常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念性質(zhì)

1無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)數(shù)值計(jì)算常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)

第十一章2第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、問(wèn)題的提出二、級(jí)數(shù)的概念三、基本性質(zhì)四、收斂的必要條件3北京化工大學(xué)公元前5世紀(jì)，芝諾提出：假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍，烏龜在阿基里斯前面1000米處。設(shè)阿基里斯跑1000米,時(shí)間為t;烏龜領(lǐng)先100米,跑到1100米；阿基里斯跑完100米時(shí),時(shí)間為t/10;烏龜仍領(lǐng)先10米,跑到1110米;

阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，時(shí)間為t/100,烏龜仍前于他1米…芝諾解說(shuō)：阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。阿基里斯追烏龜0m1000mt1100m1110mt/10t/10t4一、問(wèn)題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積5二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:一般項(xiàng)定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱(chēng)上式為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。次相加,簡(jiǎn)記為6部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.72.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:8當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱(chēng)差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然9例1.討論等比級(jí)數(shù)

(又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù))(q

稱(chēng)為公比

)的斂散性.

解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為102).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.11例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和12(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和13

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為14解15三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)

c

所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說(shuō)明收斂,其和為cS.說(shuō)明:

級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.16性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為17說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.(3)但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減，所得級(jí)數(shù)仍然收斂.(用反證法可證)18性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),

不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為:類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性，但是級(jí)數(shù)和會(huì)改變.19性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:

若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如20四、收斂的必要條件證明:性質(zhì)5.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:21注意:1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.22但矛盾!所以調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的23例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.24例5.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)因?yàn)?5進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為26這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(2)27

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念

基本審斂法小結(jié)：28無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱(chēng)的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)1/3的小正三角形．如此類(lèi)推在每條凸邊上都做類(lèi)似的操作，29五、無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱(chēng)的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)1/3的小正三角形．如此類(lèi)推在每條凸邊上都做類(lèi)似的操作，就得到了Koch雪花，面積、周長(zhǎng)無(wú)限or有限？30觀察雪花分形過(guò)程依次類(lèi)推設(shè)原三角形的周長(zhǎng)為P1=3,面積為S1=√3/4第一次分叉后面積為周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為