四邊形綜合試題及答案

四邊形綜合試題一．選擇題（共8小題）1．（2014?漳州模擬）△ABC的三邊長分別為a、b、c，三條中位線組成第一個中點三角形，第一個中點三角形的三條中位線又組成第二個中點三角形，以此類推，求第2009中點三角形的周長為（）A．B．C．D．2．（2013?鐵嶺）如果三角形的兩邊長分別是方程x2﹣8x+15=0的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是（）A．5.5B．5C．4.5D．43．（2013?泰安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（）A．2B．4C．4D．84．（2013?達(dá)州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．55．（2013?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F(xiàn)是BC的中點，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ等于（）A．3：4B．：2C．：2D．2：6．（2013?欽州）如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖（箭頭表示行進(jìn)的方向）．其中E為AB的中點，AH＞HB，判斷三人行進(jìn)路線長度的大小關(guān)系為（）A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙7．（2013?紹興模擬）如圖，△ABC紙片中，AB=BC＞AC，點D是AB邊的中點，點E在邊AC上，將紙片沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處．則下列結(jié)論成立的個數(shù)有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線；④BF+CE=DF+DE．A．1個B．2個C．3個D．4個8．（2012?武漢）在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線BC于點E，作AF垂直于直線CD于點F，若AB=5，BC=6，則CE+CF的值為（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+二．填空題（共11小題）9．（2014?奉賢區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC=_________．10．（2013?濱州）在?ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，點E是邊CD的中點，且AB=6，BC=10，則OE=_________．11．（2013?鞍山）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是_________．12．（2013?烏魯木齊）如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為_________．13．（2013?無錫）已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為_________．14．（2013?荊州）如圖，△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，點C與點E關(guān)于x軸對稱．若E點的坐標(biāo)是（7，﹣3），則D點的坐標(biāo)是_________．15．（2012?棗莊）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，則EF的長為_________．16．（2012?貴港一模）如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，則陰影部分的面積為_________cm2．17．（2012?鐵嶺）如圖，點E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，連接A1F、B1G、C1H、D1E得四邊形A2B2C2D2，以此類推得四邊形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面積為S，則四邊形AnBnCnDn的面積為__．18．（2012?惠安縣質(zhì)檢）如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，A2C、B2C的中點A3、B3，依次取下去…，則：（1）線段AB與A4B4的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）四邊形A5A4B4B5的面積為_________．19．（2011?黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，…，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為_________．三．解答題（共11小題）20．（2013?常德）已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：BM=ME．21．（2013?重慶）已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的長；（2）求證：∠CEG=∠AGE．22．（2013?長沙）如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的長．23．（2013?沈陽模擬）在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC．（1）如圖1，若∠ADC=90°，G是EF的中點，連接AG、CG．①求證：BE=BF．②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若∠ADC=60°，將線段FB繞點F順時針旋轉(zhuǎn)60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結(jié)論不必證明）24．（2012?廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）當(dāng)α=60°時，求CE的長；（2）當(dāng)60°＜α＜90°時，①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．②連接CF，當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．25．（2012?廈門）已知平行四邊形ABCD，對角線AC和BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE=PF．（1）如圖，若PE=，EO=1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF=BC+3﹣4，求BC的長．26．（2014?海淀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接CF．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=，求△CAF的面積．27．（2014?西城區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延長線上一點，且∠AEC=∠ADC．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形．（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四邊形AEDH的周長．28．已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交線段AE于F．（1）如圖1，若AE=AD，∠ADC=60°，請直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足等量關(guān)系；（2）如圖2，若AE=AD，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，若成立，對你的結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若AE：AD=a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．29．（2014?博白縣模擬）如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求證：BF=FD；（2）點D在運(yùn)動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請說明理由；如能，求出此時∠A的度數(shù)．30．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

四邊形綜合參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2014?漳州模擬）△ABC的三邊長分別為a、b、c，三條中位線組成第一個中點三角形，第一個中點三角形的三條中位線又組成第二個中點三角形，以此類推，求第2009中點三角形的周長為（）A．B．C．D．分析：由三角形的中位線定理可知，第一個中點三角形的周長是原三角形周長的，即第一個中點三角形的周長是×（a+b+c），第二個中點三角形的周長是（a+b+c），第三個中點三角形的周長是（a+b+c），第四個中點三角形的周長是（a+b+c），依照此規(guī)律，可以得出第2009個中點三角形的周長．解答：解：根據(jù)中位線定理，第一個中點三角形的周長是原三角形的；第二個中點三角形的周長是第一個中點三角形的；第三個中點三角形的周長是第二個中點三角形的，…于是，第2009中點三角形的周長為（××××…×）（a+b+c）=．故選B．點評：本題重點考查了三角形的中位線定理，證得中點三角形的周長是原三角形周長的一半以及找到各中點三角形之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2013?鐵嶺）如果三角形的兩邊長分別是方程x2﹣8x+15=0的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是（）A．5.5B．5C．4.5D．4考點：三角形中位線定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系．分析：首先解方程求得三角形的兩邊長，則第三邊的范圍可以求得，進(jìn)而得到三角形的周長l的范圍，而連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長一定是l的一半，從而求得中點三角形的周長的范圍，從而確定．解答：解：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，則第三邊c的范圍是：2＜c＜8．則三角形的周長l的范圍是：10＜l＜16，∴連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長m的范圍是：5＜m＜8．故滿足條件的只有A．故選A．點評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系以及三角形的中位線的性質(zhì)，理解原來的三角形與中點三角形周長之間的關(guān)系式關(guān)鍵．3．（2013?泰安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（）A．2B．4C．4D．8考點：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進(jìn)而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．解答：解：∵AE為∠DAB的平分線，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F為DC的中點，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG=，則AF=2AG=2，∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，則AE=2AF=4．故選：B點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2013?達(dá)州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．5考點：平行四邊形的性質(zhì)；垂線段最短；平行線之間的距離．分析：由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時，DE線段取最小值．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB．∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當(dāng)OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC．∴OD∥AB．又點O是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．故選B．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及垂線段最短．解答該題時，利用了“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)．5．（2013?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F(xiàn)是BC的中點，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ等于（）A．3：4B．：2C．：2D．2：考點：平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理．分析：連接DE、DF，過F作FN⊥AB于N，過C作CM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得出S△DEC=S△DFA=S平行四邊形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，設(shè)AB=3a，BC=2a，則BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，F(xiàn)N=a，CM=a，求出AF=a，CE=2a，代入求出即可．解答：解：連接DE、DF，過F作FN⊥AB于N，過C作CM⊥AB于M，∵根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得：S△DEC=S△DFA=S平行四邊形ABCD，即AF×DP=CE×DQ，∴AF×DP=CE×DQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵∠DAB=60°，∴∠CBN=∠DAB=60°，∴∠BFN=∠MCB=30°，∵AB：BC=3：2，∴設(shè)AB=3a，BC=2a，∵AE：EB=1：2，F(xiàn)是BC的中點，∴BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，由勾股定理得：FN=a，CM=a，AF==a，CE==2a，∴a?DP=2a?DQ∴DP：DQ=2：．故選：D．點評：本題考查了平行四邊形面積，勾股定理，三角形的面積，含30度角的直角三角形等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．6．（2013?欽州）如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖（箭頭表示行進(jìn)的方向）．其中E為AB的中點，AH＞HB，判斷三人行進(jìn)路線長度的大小關(guān)系為（）A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：延長ED和BF交于C，如圖2，延長AG和BK交于C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定求出即可．解答：解：圖1中，甲走的路線長是AC+BC的長度；延長AD和BF交于C，如圖2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路線長是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的長；延長AG和BK交于C，如圖3，與以上證明過程類似GH=CK，CG=HK，即丙走的路線長是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的長；即甲=乙=丙，故選D．點評：本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等．7．（2013?紹興模擬）如圖，△ABC紙片中，AB=BC＞AC，點D是AB邊的中點，點E在邊AC上，將紙片沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處．則下列結(jié)論成立的個數(shù)有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線；④BF+CE=DF+DE．A．1個B．2個C．3個D．4個考點：三角形中位線定理；翻折變換（折疊問題）．分析：根據(jù)題意可知△DFE是△DAE對折的圖形，所以全等，故AD=DF，而AD=BD，所以BD=DF，但是∠B不一定等于45°，所以△BDF不一定是等腰直角三角形，①不成立；結(jié)合①中的結(jié)論，BD=DF，而∠ADE=∠FDE，∠ADF=∠DBF+∠DFB，可證∠BFD=∠EDF，故DE∥BC，即DE是△ABC的中位線，③成立；若③成立，利用△ADE≌△FDE，DE∥BC，∠AEF=∠EFC+∠ECF，可證∠DFE=∠CFE，②成立；根據(jù)折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應(yīng)是等邊三角形，顯然不一定，故④不成立．解答：解：①根據(jù)折疊知AD=DF，所以BD=DF，即一定是等腰三角形．因為∠B不一定等于45°，所以①錯誤；②連接AF，交DE于G，根據(jù)折疊知DE垂直平分AF，又點D是AB邊的中點，在△ABF中，根據(jù)三角形的中位線定理，得DG∥BF．進(jìn)一步得E是AC的中點．由折疊知AE=EF，則EF=EC，得∠C=∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，正確；③在②中已證明正確；④根據(jù)折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應(yīng)是等邊三角形，顯然不一定，錯誤．故選B．點評：本題結(jié)合翻折變換，考查了三角形中位線定理，正確利用折疊所得對應(yīng)線段之間的關(guān)系以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．8．（2012?武漢）在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線BC于點E，作AF垂直于直線CD于點F，若AB=5，BC=6，則CE+CF的值為（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+分析：根據(jù)平行四邊形面積求出AE和AF，有兩種情況，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=5，BC=AD=6，①如圖：由平行四邊形面積公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=，AF=3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=5，AE=代入求出BE=，同理DF=3＞5，即F在DC的延長線上（如上圖），∴CE=6﹣，CF=3﹣5，即CE+CF=1+，②如圖：∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，同理DF=3，由①知：CE=6+，CF=5+3，∴CE+CF=11+．故選D．點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的理解能力和計算能力，注意：要分類討論啊．二．填空題（共11小題）9．（2014?奉賢區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC=．考點：三角形中位線定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義．分析：根據(jù)中位線的性質(zhì)得出EF∥BD，且等于BD，進(jìn)而得出△BDC是直角三角形，求出即可．解答：解：連接BD，∵E、F分別是AB、AD的中點，∴EF∥BD，且等于BD，∴BD=4，∵BD=4，BC=5，CD=3，∴△BDC是直角三角形，∴tanC==，故答案為：點評：此題主要考查了銳角三角形的定義以及三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理逆定理，根據(jù)已知得出△BDC是直角三角形是解題關(guān)鍵．10．（2013?濱州）在?ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，點E是邊CD的中點，且AB=6，BC=10，則OE=5．考點：三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：先畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合點E是邊CD的中點，可判斷OE是△DBC的中位線，繼而可得出OE的長度．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四變形，∴點O是BD中點，∵點E是邊CD的中點，∴OE是△DBC的中位線，∴OE=BC=5．故答案為：5．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及中位線定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判斷出點O是BD中點，得出OE是△DBC的中位線．11．（2013?鞍山）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是11．考點：三角形中位線定理；勾股定理．分析：利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長=6+5=11．故答案為：11．點評：本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2013?烏魯木齊）如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為．考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．分析：延長CF交AB于點G，證明△AFG≌△AFC，從而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，點F是CG中點，判斷出DF是△CBG的中位線，繼而可得出答案．解答：解：延長CF交AB于點G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵點D是BC中點，∴DF是△CBG的中位線，∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案為：．點評：本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，同學(xué)們要注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)即是角平分線又是高的情況，我們就需要尋找等腰三角形．13．（2013?無錫）已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為7．考點：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．分析：①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD；②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，證△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，得出D（（8﹣a，6+a），由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣）2+98，求出即可．解答：解：有兩種情況：①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD==10②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，則∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，∴∠BDF=∠FQA，∴∠DBN=∠CAM，∵在△DBN和△CAM中∴△DBN≌△CAM（AAS），∴DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，D（（8﹣a，6+a），由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣）2+98，當(dāng)a=時，CD有最小值，是∵＜10，∴CD的最小值是=7．解法二：CD是平行四邊形的一條對角線設(shè)CD、AB交于點E，∵點E為AB的中點，∴E（），即E（4，3）∵CE=DE，∴當(dāng)DE取得最小值時，CE自然為最小，∵C（a，﹣a），∴C點可以看成在直線y=﹣x上的一點，∴CE最小值為點E到直線的距離，即CE⊥直線y=﹣x，根據(jù)兩直線垂直，斜率乘積為﹣1，∴CE所在直線為y=x+b，代入E（4，3），可得y=x﹣1，∴C點坐標(biāo)為兩直線交點：，即：（，﹣）∴CE為：=∴CD=7．故答案為：7．點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是能得出關(guān)于a的二次函數(shù)解析式，題目比較好，難度偏大．14．（2013?荊州）如圖，△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，點C與點E關(guān)于x軸對稱．若E點的坐標(biāo)是（7，﹣3），則D點的坐標(biāo)是（5，0）．考點：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：設(shè)CE和x軸交于H，由對稱性可知CE=6，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AC=CE=6，根據(jù)勾股定理即可求出AH的長，進(jìn)而求出AO和DH的長，所以O(shè)D可求，又因為D在x軸上，縱坐標(biāo)為0，問題得解．解答：解：∵點C與點E關(guān)于x軸對稱，E點的坐標(biāo)是（7，﹣3），∴C的坐標(biāo)為（7，3），∴CH=3，CE=6，∵△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，∴AC=6，∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D點的坐標(biāo)是（5，0），故答案為（5，0）．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、點關(guān)于x軸對稱的特點以及勾股定理的運(yùn)用．15．（2012?棗莊）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，則EF的長為．考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線．分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求出DF的長，再利用三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可求出DE的長，進(jìn)而求出EF的長解答：解：∵∠AFB=90°，D為AB的中點，∴DF=AB=2.5，∵DE為△ABC的中位線，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案為1.5．點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．16．（2012?貴港一模）如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，則陰影部分的面積為40cm2．分析：作出輔助線，因為△ADF與△DEF同底等高，所以面積相等，所以陰影圖形的面積可解．解答：解：如圖，連接EF∵△ADF與△DEF同底等高，∴S△ADF=S△DEF即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF，即S△APD=S△EPF=15cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，∴陰影部分的面積為S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．故答案為40．點評：本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答此題關(guān)鍵是作出輔助線，找出同底等高的三角形．17．（2012?鐵嶺）如圖，點E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，連接A1F、B1G、C1H、D1E得四邊形A2B2C2D2，以此類推得四邊形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面積為S，則四邊形AnBnCnDn的面積為．考點：三角形中位線定理；菱形的性質(zhì)．分析：由E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，得到A1H=C1F，又A1H∥C1F，利用一組邊長平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形A1HC1F為平行四邊形，根據(jù)平行線間的距離相等及平行四邊形與三角形的面積公式，可得出四邊形A1HC1F的面積等于△HB1C1面積的2倍，等于△A1D1F面積的2倍，而這三個的面積之和為菱形的面積S，可得出四邊形A1HC1F面積為菱形面積S的一半，再由平行線等分線段定理得到A2為A1D2的中點，C2為C1B2的中點，B2為B1A2的中點，D2為D1C2的中點，利用三角形的中位線定理得到HB2=A1A2，D2F=C1C2，可得出A1A2B2H和C1C2D2F都為梯形，且高與平行四邊形A2B2C2D2的高h(yuǎn)相等（設(shè)高為h），下底與平行四邊形A2B2C2D2的邊A2D2與x相等（設(shè)A2D2=x），分別利用梯形的面積公式及平行四邊形的面積公式表示出各自的面積，得出三個面積之比，可得出平行四邊形A2B2C2D2的面積占三個圖形面積的，即為四邊形A1HC1F面積的，為菱形面積的，同理得到四邊形A3B3C3D3的面積為菱形面積的（）2，以此類推，表示出四邊形AnBnCnDn的面積即可．解答：解：∵H為A1B1的中點，F(xiàn)為C1D1的中點，∴A1H=B1H，C1F=D1F，又A1B1C1D1為菱形，∴A1B1=C1D1，∴A1H=C1F，又A1H∥C1F，∴四邊形A1HC1F為平行四邊形，∴S四邊形A1HC1F=2S△HB1C1=2S△A1D1F，又S四邊形A1HC1F+S△HB1C1+S△A1D1F=S菱形A1B1C1D1=S，∴S四邊形A1HC1F=S，又GD1=B1E，GD1∥B1E，∴GB1ED1為平行四邊形，∴GB1∥ED1，又G為A1D1的中點，∴A2為A1D2的中點，同理C2為C1B2的中點，B2為B1A2的中點，D2為D1C2的中點，∴HB2=A1A2，D2F=C1C2，又A1A2B2H和C1C2D2F都為梯形，且高與平行四邊形A2B2C2D2的高h(yuǎn)相等（設(shè)高為h），下底與平行四邊形A2B2C2D2的邊A2D2與x相等（設(shè)A2D2=x），∴S梯形A1A2B2H=S梯形C1C2D2F=（x+x）h=xh，S平行四邊形A2B2C2D2=xh，即S梯形A1A2B2H：S梯形C1C2D2F：S平行四邊形A2B2C2D2=3：3：4，又S梯形A1A2B2H+S梯形C1C2D2F+S平行四邊形A2B2C2D2=S四邊形A1HC1F，∴S平行四邊形A2B2C2D2=S四邊形A1HC1F=S，同理S四邊形A3B3C3D3=（）2S，以此類推得四邊形AnBnCnDn的面積為（）n﹣1S或．故答案為：（）n﹣1S或．點評：此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線等分線段定理，以及平行四邊形與三角形面積的計算，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是一道規(guī)律型試題，靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵．18．（2012?惠安縣質(zhì)檢）如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，A2C、B2C的中點A3、B3，依次取下去…，則：（1）線段AB與A4B4的數(shù)量關(guān)系是A4B4=AB；（2）四邊形A5A4B4B5的面積為．考點：三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律即可求出四邊形A5A4B4B5的面積．解答：解：（1）∵AC、BC兩邊的中點為A1、B1，∴A1B1=AB，同理：A2B2=A1B1，A3B3=A2B2，A4B4=A3B3，∴A4B4=AB，故答案為：A4B4=AB；（2）∵A1、B1分別是AC、BC兩邊的中點，且△ABC的面積為1，∴△A1B1C的面積為1×=，∴四邊形A1ABB1的面積=△ABC的面積﹣△A1B1C的面積==1﹣，∴四邊形A2A1B1B2的面積=△A1B1C的面積﹣△A2B2C的面積=﹣==，∴第5個四邊形的面積==．故答案為：．點評：本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理和相似三角形的性質(zhì)，同時也考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．19．（2011?黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，…，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為（或或，只要答案正確即可）．考點：三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16；根據(jù)三角形的中位線定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，則△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即，因此四邊形A1B1C1D1的面積是四邊形ABCD的面積的，即a2；推而廣之，則AC=8，BD=4，四邊形AnBnCnDn的面積=．解答：解：∵四邊形A1B1C1D1的四個頂點A1、B1、C1、D1分別為AB、BC、CD、DA的中點，∴A1B1∥AC，A1B1=AC．∴△BA1B1∽△BAC．∴△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即．又四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=4，AC⊥BD，∴四邊形ABCD的面積是16．推而廣之，則AC=8，BD=4，四邊形AnBnCnDn的面積=．故答案為（或或，只要答案正確即可）．點評：此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質(zhì)．注意：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．20．（2013?常德）已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：BM=ME．考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可，（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．解答：（1）證法一：如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴點B為線段AD的中點，又∵點M為線段AF的中點，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF．證法二：如答圖1b，延長BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M(jìn)是AF的中點，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF．分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答圖1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）證法一：如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF．延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．在△ACG與△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．證法二：如答圖3b，延長BM交CF于D，連接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M(jìn)是AF的中點，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．點評：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．21．（2013?重慶）已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的長；（2）求證：∠CEG=∠AGE．考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．分析：（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根據(jù)勾股定理求出BE即可；（2）過G作GM⊥AE于M，證△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M為AE中點，得出等腰三角形AGE，根據(jù)性質(zhì)得出GM是∠AGE的角平分線，即可得出答案．解答：（1）解：∵CE=CD，點F為CE的中點，CF=2，∴DC=CE=2CF=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；（2）證明：過G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG=CF，∵CE=CD，CE=2CF，∴CD=2CG即G為CD中點，∵AD∥GM∥BC，∴M為AE中點，∴AM=EM，∵GM⊥AE，∴AG=EG，∴∠AGM=∠EGM，∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=∠AGE．點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．22．（2013?長沙）如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的長．考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分別是AD，BC的中點，即可利用SAS證得△ABN≌△CDM；（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M(jìn)、N分別是AD，BC的中點，∴BN=DM，∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M(jìn)是AD的中點，∠AND=90°，∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°又∵∠END=∠CNP=∠2∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等邊三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2．點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．（2013?沈陽模擬）在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC．（1）如圖1，若∠ADC=90°，G是EF的中點，連接AG、CG．①求證：BE=BF．②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若∠ADC=60°，將線段FB繞點F順時針旋轉(zhuǎn)60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結(jié)論不必證明）考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；等腰直角三角形．分析：（1）①先判定四邊形ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根據(jù)DF是∠ADC的平分線，利用角平分線的定義得到∠ADF=∠FDC，從而得到∠F=∠BEF，然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明；②連接BG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠F=∠BEF=45°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可；（2）連接BG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BFG是等邊三角形，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF=AD，平行四邊形的對角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，從而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可．解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，∵DF是∠ADC的平分線，∴∠ADF=∠FDC，∴∠F=∠BEF，∴BF=BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：連接BG，由①知，BF=BE，∠FBC=90°，∴∠F=∠BEF=45°，∵G是EF的中點，∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，∵∠FAD=90°，∴AF=AD，又∵AD=BC，∴AF=BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG=CG，∴∠FAG=∠BCG，又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，即∠GAC+∠ACG=90°，∴∠AGC=90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）連接BG，∵FB繞點F順時針旋轉(zhuǎn)60°至FG，∴△BFG是等邊三角形，∴FG=BG，∠FBG=60°，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠AFG=∠CBG，∵DF是∠ADC的平分線，∴∠ADF=∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD=∠FDC，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，∴△AGC是等邊三角形．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．24．（2012?廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）當(dāng)α=60°時，求CE的長；（2）當(dāng)60°＜α＜90°時，①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．②連接CF，當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．考點：平行四邊形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）利用60°角的正弦值列式計算即可得解；（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明△AFG和△DFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解；②設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．解答：解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°==，解得CE=5；（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，∵F為AD的中點，∴AF=FD，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF，在△AFG和△DFC中，，∴△AFG≌△DFC（AAS），∴CF=GF，AG=CD，∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴∠AEF=∠G，∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，∴AG=5，AF=AD=BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG（對頂角相等），∴∠CFD=∠AEF，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF；②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，∵由①知CF=GF，∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x，∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+，∴當(dāng)x=，即點E是AB的中點時，CE2﹣CF2取最大值，此時，EG=10﹣x=10﹣=，CE===，所以，tan∠DCF=tan∠G===．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，另外根據(jù)數(shù)據(jù)的計算求出相等的邊長也很重要．25．（2012?廈門）已知平行四邊形ABCD，對角線AC和BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE=PF．（1）如圖，若PE=，EO=1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF=BC+3﹣4，求BC的長．考點：平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理；正方形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解；（2）根據(jù)三角形中位線定理可得PF∥AO，且PF=AO，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位線，然后證明四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解．解答：解：（1）如圖，連接PO，∵PE⊥AC，PE=，EO=1，∴tan∠EPO==，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如圖，∵點P是AD的中點，點F是DO的中點，∴PF為△AOD中位線，∴PF∥AO，且PF=AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵點P是AD的中點，∴PE是△AOD的中位線，∴PE=OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四邊形ABCD是正方形，設(shè)BC=x，則BF=x+×x=x，∵BF=BC+3﹣4=x+3﹣4，∴x+3﹣4=x，解得x=4，即BC=4．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，正方形的判定與性質(zhì)，（2）中判定出平行四邊形ABCD是正方形是解題的關(guān)鍵．26．（2014?海淀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接CF．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=，求△CAF的面積．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理．分析：（1）求出DE∥AB，AF∥BC來證明四邊形ABDF是平行四邊形．（2）過點F作FG⊥AC于G點，求出AC和GF的長再求△CAF的面積．解答：（1）證明：∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE∥AB，∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）解：如圖：過點F作FG⊥AC于G點，∵BC=4，點D是邊BC的中點，∴BD=2，由（1）可知四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD=2，∵∠CAF=45°，∴AG=GF=，在Rt△FGC中，∠FGC=90°，GF=，CF=，∴GC=，∴AC=AG+GC=，∴S△CAF=AC?FG=×3×=3．點評：本題主要考查了平行四邊形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的過程中勾股定理的運(yùn)用很關(guān)鍵．27．（2014?西城區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延長線上一點，且∠AEC=∠ADC．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形．（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四邊形AEDH的周長．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：（1）求出∠AEC=∠1，得出AE∥BD，再由AB∥EC證出四邊形ABDE是平行四邊形．（2）在Rt△BDC中，求出BD，再在在等腰△ADB中求出DH，AH，在Rt△ABH中求出AB，進(jìn)而求出四邊形的四條邊求周長．解答：解：（1）∵DB平分∠ADC，∴，又∵，∴∠AEC=∠1，∴AE∥BD，又∵AB∥EC，∴四邊形AEDB是平行四邊形；（2）∵DB平分∠ADC，∠ADC=60°，AB∥EC，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴AD=AB，又∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，在Rt△BDC中，CD=12，∴BC=6，，在等腰△ADB中，AH⊥BD，∴DH=BH=，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=3，AB=6，∵四邊形AEDB是平行四邊形，∴，ED=AB=6，∴，∴四邊形AEDH的周長為．點評：本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的過程中要靈活運(yùn)用直角三角形來求邊．28．已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交線段AE于F．（1）如圖1，若AE=AD，∠ADC=60°，請直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足等量關(guān)系；（2）如圖2，若AE=AD，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，若成立，對你的結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若AE：AD=a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．考點：平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根據(jù)SAS證△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；（2）與（1）證法類似，根據(jù)SAS證△ABE≌△DGA，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠GFD=∠GDF，