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文檔簡介
14.2乘法公式14.2.2完全平方公式14.2乘法公式14.2.2完全平方公式1學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋.(重點)2.靈活應(yīng)用完全平方公式進行計算.(難點)學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、2一塊邊長為a米的正方形實驗田,因需要將其邊長增加b米,形成四塊實驗田,以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積,并進行比較.aabb直接求:總面積=(a+b)(a+b)間接求:總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么?(a+b)2=a2+2ab+b2情境引入一塊邊長為a米的正方形實驗田,因需要將其邊長增加b米3問題1:計算下列多項式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=
;p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=
;m2+4m+4(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=
;p2-2p+1(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=
.m2-4m+4問題2:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,你能寫出下列式子的答案嗎?(a+b)2=
;a2+2ab+b2(a-b)2=
.a2-2ab+b2完全平方公式1新課講解問題1:計算下列多項式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)(p+14(a+b)2=
,a2+2ab+b2(a-b)2=
.a2-2ab+b2
也就是說,兩個數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個公式叫做(乘法的)完全平方公式.簡記為:“首平方,尾平方,積的2倍放中間”.★完全平方公式新課講解(a+b)2=5問題3:你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba
圖1圖2新課講解問題3:你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baa6幾何解釋:aabb=+++a2ababb2(a+b)2=
.a2+2ab+b2和的完全平方公式:新課講解幾何解釋:aabb=+++a2ababb2(a+b)2=7a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋:(a-b)2=
.a2-2ab+b2差的完全平方公式:新課講解a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)8(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4:觀察下面兩個完全平方式,比一比,回答下列問題:1.說一說積的次數(shù)和項數(shù).2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎?與a,b有什么關(guān)系?3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項?與a,
b有什么關(guān)系?它的符號與什么有關(guān)?新課講解(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-293.公式中的字母a,b可以表示數(shù)、單項式或多項式.1.積為二次三項式;2.積中兩項為兩數(shù)的平方和,另一項是兩數(shù)積的2倍,且與兩數(shù)中間的符號相同;兩數(shù)和(差)平方公式特征新課講解3.公式中的字母a,b可以表示數(shù)、單項式或多1.積為二次三項10
想一想:下面各式的計算是否正確?如果不正確,應(yīng)當怎樣改正?(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2
(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2新課講解想一想:下面各式的計算是否正確?如果不正確,(1)11
運用完全平方公式計算:解:(1)
(4m+n)2==16m2+8mn+n2.(1)(4m+n)2;(4m)2+2·(4m)·n+n2y2=y2-y+
=+-2·y·例1新課講解運用完全平方公式計算:解:(1)(4m+n)12(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.解:(1)(5-a)2=25-10a+a2.(2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2.新課講解(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.解:(1)(513(1)1022;解:1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.
運用完全平方公式計算:解題技巧:運用完全平方公式進行簡便計算,要熟記完全平方公式的特征,將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式.=1002+2×100×2+22=1002
-2×100×1+12例2新課講解(1)1022;解:1022=(100+2)2=1014【練習(xí)】運用乘法公式計算:(1)982-101×99;(2)20182-2018×4034+20172.=(2018-2017)2=1.解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=1002-400+4-1002+1=-395.(2)原式=20182-2×2018×2017+20172新課講解【練習(xí)】運用乘法公式計算:=(2018-2017)2=1.解15
已知x-y=6,xy=-8,求:(1)x2+y2的值;(2)(x+y)2的值.=36-16=20.解:(1)∵x-y=6,xy=-8,(x-y)2=x2+y2-2xy,∴x2+y2=(x-y)2+2xy(2)∵x2+y2=20,xy=-8,∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20-16=4.解題技巧:熟練掌握完全平方公式的變式:x2+y2=(x-y)2+2xy=(x+y)2-2xy,(x-y)2=(x+y)2-4xy.例3新課講解已知x-y=6,xy=-8,求:=36-16=216添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b–c.a+b+c=a+(b+c);
a–b–c=a–(b+c).去括號法則:反過來,就得到添括號法則:2
也就是說,添括號時,如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不變符號;如果括號前面是負號,括到括號里的各項都改變符號(簡記為“負變正不變”).新課講解添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a+b17
運用乘法公式計算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解:
(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.例4新課講解運用乘法公式計算:原式=[x+(2y–318解題技巧:(1)題選用平方差公式進行計算,需要分組.分組方法是“符號相同的為一組,符號相反的為另一組”.
(2)題要把其中兩項看成一個整體,再按照完全平方公式進行計算.新課講解解題技巧:(1)題選用平方差公式進行計算,需要分組.分組方法19【練習(xí)】計算:(1)(a-b+c)2;
(2)(1-2x+y)(1+2x-y).=1-4x2+4xy-y2.解:(1)原式=[(a-b)+c]2=(a-b)2+2(a-b)c+c2=a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc.(2)原式=[1-(2x-y)][1+(2x-y)]=12-(2x-y)2新課講解【練習(xí)】計算:(1)(a-b+c)2;=1-4x2+4xy-202.下列計算結(jié)果為2ab-a2-b2的是()A.(a-b)2B.(-a-b)2C.-(a+b)2D.-(a-b)21.運用乘法公式計算(a-2)2的結(jié)果是()A.a(chǎn)2-4a+4B.a(chǎn)2-2a+4C.a(chǎn)2-4D.a(chǎn)2-4a-4AD隨堂即練2.下列計算結(jié)果為2ab-a2-b2的是(213.運用完全平方公式計算:(1)(6a+5b)2=_______________;(2)(4x-3y)2=_______________;(3)(2m-1)2=_______________;(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1
4m2-4m+14.由完全平方公式可知:32+2×3×5+52=(3+
5)2=64,運用這一方法計算:4.3212+8.642×0.679+0.6792=_____.
25隨堂即練3.運用完全平方公式計算:(1)(6a+5b)2=____225.計算:(1)(3a+b-2)(3a-b+2);(2)(x-y-m+n)(x-y+m-n).(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]解:(1)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]=(3a)2-(b-2)2=9a2-b2+4b-4.
=(x-y)2-(m-n)2=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.隨堂即練5.計算:(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)236.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解:∵a+b=5,ab=-6,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37;解:∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①.∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②.①-②,得4xy=48,∴xy=12.a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.隨堂即練6.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b224完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項數(shù)、符號、字母及其指數(shù)2.不能直接應(yīng)用公式進行計算的式子,可能需要先添括號變形成符合公式要求的常用結(jié)論3.明確完全平方公式和平方差公式的區(qū)別(從公式結(jié)構(gòu)特點及結(jié)果兩方面區(qū)分)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2課堂總結(jié)完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項25?為你理想的人,否則,愛的只是你在他身上找到的你的影子。?有時候,我們愿意原諒一個人,并不是我們真的愿意原諒他,而是我們不愿意失去他。不想失去他,惟有假裝原諒他。不管你愛過多少人,不管你愛得多么痛苦或快樂。最后,你不是學(xué)會了怎樣戀愛,而是學(xué)會了,怎樣去愛自己。?為你理想的人,否則,愛的只是你在他身上找到的你的影子。26?在有歡聲笑語的校園里,滿地都是雪,像一塊大地毯。房檐上掛滿了冰凌,一根兒一根兒像水晶一樣,真美??!我們一個一個小腳印踩在大地毯上,像畫上了美麗的圖畫,踩一步,吱吱聲就出來了,原來是雪在告我們:和你們一起玩兒我感到真開心,是你們把我們這一片寂靜變得熱鬧起來。對了,還有樹。樹上掛滿了樹掛,有的樹枝被壓彎了腰,真是忽如一夜春風來,千樹萬樹梨花開。真好看呀!?冬天,一層薄薄的白雪,像巨大的輕軟的羊毛毯子,覆蓋摘在這廣漠的荒原上,閃著寒冷的銀光。?在有歡聲笑語的校園里,滿地都是雪,像一塊大地毯。房檐上掛滿27?走進頤和園,眼前是繁華的蘇州街,現(xiàn)在依稀可以想象到當年的熱鬧場面,蘇州街圍著一片湖,沿著河岸有許多小綠盤子里裝著美麗的荷花。這里是仿照江南水鄉(xiāng)--蘇州而建的買賣街。當年有古玩店、綢緞店、點心鋪等,店鋪中的店員都是太監(jiān)、宮女妝扮的,皇帝游覽的時候才營業(yè)。我正享受著皇帝的待遇,店里的小販都在賣力的吆喝著。?走近一看,我立刻被這美麗的荷花吸引住了,一片片綠油油的荷葉層層疊疊地擠在水面上,是我不由得想起楊萬里接天蓮葉無窮碧這一句詩。荷葉上滾動著幾顆水珠,真像一粒粒珍珠,亮晶希望對您有幫助,謝謝晶的。它們有時聚成一顆大水珠,骨碌一下滑進水里,真像一個頑皮的孩子!?走進頤和園,眼前是繁華的蘇州街,現(xiàn)在依稀可以想象到當年的熱2814.2乘法公式14.2.2完全平方公式14.2乘法公式14.2.2完全平方公式29學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋.(重點)2.靈活應(yīng)用完全平方公式進行計算.(難點)學(xué)習(xí)目標1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、30一塊邊長為a米的正方形實驗田,因需要將其邊長增加b米,形成四塊實驗田,以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積,并進行比較.aabb直接求:總面積=(a+b)(a+b)間接求:總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么?(a+b)2=a2+2ab+b2情境引入一塊邊長為a米的正方形實驗田,因需要將其邊長增加b米31問題1:計算下列多項式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=
;p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=
;m2+4m+4(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=
;p2-2p+1(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=
.m2-4m+4問題2:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,你能寫出下列式子的答案嗎?(a+b)2=
;a2+2ab+b2(a-b)2=
.a2-2ab+b2完全平方公式1新課講解問題1:計算下列多項式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)(p+132(a+b)2=
,a2+2ab+b2(a-b)2=
.a2-2ab+b2
也就是說,兩個數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個公式叫做(乘法的)完全平方公式.簡記為:“首平方,尾平方,積的2倍放中間”.★完全平方公式新課講解(a+b)2=33問題3:你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba
圖1圖2新課講解問題3:你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baa34幾何解釋:aabb=+++a2ababb2(a+b)2=
.a2+2ab+b2和的完全平方公式:新課講解幾何解釋:aabb=+++a2ababb2(a+b)2=35a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋:(a-b)2=
.a2-2ab+b2差的完全平方公式:新課講解a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)36(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4:觀察下面兩個完全平方式,比一比,回答下列問題:1.說一說積的次數(shù)和項數(shù).2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎?與a,b有什么關(guān)系?3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項?與a,
b有什么關(guān)系?它的符號與什么有關(guān)?新課講解(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2373.公式中的字母a,b可以表示數(shù)、單項式或多項式.1.積為二次三項式;2.積中兩項為兩數(shù)的平方和,另一項是兩數(shù)積的2倍,且與兩數(shù)中間的符號相同;兩數(shù)和(差)平方公式特征新課講解3.公式中的字母a,b可以表示數(shù)、單項式或多1.積為二次三項38
想一想:下面各式的計算是否正確?如果不正確,應(yīng)當怎樣改正?(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2
(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2新課講解想一想:下面各式的計算是否正確?如果不正確,(1)39
運用完全平方公式計算:解:(1)
(4m+n)2==16m2+8mn+n2.(1)(4m+n)2;(4m)2+2·(4m)·n+n2y2=y2-y+
=+-2·y·例1新課講解運用完全平方公式計算:解:(1)(4m+n)40(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.解:(1)(5-a)2=25-10a+a2.(2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2.新課講解(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.解:(1)(541(1)1022;解:1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.
運用完全平方公式計算:解題技巧:運用完全平方公式進行簡便計算,要熟記完全平方公式的特征,將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式.=1002+2×100×2+22=1002
-2×100×1+12例2新課講解(1)1022;解:1022=(100+2)2=1042【練習(xí)】運用乘法公式計算:(1)982-101×99;(2)20182-2018×4034+20172.=(2018-2017)2=1.解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=1002-400+4-1002+1=-395.(2)原式=20182-2×2018×2017+20172新課講解【練習(xí)】運用乘法公式計算:=(2018-2017)2=1.解43
已知x-y=6,xy=-8,求:(1)x2+y2的值;(2)(x+y)2的值.=36-16=20.解:(1)∵x-y=6,xy=-8,(x-y)2=x2+y2-2xy,∴x2+y2=(x-y)2+2xy(2)∵x2+y2=20,xy=-8,∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20-16=4.解題技巧:熟練掌握完全平方公式的變式:x2+y2=(x-y)2+2xy=(x+y)2-2xy,(x-y)2=(x+y)2-4xy.例3新課講解已知x-y=6,xy=-8,求:=36-16=244添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b–c.a+b+c=a+(b+c);
a–b–c=a–(b+c).去括號法則:反過來,就得到添括號法則:2
也就是說,添括號時,如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不變符號;如果括號前面是負號,括到括號里的各項都改變符號(簡記為“負變正不變”).新課講解添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a+b45
運用乘法公式計算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解:
(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.例4新課講解運用乘法公式計算:原式=[x+(2y–346解題技巧:(1)題選用平方差公式進行計算,需要分組.分組方法是“符號相同的為一組,符號相反的為另一組”.
(2)題要把其中兩項看成一個整體,再按照完全平方公式進行計算.新課講解解題技巧:(1)題選用平方差公式進行計算,需要分組.分組方法47【練習(xí)】計算:(1)(a-b+c)2;
(2)(1-2x+y)(1+2x-y).=1-4x2+4xy-y2.解:(1)原式=[(a-b)+c]2=(a-b)2+2(a-b)c+c2=a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc.(2)原式=[1-(2x-y)][1+(2x-y)]=12-(2x-y)2新課講解【練習(xí)】計算:(1)(a-b+c)2;=1-4x2+4xy-482.下列計算結(jié)果為2ab-a2-b2的是()A.(a-b)2B.(-a-b)2C.-(a+b)2D.-(a-b)21.運用乘法公式計算(a-2)2的結(jié)果是()A.a(chǎn)2-4a+4B.a(chǎn)2-2a+4C.a(chǎn)2-4D.a(chǎn)2-4a-4AD隨堂即練2.下列計算結(jié)果為2ab-a2-b2的是(493.運用完全平方公式計算:(1)(6a+5b)2=_______________;(2)(4x-3y)2=_______________;(3)(2m-1)2=_______________;(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1
4m2-4m+14.由完全平方公式可知:32+2×3×5+52=(3+
5)2=64,運用這一方法計算:4.3212+8.642×0.679+0.6792=_____.
25隨堂即練3.運用完全平方公式計算:(1)(6a+5b)2=____505.計算:(1)(3a+b-2)(3a-b+2);(2)(x-y-m+n)(x-y+m-n).(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]解:(1)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]=(3a)2-(b-2)2=9a2-b2+4b-4.
=(x-y)2-(m-n)2=x2-2xy+
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