新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊

4.1直線的方向向量與平面的法向量第三章20214.1直線的方向向量與平面的法向量第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)用直線的方向向量與法向量解題.(邏輯推理)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方課前篇自主預(yù)習(xí)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思如何用向量來確定直線的位置?如何用向量來確定一條直線和一個(gè)平面垂直?這就是我們要解決的主要問題.激趣誘思如何用向量來確定直線的位置?如何用向量來確定一條直線知識(shí)點(diǎn)撥一、直線的方向向量與直線的向量表示1.直線的方向向量如圖,設(shè)點(diǎn)A,B是直線l上不重合的任意兩點(diǎn),稱

為直線l的方向向量.顯然,一條直線有無數(shù)個(gè)方向向量,根據(jù)平行向量的定義可知,這些方向向量都平行,因此與

平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量.知識(shí)點(diǎn)撥一、直線的方向向量與直線的向量表示2.直線l的向量表示已知點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn),非零向量a是直線l的一個(gè)方向向量,那么對于直線l上的任意一點(diǎn)P,一定存在實(shí)數(shù)t,使得

=ta.反之,由幾何知識(shí)不難確定,滿足上式的點(diǎn)P一定在直線l上.因此,我們把這個(gè)式子稱為直線l的向量表示.2.直線l的向量表示微練習(xí)1下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.表示直線的方向向量的有向線段一定在直線上C.直線的方向向量有兩個(gè)D.用直線的方向向量表示直線時(shí),表達(dá)式不唯一答案

D微練習(xí)1微練習(xí)2若直線l過點(diǎn)A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個(gè)方向向量可以是(

)答案

D微練習(xí)2答案D二、平面的法向量及其應(yīng)用1.平面法向量的定義我們已經(jīng)知道,給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線.類似地,空間中給定一點(diǎn)和一條直線后,可以唯一確定過此點(diǎn)與這條直線垂直的平面.因此,如果一條直線l與一個(gè)平面α垂直,那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量,則n⊥α.二、平面的法向量及其應(yīng)用2.平面的向量表示式如圖,設(shè)點(diǎn)M是平面α內(nèi)給定的一點(diǎn),向量n是平面α的一個(gè)法向量,那么對于平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P,必有·n=0.此式稱為平面α的一個(gè)向量表示式.2.平面的向量表示式微練習(xí)若兩個(gè)向量

=(1,2,3),

=(3,2,1),則平面ABC的一個(gè)法向量為(

)A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)

D.(-1,2,1)答案

A解析

設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個(gè)法向量為n=(-1,2,-1).微練習(xí)答案A解析設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z課堂篇探究學(xué)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一直線的方向向量及其應(yīng)用例1(1)已知直線l1的一個(gè)方向向量為(-7,3,4),直線l2的一個(gè)方向向量為(x,y,8),且l1∥l2,則x=

,y=

.

(2)在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(2,0,1),B(2,6,3),P是直線AB上一點(diǎn),且滿足AP∶PB=3∶2,則直線AB的一個(gè)方向向量為

,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

探究一直線的方向向量及其應(yīng)用例1(1)已知直線l1的一個(gè)方向新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊規(guī)律方法1.應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè),哪個(gè)易求求哪個(gè).2.利用直線上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線的方向向量可以確定直線的位置,進(jìn)而利用向量的運(yùn)算確定直線上任一點(diǎn)的位置.規(guī)律方法1.應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè),哪個(gè)易求求哪個(gè)變式訓(xùn)練1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案

A解析

=(1,4,7)-(-1,0,1)=(2,4,6)=2(1,2,3),故選A.變式訓(xùn)練1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,探究二平面的法向量及求法例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.探究二平面的法向量及求法例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底解

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1).解如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),反思感悟

利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(4)解方程組,取延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解

如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一變式訓(xùn)練2如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.變式訓(xùn)練2如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC解

以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,解以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊探究三證明平面的法向量例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn).求證:是平面ADE的法向量.探究三證明平面的法向量例3在正方體ABCD-A1B1C1D1證明如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,證明如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸反思感悟

用向量法證明線面垂直的實(shí)質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明線線垂直,因此,其思想方法與證明線線垂直相同,區(qū)別在于必須證明兩次線線垂直.反思感悟用向量法證明線面垂直的實(shí)質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明變式訓(xùn)練3如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,PA=AD=1,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出向量

的坐標(biāo);(2)求證:為平面PCD的一個(gè)法向量.變式訓(xùn)練3如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA垂直于正方形(1)解

由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,AD兩兩互相垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)解由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,A新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊素養(yǎng)形成求平面的法向量的注意事項(xiàng)典例四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.分析解答本題可先建立空間直角坐標(biāo)系,寫出每個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出平面的法向量.素養(yǎng)形成求平面的法向量的注意事項(xiàng)解

∵AD,AB,AS是三條兩兩垂直的線段,∴以A為原點(diǎn),以

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),∴

=(1,0,0)是平面SAB的法向量.設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(1,y,z),解∵AD,AB,AS是三條兩兩垂直的線段,∴以A為原點(diǎn),以反思感悟

任一平面的法向量有無數(shù)個(gè),一般用待定系數(shù)法解一個(gè)三元一次方程組,求得其中的一個(gè)即可.構(gòu)造方程組時(shí),注意所選平面內(nèi)的兩個(gè)向量是不共線的,賦值時(shí)應(yīng)保證所求法向量為非零向量,本題中的法向量的設(shè)法值得借鑒.反思感悟任一平面的法向量有無數(shù)個(gè),一般用待定系數(shù)法解一個(gè)三當(dāng)堂檢測1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量是(

)A.(2,2,6) B.(-1,1,3)C.(3,1,1) D.(-3,0,1)答案

A解析

∵A,B在直線l上,∴

=(1,1,3),與

共線的向量(2,2,6)可以是直線l的一個(gè)方向向量.當(dāng)堂檢測1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直線l上2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則線段AB與坐標(biāo)平面(

)A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交答案

C解析

因?yàn)?/p>

=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),所以AB∥平面yOz.2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2答案

2∶3∶(-4)答案2∶3∶(-4)4.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1);②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).其中正確的是

.(填序號(hào))

4.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長答案

①②③

答案①②③5.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一個(gè)法向量.5.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0)本課結(jié)束本課結(jié)束4.1直線的方向向量與平面的法向量第三章20214.1直線的方向向量與平面的法向量第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)用直線的方向向量與法向量解題.(邏輯推理)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方課前篇自主預(yù)習(xí)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思如何用向量來確定直線的位置?如何用向量來確定一條直線和一個(gè)平面垂直?這就是我們要解決的主要問題.激趣誘思如何用向量來確定直線的位置?如何用向量來確定一條直線知識(shí)點(diǎn)撥一、直線的方向向量與直線的向量表示1.直線的方向向量如圖,設(shè)點(diǎn)A,B是直線l上不重合的任意兩點(diǎn),稱

為直線l的方向向量.顯然,一條直線有無數(shù)個(gè)方向向量,根據(jù)平行向量的定義可知,這些方向向量都平行,因此與

平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量.知識(shí)點(diǎn)撥一、直線的方向向量與直線的向量表示2.直線l的向量表示已知點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn),非零向量a是直線l的一個(gè)方向向量,那么對于直線l上的任意一點(diǎn)P,一定存在實(shí)數(shù)t,使得

=ta.反之,由幾何知識(shí)不難確定,滿足上式的點(diǎn)P一定在直線l上.因此,我們把這個(gè)式子稱為直線l的向量表示.2.直線l的向量表示微練習(xí)1下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.表示直線的方向向量的有向線段一定在直線上C.直線的方向向量有兩個(gè)D.用直線的方向向量表示直線時(shí),表達(dá)式不唯一答案

D微練習(xí)1微練習(xí)2若直線l過點(diǎn)A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個(gè)方向向量可以是(

)答案

D微練習(xí)2答案D二、平面的法向量及其應(yīng)用1.平面法向量的定義我們已經(jīng)知道,給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線.類似地,空間中給定一點(diǎn)和一條直線后,可以唯一確定過此點(diǎn)與這條直線垂直的平面.因此,如果一條直線l與一個(gè)平面α垂直,那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量,則n⊥α.二、平面的法向量及其應(yīng)用2.平面的向量表示式如圖,設(shè)點(diǎn)M是平面α內(nèi)給定的一點(diǎn),向量n是平面α的一個(gè)法向量,那么對于平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P,必有·n=0.此式稱為平面α的一個(gè)向量表示式.2.平面的向量表示式微練習(xí)若兩個(gè)向量

=(1,2,3),

=(3,2,1),則平面ABC的一個(gè)法向量為(

)A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)

D.(-1,2,1)答案

A解析

設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個(gè)法向量為n=(-1,2,-1).微練習(xí)答案A解析設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z課堂篇探究學(xué)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一直線的方向向量及其應(yīng)用例1(1)已知直線l1的一個(gè)方向向量為(-7,3,4),直線l2的一個(gè)方向向量為(x,y,8),且l1∥l2,則x=

,y=

.

(2)在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(2,0,1),B(2,6,3),P是直線AB上一點(diǎn),且滿足AP∶PB=3∶2,則直線AB的一個(gè)方向向量為

,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

探究一直線的方向向量及其應(yīng)用例1(1)已知直線l1的一個(gè)方向新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊規(guī)律方法1.應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè),哪個(gè)易求求哪個(gè).2.利用直線上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線的方向向量可以確定直線的位置,進(jìn)而利用向量的運(yùn)算確定直線上任一點(diǎn)的位置.規(guī)律方法1.應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè),哪個(gè)易求求哪個(gè)變式訓(xùn)練1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案

A解析

=(1,4,7)-(-1,0,1)=(2,4,6)=2(1,2,3),故選A.變式訓(xùn)練1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,探究二平面的法向量及求法例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.探究二平面的法向量及求法例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底解

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1).解如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),反思感悟

利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(4)解方程組,取延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解

如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一變式訓(xùn)練2如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.變式訓(xùn)練2如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC解

以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,解以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊探究三證明平面的法向量例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn).求證:是平面ADE的法向量.探究三證明平面的法向量例3在正方體ABCD-A1B1C1D1證明如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,證明如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸反思感悟

用向量法證明線面垂直的實(shí)質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明線線垂直,因此,其思想方法與證明線線垂直相同,區(qū)別在于必須證明兩次線線垂直.反思感悟用向量法證明線面垂直的實(shí)質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明變式訓(xùn)練3如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,PA=AD=1,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出向量

的坐標(biāo);(2)求證:為平面PCD的一個(gè)法向量.變式訓(xùn)練3如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA垂直于正方形(1)解

由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,AD兩兩互相垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)解由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,A新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何直線的方向向量與平面的法向量課件北師大版選擇性必修第一冊素養(yǎng)形成求平面的法向量的注意事項(xiàng)典例四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.分析解答本題可先建立空間直角坐標(biāo)系,寫出每個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出平面的法向量.素養(yǎng)形成求平面的法向量的注意事項(xiàng)解

∵AD,AB,AS是三條兩兩垂直的線段,∴以A為原點(diǎn),以

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),∴

=(1,0,0)是平面SAB