彈性力學(xué)空間問題基本理論課件

第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論例題第五節(jié)軸對稱問題的基本方程第四節(jié)幾何方程及物理方程第三節(jié)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力第二節(jié)物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)第一節(jié)平衡微分方程第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論例題第五1第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。

第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論在2第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:

(a)(b)平衡條件§7-1平衡微分方程第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體，3第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論4第七章空間問題的基本理論由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因為x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標具有對等性，其方程也必然具有對等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標輪換得到。第七章空間問題的基本理論由x軸向投影的平衡微分方程5第七章空間問題的基本理論由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，，，(x,y,z)。(d)空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第七章空間問題的基本理論由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定6第七章空間問題的基本理論思考題在圖中，若點o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點A,B的x向正應(yīng)力分量。第七章空間問題的基本理論思考題在圖中，若點o的x向正7第七章空間問題的基本理論

在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標的應(yīng)力分量……，來求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力§7-2物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)第七章空間問題的基本理論在空間問題中，同樣需8第七章空間問題的基本理論斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力第七章空間問題的基本理論斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分9第七章空間問題的基本理論取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件，得出坐標向的應(yīng)力分量,1.求第七章空間問題的基本理論取出如圖的包含斜面的10第七章空間問題的基本理論2.求將向法向投影，即得得由第七章空間問題的基本理論2.求將向法向投影，即11第七章空間問題的基本理論從式(b)、(c)可見,當六個坐標面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。第七章空間問題的基本理論從式(b)、(c)12第七章空間問題的基本理論設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:3.在上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件第七章空間問題的基本理論設(shè)在邊界上13第七章空間問題的基本理論式(d)只用于邊界點上，表示邊界面上的面力與坐標面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。式(b),(c)用于V內(nèi)任一點，表示斜面應(yīng)力與坐標面應(yīng)力之間的關(guān)系；注意:

第七章空間問題的基本理論式(d)只用于14第七章空間問題的基本理論1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標向的應(yīng)力分量為：斜面應(yīng)力§7-3主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力代入,得到：第七章空間問題的基本理論1.假設(shè)面(l,m,n15第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有

結(jié)論：式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有16第七章空間問題的基本理論2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：求主應(yīng)力第七章空間問題的基本理論2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：17第七章空間問題的基本理論

上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力(c)第七章空間問題的基本理論上式是求解l,18第七章空間問題的基本理論3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的主向為。代入式(a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向第七章空間問題的基本理論3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)19第七章空間問題的基本理論由上兩式解出。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出及。4.一點至少存在著三個互相垂直的主應(yīng)力（證明見書上）。第七章空間問題的基本理論由上兩式解出。20第七章空間問題的基本理論5.應(yīng)力不變量若從式(c)求出三個主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f

)是等價的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：應(yīng)力不變量第七章空間問題的基本理論5.應(yīng)力不變量若從21第七章空間問題的基本理論(g)應(yīng)力不變量第七章空間問題的基本理論(g)應(yīng)力不變量22第七章空間問題的基本理論所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。

式(g)中的各式，左邊是不隨坐標選擇而變的；而右邊各項雖與坐標的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標選擇無關(guān)。第七章空間問題的基本理論所以分別稱為23第七章空間問題的基本理論6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標面上的應(yīng)力分量完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個坐標面上的應(yīng)力分量確定了，則通過此點的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點存在著3個互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。一點應(yīng)力狀態(tài)第七章空間問題的基本理論6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標24第七章空間問題的基本理論(3)3個主應(yīng)力包含了此點的最大和最小正應(yīng)力。(4)一點存在3個應(yīng)力不變量(5)最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。

設(shè)第七章空間問題的基本理論(3)3個主應(yīng)力包含了此點的最大和25第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對于平面問題若則此點所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。2.試考慮：對于空間問題若則此點所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對于平面問題若226第七章空間問題的基本理論

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：

(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程第七章空間問題的基本理論空間問題的幾何方程，27第七章空間問題的基本理論從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第七章空間問題的基本理論從幾何方程同樣可得出28第七章空間問題的基本理論--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應(yīng)的位移分量，為：

(b)幾何方程--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動。第七章空間問題的基本理論--沿x,y,z向的剛體平29第七章空間問題的基本理論若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)位移邊界條件第七章空間問題的基本理論若在30第七章空間問題的基本理論(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：

第七章空間問題的基本理論(d)其中由于小變形假定，略去了形31第七章空間問題的基本理論空間問題的物理方程

⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z).(e)物理方程可表示為兩種形式：第七章空間問題的基本理論空間問題的物理方程⑴應(yīng)變32第七章空間問題的基本理論⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。第七章空間問題的基本理論⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方33第七章空間問題的基本理論空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：結(jié)論第七章空間問題的基本理論空間問題的應(yīng)力，形變34第七章空間問題的基本理論思考題若形變分量為零，試導(dǎo)出對應(yīng)的位移分量。

第七章空間問題的基本理論思考題若形變分量為零35第七章空間問題的基本理論

空間軸對稱問題

采用柱坐標表示。軸對稱問題

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的?！?-5軸對稱問題的基本方程第七章空間問題的基本理論空間軸對稱問題36第七章空間問題的基本理論

對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對稱問題所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。第七章空間問題的基本理論對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a37第七章空間問題的基本理論而由得出為。平衡微分方程：第七章空間問題的基本理論而由得出為。平38第七章空間問題的基本理論

幾何方程：其中幾何方程為第七章空間問題的基本理論幾何方程：其中幾何方程為39第七章空間問題的基本理論物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)第七章空間問題的基本理論物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)40第七章空間問題的基本理論

應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中第七章空間問題的基本理論應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中41第七章空間問題的基本理論邊界條件：

一般用柱坐標表示時，邊界面均為坐標面。所以邊界條件也十分簡單。

在柱坐標中，坐標分量的量綱、方向性、坐標線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。第七章空間問題的基本理論邊界條件：在柱坐標42第七章空間問題的基本理論思考題試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導(dǎo)出平面軸對稱問題的基本方程。

第七章空間問題的基本理論思考題試由空間軸對稱問題43第七章空間問題的基本理論第七章例題例題1例題2例題3例題第七章空間問題的基本理論第七章例題例題1例題2例題3例題44第七章空間問題的基本理論例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？第七章空間問題的基本理論例題1設(shè)物體的邊界面方程為45第七章空間問題的基本理論（x,

y,

z)，其中解：當物體的邊界面方程為

時，它的表面法線的方向余弦為第七章空間問題的基本理論（x,

y,

z)，其中解：當物體的46第七章空間問題的基本理論當面力為法向分布拉力q時，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z).第七章空間問題的基本理論當面力為法向分布拉力q時，(x,y47第七章空間問題的基本理論例題2試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。第七章空間問題的基本理論例題2試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分48第七章空間問題的基本理論qqooxxzz第七章空間問題的基本理論qqooxxzz49第七章空間問題的基本理論解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對于(a)，有約束條件；對于(b)，有對稱條件。第七章空間問題的基本理論解：圖示的(a),(b)兩問題是相同50第七章空間問題的基本理論則可解出：而兩者的，因此，由物理方程：第七章空間問題的基本理論則可解出：而兩者的，因此，由51第七章空間問題的基本理論例題３

圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點，試寫出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第七章空間問題的基本理論例題３xyobbaaz圖7-5P52第七章空間問題的基本理論解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是給定的，因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，應(yīng)等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；第七章空間問題的基本理論解：本題是空間問題，z=0的表面是53第七章空間問題的基本理論而面力主矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主矢量和主矩的方向。應(yīng)力主矢量和主矩的正負號和正負方向，則根據(jù)應(yīng)力的正負號和正負方向來確定。對于一般的空間問題，列積分的應(yīng)力邊界條件時，應(yīng)包括6個條件。對于圖示問題這6個積分的邊界條件是：第七章空間問題的基本理論而面力主矢量和主矩的54第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論55第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論例題第五節(jié)軸對稱問題的基本方程第四節(jié)幾何方程及物理方程第三節(jié)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力第二節(jié)物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)第一節(jié)平衡微分方程第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論例題第五56第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。

第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論在57第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:

(a)(b)平衡條件§7-1平衡微分方程第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體，58第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論59第七章空間問題的基本理論由x軸向投影的平衡微分方程

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平衡微分方程得因為x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標具有對等性，其方程也必然具有對等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標輪換得到。第七章空間問題的基本理論由x軸向投影的平衡微分方程60第七章空間問題的基本理論由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，，，(x,y,z)。(d)空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第七章空間問題的基本理論由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定61第七章空間問題的基本理論思考題在圖中，若點o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點A,B的x向正應(yīng)力分量。第七章空間問題的基本理論思考題在圖中，若點o的x向正62第七章空間問題的基本理論

在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標的應(yīng)力分量……，來求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力§7-2物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)第七章空間問題的基本理論在空間問題中，同樣需63第七章空間問題的基本理論斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力第七章空間問題的基本理論斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分64第七章空間問題的基本理論取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件，得出坐標向的應(yīng)力分量,1.求第七章空間問題的基本理論取出如圖的包含斜面的65第七章空間問題的基本理論2.求將向法向投影，即得得由第七章空間問題的基本理論2.求將向法向投影，即66第七章空間問題的基本理論從式(b)、(c)可見,當六個坐標面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。第七章空間問題的基本理論從式(b)、(c)67第七章空間問題的基本理論設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:3.在上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件第七章空間問題的基本理論設(shè)在邊界上68第七章空間問題的基本理論式(d)只用于邊界點上，表示邊界面上的面力與坐標面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。式(b),(c)用于V內(nèi)任一點，表示斜面應(yīng)力與坐標面應(yīng)力之間的關(guān)系；注意:

第七章空間問題的基本理論式(d)只用于69第七章空間問題的基本理論1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標向的應(yīng)力分量為：斜面應(yīng)力§7-3主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力代入,得到：第七章空間問題的基本理論1.假設(shè)面(l,m,n70第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有

結(jié)論：式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有71第七章空間問題的基本理論2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：求主應(yīng)力第七章空間問題的基本理論2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：72第七章空間問題的基本理論

上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力(c)第七章空間問題的基本理論上式是求解l,73第七章空間問題的基本理論3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的主向為。代入式(a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向第七章空間問題的基本理論3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)74第七章空間問題的基本理論由上兩式解出。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出及。4.一點至少存在著三個互相垂直的主應(yīng)力（證明見書上）。第七章空間問題的基本理論由上兩式解出。75第七章空間問題的基本理論5.應(yīng)力不變量若從式(c)求出三個主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f

)是等價的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：應(yīng)力不變量第七章空間問題的基本理論5.應(yīng)力不變量若從76第七章空間問題的基本理論(g)應(yīng)力不變量第七章空間問題的基本理論(g)應(yīng)力不變量77第七章空間問題的基本理論所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。

式(g)中的各式，左邊是不隨坐標選擇而變的；而右邊各項雖與坐標的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標選擇無關(guān)。第七章空間問題的基本理論所以分別稱為78第七章空間問題的基本理論6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標面上的應(yīng)力分量完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個坐標面上的應(yīng)力分量確定了，則通過此點的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點存在著3個互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。一點應(yīng)力狀態(tài)第七章空間問題的基本理論6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標79第七章空間問題的基本理論(3)3個主應(yīng)力包含了此點的最大和最小正應(yīng)力。(4)一點存在3個應(yīng)力不變量(5)最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。

設(shè)第七章空間問題的基本理論(3)3個主應(yīng)力包含了此點的最大和80第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對于平面問題若則此點所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。2.試考慮：對于空間問題若則此點所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對于平面問題若281第七章空間問題的基本理論

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：

(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程第七章空間問題的基本理論空間問題的幾何方程，82第七章空間問題的基本理論從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第七章空間問題的基本理論從幾何方程同樣可得出83第七章空間問題的基本理論--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應(yīng)的位移分量，為：

(b)幾何方程--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動。第七章空間問題的基本理論--沿x,y,z向的剛體平84第七章空間問題的基本理論若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)位移邊界條件第七章空間問題的基本理論若在85第七章空間問題的基本理論(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：

第七章空間問題的基本理論(d)其中由于小變形假定，略去了形86第七章空間問題的基本理論空間問題的物理方程

⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z).(e)物理方程可表示為兩種形式：第七章空間問題的基本理論空間問題的物理方程⑴應(yīng)變87第七章空間問題的基本理論⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。第七章空間問題的基本理論⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方88第七章空間問題的基本理論空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：結(jié)論第七章空間問題的基本理論空間問題的應(yīng)力，形變89第七章空間問題的基本理論思考題若形變分量為零，試導(dǎo)出對應(yīng)的位移分量。

第七章空間問題的基本理論思考題若形變分量為零90第七章空間問題的基本理論

空間軸對稱問題

采用柱坐標表示。軸對稱問題

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的?！?-5軸對稱問題的基本方程第七章空間問題的基本理論空間軸對稱問題91第七章空間問題的基本理論

對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對稱問題所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。第七章空間問題的基本理論對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a92第七章空間問題的基本理論而由得出為。平衡微分方程：第七章空間問題的基本理論而由得出為。平93第七章空間問題的基本理論

幾何方程：其中幾何方程為第七章空間問題的基本理論幾何方程：其中幾何方程為94第七章空間問題的基本理論物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)第七章空間問題的基本理論物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)95第七章空間問題的基本理論

應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中第七章空間問題的基本理論應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中96第七章空間問題的基本理論邊界條件：

一般用柱坐標表示時，邊界面均為坐標面。所以邊界條件也十分簡單。

在柱坐標中，坐標分量的量綱、方向性、坐標線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。第七章空間問題的基本理論邊界條件：在柱坐標97第七章空間問題的基本理論思考題試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導(dǎo)出平面軸對稱問題的基本方程。

第七章空間問題的基本理論思考題試由空間軸對稱問題98第七章空間問題的基本理論第七章例題例題1