2019-2020學(xué)年廣東省佛山市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

第第頁(yè)共17頁(yè)1-453.5=301-453.5=30.所以MCD的面積為_(kāi)ACd=2【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)共線問(wèn)題，可用： ①求斜率；②求出某兩點(diǎn)所在的直線方程，其它點(diǎn)代入驗(yàn)證；③用向量坐標(biāo)判斷是否共線..如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，G為PA中點(diǎn)，且PE，平面ABCD.(1)若PF_LBC,求證：平面PBC_L平面PEF;(2)求證：PC//平面BDG.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)由已知PE_L平面ABCD,可得PE_LBC,結(jié)合PF_LBC,可證BC±平面PEF,即可證明結(jié)論；(2)連AC交BD于O,連OG,可得OG//PC,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)镻E_L平面ABCD,BC仁平面ABCD,所以PE_LBC,又PF_LBC,PE門(mén)PF=P,PE仁平面PEF,PF仁平面PEF,所以BC±平面PEF.又BC二平面PBC,所以平面PBC_L平面PEF.(2)連接AC交BD于O,連接OG,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以O(shè)A=OC,又G為PA中點(diǎn)，所以O(shè)G//PC,又OGu平面BDG,PC值平面BDG,所以PC//平面BDG.【點(diǎn)睛】本題考查空間垂直和平行的證明，屬于基礎(chǔ)題 ^.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：2x-y-1=0,圓C的圓心在直線l上，半徑(1)若圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為2&,求圓C的方程;(2)已知P(2,0),圓C上存在點(diǎn)Q,使得PQ=OQ,求圓心C橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】(1)圓C的方程為x2+(y+lj=4或(x—1)2十(y—1)2=4(2)1-1,3]【解析】(1)根據(jù)已知條件設(shè)圓心坐標(biāo)為 (a,2a-1),求出圓心到x軸的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解；(2)PQ=OQ,Q在線段OP的垂直平分線上，又點(diǎn)Q在圓上轉(zhuǎn)化為圓與OP的垂直平分線有交點(diǎn)，利用圓與直線的位置關(guān)系，即可求解 ^【詳解】2 . ■2(1)設(shè)圓C：(x—a)+[y—(2a—1)j=4,因?yàn)閳AC被x軸截得的弦長(zhǎng)為2J3,所以圓心c到x軸的距離d=J4_(73j=1,即d=|2a—1=1,解得2=0或2=1,2 2 2 2所以圓C的萬(wàn)程為x2+(y+15=4或(x—1)+(y—1)=4.(2)題意等價(jià)于OP的中垂線x=1與圓C有公共點(diǎn)，所以圓心C到直線x=1的距離不大于半徑2,即a-1M2.解得—1MaM3,即圓心C橫坐標(biāo)的取值范圍為1-1,3].【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，要注意點(diǎn)到直線距離的靈活運(yùn)用，屬于中檔題 ^220.已知拋物線C：y=4x,過(guò)定點(diǎn)P(0,1)的直線為1.(1)若1與C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線1的方程；(2)若1與C交于a、B兩點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為X、k2,試探究K與卜2的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)直線1的方程為x=0或y=1或y=x+1(2)k〔+k2=4【解析】(1)點(diǎn)P(Q1堆拋物線外，對(duì)直線1斜率是否存在分類(lèi)討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用方程組只有一個(gè)解，即可得出結(jié)論；(2)由(1)中結(jié)合韋達(dá)定理，確定A,B關(guān)系，利用斜率公式，即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=0,顯然滿(mǎn)足題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+1,TOC\o"1-5"\h\zy=kx1 22聯(lián)立《I，消去y整理得kx+(2k-4)x+1=0(*)y=4x當(dāng)k=0時(shí)，方程（*）只有唯一解，滿(mǎn)足題意，此時(shí)l的方程為y=1.2 2 _ .當(dāng)k00時(shí)，A=(2k—4)—4k2=0,解得k=1,此時(shí)l的方程為y=x+1.綜上，直線l的方程為x=0或y=1或y=x+1(2)設(shè)A(x1,y),B(x2,y2),由(*)\o"CurrentDocument"2k-4 1口」如x1+x2=- 2-,x)x2=—,k k又1.x1 x1X2x2kx1又1.x1 x1X2x2kx11 kx21所以匕?k2=XiX2x1x2=2k+-__2=4,X1X2即ki與k2滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為:ki*2=4.本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,當(dāng)點(diǎn)在拋物線外，過(guò)點(diǎn)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，考查定值問(wèn)題，屬于中檔題21.如圖，梯形ABCD中，AB//DC,AB=4,AD=DC=CB=2,將ABCD沿BD折到ABC'D的位置，使得平面BC'D_L平面ABCD.(1)求證：AD_LBC'；（2）求二面角B-AC'-D的余弦值.7【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）—"7【解析】（1）利用長(zhǎng)度關(guān)系可證AD-LBD,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得AD_L平

面BC'D,即可求證結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 ADC'與平面ABC'的法向量，運(yùn)用空間向量法，即可求解.【詳解】(1)在梯形ABCD中，過(guò)D作DH_LAB于H,則AH=1,又AD=2,所以DH=J3,ZDAH=60°,/ABD=30?,故NADB=90。，即AD_LBD.又平面BC'D_L平面ABCD,平面BC'DPl平面ABCD=BD,ADu平面ABCD,所以AD_L平面BC'D,又BC'u平面BC'D,所以AD_LBC'.(2)以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示，則A(2,0,0),B(0,2￡,0),C'(0,73,1),DA=(2,0,0),AC'=(-2，石1),AB=(-2,273,0), ，一一? n1DA=0設(shè)平面ADC'的法向量n1=(x1,y1,z1),則1n1AC'^02x12x1=0即 一-2xi、3y1.x Xi,解得\Zi=0 Zi令y令yi=1,得ni=(0,1,3,T n2ABT n2AB=0設(shè)平面ABC'的法向量n2=(x2,y2,z2),則n2AC'=0-2x223y2=0 X2即《 「 ，解得2-2x2、3y2z2=0 z2令y2=1,得n2=(。3,1,J3),=3y2=V3y2所以cos:二所以cos:二n1，n2K-22；7結(jié)合圖形可知，二面角B-AC'-D為鈍角，它的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查空間垂直的轉(zhuǎn)換證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.22.某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車(chē)道，每條車(chē)道寬 4米，要求通行車(chē)輛限高5米，隧道全長(zhǎng)1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個(gè)橢圓形狀（如圖所示） ^（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l至少是多少米？（結(jié)果取整數(shù)）（2）如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬1,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最?。?（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：布電3.3,橢圓的面積公式為S=nab,其中a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng).【答案】（1）此隧道設(shè)計(jì)的拱寬1至少是22米（2）當(dāng)拱高為7米、拱寬為18米時(shí)，土方工程量最小2 2【解析】（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為三十~y2=1（a>b>0）,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性b=6,ab將點(diǎn)（6,5）代入橢圓方程，即可求解；3625（2）由點(diǎn)（6,5）在橢圓上或在橢圓內(nèi)，得―+―<1,利用基本不等式，即可求出橢a2b2圓的面積S的最小值，根據(jù)體積公式，即可求解 .【詳解】（1）建立直角坐標(biāo)系xOy如圖所示，2 2則點(diǎn)P（6,5游橢圓與+4=1上，a2b236將b=h=6與點(diǎn)P（6,5）代入橢圓方程，得a=而，一，八72此時(shí)l=2a=———J13625265 「■ab”因?yàn)?之丁+丁之 ，即ab之60,S=——>30n,a2b2 ab 2由于隧道長(zhǎng)度為1.5千米，故隧道的土方工程量V=1.5S主45n,65 一當(dāng)V取得最小值時(shí)，有一=—且ab=60,得a=6應(yīng)，b=5j2，ab此時(shí)l=2a=12e七16.97,h=b^