河南省周口市商水縣第一高級(jí)中學(xué)2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文

PAGE8-商水一高2014—2015學(xué)年度下學(xué)期期中試題高二數(shù)學(xué)（文）試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.)1．設(shè)a是實(shí)數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1－i,2)是實(shí)數(shù)，則a＝()A.eq\f(1,2)B．－1C．1D．22．有下列命題：①兩組對(duì)應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，則|x|＋|y|＝0”的逆命題；③“若a＞b，則2x·a＞2x·b”的否命題；④“矩形的對(duì)角線互相垂直”的逆否命題．其中真命題共有()A．1個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．4個(gè)3．已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋bx，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝17，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝4，則b的值為()A．2B．1C．－2 4．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確D．全不正確5．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2i)，i2，|5i2|，\f(1＋i2,i)，－\f(i2,2)))，則集合A∩R＋的子集個(gè)數(shù)為 ()A．8 B．7 C．3 D．27．函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)在區(qū)間(1，＋∞)上一定()A．有最小值 B．有最大值C．是減函數(shù) D．是增函數(shù)8．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A、B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A．甲B．乙C．丙D．丁9．對(duì)于在R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－a)f′(x)≥0，則必有()A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)10．按如圖所示的算法流程圖運(yùn)算，若輸出k＝2，則輸入x的取值范圍是()A．19≤x＜200B．x＜19C．19＜x＜20011．我們知道，在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述結(jié)論，在邊長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值()A.eq\f(\r(6),3)a B．eq\f(\r(6),4)a C.eq\f(\r(3),3)a D．eq\f(\r(3),4)a12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在x＝±1處的切線斜率均為－1，給出以下結(jié)論：①f(x)的解析式為f(x)＝x3－4x，x∈；②f(x)的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；③f(x)的最大值與最小值之和等于0.其中正確的結(jié)論有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．設(shè)Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n)，則Sn＋1－Sn＝________________.14．為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050則至少有________的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．(請(qǐng)用百分?jǐn)?shù)表示)附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82815．如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉________組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大．16.下面有4個(gè)命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，2x＋eq\f(1,2x)的最小值為2；②若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為2；③將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，可以得到函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,6))的圖象；④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，則△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)；類比到空間，若三棱錐S—ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為a、b、c，則三棱錐S—ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________．三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟）17．(本題10分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k＝5，k＝10時(shí)，分別有S＝eq\f(5,11)和S＝eq\f(10,21).試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．18．(本題12分)已知f(x)＝x2＋ax＋b.(1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).19．(本題12分)實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)？復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)與復(fù)數(shù)2－12i相等；(2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方．20．(本題12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2＋b)在x＝1處取得極值2.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m＋1)上單調(diào)遞增？21．(本題12分)某學(xué)校為調(diào)查來(lái)自南方和北方的同齡大學(xué)生的身高差異，從2014級(jí)的年齡在17～19歲之間的大學(xué)生中隨機(jī)抽取了自南方和北方的大學(xué)生各10名，測(cè)量他們的身高，量出的身高如下(單位：cm)南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166(1)根據(jù)抽測(cè)結(jié)果，完成莖葉圖，并根據(jù)你填寫的莖葉圖，對(duì)來(lái)自南方和北方的大學(xué)生的身高作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；(2)設(shè)抽測(cè)的10名南方大學(xué)生的平均身高為eq\x\to(x)，將10名同學(xué)的身高依次輸入按程序框圖進(jìn)行運(yùn)算，問(wèn)輸出的S大小為多少？并說(shuō)明S的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。22．(本題12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若g(x)＝f(x)＋eq\f(2,x)在1.解析：選B.由eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(a1－i＋1－i,2)＝eq\f(a＋1－ia＋1,2)是實(shí)數(shù)得，a＋1＝0，a＝－1，選B.2．C①是假命題，②是真命題，③是真命題，④是假命題．3.解析：選A.依題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(17,10)＝1.7，eq\x\to(y)＝eq\f(4,10)＝0.4，而直線eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋bx一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以－3＋b×1.7＝0.4，解得b＝2.4.【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，∴上述推理過(guò)程中小前提不正確．【答案】C5.【解析】①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝eq\f(1,xln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝－eq\f(\f(1,x),lnx2)＝－eq\f(1,x·lnx2)；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，故選B.【答案】B6.解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2i)，i2，|5i2|，\f(1＋i2,i)，－\f(i2,2)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(i,2)，－1，5，2，\f(1,2)))，所以A∩R＋＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(5，2，\f(1,2)))，故其子集個(gè)數(shù)為23＝8.答案A7.【解析】由函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范圍為a＜1，又g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，則g′(x)＝1－eq\f(a,x2)，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)為增函數(shù)．【答案】D8.D丁同學(xué)所得相關(guān)系數(shù)0.85最大，殘差平方和m最小，所以A、B兩變量線性相關(guān)性更強(qiáng)．9.【解析】由(x－a)f′(x)≥0知，當(dāng)x＞a時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x＜a時(shí)，f′(x)≤0.∴當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，則f(x)≥f(a)．【答案】A10.【解析】由流程圖可知，輸出k＝2，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋10＜2010，,1010x＋10＋10≥2010，))解得19≤x＜200，故選A.11.【解析】正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積，設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個(gè)面的面積為eq\f(\r(3),4)a2，正四面體的體積為eq\f(\r(2),12)a3，則有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.【答案】A12.解析：選C.∵f(0)＝0，∴c＝0，∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝－1,f′－1＝－1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝－1,3－2a＋b＝－1)).解得a＝0，b＝－4，∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.令f′(x)＝0，得x＝±eq\f(2,3)eq\r(3)∈，∴極值點(diǎn)有兩個(gè)．∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)max＋f(x)min＝0.∴①③正確，故選C.二、填空題：13【解析】∵Sn＋1＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋…＋eq\f(1,2n＋2n)，Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n)，∴Sn＋1－Sn＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋2n).【答案】eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋2n)14.答案99.5%15.解析：因?yàn)锳、B、C、E四點(diǎn)分布在一條直線附近且貼近某一直線，D點(diǎn)離得遠(yuǎn)．故應(yīng)去掉D點(diǎn)．答案：D16.【解析】對(duì)于①，2x＋eq\f(1,2x)取得最小值為2的條件是x＝0，這與x＞0相矛盾；對(duì)于③，將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，可以得到函數(shù)y＝sin2(x－eq\f(π,6))＝sin(2x－eq\f(π,3))的圖象；易證②成立；對(duì)于④，可將該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，其外接球的直徑恰好是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線．【答案】①③三、解答題：17.【答案】由程序框圖可知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d.Si＝eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,aiai＋1)＝eq\f(1,d)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2)－eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,ai)－eq\f(1,ai＋1))＝eq\f(1,d)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,ai＋1))．5分當(dāng)k＝5時(shí)，S＝(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a6))eq\f(1,d)＝eq\f(5,a1a6)＝eq\f(5,11).∴a1a6＝11，即a1(a1＋5d)＝11①當(dāng)k＝10時(shí)，S＝(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a11))eq\f(1,d)＝eq\f(10,a1a11)＝eq\f(10,21)，∴a1a11＝21，即a1(a1＋10d)＝21②由①、②聯(lián)立，得a1＝1，d＝2，因此an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.10分18.(1)解∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.5分(2)證明假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2).則－eq\f(1,2)<f(1)<eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)<f(2)<eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)<f(3)<eq\f(1,2)，∴－1<－2f(2)<1，－1<f(1)＋f(3)<1.∴－2<f(1)＋f(3)－2f(2)<2，這與f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．∴假設(shè)錯(cuò)誤，即所證結(jié)論成立．12分19.解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝2，,m2－2m－15＝－12.))解之得m＝－1.4分(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝12，,m2－2m－15＝－16.))解之得m＝1.8分(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.12分20.解：(1)因?yàn)閒′(x)＝eq\f(ax2＋b－ax2x,x2＋b2)，而函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2＋b)在x＝1處取得極值2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋b－2a＝0，,\f(a,1＋b)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))所以f(x)＝eq\f(4x,1＋x2)即為所求．6分(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(4x2＋1－8x2,x2＋12)＝eq\f(－4x－1x＋1,1＋x22).令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1，則f(x)的增減性如下表：x(－∞，－1)(－1,1)(1，＋∞)f′(x)－＋－f(x)↘↗↘可知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－1,2m＋1≤1?－1＜m≤0，,m＜2m＋1))所以當(dāng)m∈(－1,0]時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m＋1)上單調(diào)遞增．12分21.(1)莖葉圖如圖，統(tǒng)計(jì)結(jié)論：(給出下述四個(gè)供參考，考生只要答對(duì)其中兩個(gè)即可，給出其他合理的答案也可)