人教版數(shù)學(xué)八級上冊14-完全平方公式課件

14.2乘法公式14.2.2完全平方公式14.2乘法公式14.2.2完全平方公式1學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋.（重點）2.靈活應(yīng)用完全平方公式進行計算.（難點）學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、2一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較.aabb直接求：總面積=（a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2情境引入一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米3問題1：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=

；p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=

；m2+4m+4（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)=

；p2-2p+1（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)=

.m2-4m+4問題2：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出下列式子的答案嗎？（a+b)2=

；a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2完全平方公式1新課講解問題1：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+14（a+b)2=

，a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

也就是說，兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式.簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”.★完全平方公式新課講解（a+b)2=5問題3：你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba

圖1圖2新課講解問題3：你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baa6幾何解釋：aabb=+++a2ababb2（a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：新課講解幾何解釋：aabb=+++a2ababb2（a+b)2=7a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋：（a-b)2=

.a2-2ab+b2差的完全平方公式：新課講解a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)8(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4：觀察下面兩個完全平方式，比一比，回答下列問題：1.說一說積的次數(shù)和項數(shù).2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎？與a，b有什么關(guān)系？3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項？與a，

b有什么關(guān)系？它的符號與什么有關(guān)？新課講解(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-293.公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項式或多項式.1.積為二次三項式；2.積中兩項為兩數(shù)的平方和，另一項是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；兩數(shù)和（差）平方公式特征新課講解3.公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項式或多1.積為二次三項10

想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2

(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2新課講解想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確，(1)11

運用完全平方公式計算：解：（1）

(4m+n)2==16m2+8mn+n2.(1)(4m+n)2；(4m)2+2·(4m)·n+n2y2=y2-y+

=+-2·y·例1新課講解運用完全平方公式計算：解：（1）(4m+n)12(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.新課講解(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(513(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.

運用完全平方公式計算：解題技巧：運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．=1002+2×100×2+22=1002

-2×100×1+12例2新課講解(1)1022；解：1022=(100+2)2=1014【練習(xí)】運用乘法公式計算：(1)982－101×99；(2)20182－2018×4034＋20172.＝(2018－2017)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172新課講解【練習(xí)】運用乘法公式計算：＝(2018－2017)2＝1.解15

已知x－y＝6，xy＝－8，求：(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36－16＝20.解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.解題技巧：熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy.例3新課講解已知x－y＝6，xy＝－8，求：＝36－16＝216添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括號法則：反過來，就得到添括號法則：2

也就是說，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號;如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號（簡記為“負變正不變”）.新課講解添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a+b17

運用乘法公式計算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解：

(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.例4新課講解運用乘法公式計算:原式=[x+(2y–318解題技巧：（1）題選用平方差公式進行計算，需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.

（2）題要把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算.新課講解解題技巧：（1）題選用平方差公式進行計算，需要分組.分組方法19【練習(xí)】計算：(1)(a－b＋c)2；

(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋2(a－b)c＋c2＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.(2)原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)2新課講解【練習(xí)】計算：(1)(a－b＋c)2；＝1－4x2＋4xy－202.下列計算結(jié)果為2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)21.運用乘法公式計算(a-2)2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2-4a+4B．a(chǎn)2-2a+4C．a(chǎn)2-4D．a(chǎn)2-4a-4AD隨堂即練2.下列計算結(jié)果為2ab－a2－b2的是(213.運用完全平方公式計算：(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x-3y)2=_______________；(3)(2m-1)2=_______________；(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1

4m2-4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋

5)2＝64，運用這一方法計算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝_____．

25隨堂即練3.運用完全平方公式計算：(1)(6a+5b)2=____225.計算：(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.

＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.隨堂即練5.計算：(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)236.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.7.已知x+y=8，x-y=4，求xy.解：∵a+b=5，ab=-6，∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.∵x-y=4，∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②.①-②，得4xy=48，∴xy=12.a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.隨堂即練6.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b224完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項數(shù)、符號、字母及其指數(shù)2.不能直接應(yīng)用公式進行計算的式子，可能需要先添括號變形成符合公式要求的常用結(jié)論3.明確完全平方公式和平方差公式的區(qū)別（從公式結(jié)構(gòu)特點及結(jié)果兩方面區(qū)分）a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2課堂總結(jié)完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項25?為你理想的人，否則，愛的只是你在他身上找到的你的影子。?有時候，我們愿意原諒一個人，并不是我們真的愿意原諒他，而是我們不愿意失去他。不想失去他，惟有假裝原諒他。不管你愛過多少人，不管你愛得多么痛苦或快樂。最后，你不是學(xué)會了怎樣戀愛，而是學(xué)會了，怎樣去愛自己。?為你理想的人，否則，愛的只是你在他身上找到的你的影子。26?在有歡聲笑語的校園里，滿地都是雪，像一塊大地毯。房檐上掛滿了冰凌，一根兒一根兒像水晶一樣，真美??！我們一個一個小腳印踩在大地毯上，像畫上了美麗的圖畫，踩一步，吱吱聲就出來了，原來是雪在告我們：和你們一起玩兒我感到真開心，是你們把我們這一片寂靜變得熱鬧起來。對了，還有樹。樹上掛滿了樹掛，有的樹枝被壓彎了腰，真是忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開。真好看呀！?冬天，一層薄薄的白雪，像巨大的輕軟的羊毛毯子，覆蓋摘在這廣漠的荒原上，閃著寒冷的銀光。?在有歡聲笑語的校園里，滿地都是雪，像一塊大地毯。房檐上掛滿27?走進頤和園，眼前是繁華的蘇州街，現(xiàn)在依稀可以想象到當年的熱鬧場面，蘇州街圍著一片湖，沿著河岸有許多小綠盤子里裝著美麗的荷花。這里是仿照江南水鄉(xiāng)--蘇州而建的買賣街。當年有古玩店、綢緞店、點心鋪等，店鋪中的店員都是太監(jiān)、宮女妝扮的，皇帝游覽的時候才營業(yè)。我正享受著皇帝的待遇，店里的小販都在賣力的吆喝著。?走近一看，我立刻被這美麗的荷花吸引住了，一片片綠油油的荷葉層層疊疊地擠在水面上，是我不由得想起楊萬里接天蓮葉無窮碧這一句詩。荷葉上滾動著幾顆水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望對您有幫助，謝謝晶的。它們有時聚成一顆大水珠，骨碌一下滑進水里，真像一個頑皮的孩子！?走進頤和園，眼前是繁華的蘇州街，現(xiàn)在依稀可以想象到當年的熱2814.2乘法公式14.2.2完全平方公式14.2乘法公式14.2.2完全平方公式29學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋.（重點）2.靈活應(yīng)用完全平方公式進行計算.（難點）學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、30一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較.aabb直接求：總面積=（a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2情境引入一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米31問題1：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=

；p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=

；m2+4m+4（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)=

；p2-2p+1（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)=

.m2-4m+4問題2：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出下列式子的答案嗎？（a+b)2=

；a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2完全平方公式1新課講解問題1：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+132（a+b)2=

，a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

也就是說，兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式.簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”.★完全平方公式新課講解（a+b)2=33問題3：你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba

圖1圖2新課講解問題3：你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baa34幾何解釋：aabb=+++a2ababb2（a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：新課講解幾何解釋：aabb=+++a2ababb2（a+b)2=35a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋：（a-b)2=

.a2-2ab+b2差的完全平方公式：新課講解a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)36(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4：觀察下面兩個完全平方式，比一比，回答下列問題：1.說一說積的次數(shù)和項數(shù).2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎？與a，b有什么關(guān)系？3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項？與a，

b有什么關(guān)系？它的符號與什么有關(guān)？新課講解(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2373.公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項式或多項式.1.積為二次三項式；2.積中兩項為兩數(shù)的平方和，另一項是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；兩數(shù)和（差）平方公式特征新課講解3.公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項式或多1.積為二次三項38

想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2

(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2新課講解想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確，(1)39

運用完全平方公式計算：解：（1）

(4m+n)2==16m2+8mn+n2.(1)(4m+n)2；(4m)2+2·(4m)·n+n2y2=y2-y+

=+-2·y·例1新課講解運用完全平方公式計算：解：（1）(4m+n)40(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.新課講解(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(541(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.

運用完全平方公式計算：解題技巧：運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．=1002+2×100×2+22=1002

-2×100×1+12例2新課講解(1)1022；解：1022=(100+2)2=1042【練習(xí)】運用乘法公式計算：(1)982－101×99；(2)20182－2018×4034＋20172.＝(2018－2017)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172新課講解【練習(xí)】運用乘法公式計算：＝(2018－2017)2＝1.解43

已知x－y＝6，xy＝－8，求：(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36－16＝20.解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.解題技巧：熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy.例3新課講解已知x－y＝6，xy＝－8，求：＝36－16＝244添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括號法則：反過來，就得到添括號法則：2

也就是說，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號;如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號（簡記為“負變正不變”）.新課講解添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a+b45

運用乘法公式計算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解：

(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.例4新課講解運用乘法公式計算:原式=[x+(2y–346解題技巧：（1）題選用平方差公式進行計算，需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.

（2）題要把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算.新課講解解題技巧：（1）題選用平方差公式進行計算，需要分組.分組方法47【練習(xí)】計算：(1)(a－b＋c)2；

(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋2(a－b)c＋c2＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.(2)原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)2新課講解【練習(xí)】計算：(1)(a－b＋c)2；＝1－4x2＋4xy－482.下列計算結(jié)果為2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)21.運用乘法公式計算(a-2)2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2-4a+4B．a(chǎn)2-2a+4C．a(chǎn)2-4D．a(chǎn)2-4a-4AD隨堂即練2.下列計算結(jié)果為2ab－a2－b2的是(493.運用完全平方公式計算：(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x-3y)2=_______________；(3)(2m-1)2=_______________；(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1

4m2-4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋

5)2＝64，運用這一方法計算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝_____．

25隨堂即練3.運用完全平方公式計算：(1)(6a+5b)2=____505.計算：(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.

＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋