b，設(shè)某一線段為x，列出AB關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式AB=f（x），求出AB的最小值，就是所求異面直線間的距離.其理論依據(jù)是兩異面直線間的距離是連接兩直線中最短線段的長.例5如圖5所示，圓錐底面半徑為R，母線長為2R，AC為軸截面SAB的底角A的平分線，又BD為底面的一條弦，它和AB成30°的角，求AC與DB之間的距離.s圖5解：在AC上任取一點(diǎn)E,作EFXAB，垂足為F,則EFL底面.設(shè)EF=x?「△SAB是正三角形(AB=SA=SB=2R).■.ZCAB=30°,灶=插二巽二丞-應(yīng)在底面內(nèi)作FG_LBD,FG=EF*sm30°=：(2R—會axxa/3隹72c療去4/■EG2=EF2+FG2=^2+(R-—^)2=-C^-—R)2+yR「?eg^=*r，即為所求.4定義法用定義法的關(guān)鍵要會作出直線的公垂線，對于簡單的(如若兩異面直線互相垂直，則宜