粒子軌跡與磁場(chǎng)半徑相等時(shí)的特殊情況

(2009?浙江)如圖所示，x軸正方向水平向右， y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿 x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量 m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0vyv2R的區(qū)間內(nèi).已知重力加速度大小為 g.(1)從A點(diǎn)射岀的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)0沿y軸負(fù)方向離開(kāi)，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向.(2)請(qǐng)指岀這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由.(3)在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?V，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由.考點(diǎn)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)考點(diǎn)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析：帶電粒子沿半徑方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后，沿半徑的方向射出?當(dāng)沒(méi)有沿半徑方向射入時(shí)仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則圓心必經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連線的中垂線.解答：解：本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).帶電粒子平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，說(shuō)明帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力平衡?設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 E，由mg=qE可得mg可得mg方向沿y軸正方向.帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng). 且r=R如圖(a)所示，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.由qvB=mv2

得 B=mvqR方向垂直于紙面向外(2)一：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為 R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，如圖b所示，這束帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓心軌跡是如圖 b的虛線半圓，此圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn).二：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為 R的勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖b示，高P點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與y軸的夾角為9,其圓心Q的坐標(biāo)為(-Rsin9，RcosB)，圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為(x+Rsin9)2+(y-Rcos9)2=R2得x=0或x=-Rsin9，y=0或y=R(1+cos9)可得帶電微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)為x=0y=0，求x=-Rsin9y=R(1+cos9)，坐標(biāo)為后者的點(diǎn)就是P點(diǎn)，須舍去，可見(jiàn)，這束帶電微粒都是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的.(3)帶電微粒初速度大小變?yōu)?v，則從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r'為

2mvBq帶電微粒在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)一段半徑為 r的圓弧運(yùn)動(dòng)后，將在y軸的右方（x>0）的區(qū)域離開(kāi)磁場(chǎng)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，HisHis如圖c所示.靠近圓磁場(chǎng)上邊發(fā)射出來(lái)的帶電微粒在恰好沒(méi)有磁場(chǎng)力，則會(huì)射向 x軸正方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處,靠近圓磁場(chǎng)下邊發(fā)射岀來(lái)的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)之處穿岀磁場(chǎng).所以，這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是x>0.答案：（1）mvqR;方向垂直于紙面向外；（2）通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的；（3）與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.點(diǎn)評(píng)：帶電粒子以相同的速度方向，沿不同位置進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，軌跡的圓弧長(zhǎng)度不同，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，但半徑仍相同.（2009?海南）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為vo的初速度沿BC紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng). 電子從BCBC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)?不計(jì)重力，求：（1）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.解析：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B.令圓弧AEC是自C點(diǎn)垂直于心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外. （2分）V心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外. （2分）Vo圓弧AEC的圓心在B點(diǎn)，圓半徑為a，由牛頓定律有Bev0emv0得Bo.（4分）ea（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自 C點(diǎn)垂直于BC入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中?因而，圓弧AEC是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界. （2分）

設(shè)射中A點(diǎn)的某電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線交角為9（0 一），該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡qpA，如圖所2示，圖中，圓弧Ap的圓心為0、半徑仍為a，pq垂直于BC邊，在D為原點(diǎn)、DC為x軸，AD為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）為x=asin9，y=-[a-（a-acosB）]=-acos9（2分）則在0 范圍內(nèi)，p點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓弧AFC,它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓2周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界. （2分）因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分別以 B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周AEC和AFC所圍成121222的，其面積為S2（ a2 a2） a2.（4分）4 2 2m、電荷量為但大小均為例5如圖甲所示，質(zhì)量為內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的熒光屏MNm、電荷量為但大小均為例5如圖甲所示，質(zhì)量為內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的熒光屏MN上，求：B，e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)0處沿xOy平面射入第一象限V0.現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向外且垂直于xOy若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到與y軸平行圖甲■1°R，由牛頓第二定律得:R，由牛頓第二定律得:（1） 熒光屏上光斑的長(zhǎng)度.（2） 所加磁場(chǎng)范圍的最小面積.【解析】（1）如圖4—12乙所示，要求光斑的長(zhǎng)度，只要找到兩個(gè)邊界點(diǎn)即可?初速度沿x軸正方向的電子沿弧0A運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)；初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的Q點(diǎn).設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為V02 陽(yáng) mv0ev0B=m，即R=R Bemv0由幾何知識(shí)可得：PQ=R= .BeE（x，y），⑵取與x軸正方向成9E（x，y），x=—Rsin9y=R+Rcos9即x2+（y—R）2=R2又因?yàn)殡娮友豿軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)；沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，故所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以 （0，R）為圓心、R為半徑的圓的一部分,如圖乙中實(shí)線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場(chǎng)范圍的最小面積為：32 212n mvo2S=4nR2