MathStudio使用方法入門(mén)3-應(yīng)用解題解課件

由MathStudio

foriPad使用方法入門(mén)（3）

應(yīng)用解題2013年12月31日由MathStudio

foriPad1

從日常生活里找問(wèn)題

在日常生活里，數(shù)學(xué)問(wèn)題比比皆是，不細(xì)想，隨手而過(guò)；細(xì)想想，有時(shí)興趣盎然。我們舉些例子看看怎么用iPad的MathStudio給我們當(dāng)助手。面對(duì)問(wèn)題，首先要理清思路：要解決什么問(wèn)題？達(dá)到什么目的？用什么方法？采取什么步驟？其次，為了能用好MathStudio這個(gè)數(shù)學(xué)工具，需要按自己的需要熟記一些常用函數(shù)的用法；還要學(xué)會(huì)迅速查閱需用的、不熟悉的函數(shù)用法。再次，要能熟練應(yīng)用軟鍵盤(pán)，以順利輸入語(yǔ)句，也就是說(shuō)要練就“手指頭上的功夫”。

后面列入的例題是：1.計(jì)算電視機(jī)的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機(jī)的大小？

練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算功能。2.計(jì)算任意兩地間的距離。

練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算功能，用到三角函數(shù)和反三角函數(shù)。3.空當(dāng)接龍的獲勝率為什么上升慢下降快？練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)運(yùn)算功能。4.遠(yuǎn)看高建筑物，為什么越遠(yuǎn)越能凸顯它的高度？練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、微分、繪圖等功能。

好了，請(qǐng)你茶余飯后休閑時(shí)慢慢品味吧。

從日常生活里找問(wèn)題21.計(jì)算電視機(jī)的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機(jī)的大小？

現(xiàn)在電視機(jī)的大小都是以它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度“吋”來(lái)度量的；電視機(jī)的寬、高是以“公分”（cm）來(lái)度量的；寬、高對(duì)我們更有具體的感覺(jué)。

知道了對(duì)角線(xiàn)多少吋，怎么算出它的寬、高呢？

通常電視機(jī)的寬高比是16:9或4:3,以16:9為例：

設(shè)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度是n吋寬度是16a（cm），高度是9a（cm）n*2.54=a*sqrt(16^2+9^2)=a*sqrt(337)a=n*2.54/sqrt(337)w=16*ah=9*a

如果我們要以自己的房間大小來(lái)估算合適的電視機(jī)尺寸，比如說(shuō)，人與電視機(jī)的距離是d(m),人的視角寬度約為30°（此數(shù)請(qǐng)自選），那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=9*w1/16n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54當(dāng)然，這個(gè)計(jì)算結(jié)果只能作為參考因素之一，視角寬度請(qǐng)自斟選擇。

1.計(jì)算電視機(jī)的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機(jī)的大??？3左圖47″電視機(jī)寬高比16:9計(jì)算結(jié)果寬104cm高58cm觀看距離3m時(shí)，合適的電視機(jī)可選72″的（可能沒(méi)有這種規(guī)格，選接近尺寸的）同類(lèi)問(wèn)題建立一個(gè)文件，存盤(pán)；以后計(jì)算同類(lèi)問(wèn)題就簡(jiǎn)便了。左圖4如果電視機(jī)的寬高比是4:3，則計(jì)算公式如下：設(shè)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度是n吋寬度是4a（cm），高度是3a（cm）n*2.54=a*sqrt(4^2+3^2)=a*sqrt(25)a=n*2.54/sqrt(25)w=4*ah=3*a估算合適的電視機(jī)尺寸，人與電視機(jī)的距離是d(m),人的視角寬度為30°那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=3*w1/4n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54

如果電視機(jī)的寬高比是4:3，則計(jì)算公式如下：5左圖調(diào)出計(jì)算寬高比16:9的文件另存為……重命名修改計(jì)算w、h的數(shù)據(jù)47″電視機(jī)寬高比4:3計(jì)算結(jié)果寬95cm高72cm觀看距離3m時(shí)，合適的電視機(jī)可選79″的（太大了，可能買(mǎi)不到，減小視角寬度重算吧）左圖62.球面上兩點(diǎn)距離計(jì)算公式

交通發(fā)達(dá)，擴(kuò)大了人的活動(dòng)范圍，各種交通工具，提供了不同速度的運(yùn)輸設(shè)備，“天涯咫尺”不再是形容詞，乘上飛機(jī)，即使相隔遼遠(yuǎn)，也不至于像古代那樣“路漫漫其修遠(yuǎn)兮”。

現(xiàn)在一家人都長(zhǎng)年生活在一起的很少了，即使在一個(gè)城市里，也可能散居在城市的不同角落里，遇上公交車(chē)擁堵和換乘等車(chē)，“咫尺天涯”的感覺(jué)也還存在。

距離、速度、時(shí)間三要素，似乎時(shí)間更重要些，可是時(shí)間是隨距離和速度而定的。通常距離是穩(wěn)定不變的數(shù)據(jù)。

要計(jì)算兩地的距離，網(wǎng)上很容易找到下面的公式D=R*acos[cos(wa)*cos(wb)*cos(ja-jb)+sin(wa)*sin(wb)]

其中D兩點(diǎn)間距離kmR地球半徑約6371kmwa、jaA地的緯度、經(jīng)度wb、jbB地的緯度、經(jīng)度南緯、西經(jīng)取負(fù)值

如果已知wa、ja、wb、jb，就能算出兩地間的直線(xiàn)距離。

怎么知道經(jīng)緯度？iPad上安裝個(gè)GPS軟件，有Wifi就能測(cè)到本地的經(jīng)緯度。也可以用GoogleEarth查到。

用計(jì)算器來(lái)算，很繁瑣，容易錯(cuò)，頭昏腦脹。

還是試試用MathStudio吧

2.球面上兩點(diǎn)距離計(jì)算公式7

計(jì)算沈陽(yáng)機(jī)場(chǎng)至澳門(mén)機(jī)場(chǎng)的距離左圖是iPad上用MathStudio計(jì)算的清單沈陽(yáng)桃仙機(jī)場(chǎng)123.496°E41.638°N澳門(mén)國(guó)際機(jī)場(chǎng)113.577°E22.158°N如果Option菜單里角度單位選的是Radians式中經(jīng)緯度數(shù)據(jù)要乘以3.14/180化為弧度單位為輸入方便，且便于糾錯(cuò)，把計(jì)算公式分解了輸入完成后，點(diǎn)按上面工具欄右2圖標(biāo)，

EvaluateAll,得2354.66km

單擊工具欄左3圖標(biāo)，存盤(pán)，命名，以備調(diào)用當(dāng)然，實(shí)際航程要大于這個(gè)數(shù)，但不至于差太遠(yuǎn)吧航班A316飛機(jī)航行時(shí)間約3.5小時(shí)，那么我們就可以得知飛機(jī)的平均速度約為672.76km/h可以用eval()調(diào)出中間運(yùn)算結(jié)果，校核是否正確計(jì)算沈陽(yáng)機(jī)場(chǎng)至澳門(mén)機(jī)場(chǎng)的距離8計(jì)算澳門(mén)、香港客運(yùn)碼頭兩地的距離調(diào)出計(jì)算兩地距離的文件，輸入兩地碼頭數(shù)據(jù)澳門(mén)客運(yùn)碼頭113.559°E22.198°N香港客運(yùn)碼頭114.152°E22.288°N計(jì)算得到兩地碼頭直線(xiàn)距離約為61.82km如果單程航行時(shí)間約為50分鐘，則航速約為74.18km/h存盤(pán)，如果要保留上次計(jì)算結(jié)果，就不能按左3圖標(biāo)了，需要進(jìn)入Menu-File-SaveAS另存為……重新命名。首次建立計(jì)算兩地距離的程序清單稍麻煩些，建立后要變更兩地?cái)?shù)據(jù)就方便了，改4個(gè)數(shù)據(jù)就行。計(jì)算澳門(mén)、香港客運(yùn)碼頭兩地的距離9

3.空當(dāng)接龍獲勝率的增率/減率分析、比較

空當(dāng)接龍是廣受歡迎的經(jīng)典游戲之一，玩過(guò)的人都知道，稍一不慎輸了，獲勝率就會(huì)大幅度下降，反之，想要獲勝率再升上來(lái)，就很不容易了，需多次連續(xù)贏，才能緩慢上升。這個(gè)感覺(jué)是否準(zhǔn)確？是否始終如此？

我們玩空當(dāng)接龍總是有限次的，不可能經(jīng)歷過(guò)所有獲勝率來(lái)驗(yàn)證，讓我們運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析一下吧。

順便說(shuō)一下，Windows7里玩空當(dāng)接龍，走錯(cuò)了可以不限次地回退重玩，我們可以當(dāng)上100%的“常勝將軍”。WindowsXP以前，可沒(méi)有這樣輕松，稍一不慎，“你投降吧”！3.空當(dāng)接龍獲勝率的增率/減率分析、比較10起始獲勝率為90%的狀態(tài)

讓MathStudio幫我們實(shí)際演算一下連贏5次后獲勝率是90.48%

與90%相比較，增率是0.53%連輸5次后獲勝率是85.71%與90%相比較，減率是4.76%計(jì)算結(jié)果與我們的感覺(jué)相符，即：贏的上升幅度小，輸?shù)南陆捣却笃鹗极@勝率為90%的狀態(tài)11起始獲勝率為45%的狀態(tài)

現(xiàn)實(shí)生活里未必能出現(xiàn)45%獲勝率，哪能輸?shù)眠@么慘？！讓我們換一組數(shù)據(jù)算一下吧連贏5次后獲勝率是47.62%

與45%相比較，增率是5.82%連輸5次后獲勝率是42.86%與45%相比較，減率是4.76%計(jì)算結(jié)果與我們?cè)瓉?lái)的感覺(jué)不相符了，即：贏的上升幅度大，輸?shù)南陆捣刃×恕Ｓ纱丝梢?jiàn)：直觀感覺(jué)的結(jié)論在一定條件下可能是對(duì)的，在另外條件下就可能錯(cuò)了。數(shù)學(xué)推理能幫助我們糾正錯(cuò)誤

MathStudio能助我們一臂之力起始獲勝率為45%的狀態(tài)12MathStudio具有符號(hào)運(yùn)算能力，試用一下e=b/a起始獲勝率e1=(b+n)/(a+n)……連贏n次后的獲勝率x1=(e1-e)/e………e1的增率左圖演算結(jié)果繼續(xù)化簡(jiǎn)x1=n(a-b)/b(a+n)e2=(b/(a+n)………連輸n次后的獲勝率x2=(e2-e)/e………e2的減率運(yùn)算結(jié)果繼續(xù)化簡(jiǎn)x2=-bn/b(a+n)比較x1、x2的大小，x1/x2=(n(a-b)/b(a+n))/(-bn/b(a+n))=n(a-b)/-bn=-(a-b)/b因?yàn)闇p率始終為負(fù)值，在比較數(shù)值大小時(shí)與正負(fù)號(hào)無(wú)關(guān)，即

x1/|x2|=(a-b)/b當(dāng)a<2b時(shí)x1<|x2|,即起始獲勝率>50%時(shí)，增率上升慢，減率下降快當(dāng)a>2b時(shí)x1>|x2|,即起始獲勝率<50%時(shí)，增率上升快，減率下降慢當(dāng)a=2b時(shí)x1=x2=n/(a+n),即起始獲勝率=50%時(shí)，增率減率相等MathStudio具有符號(hào)運(yùn)算能力，試用一下134.遠(yuǎn)看高建筑物，為什么越遠(yuǎn)越能凸顯它的高度？

每當(dāng)漫步在沈撫新城渾河畔時(shí)，遇到晴朗天氣就能清晰看到沈陽(yáng)世博園里的百合塔高大挺拔秀麗的身影，這里距離百合塔約有4000m左右。距離似乎沒(méi)有減弱對(duì)它高大的感覺(jué)。

人對(duì)物體高度的感覺(jué)取決于看這個(gè)物體的仰角，和它與鄰近物體高低對(duì)比關(guān)系，仰角大小是由高度和距離決定的：A=atan（h/d）

A仰角（°）h—物體高度（m）d—觀察者與物體間的直線(xiàn)距離（m）

我們可以從兩個(gè)方面來(lái)分析：

假定高度不變，仰角隨距離變化的規(guī)律；——對(duì)同一物體，觀察者改變位置。

假定距離不變，仰角隨高度變化的規(guī)律；——觀察者位置一定，對(duì)不同高度物體觀察。

4.遠(yuǎn)看高建筑物，為什么越遠(yuǎn)越能凸顯它的高度？14高度不變，觀察仰角與距離的關(guān)系以百合塔高120m為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。設(shè)距離/高度=x，仰角=y=atan(1/x)左圖計(jì)算結(jié)果列表如下x0.250.51248163264y766345261473.61.80.9y/900.840.70.50.290.160.080.040.020.01從上述結(jié)果可看出：距離≤高度時(shí)，距離增大，仰角迅速減小距離＞高度時(shí)，距離增大，仰角減小的變率趨緩仰角變化率以45°為拐點(diǎn)距離越遠(yuǎn)仰角減小越緩

高度不變，觀察仰角與距離的關(guān)系15改變高度，觀察仰角與距離的關(guān)系以物體高60m（百合塔高度的一半）為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。x0.51248163264Y6345261473.61.80.9y/900.70.50.290.160.080.040.020.01變化規(guī)律與前述同。我們?cè)倭袀€(gè)表：在不同距離位置上觀察不同高度物體的仰角：d6012024048096019203840h12063.44526.6147.13.61.8604526.6147.13.61.80.9從上述數(shù)據(jù)看，當(dāng)距離d＜480時(shí)，y1/y2＜h1/h2

當(dāng)距離d＞480時(shí)，y1/y2≈h1/h2對(duì)比3840/120=32數(shù)據(jù)

距離增大32倍，視角只縮小45/1.8=25倍這就是說(shuō)：近距離看不同高度物體，它們的高度差被“縮水”了，高度差不大明顯；遠(yuǎn)距離看不同高度物體時(shí)，視角比與高度比趨近一致，視角減小倍數(shù)＜距離增大倍數(shù)。改變高度，觀察仰角與距離的關(guān)系16我們?cè)囉靡幌翸athStudio的繪圖功能，幫我們分析問(wèn)題，距離-仰角曲線(xiàn)左圖4條曲線(xiàn)，分別代表4種高度物體在不同距離觀察的仰角曲線(xiàn)，高度比為1:2:3:4。Y軸—仰角（弧度）最大值π/2(90°)X軸—距離/最低物體高度的倍數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，4條曲線(xiàn)的y≈π/2(90°)當(dāng)0<x<0.25時(shí)，除曲線(xiàn)①顯著下降外，其他3條曲線(xiàn)較接近。當(dāng)x>1后，4條曲線(xiàn)拉開(kāi)距離，即在相同位置上觀察，高度較小的物體仰角下降快。雙擊曲線(xiàn)圖，得到放大圖形，可分段觀察。曲線(xiàn)圖說(shuō)明，我們前述推斷是正確的。我們?cè)囉靡幌翸athStudio的繪圖功能，幫我們分析問(wèn)題，17左圖0<x<3部分放大圖右圖10<x<13部分放大圖

曲線(xiàn)間的距離不等曲線(xiàn)間的距離趨于相等

x=13時(shí)相當(dāng)于最高物體高度的3.25倍

左圖0<x<3部分放大圖18在不同距離上，看不同高度物體的仰角變化率左面上圖高度比為1:2:3:4的物體，在不同距離觀察時(shí)，其仰角變化率的一組曲線(xiàn)；下圖4個(gè)物體各自仰角變化率的表達(dá)式。這組曲線(xiàn)很有趣，很好玩：當(dāng)1＜x＜4時(shí)，看起來(lái)曲線(xiàn)有些“亂”，即曲線(xiàn)之間有交錯(cuò)狀態(tài)，似乎不合“常理”；其實(shí)，正是它告訴我們，在這段距離里，我們觀察物體高度可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)(即我們看靠近的高建筑物，感覺(jué)會(huì)比實(shí)際高度更高些)。為什么會(huì)這樣？因?yàn)樵谶@段范圍里它們先后經(jīng)過(guò)各自的拐點(diǎn)！再看x＜1時(shí)，高度越小，仰角變化率越大；高度越大，曲線(xiàn)越平緩，仰角變化率越小

在不同距離上，19這是上頁(yè)曲線(xiàn)族的放大圖

x=1x=2x=3x=4

y1=-0.5y2=-0.25y3=-0.167y4=-0.125

上頁(yè)表達(dá)式計(jì)算結(jié)果：-1/2-1/4-1/6-1/8相符合

當(dāng)曲線(xiàn)移到右面x>16時(shí)，4條曲線(xiàn)“擠在”約為0.3的“帶寬”內(nèi)

這是上頁(yè)曲線(xiàn)20綜上所述，可以歸納為：近距離看高大建筑群時(shí)，仰角的最大值都趨近90°；逐漸增大距離則仰角迅速減小，不同高度物體有顯著不同的仰角變化率，高度越小，仰角變化率越大；不會(huì)發(fā)生高低建筑物排序上的錯(cuò)誤，但會(huì)感覺(jué)“縮小”了高度之差，尤其是在建筑群的“拐點(diǎn)”區(qū)域內(nèi)時(shí)。遠(yuǎn)距離看建筑群時(shí)，距離越大仰角變化率越趨緩，仰角之比接近于實(shí)際高度之比；當(dāng)高大建筑清晰可見(jiàn)時(shí)，低矮建筑可能已消失在視線(xiàn)之內(nèi)了。這就是近距離看高建筑物不顯其高，遠(yuǎn)距離看則凸顯其高的原因吧。至此，介紹MathStudio使用方法就要告一段落了，繼續(xù)挖掘其潛能的路還很長(zhǎng)，有待朋友們共同努力。再次重復(fù)：疏漏謬誤之處敬請(qǐng)指正！

探索提高之途歡迎合作！

綜上所述，可以歸納為：21制作LNFSCSS參考資料網(wǎng)絡(luò)百度文庫(kù)等背景音樂(lè)江南絲竹春綠江南2014年1月8日制作LNFSCSS22由MathStudio

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應(yīng)用解題2013年12月31日由MathStudio

foriPad23

從日常生活里找問(wèn)題

在日常生活里，數(shù)學(xué)問(wèn)題比比皆是，不細(xì)想，隨手而過(guò)；細(xì)想想，有時(shí)興趣盎然。我們舉些例子看看怎么用iPad的MathStudio給我們當(dāng)助手。面對(duì)問(wèn)題，首先要理清思路：要解決什么問(wèn)題？達(dá)到什么目的？用什么方法？采取什么步驟？其次，為了能用好MathStudio這個(gè)數(shù)學(xué)工具，需要按自己的需要熟記一些常用函數(shù)的用法；還要學(xué)會(huì)迅速查閱需用的、不熟悉的函數(shù)用法。再次，要能熟練應(yīng)用軟鍵盤(pán)，以順利輸入語(yǔ)句，也就是說(shuō)要練就“手指頭上的功夫”。

后面列入的例題是：1.計(jì)算電視機(jī)的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機(jī)的大??？

練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算功能。2.計(jì)算任意兩地間的距離。

練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算功能，用到三角函數(shù)和反三角函數(shù)。3.空當(dāng)接龍的獲勝率為什么上升慢下降快？練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)運(yùn)算功能。4.遠(yuǎn)看高建筑物，為什么越遠(yuǎn)越能凸顯它的高度？練習(xí)使用MathStudio的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、微分、繪圖等功能。

好了，請(qǐng)你茶余飯后休閑時(shí)慢慢品味吧。

從日常生活里找問(wèn)題241.計(jì)算電視機(jī)的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機(jī)的大小？

現(xiàn)在電視機(jī)的大小都是以它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度“吋”來(lái)度量的；電視機(jī)的寬、高是以“公分”（cm）來(lái)度量的；寬、高對(duì)我們更有具體的感覺(jué)。

知道了對(duì)角線(xiàn)多少吋，怎么算出它的寬、高呢？

通常電視機(jī)的寬高比是16:9或4:3,以16:9為例：

設(shè)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度是n吋寬度是16a（cm），高度是9a（cm）n*2.54=a*sqrt(16^2+9^2)=a*sqrt(337)a=n*2.54/sqrt(337)w=16*ah=9*a

如果我們要以自己的房間大小來(lái)估算合適的電視機(jī)尺寸，比如說(shuō)，人與電視機(jī)的距離是d(m),人的視角寬度約為30°（此數(shù)請(qǐng)自選），那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=9*w1/16n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54當(dāng)然，這個(gè)計(jì)算結(jié)果只能作為參考因素之一，視角寬度請(qǐng)自斟選擇。

1.計(jì)算電視機(jī)的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機(jī)的大小？25左圖47″電視機(jī)寬高比16:9計(jì)算結(jié)果寬104cm高58cm觀看距離3m時(shí)，合適的電視機(jī)可選72″的（可能沒(méi)有這種規(guī)格，選接近尺寸的）同類(lèi)問(wèn)題建立一個(gè)文件，存盤(pán)；以后計(jì)算同類(lèi)問(wèn)題就簡(jiǎn)便了。左圖26如果電視機(jī)的寬高比是4:3，則計(jì)算公式如下：設(shè)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度是n吋寬度是4a（cm），高度是3a（cm）n*2.54=a*sqrt(4^2+3^2)=a*sqrt(25)a=n*2.54/sqrt(25)w=4*ah=3*a估算合適的電視機(jī)尺寸，人與電視機(jī)的距離是d(m),人的視角寬度為30°那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=3*w1/4n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54

如果電視機(jī)的寬高比是4:3，則計(jì)算公式如下：27左圖調(diào)出計(jì)算寬高比16:9的文件另存為……重命名修改計(jì)算w、h的數(shù)據(jù)47″電視機(jī)寬高比4:3計(jì)算結(jié)果寬95cm高72cm觀看距離3m時(shí)，合適的電視機(jī)可選79″的（太大了，可能買(mǎi)不到，減小視角寬度重算吧）左圖282.球面上兩點(diǎn)距離計(jì)算公式

交通發(fā)達(dá)，擴(kuò)大了人的活動(dòng)范圍，各種交通工具，提供了不同速度的運(yùn)輸設(shè)備，“天涯咫尺”不再是形容詞，乘上飛機(jī)，即使相隔遼遠(yuǎn)，也不至于像古代那樣“路漫漫其修遠(yuǎn)兮”。

現(xiàn)在一家人都長(zhǎng)年生活在一起的很少了，即使在一個(gè)城市里，也可能散居在城市的不同角落里，遇上公交車(chē)擁堵和換乘等車(chē)，“咫尺天涯”的感覺(jué)也還存在。

距離、速度、時(shí)間三要素，似乎時(shí)間更重要些，可是時(shí)間是隨距離和速度而定的。通常距離是穩(wěn)定不變的數(shù)據(jù)。

要計(jì)算兩地的距離，網(wǎng)上很容易找到下面的公式D=R*acos[cos(wa)*cos(wb)*cos(ja-jb)+sin(wa)*sin(wb)]

其中D兩點(diǎn)間距離kmR地球半徑約6371kmwa、jaA地的緯度、經(jīng)度wb、jbB地的緯度、經(jīng)度南緯、西經(jīng)取負(fù)值

如果已知wa、ja、wb、jb，就能算出兩地間的直線(xiàn)距離。

怎么知道經(jīng)緯度？iPad上安裝個(gè)GPS軟件，有Wifi就能測(cè)到本地的經(jīng)緯度。也可以用GoogleEarth查到。

用計(jì)算器來(lái)算，很繁瑣，容易錯(cuò)，頭昏腦脹。

還是試試用MathStudio吧

2.球面上兩點(diǎn)距離計(jì)算公式29

計(jì)算沈陽(yáng)機(jī)場(chǎng)至澳門(mén)機(jī)場(chǎng)的距離左圖是iPad上用MathStudio計(jì)算的清單沈陽(yáng)桃仙機(jī)場(chǎng)123.496°E41.638°N澳門(mén)國(guó)際機(jī)場(chǎng)113.577°E22.158°N如果Option菜單里角度單位選的是Radians式中經(jīng)緯度數(shù)據(jù)要乘以3.14/180化為弧度單位為輸入方便，且便于糾錯(cuò)，把計(jì)算公式分解了輸入完成后，點(diǎn)按上面工具欄右2圖標(biāo)，

EvaluateAll,得2354.66km

單擊工具欄左3圖標(biāo)，存盤(pán)，命名，以備調(diào)用當(dāng)然，實(shí)際航程要大于這個(gè)數(shù)，但不至于差太遠(yuǎn)吧航班A316飛機(jī)航行時(shí)間約3.5小時(shí)，那么我們就可以得知飛機(jī)的平均速度約為672.76km/h可以用eval()調(diào)出中間運(yùn)算結(jié)果，校核是否正確計(jì)算沈陽(yáng)機(jī)場(chǎng)至澳門(mén)機(jī)場(chǎng)的距離30計(jì)算澳門(mén)、香港客運(yùn)碼頭兩地的距離調(diào)出計(jì)算兩地距離的文件，輸入兩地碼頭數(shù)據(jù)澳門(mén)客運(yùn)碼頭113.559°E22.198°N香港客運(yùn)碼頭114.152°E22.288°N計(jì)算得到兩地碼頭直線(xiàn)距離約為61.82km如果單程航行時(shí)間約為50分鐘，則航速約為74.18km/h存盤(pán)，如果要保留上次計(jì)算結(jié)果，就不能按左3圖標(biāo)了，需要進(jìn)入Menu-File-SaveAS另存為……重新命名。首次建立計(jì)算兩地距離的程序清單稍麻煩些，建立后要變更兩地?cái)?shù)據(jù)就方便了，改4個(gè)數(shù)據(jù)就行。計(jì)算澳門(mén)、香港客運(yùn)碼頭兩地的距離31

3.空當(dāng)接龍獲勝率的增率/減率分析、比較

空當(dāng)接龍是廣受歡迎的經(jīng)典游戲之一，玩過(guò)的人都知道，稍一不慎輸了，獲勝率就會(huì)大幅度下降，反之，想要獲勝率再升上來(lái)，就很不容易了，需多次連續(xù)贏，才能緩慢上升。這個(gè)感覺(jué)是否準(zhǔn)確？是否始終如此？

我們玩空當(dāng)接龍總是有限次的，不可能經(jīng)歷過(guò)所有獲勝率來(lái)驗(yàn)證，讓我們運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析一下吧。

順便說(shuō)一下，Windows7里玩空當(dāng)接龍，走錯(cuò)了可以不限次地回退重玩，我們可以當(dāng)上100%的“常勝將軍”。WindowsXP以前，可沒(méi)有這樣輕松，稍一不慎，“你投降吧”！3.空當(dāng)接龍獲勝率的增率/減率分析、比較32起始獲勝率為90%的狀態(tài)

讓MathStudio幫我們實(shí)際演算一下連贏5次后獲勝率是90.48%

與90%相比較，增率是0.53%連輸5次后獲勝率是85.71%與90%相比較，減率是4.76%計(jì)算結(jié)果與我們的感覺(jué)相符，即：贏的上升幅度小，輸?shù)南陆捣却笃鹗极@勝率為90%的狀態(tài)33起始獲勝率為45%的狀態(tài)

現(xiàn)實(shí)生活里未必能出現(xiàn)45%獲勝率，哪能輸?shù)眠@么慘？！讓我們換一組數(shù)據(jù)算一下吧連贏5次后獲勝率是47.62%

與45%相比較，增率是5.82%連輸5次后獲勝率是42.86%與45%相比較，減率是4.76%計(jì)算結(jié)果與我們?cè)瓉?lái)的感覺(jué)不相符了，即：贏的上升幅度大，輸?shù)南陆捣刃×?。由此可?jiàn)：直觀感覺(jué)的結(jié)論在一定條件下可能是對(duì)的，在另外條件下就可能錯(cuò)了。數(shù)學(xué)推理能幫助我們糾正錯(cuò)誤

MathStudio能助我們一臂之力起始獲勝率為45%的狀態(tài)34MathStudio具有符號(hào)運(yùn)算能力，試用一下e=b/a起始獲勝率e1=(b+n)/(a+n)……連贏n次后的獲勝率x1=(e1-e)/e………e1的增率左圖演算結(jié)果繼續(xù)化簡(jiǎn)x1=n(a-b)/b(a+n)e2=(b/(a+n)………連輸n次后的獲勝率x2=(e2-e)/e………e2的減率運(yùn)算結(jié)果繼續(xù)化簡(jiǎn)x2=-bn/b(a+n)比較x1、x2的大小，x1/x2=(n(a-b)/b(a+n))/(-bn/b(a+n))=n(a-b)/-bn=-(a-b)/b因?yàn)闇p率始終為負(fù)值，在比較數(shù)值大小時(shí)與正負(fù)號(hào)無(wú)關(guān)，即

x1/|x2|=(a-b)/b當(dāng)a<2b時(shí)x1<|x2|,即起始獲勝率>50%時(shí)，增率上升慢，減率下降快當(dāng)a>2b時(shí)x1>|x2|,即起始獲勝率<50%時(shí)，增率上升快，減率下降慢當(dāng)a=2b時(shí)x1=x2=n/(a+n),即起始獲勝率=50%時(shí)，增率減率相等MathStudio具有符號(hào)運(yùn)算能力，試用一下354.遠(yuǎn)看高建筑物，為什么越遠(yuǎn)越能凸顯它的高度？

每當(dāng)漫步在沈撫新城渾河畔時(shí)，遇到晴朗天氣就能清晰看到沈陽(yáng)世博園里的百合塔高大挺拔秀麗的身影，這里距離百合塔約有4000m左右。距離似乎沒(méi)有減弱對(duì)它高大的感覺(jué)。

人對(duì)物體高度的感覺(jué)取決于看這個(gè)物體的仰角，和它與鄰近物體高低對(duì)比關(guān)系，仰角大小是由高度和距離決定的：A=atan（h/d）

A仰角（°）h—物體高度（m）d—觀察者與物體間的直線(xiàn)距離（m）

我們可以從兩個(gè)方面來(lái)分析：

假定高度不變，仰角隨距離變化的規(guī)律；——對(duì)同一物體，觀察者改變位置。

假定距離不變，仰角隨高度變化的規(guī)律；——觀察者位置一定，對(duì)不同高度物體觀察。

4.遠(yuǎn)看高建筑物，為什么越遠(yuǎn)越能凸顯它的高度？36高度不變，觀察仰角與距離的關(guān)系以百合塔高120m為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。設(shè)距離/高度=x，仰角=y=atan(1/x)左圖計(jì)算結(jié)果列表如下x0.250.51248163264y766345261473.61.80.9y/900.840.70.50.290.160.080.040.020.01從上述結(jié)果可看出：距離≤高度時(shí)，距離增大，仰角迅速減小距離＞高度時(shí)，距離增大，仰角減小的變率趨緩仰角變化率以45°為拐點(diǎn)距離越遠(yuǎn)仰角減小越緩

高度不變，觀察仰角與距離的關(guān)系37改變高度，觀察仰角與距離的關(guān)系以物體高60m（百合塔高度的一半）為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。x0.51248163264Y6345261473.61.80.9y/900.70.50.290.160.080.040.020.01變化規(guī)律與前述同。我們?cè)倭袀€(gè)表：在不同距離位置上觀察不同高度物體的仰角：d6012024048096019203840h12063.44526.6147.13.61.8604526.6147.13.61.80.9從上述數(shù)據(jù)看，當(dāng)距離d＜480時(shí)，y1/y2＜h1/h2

當(dāng)距離d＞480時(shí)，y1/y2≈h1/h2對(duì)比3840/120=32數(shù)據(jù)

距離增大32倍，視角只縮小45/1.8=25倍這就是說(shuō)：近距離看不同高度物體，它們的高度差被“縮水”了，高度差不大明顯；遠(yuǎn)距離看不同高度物體時(shí)，視角比與高度比趨近一致，視角減小倍數(shù)＜距離增大倍數(shù)。改變高度，觀察仰角與距離的關(guān)系38我們?cè)囉靡幌翸athStudio的繪圖功能，幫我們分析問(wèn)題，距離-仰角曲線(xiàn)左圖4條曲線(xiàn)，分別代表4種高度物體在不同距離觀察的仰角曲線(xiàn)，高度比為1:2:3:4。Y軸—仰角（弧度）最大值π/2(90°)X軸—距離/最低物體高度的倍數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，4條曲線(xiàn)的y≈π/2(90°)當(dāng)0<x<0.2