2023學年人教A版高中數(shù)學選修同步圓錐曲線與方程 省一等獎

圓錐曲線與方程第二章2.3拋物線2.3.1拋物線及其標準方程課前教材預案課堂深度拓展課末隨堂演練課后限時作業(yè)平面內與一定點F和一條定直線l(l不經過點F)____________的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的_________，直線l叫做拋物線的_________.課前教材預案要點一拋物線的定義距離相等

焦點

準線

思考：在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？提示

不一定是拋物線，當直線l經過點F時，點的軌跡是過點F且垂直于定直線的一條直線，l不過定點F時，點的軌跡是拋物線．要點二拋物線標準方程的幾種形式x2＝2py(p>0) 思考：如何從標準方程判斷拋物線的焦點位置？提示

一次項變量為x(或y)，則焦點在x軸(或y軸)上，若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；系數(shù)為負，則焦點在負半軸上．拋物線標準方程的求法(1)定義法當動點軌跡符合拋物線的定義時，可直接根據(jù)定義求出拋物線軌跡方程．課堂深度拓展考點一拋物線的標準方程(2)待定系數(shù)法由于拋物線的標準方程有四種固定的形式，所以求拋物線標準方程通常利用待定系數(shù)法，其步驟為：①確定拋物線的焦點位置；②根據(jù)拋物線的焦點位置設出拋物線的方程；③根據(jù)已知求出拋物線的標準方程．【例題1】已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(－3，m)到焦點F的距離是5，求拋物線方程及m的值．思維導引：解本題的基本思路有兩個，其一是設拋物線方程，利用點M在拋物線上和點M到焦點的距離為5，列出關于m，p的方程組求解；其二是利用拋物線的定義，由點M到準線的距離為5，直接得p的關系式，求出p值．【變式1】根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程．(1)焦點在x軸的負半軸上，焦點到準線的距離是6；(2)焦點在y軸上，且拋物線上一點P(m,1)到焦點F的距離為6；(3)焦點在直線x－3y－15＝0上．解析

(1)由焦點到準線的距離為6，知p＝6.又焦點在x軸的負半軸上，所以拋物線的標準方程為y2＝－12x.(1)拋物線上一點到焦點的距離與它到準線的距離相等，因此，這兩種距離可以相互轉化．(2)應用定義通?？煞奖憬鉀Q以下幾類問題：①求拋物線的標準方程；②拋物線的最值問題；③確定動點軌跡是否為拋物線．考點二拋物線定義的應用思維導引：(1)利用定義法求軌跡方程．(2)解答的關鍵是將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到其準線的距離．【變式2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則P的軌跡所在的曲線是(

)A．直線

B．圓C．雙曲線

D．拋物線解析

由于C1D1⊥平面BB1C1C，連接PC1，則PC1⊥C1D1，即點P到直線C1D1的距離為PC1.因此，動點P到定點C1與定直線BC的距離相等．依拋物線的定義知，動點P的軌跡為拋物線．D(1)在實際應用問題中，有很多問題與拋物線有關：①拋物線拱形在建筑工程方面較常見，如橋拱就是拋物線形；②探照燈或手電筒的反射鏡的軸截面也是拋物線的一部分，此外，還有宇宙中的星體軌道等．(2)要解決這些實際問題中有關的計算，我們可以利用坐標法，建立拋物線方程，利用拋物線的標準方程及其幾何性質進行推理、運算．(3)解決此類問題要注意實際問題中的量與拋物線相關量之間的坐標轉化．考點三拋物線的實際應用【例題3】已知探照燈的截面是拋物線y2＝x，如圖，平行于對稱軸y＝0的光線在此拋物線上的入射點、反射點分別為P，Q.設點P的縱坐標為a(a>0)，當a為何值時，從入射點P到反射點Q的光線路程PQ最短？思維導引：由光學知識知PQ必經過焦點F，設P(a2，a)，求PQ與y2＝x的另一交點Q的坐標，依基本不等式得出結論．【變式3】“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖1，橋上有五個拱形橋架緊密相連，每個橋架的內部有一個水平橫梁和八個與橫梁垂直的立柱，氣勢宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱．如圖2，一個拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的拋物線D1OD8(部分)組成，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知AB＝44m，∠A＝45°，AC1＝4m，C1