高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義沖刺練(四)

沖刺練(四)1.(2022·山東淄博高三期末)已知雙曲線C:x2a2-y2為3.(1)求C的方程;(2)若直線l過F,且與C交于P,Q兩點(異于C的兩個頂點),直線x=t與直線AP,AQ的交點分別為M,N.是否存在實數(shù)t,使得|FM→+FN|FM→-FN解:(1)雙曲線C:x2a2-y左焦點F(-c,0),則點F到漸近線的距離為d=|bc由F到漸近線的距離為3可知b=3,由漸近線方程為y=±3x知ba=所以雙曲線C的方程為x2-y2(2)設(shè)直線l的方程為x=my-2,聯(lián)立x=my-2,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),而A(1,0),F(-2,0),則y1+y2=12m3m2-1,y所以x1+x2=m(y1+y2)-4=43m2-1,x1x2=m2y1y2-2m(y1假設(shè)存在實數(shù)t,使得|FM→+FN→|=|FM→-FN→|,則故直線AP的方程為y=y1x1-1(x-1),令x=t得M(同理直線AQ的方程為y=y2x2-1(x-1),令x=t得N(所以FM→·FN→=(t+2,y1x1-1(t-1)即(t+2)2+y1y2則(t+2)2+93m2即(t+2)2-(t-1)2=0,解得t=-12故存在實數(shù)t=-12,使得|FM→+FN→|=|FM2.(2022·山東濰坊一模)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a,a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當a=1時,令g(x)=2f①證明:當x>0時,g(x)>1;②若數(shù)列{xn}(n∈N*)滿足x1=13,exn+1=g(xn),證明:2(1)解:函數(shù)f(x)=ex-ax-a的定義域為R,求導(dǎo)得f′(x)=ex-a.當a≤0時,f′(x)>0恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當a>0時,令f′(x)=ex-a>0,解得x>lna,令f′(x)=ex-a<0,解得x<lna,即f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.綜上,當a≤0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),當a>0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,lna),單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+∞).(2)證明:當a=1時,g(x)=2(①當x>0時,2(ex-x-1)x令F(x)=12x2+x+1eg(x)>1.②由①可知,當x∈(0,+∞)時,g(x)>1,由x1=13,得ex2=g(x1)>1,即x2>0,由exn而ex1-1=e13-1,又e-323=e-278<0,即e13由于2n(exn-1)<1?ex只需證exn+1-1<12(exn-1)?g(x又當x>0時,g(x)-1<12ex-12?(x2-4)ex+x2+4x+4=(x-2)(x+2)ex+(x+2)0?(x令h(x)=(x-2則當x>0時,恒有x-2x+2·ex+1