隱零點(diǎn)問題（解析版）

第12講隱零點(diǎn)問題參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．（2021?贛州期末）命題：關(guān)于的不等式為自然對數(shù)的底數(shù)）的一切恒成立；命題，；那么命題是命題的A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：關(guān)于的不等式為自然對數(shù)的底數(shù)）的一切恒成立，即為，可令，則，由在遞增，且，，則存在，，滿足，且在遞減，，遞增，，記，則，即有，，，則命題是命題的必要不充分條件，故選：．二．解答題（共22小題）2．已知函數(shù)，求證：．【解答】證明：，．則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，，存在唯一零點(diǎn)，滿足，．，，，．．．3．（2021?鼓樓區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)，．（1）若（e）；①求實數(shù)的值；②若，證明為的極值點(diǎn)．（2）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立．（注為自然對數(shù)的底數(shù)）【解答】解：（1）①求導(dǎo)得，是的極值點(diǎn)，，解得或；②證明：因為，所以，所以，令，則，故在上單調(diào)遞增，而（1），（e），故存在唯一，使得，時，，，即時，，單調(diào)遞增，時，，，此時，單調(diào)遞減，為函數(shù)的極小值點(diǎn)；（2）當(dāng)，對于任意的實數(shù)，恒有成立；時，由題意，首先有，解得，由（1）知，，令，則（1），（a），且，又在內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則，，從而，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以要使對任意，恒成立，只需，由知③，將③代入①得，，又，注意到函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故，由②解得，，綜上，實數(shù)的取值范圍為．4．（2021?全國四模）已知函數(shù)，，．（1）求證：，；（2）記，若有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：令，．當(dāng)時，，在遞減；當(dāng)時，，在遞增，，．即．令，，當(dāng)時，，在遞增；當(dāng)時，，在遞減，（1），．即（2），．①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，至多一個零點(diǎn)舍去；②當(dāng)時，，即．設(shè)，，在上單調(diào)遞增，又，（a），所以在存在唯一的零點(diǎn)，記為，，即．當(dāng)，，即，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，，即，在，上單調(diào)遞增，，又，，若有兩個零點(diǎn)，則，即，，又，，又在上單調(diào)遞減，所以在存在唯一的零點(diǎn)；由及（1）可知，，又在，上單調(diào)遞減，所以在，存在唯一的零點(diǎn)，故有兩個零點(diǎn)．綜上，取值范圍是．5．設(shè)為實數(shù)，已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為實數(shù)，若不等式對任意的及任意的恒成立，求的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個相異的零點(diǎn)，求的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由，得：，由于，所以對任意的及任意的恒成立，由于，所以，所以對任意的恒成立．設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．（3）由，得，其中，若時，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不合題意．若時，令，得，由第（2）小題知，當(dāng)時，，所以，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)的值域為，所以存在，使得，即，①當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減．因為函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，所以，②設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，由于（1），所以當(dāng)時，，所以②式中的，由①式得，由第（1）小題可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，，當(dāng)，時，（1）由于，所以，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上圖象不間斷，所以函數(shù)，上恰有一個零點(diǎn)．（2）由于，令，設(shè)，由于時，，，所以設(shè)，即，由①式得當(dāng)時，，且，同理可得函數(shù)在，上恰有一個零點(diǎn)，綜上，，．6．（2021?眉山模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）設(shè)有兩個極值點(diǎn)，，若過兩點(diǎn)，，，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．【解答】解：（1）當(dāng)時，，則；令得，或；100增9減增當(dāng)時，的極大值為9，當(dāng)時，的極小值為．（2）；①當(dāng)時，，是上的增函數(shù)，②當(dāng)時，有兩個根，，；當(dāng)，時，；故的單調(diào)增區(qū)間為，，；當(dāng)時，；故的單調(diào)減區(qū)間為，；（3）由題設(shè)知，，是的兩個根，，且，；，同理，，則直線的解析式為；設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，，則，解得，；代入得，；，在軸上，，解得，或或．7．（2021?重慶模擬）已知函數(shù)．（1）若直線與曲線相切，求的值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則有：，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為（1），所以；（2）令，則原命題等價于恒成立，又，設(shè)，則在上單減，在，上單增，故只需，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，即．8．（2021?廣州二模）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時，．參考數(shù)據(jù)：，．【解答】解：（1）解法，函數(shù)在遞增，，得，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在遞減，在遞增，故時，取得最小值，故，故的范圍是；解法2：由，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在遞減，在遞增，故時，取得最小值，函數(shù)在遞增，故，由于，則，解得：，故的范圍是；（2）證明：若，則，得，由（1）知函數(shù)在遞減，在遞增，又，（1），，則存在，使得，即，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，則函數(shù)在遞減，在，遞增，則當(dāng)時，函數(shù)取最小值，故當(dāng)時，，由，得，則，由于，則，故時，．9．（2021?石家莊一模）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時，若直線是曲線的切線，求的最大值；（2）設(shè)，函數(shù)，有兩個不同的零點(diǎn)，求的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)【解答】解：（1）設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，，，，又點(diǎn)在切線上，，，，因此，設(shè)（a），，（a），令（a）得，；令（a）得，，（a）在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（a）的最大值為，的最大值為；（2）函數(shù)，有兩個不同的零點(diǎn)，等價于方程有兩個不相等的實根，設(shè)，則等價于方程有兩個不同的解，即關(guān)于的方程有兩個不同的解，設(shè)，則，設(shè)，由可知，在上單調(diào)遞減，又（1），，存在使得，即，，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，要使得關(guān)于的方程有兩個不同的解，則，當(dāng)時，設(shè)，則，可知在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又（1），，（e），有兩個不同的零點(diǎn)，符合題意，的最大整數(shù)值為．10．（2021?匯川區(qū)校級月考）已知函數(shù)為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），（1）曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，對，都有成立．【解答】解：（1），，即在上是單調(diào)遞減，又（1），所以函數(shù)在上單增，上單減．（2）證明：，，即在上是單調(diào)遞減，所以（1），當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞減，則（1），當(dāng)時，必然存在一個，使得，則，，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減．則．法二：即，，令，則，顯然是增函數(shù)，故（1），所以是增函數(shù)，（1），故，所以當(dāng)時，對，都有成立．11．（2021?龍鳳區(qū)校級二模）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，時，求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若恒成立，求的最小值【解答】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為9，切點(diǎn)為，則切線方程為，即；（2），令，則在上單調(diào)遞增，又時，，當(dāng)時，，存在唯一一個，使得，即．當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．．恒成立，，即．，設(shè)，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1）．當(dāng)時，即，時，取得最小值．12．已知函數(shù)，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．【解答】解：．，化為：．，令．．．時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而（1），時，，不滿足題意，舍去．時，，可得時，函數(shù)取得極小值，，令（a），．（a），可得時，（a）取得極大值即最大值，，因此只有時滿足題意．故．證明：由可得：，．．．可得時，取得極小值，．時，；時，（1），時，．函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且．滿足，可得．令，．，．．，．令，．，可得時，函數(shù)取得極大值，且．．存在唯一的極大值點(diǎn)，且．13．（2021?廣州模擬）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，，則（1），（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，又曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調(diào)遞減，又，（1），故存在，使得，且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，，單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且，即，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，由于，故（2），即，．14．（2021春?濟(jì)寧期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若，證明：．【解答】解：（1）若時，，．，設(shè)，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，又，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增．的最小值為．（2）證明：由題意知，．，當(dāng)時，，顯然成立．當(dāng)時，由（1）知：，在上為增函數(shù)，，（1），存在唯一的使得，即，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；，時，，，單調(diào)遞增．的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．把代入，得，矛盾，等號不能成立．，因此．15．（2021春?日照期中）設(shè)函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域，，當(dāng)，恒成立，沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又因為時，，時，，故只有1個零點(diǎn)；（2）令，則，，由（1）知，當(dāng)時，只有1個零點(diǎn)，設(shè)為，則，，，故，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，．16．（2021?九江校級月考）已知函數(shù)．（1）若是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明．【解答】解：（1），，是的極值點(diǎn)，，得；當(dāng)在時，，遞減，當(dāng)在時，，遞增；（2）當(dāng)時，，，，故在上有唯一實數(shù)根，且．當(dāng)時，，當(dāng)，時，，從而當(dāng)時，取得最小值，，．另解：當(dāng)時，，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，取等條件不一致，故，即．17．（2021春?福建期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值，并討論的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：．【解答】解：，由題意可得，，解可得，，令，則，故在上單調(diào)遞增且，當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，（Ⅱ）證明：（2）令，則在上單調(diào)遞增，因為，，所以在存在唯一實數(shù)根，且，當(dāng)時，，，時，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，因為，即，故，所以．18．（2021?道里區(qū)校級二模）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求函數(shù)在，上的最值；（2）若對任意，，且，都有，求的取值范圍．（3）當(dāng)時，證明．【解答】解：（1），是的極值點(diǎn)，，解得：，，定義域是，，設(shè)，則，在遞增，又，時，，即，時，，即，在遞減，在遞增，在，遞增，的最小值是（1），的最大值是（2）；（2）因為對任意，，且，都有，即都有，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增；在，上恒成立，又因為在，上單調(diào)遞增，所以只要即；（3）證明：當(dāng)，時，，故只需證明當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，故在上有唯一實數(shù)根，且，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，從而當(dāng)時，取得最小值．由，得，，故，綜上，當(dāng)時，．法二：．，，，故，令，易證時“”成立），故時“”成立），故，““不同時成立），故，成立．19．（2021?東湖區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時，證明：在上恒成立．【解答】解：（1）由題意得，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)；所以是的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)（2）證明：令，則，令，則因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上最多有一個零點(diǎn)，又因為，（1），所以存在唯一的使得（c），且當(dāng)時，；當(dāng)時，，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而（c），由（c）得即，兩邊取對數(shù)得：，所以（c），（c），從而證得．20．（2021?錫山區(qū)校級三模）已知函數(shù)，．（1）若，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）設(shè)，若，求的取值范圍．【解答】解：（1）時，，則，，又，故切點(diǎn)為，故曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：；（2），定義域是，令（a），求導(dǎo)（a），故（a）在上單調(diào)遞增，且（1），故，則當(dāng)時，恒成立，即（a）（1），故，，時，令，則，故在上單調(diào)遞增，且，，故存在，，使得，即，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，在，上單調(diào)遞增，故，綜上，所求的取值范圍是，．21．（2021?玉溪月考）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)，，，，令得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以（1）．（2）解：因為，即，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，因為，設(shè)，因為△，，故存在，有，且在時，在，時，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增故要滿足題意，有，由可得代入上式，，即，由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而（1），①當(dāng)，時，函數(shù)（1）符合要求又所以，，即，，②當(dāng)時，函數(shù)（1）不符合要求綜上：，．22．（2021?龍巖月考）已知函數(shù)且為常數(shù)）．（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知：的定義域為，，令，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，①當(dāng)時，在上恒成立，即，故在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；②當(dāng)時，方程有唯一解為，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時，無極值點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)只有1個極值點(diǎn)；（Ⅱ）不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，對任意的恒成立記，則，記，則，易知在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，（1），存在，使得，且當(dāng)時，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時，即，故在，上單調(diào)遞增，，即，又，故，即，即，由（Ⅰ）知