淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

PAGE學(xué)號(hào)2009311010152編號(hào)2013110152研究類型應(yīng)用研究分類號(hào)O122文理學(xué)院CollegeOfArtsAndScienceOfHubei學(xué)士學(xué)位論文Bachelor’sThesis論文題目淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者姓名指導(dǎo)老師傅朝金所在院系數(shù)學(xué)系專業(yè)名稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)完成時(shí)間2013年5月湖北師范學(xué)院文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文誠(chéng)信承諾書(shū)中文題目：淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用外文題目：Applicationofcalculusinmathematicsteachinginmiddleschool學(xué)生姓名學(xué)生學(xué)號(hào)2009311010152院系專業(yè)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生班級(jí)0901班學(xué)生承諾我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī)范，本人畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外，均為本人觀點(diǎn)，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況.如有違規(guī)行為，我愿承擔(dān)一切責(zé)任，接受學(xué)校的處理.學(xué)生（簽名）：年月日指導(dǎo)教師承諾我承諾在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī)范，經(jīng)過(guò)本人核查，該生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外，均為該生本人觀點(diǎn)，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象.指導(dǎo)教師（簽名）：年月日目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1.引言 12.中學(xué)微積分的基本數(shù)學(xué)思想方法 22.1“極限”思想 22.2化歸思想 42.3微積分中的哲學(xué)與辯證的思想 52.4函數(shù)思想[1] 52.5數(shù)形結(jié)合思想 63.微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 63.1關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性 63.2求函數(shù)的極值、最大值與最小值 73.3函數(shù)的變化性態(tài)及作圖 83.4微積分在解方程中的應(yīng)用 103.5不等式的證明 113.6恒等式的證明 113.7曲線的切線及求法 124.結(jié)語(yǔ) 135.參考文獻(xiàn) 14淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用羅（導(dǎo)師：傅朝金教授）（湖北師范學(xué)院文理學(xué)院數(shù)學(xué)系中國(guó)黃石435002）摘要：微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)必修的基礎(chǔ)課程，它的基本理論對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有著重要的指導(dǎo)作用.微積分的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系非常緊密.對(duì)微積分中蘊(yùn)涵的主要數(shù)學(xué)思想，如極限的思想、辯證的哲學(xué)思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想等都有不同程度的涉及.在討論在函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)的變化性態(tài)及作圖、微積分在解方程中的應(yīng)用、不等式和恒等式的證明、曲線的切線及求法時(shí)，使用微積分的方法，能起到以簡(jiǎn)馭繁的作用，以進(jìn)一步體現(xiàn)微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系.關(guān)鍵詞：微積分；函數(shù)性態(tài)；思想方法中國(guó)圖書(shū)分類號(hào)：O122ApplicationofcalculusinmathematicsteachinginmiddleschoolLuoFang(Tulor:FuChaojinProfessor)(HubeiNormalUniversityCollegeofArtsandSciences,Departmentofmathematics,ChinaHuangshi435002)Abstract:Calculusisacompulsorybasiccourseofuniversitymathematics,itsbasictheoryplaysanimportantroleinmiddleschoolmathematics.Wayofthinkingincalculusandbasictheoryhasbeenwidelyused,veryclosecontactwiththemiddleschoolmathematics.Mathematicstocalculusideas,suchastheultimatethinking,dialecticalphilosophythought,theideaoffunction,numberformcombiningthoughthavegotdifferentinvolved.Inthediscussiononmonotonicityoffunction,andtheextremevaluesofafunction,functionchangesofbehaviorandmapping,intheapplicationofcalculusequation,inequalityandidentities,tangenttothecurveandcalculatingmethod,methodsusethecalculus,canplaytheroleofdeducesimplicityintocomplexity,tofurtherreflectthecalculuswiththemiddleschoolmathematics.Keywords:Calculus;Functionalproperties;Thinkingmethod湖北師范學(xué)院文理學(xué)院數(shù)學(xué)系2013屆學(xué)士學(xué)位論文PAGE15淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用羅（導(dǎo)師:傅朝金教授）（湖北師范學(xué)院文理學(xué)院數(shù)學(xué)系中國(guó)黃石435002）1.引言2l世紀(jì)高科技高速發(fā)展，數(shù)學(xué)是高科技發(fā)展的基礎(chǔ)，世界各國(guó)都非常重視數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的運(yùn)用．我們廣大教師，無(wú)論從事初等教育還是高等教育，一個(gè)重要目標(biāo)就是培養(yǎng)滿足社會(huì)需要的人才．相應(yīng)地，數(shù)學(xué)教育的目的不僅要使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技巧，更加重視發(fā)展學(xué)生的能力．因此，如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力和思想方法，做到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，養(yǎng)成勤于思考，用“數(shù)學(xué)思維”去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的良好習(xí)慣，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是擺在數(shù)學(xué)教育工作者面前一項(xiàng)既迫切又艱巨的任務(wù)．在我國(guó)新制定的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息做出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段．?dāng)?shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問(wèn)題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值．”這無(wú)論是在基礎(chǔ)教育階段還是高等教育階段都是數(shù)學(xué)教育目的所在．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生良好認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的紐帶，是有知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.在數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法是成為創(chuàng)造型人才的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)高科技研究型人才、迎接新世紀(jì)高科技挑戰(zhàn)的必由之路.作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，了解微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)系，掌握微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，用較高的觀點(diǎn)分析與處理中學(xué)教材，這對(duì)提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是十分重要的.微積分的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用.對(duì)微積分中蘊(yùn)涵的主要數(shù)學(xué)思想，如極限的思想、辯證的哲學(xué)思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想等都有不同程度涉及.本文同時(shí)舉例說(shuō)明微積分在函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)的變化性態(tài)及作圖、微積分在解方程中的應(yīng)用、不等式和恒等式的證明、曲線的切線及求法方面的應(yīng)用.2.中學(xué)微積分的基本數(shù)學(xué)思想方法所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的時(shí)間活動(dòng)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略.所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段，它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn).數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段和工具.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想和教學(xué)方法的總稱.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法形成的規(guī)律性的理論知識(shí),是數(shù)學(xué)方法的靈魂.數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具.微積分如今既是大學(xué)的重要基礎(chǔ)課，也是高中新增加的數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容.微積分的發(fā)展是很有趣的，其中思維方法極為重要，應(yīng)引起我們?cè)诮虒W(xué)中的重視.對(duì)微積分中蘊(yùn)涵的主要數(shù)學(xué)思想，如極限的思想、化歸思想、辯證的哲學(xué)思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想等從不同側(cè)面都有不同程度的研究.2.1“極限”思想所謂極限的思想是用無(wú)限的變化過(guò)程來(lái)研究有限的思想．它是用有限描述無(wú)限、由近似過(guò)渡到精確，更是一種工具、一種過(guò)程，特別是對(duì)于變化趨勢(shì)的“無(wú)窮小”過(guò)程，是高等數(shù)學(xué)的中心思想.“極限”思想方法揭示了常量與變量、有限與無(wú)限、直線與曲線等一系列對(duì)立統(tǒng)一及矛盾相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系.其極限思想的本質(zhì)是人們通過(guò)對(duì)變化過(guò)程量的分析來(lái)把握變化過(guò)程質(zhì)的結(jié)果.這是一種極有價(jià)值的思維方式.這種思維也是非常重要的，有利于學(xué)生形成辯證邏輯思維，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性.例如在求曲邊梯形的面積時(shí)，經(jīng)歷了四個(gè)過(guò)程：化“整”為“零”，以“直”代“曲”，積“零”為“整”，取極限四個(gè)過(guò)程．首先將曲邊梯形任意分割成若干個(gè)小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形的面積用較接近的小矩形的面積作為近似替代，分割得越細(xì)，近似程度越精確，最后以小矩形面積之和得極限值作為曲邊梯形面積．即：(1)化“整”為“零”：分曲邊梯形為個(gè)小曲邊梯形.圖2-1圖2-2在區(qū)間中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把分成個(gè)小區(qū)間，，…，簡(jiǎn)記作，它們的長(zhǎng)度依次為：，，…，.設(shè)，經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線段，把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形，第個(gè)小曲邊梯形的面積記作，.(2)以“直”代“曲”：用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積.在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為底，為高的小矩形近似替代第個(gè)小曲邊梯形()，則有，.(3)積“零”為“整”：求個(gè)小矩形面積之和.把這樣得到的個(gè)小矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值，即.(4)取極限：由近似值過(guò)渡到精確值，時(shí)，可得曲邊梯形的面積，求得曲邊梯形的面積.通過(guò)極限思想在這些概念中的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的思想方法是從現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)中產(chǎn)生的，并可以應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中去．2.2化歸思想化歸思想是指數(shù)學(xué)家們把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，把它歸結(jié)到某個(gè)(或某些)己經(jīng)解決或簡(jiǎn)單的，比較容易解決的問(wèn)題上去，最終求得原問(wèn)題的解答的思想，其核心就是簡(jiǎn)化與轉(zhuǎn)化．化歸思想有三要素：化歸對(duì)象(要化什么)，化歸目標(biāo)(化成什么形式)，化歸途徑(怎么化)．在化歸思想中，“轉(zhuǎn)化”是關(guān)鍵．認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為:新知識(shí)的獲得，新概念的形成，總要以舊知識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行組織和構(gòu)造的．即把新舊知識(shí)建立起聯(lián)系，而這種聯(lián)系常常用到化歸思想．可見(jiàn)，化歸思想貫穿于數(shù)學(xué)教材的始終，貫穿于解題過(guò)程的始終，它是最重要的、應(yīng)用最廣的數(shù)學(xué)思想．化歸思想實(shí)際上是我們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)通過(guò)“去偽存真”，改“正面進(jìn)攻”為“迂回側(cè)攻”來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種手段，以此來(lái)認(rèn)清問(wèn)題的數(shù)學(xué)本源，達(dá)到順利解決問(wèn)題的目的．例如在高等數(shù)學(xué)中常常利用化歸原則，把反三角函數(shù)求導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，把普通初等函數(shù)求導(dǎo)及參數(shù)方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)等問(wèn)題判定轉(zhuǎn)化為其(二階)導(dǎo)函數(shù)的值的問(wèn)題；將曲邊四邊形面積和旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化為定積分問(wèn)題；也常將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型后轉(zhuǎn)化為定積分運(yùn)算來(lái)求解．像這種用化歸思想方法解決實(shí)際問(wèn)題從方法論角度說(shuō)就是“化歸原則”．一般說(shuō)來(lái)，可以按下面的幾種方式實(shí)施問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：陌生問(wèn)題熟悉化；復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；抽象問(wèn)題形象化；命題形式的轉(zhuǎn)化；引入輔助元素的轉(zhuǎn)化．化歸原則在解決問(wèn)題時(shí)的一般模式為:問(wèn)題問(wèn)題解答解答問(wèn)題化歸還原圖2-3求曲邊梯形的面積時(shí)，“一條曲線邊”影響著問(wèn)題用以往的知識(shí)的解答，是解決問(wèn)題的矛盾的所在.然而，將進(jìn)行任意分割個(gè)小區(qū)間后，得到了個(gè)小曲邊梯形.通過(guò)“以直代曲”，即對(duì)每個(gè)小曲邊梯形面積近似替代，則“曲”變“直”，問(wèn)題迎刃而解.求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積解求小矩形面積之和求小矩形面積化歸還原圖2-4可見(jiàn)，化歸思想在解決應(yīng)用問(wèn)題和數(shù)學(xué)建模過(guò)程中應(yīng)用非常廣泛．2.3微積分中的哲學(xué)與辯證的思想微積分中的哲學(xué)思想、辯證的思想是微積分中的又一主要數(shù)學(xué)思想.微積分學(xué)是變量數(shù)學(xué)的主要組成部分，它本身就包含著唯物辯證法的豐富內(nèi)容，如：量變到質(zhì)變、特殊到一般、具體到抽象、近似到精確.在它的每一個(gè)定義、公式和法則中無(wú)不閃爍著唯物辯證法的光芒.微積分學(xué)中，通過(guò)曲線的切線研究曲線的性質(zhì)，就是將曲線線性化，即以直代曲.又如微分與積分作為微積分的核心內(nèi)容，微分是由整體研究局部性問(wèn)題，而積分是由局部來(lái)研究整體問(wèn)題.它們是兩個(gè)互逆的過(guò)程，也是對(duì)立統(tǒng)一的.2.4函數(shù)思想[1]函數(shù)思想是函數(shù)概念、性質(zhì)等知識(shí)更高層次的提煉和概括，是一種策略性的指導(dǎo)方法，是由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究變化過(guò)程的思想．辯證唯物主義認(rèn)為，世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過(guò)程中，靜止是相對(duì)的．函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映，它的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)．以這種觀點(diǎn)去分析函數(shù)的思想，不難看出，函數(shù)是自變量與函數(shù)值的“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”，才換來(lái)了等式的“相對(duì)靜止”．從而將兩種方式對(duì)函數(shù)的定義統(tǒng)一于運(yùn)動(dòng)靜止的體系中．要想辯證的理解好這兩種“運(yùn)動(dòng)”形式，就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)．微積分就是以極限的思想研究函數(shù)的特性的學(xué)科，經(jīng)常要用到函數(shù)思想方法去分析處理問(wèn)題.如導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))就是一個(gè)特殊的函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想：一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則該區(qū)間內(nèi)每一個(gè)確定的值都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，即在該區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)——導(dǎo)函數(shù).由定積分知道，原來(lái)的函數(shù)稱為原函數(shù)．這里建立兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系，在解決其中一個(gè)函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，可轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決(化歸思想)；函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、函數(shù)的極值，最值(尤其在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中函數(shù)的最值應(yīng)用題)經(jīng)常要考慮到函數(shù)思想方法；拉格朗日中值定理證明及其運(yùn)用均需構(gòu)造合適的函數(shù)．函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象，函數(shù)思想方法是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，其在微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中得到升華和內(nèi)化．函數(shù)與方程有非常密切的關(guān)系，方程的根可視為其相應(yīng)函數(shù)在某種特定狀態(tài)數(shù)學(xué)思想方法及其在微積分教學(xué)中的運(yùn)用研究下的值．因此當(dāng)研究方程問(wèn)題時(shí)，特別是證明方程根的存在性及個(gè)數(shù)時(shí)，我們可以采用函數(shù)的思想，這樣往往可以起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果，大大簡(jiǎn)化解題的步驟.2.5數(shù)形結(jié)合思想微積分的許多概念都來(lái)源于實(shí)際，都有其幾何或物理意義，不少結(jié)論也反映了某種幾何關(guān)系或性質(zhì)．如導(dǎo)數(shù)與曲線的切線密切相關(guān)、定積分表示曲邊梯形的面積、積分中值定理反映了圖形的面積之間的關(guān)系等.這就決定了數(shù)形結(jié)合法成為微積分中的一個(gè)重要思想方法.因此，在微積分的教學(xué)中，對(duì)某些知識(shí)，應(yīng)從思想方法角度去分析，把握其本質(zhì)聯(lián)系，使一些看似靜止孤立的知識(shí)成為有機(jī)聯(lián)系的動(dòng)態(tài)的知識(shí)，使學(xué)生逐步掌握系統(tǒng)、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).3.例說(shuō)微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性中學(xué)數(shù)學(xué)中討論函數(shù)的單調(diào)性，用的是定義法，即在定義域某區(qū)間上任取，若，則在該區(qū)間單調(diào)遞增，若，則在該區(qū)間單調(diào)遞減.該方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀易懂，其缺點(diǎn)是函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜時(shí)判斷的正負(fù)比較困難，往往運(yùn)用較高技巧，且適用面也較窄[2].運(yùn)用微積分方法討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，只需求出，再考慮的正負(fù)即可.該方法簡(jiǎn)單易行，不需太多技巧，且適用面也寬.例1已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.解的定義域?yàn)?，，令，得，?dāng)時(shí)，，的變化情況如下：-+極小值所以，在上的最小值是.當(dāng)，單調(diào)遞減且的取值范圍是；當(dāng)，單調(diào)遞增且的取值范圍是.3.2求函數(shù)的極值、最大值與最小值設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)的某一空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)由小增大經(jīng)過(guò)時(shí)，如果：（1）由正變負(fù)，那么是極大值點(diǎn)；（2）由負(fù)變正，那么是極小值點(diǎn)；（3）不變號(hào)，那么不是極值點(diǎn).特別說(shuō)明：(1)駐點(diǎn)(使的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn))不一定是的極值點(diǎn).是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn).(2)極值點(diǎn)還可能是使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如函數(shù)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，但是是它的極小值點(diǎn).例2已知函數(shù)在取得極小值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖3-1所示，求：(1)的值；(2)，，的值；(3)的極大值.解(1)觀察圖象，我們可發(fā)現(xiàn)：圖3-1當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù).因此在處函數(shù)取得極小值.結(jié)合已知，可得.(2)由(1)知，即，再結(jié)合的圖象可知，方程的兩根分別是,.那么，即.聯(lián)立，得，，.(3)由(1)知在處函數(shù)取得極大值，所以3.3函數(shù)的變化性態(tài)及作圖中學(xué)數(shù)學(xué)教材中在介紹了二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)時(shí)，通常用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖像，這種圖像不一定能反應(yīng)曲線在一些點(diǎn)和區(qū)間上的性態(tài).學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用后，就可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并結(jié)合函數(shù)的某些性質(zhì)，有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極致點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)做出準(zhǔn)確的判斷，從而較為準(zhǔn)確的描繪出函數(shù)的圖像.對(duì)于一些非初等函數(shù)，采用這一方法冒險(xiǎn)而冗長(zhǎng)，有許多不足之處，點(diǎn)取得不夠多，也許就會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的圖象；而如果取得點(diǎn)太多，那將花費(fèi)過(guò)多的精力，且仍會(huì)擔(dān)心是否忽略了一些重要的點(diǎn).例如函數(shù)與的正確圖形應(yīng)為圖3-2所示，而用描點(diǎn)法很可能畫(huà)出圖3-3的錯(cuò)誤圖形[4].圖3-3圖3-2圖3-3圖3-2利用導(dǎo)數(shù)作為工具，就可以有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷，從而比較準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖象.一般來(lái)說(shuō)描繪函數(shù)的圖像可以按以下步驟進(jìn)行：（1）求出函數(shù)的定義域確定圖像范圍.（2）判別函數(shù)是否具有奇偶性或周期性縮小描繪圖像的范圍.（3）求函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，并討論函數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)的左、右變化情況，可能在極限，也可能趨向無(wú)窮(此時(shí)有垂直漸近線)，如果函數(shù)定義域是無(wú)限區(qū)間，則要討論當(dāng)無(wú)限增加時(shí)的變化趨勢(shì)若存在極限，則有水平漸近線；若趨于無(wú)窮，應(yīng)考慮是否有斜漸近線.（4）計(jì)算函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)并求解和討論的單調(diào)性、局部極值、凹凸性與拐點(diǎn)，列表.（5）計(jì)算曲線的穩(wěn)定點(diǎn)、局部極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的坐標(biāo)以及曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo).（6）在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出漸近線，再按討論的性態(tài)逐段描繪.例3作函數(shù)的圖形.解定義域?yàn)?，曲線與軸的交點(diǎn)為.利用連續(xù)函數(shù)，.令，得駐點(diǎn)，；令，得.列表如下:極大值拐點(diǎn)極小值作圖像如下：圖3-43.4微積分在解方程中的應(yīng)用在超越方程中判別根的情況大多是采用圖像法，但是采用圖像法對(duì)作圖要求較高，往往會(huì)由于作圖誤差而出錯(cuò).例4[6]試證明方程在內(nèi)只有個(gè)實(shí)根，并求出它的近似值,使誤差不超過(guò).本題首先要用到函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性證明，接著用切線法求出近似值.解設(shè)，則，，容易驗(yàn)證在區(qū)間上，，，，.因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，且是單調(diào)遞增，兩端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，所以此方程在內(nèi)只有1個(gè)實(shí)根.可以看出在內(nèi)，曲線是單調(diào)遞增、下凹并從軸的下方穿過(guò)軸到上方的，曲線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).就是方程在內(nèi)的根，現(xiàn)在用切線法求根的近似值.在端點(diǎn)處作切線來(lái)求方程的近似實(shí)根，現(xiàn)在，所以它比更接近于根，繼續(xù)施行這樣的方法，得：，.因?yàn)?，而，所以取為根的近似值，它的誤差就不超過(guò).3.5不等式的證明不等式的證明方法多種多樣，但沒(méi)有較為統(tǒng)一的方法，初等數(shù)學(xué)通過(guò)恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，或應(yīng)用已有的基本不等式來(lái)證明，為此往往先要進(jìn)行恒等變形，這需要較高的技巧.而利用微積分的方法和知識(shí)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)求導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性或最值，再利用函數(shù)單調(diào)性或最值來(lái)證明不等式，可簡(jiǎn)化不等式的證明過(guò)程，降低技巧性[7].例5證明不等式，.證明設(shè)，則，，所以遞增，又，故，即.例6設(shè)是自然對(duì)數(shù)的底，是圓周率，求證:.證明因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，故等價(jià)于，即，即.令，則.因此，當(dāng)時(shí)，，于是在內(nèi)單調(diào)遞減，從而，即，原命題得證.3.6恒等式的證明例7求證：.本題不能用求和公式證明，但可以用二項(xiàng)式定理求導(dǎo)得證.證明因?yàn)?，?duì)等式兩邊求導(dǎo)得：，令即得：.3.7曲線的切線及求法例8[8]（2009全國(guó)卷Ⅰ理）已知，函數(shù).（1）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，若與圓相切，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在上的最小值.解（1）依題意有，，過(guò)點(diǎn)的直線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的直線方程為.又已知圓的圓心為，半徑為1.所以，解得.(2)，當(dāng)時(shí)，.令，解得；令，解得.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間是.（3）當(dāng)，即時(shí)，在上是減函數(shù)，所以的最小值為.當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以需要比較和兩個(gè)值的大小.因?yàn)?，所?所以，當(dāng)時(shí)最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù).所以最小值為.綜上，當(dāng)時(shí)，為最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為.4.結(jié)語(yǔ)微積分作為人類文明史上寶貴的精神財(cái)富[9],凝聚了一代又一代數(shù)學(xué)家的心血，它那閃爍著人類理性思維的光輝，將永遠(yuǎn)鼓舞著后來(lái)人.因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，向?qū)W生介紹微積分的思想，激發(fā)他們獻(xiàn)身科學(xué)事業(yè)的熱情是很有必要的.因此，微積分的學(xué)習(xí)將有助于學(xué)生動(dòng)態(tài)思維以及唯物主義思想的培養(yǎng).不僅如此，教師應(yīng)向?qū)W生弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)蕩漾著濃郁的人文氣息.激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，是每個(gè)中學(xué)教師義不容辭的責(zé)任.用微積分處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，具有居臨下的作用，對(duì)于溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，提高教師把握教材的能力，開(kāi)拓師生的思路都很有幫助.而且對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中較難的題型通過(guò)用高等數(shù)學(xué)的理論與方法較易解決，充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，從而使學(xué)生感到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.另外，還可擴(kuò)展中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍.微積分在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，在其它如因式分解、化簡(jiǎn)代數(shù)式、求值與求和等方面也有廣泛的運(yùn)用.隨著微積分等高等數(shù)學(xué)知識(shí)再次現(xiàn)身中學(xué)數(shù)學(xué)教材，中學(xué)數(shù)學(xué)教師除應(yīng)熟練掌握各種題型的初等解法外，還應(yīng)善于運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題.5.參考文獻(xiàn)[1]丁向前.微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008，27(8):4～5.[2]俞宏毓.例說(shuō)微積分知識(shí)在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，20(2):32～36.[3]賢鋒.淺析微積分理論在中學(xué)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].引進(jìn)與咨詢，2000(1)：64～65.[4]魏本成，吳中林.微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].天中學(xué)刊，2001，16(5)：54～55.[5]吳向群，莊認(rèn)訓(xùn).微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].青海師專學(xué)報(bào)（自然學(xué)科），2002，22(5):77～78.[6]徐岳燦.探索微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的必要性[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，64（6）：27～29.[7]包建廷.微積分在不等式中的應(yīng)用[J].承德民族師專學(xué)報(bào)，2003，23(2):27～30.[8]肖新義，肖堯.微積分方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究[J].和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)2009，28（5）：15～16.[9]王昆揚(yáng).給中學(xué)生講好微積分基本知識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001(6):23～24.[10]李霞.