2020屆內(nèi)蒙古赤峰市高三年級(jí)12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

第第頁共19頁故kBDW-k—WkAD,x5故一1——y—,2.x53故答案為：-1,2_ 3【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)直線斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.14.求的展開式中,32.14.求的展開式中,32.一--Xy的系數(shù)為【答案】90【解析】6【答案】90【解析】6個(gè)因式中，有2個(gè)因式取y,2個(gè)因式取x2,2個(gè)因式取1 r廣，人，即可得到含一xx3y2的項(xiàng).依題意,x2.；+y1

,xy人L,,2 1 s一十、.16個(gè)因式x——尸+y的乘積，要得到

xx3依題意,x2.；+y1

,xy人L,,2 1 s一十、.16個(gè)因式x——尸+y的乘積，要得到

xx3y2的項(xiàng),需有2個(gè)因式取y,2個(gè)因式取c.一一1x2,2個(gè)因式取—〒，x1x2-4=+yxy故答案為：90.的展開式中,2 2的系數(shù)為C6c4=156=90.本題主要考查三項(xiàng)式的展開式的系數(shù)問題,組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.15.已知數(shù)列｛an｝滿足：a1a2=3a31a4=42a5=43a6=一,41a7=一5…，以此類推a202065【解析】根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律進(jìn)行分段，分析出第2020項(xiàng)所屬的那一段，再結(jié)合規(guī)律即可求值.按分母分段，分母為k+1的分?jǐn)?shù)有k個(gè),6364因?yàn)?=2016,故2020屬于第64段,皿 4則a2020應(yīng)該是分母為65的第四數(shù)，即—.65,,, 4故答案為：.465【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式， 解題時(shí)要善于合理地分段， 考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16.四邊形ABCD中，AB=5,BC=6,CD=7,DA=8,則四邊形ABCD面積最大值為.【答案】4,105【解析】在^CBD,4ABD中，由余弦定理可得21cosc_20COSA=—1再由三角形面積公式，可得 21sinC+20sinA=Sabcd,結(jié)合同角基本關(guān)系可得2 2 221十20—840cos(A+C)=1+Sabcd,禾I用余弦定理的有界性求得最值.【詳解】MBD中，BD2=52+82-2父5M8cosA,①△CBD中，BD2=62+72—2M6M7cosC,②由①②得：21cosc—20cosA=—1(*),TOC\o"1-5"\h\zC 1 c.A1 - -SABCD 58sinA67sinC\o"CurrentDocument"2 2=21sinC20sinA=SABCD(**), 22 _ 2(*)(**)兩式平方相加得：21+20—840cos(A+C)=1+Sabcd,_2 _2 _2 __ _1+SabcdE21+20+840=1681,sabcd最大值為“1680=4而5.故答案為：4.1Q5【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.三、解答題.各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 滿足：a1=1,2&=an(%+1).(1)求Qn)的通項(xiàng)公式;

(2)求證： - -…， ：二1a〔a2a2a3 anan.1【答案】(1)an=n；(2)證明見解析【解析】(1)2Sn=4(4+1),得2Sn」=an」(an」+1),兩式作差，即可證明{an}為等差數(shù)列，從而求出 an.(2)利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前 n項(xiàng)和，再放縮即可證明.【詳解】(1)由2sn—an(an+1),2sn」—anJ.(anJ+1),兩式相減得：2an=an-an」+an—an」，整理可得(an+an」Xan—ani—1)=0(n22),可得an-an」—1,(2)a〔a2 a2a3an(2)a〔a2 a2a3anan1+…+223nn1223nn11

二1一 ：二1.n1【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法和裂項(xiàng)求和法和放縮法的合理運(yùn)用..四棱錐P—ABCD中，PA=AD=2,AB=BC=CD=1,BC//AD,/PAD=90口./PBA為銳角，平面PBA_L平面PBD.

(1)證明：PA_L平面ABCD;(2)求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)7L7【解析】(1)先作AM_LPB于M,則由平面PAB，平面PBDnAM_L平面PBDnAM_LBD,又在底面中可得NABD=90、從而可得DB_L平面PABnPA_LDB,結(jié)合/PAD=90°=PA_L平面ABCD.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，可得所求^【詳解】(1)作AM_LPB于M,則由平面PAB_L平面PBD=AM_L平面PBD=AM_LBD,取AD中點(diǎn)為Q,則BCyQDnBQ=CD=1=QD=QAn/ABD=90\又上PBA為銳角，，M、B不重合，DB_AB二DB_L平面PAB=PA_LDB與PA_LADnPA_L平面ABCD.DB_AM(2)取AQ中點(diǎn)H,如圖建立空間直角坐標(biāo)系(其中 x軸與HB平行)，則B—,-,0,C-,3,0,D(0,2,0),P(0,0,2),122J122J

一，一一T「J33由(1)的證明知：平面PAB法向量為BD=\-—,-,022設(shè)平面PCD法向量為m=(x,y,z),二oO--二oO--1PD品吊吊

貝4森1Z———xy=0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2令x=1=m=(1,a/3,V3),, 3 2^/3+3J3 _.T??. mBD2 2 J7cos(m,BD卜哈【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直、線面垂直與線線垂直間的相互轉(zhuǎn)化， 考查了空間直角坐標(biāo)系求二面角，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題；19.某公司在年終尾牙”宴上對該公司年度的最佳銷售員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)， 已知員工A一年以來的月銷售業(yè)績分別為：102,113,123,132,144,138,126,119,108,122,109,146.若該公司為最佳員工準(zhǔn)備了相應(yīng)的獎(jiǎng)品，需要該員工通過抽獎(jiǎng)游戲進(jìn)行確定獎(jiǎng)品金額，游戲規(guī)則如下：該員工需要從9張卡牌中不放回的抽取3張，其中1張卡牌的獎(jiǎng)金為600元，4張卡牌的獎(jiǎng)金均為400元，另外4張卡牌的獎(jiǎng)金均為200元，所抽到的3張卡牌的金額之和X便是該員工所獲得的獎(jiǎng)品的最終價(jià)值 .-ui111214(I)請根據(jù)題意完善員工A的業(yè)績的莖葉圖，并求出員工 A銷售業(yè)績的中位數(shù)；(n)求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(I)莖葉圖見解析，122.5;(n)分布圖見解析，1000【解析】(I)根據(jù)條件，可得員工A的莖葉圖，利用莖葉圖的中位數(shù)計(jì)算方法求解；(n)求出X的所有可能取值，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及期望.【詳解】

1()H121()H1213149368(I)依題意,所求莖葉圖如圖所示:(I)依題意,所求莖葉圖如圖所示:24284?7，PX=1000=C1C42.c4C： 3024284?7，PX=1000=C1C42.c4C： 30C98414，PX=1200=c3+c；c4c4C921PX=1400=C11c：C384114一,、一122123則所求中位數(shù)為 =122.5；2(n)X的所有可能值為600,800,1000,1200,1400.C3 4 1 C1C2貝UPX=600=潑=母=五，PX=800=^"4所以X的概率分布列為:X600800100012001400P125512171421141 2 5 5 1所以EX=600父—十800父一十1000父一十1200M—十1400乂—=1000(元).21 7 14 21 14【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的中位數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用.20.拋物線C：x2=2py上有兩點(diǎn)A,B,過A,B作拋物線的切線交于點(diǎn)M(-2,-1),且AMB=90.(1)求拋物線C的方程；(2)過M點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于p,Q,直線y=x+c(c<1)交拋物線于C,D,求四邊形PQDC面積的最大值.

【答案】(1)x2=4y;(2)128.27【解析】(1)設(shè)過點(diǎn)M的切線方程為y+1=k(x+2),與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及ZAMB=90◎可得所求.(2)分別聯(lián)立直線與拋物線， 利用弦長公式求得PQ和CD,再利用平行線間的距離求得梯形的高，將PQDC面積表示為關(guān)于c的函數(shù)，通過換元法及導(dǎo)數(shù)求得最值【詳解】(1)過點(diǎn)M作x2=2py的切線，方程為y+1=k(x+2),2 — 2即y=kx+2k—1代入x=2py=x-2pkx-2p(2k-1)=0,A=0,化簡為pk2+4k—2=0,K%=-1=二二一1=P=2,P即x2=4y.y=x1 2(2 2 x2-4x-4=0.x=4y故PQ=V2xP-xQ=22V32=8,CD:y=x+c代入2. ./IL 2, -fx=4y=4(x+cAx—4x—4c=0=CD=拒xC-xD=42，16+16c=4衣.^c,且由A=16+16c>0=—1<c<1,由平行線之間的距離公式可得：梯形PQDC的高為由平行線之間的距離公式可得：梯形PQDC的高為故Spqdc=184、2,r~c1Zc=1-C2.22.廠c.2 2令7FC=t,則Spqdc=(2-12乂26+2t木-0,6)).S'=：「2t2-.22t：^i：2-t22=-6t2-4\2t4=「6t.2Jt-

在'o,—上，在'o,—上，S'I3J>0,在 ,yf2上，S3<0,故當(dāng)t=Y2時(shí)，s取最大值為128也3 27【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的切線方程， 考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立， 應(yīng)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)求解最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.21.已知函數(shù)f(x)=lnx—mx,點(diǎn)Mix/),N(x2,y2)在曲線y=f(x)上.(I)討論函數(shù)f(x)的極值情況；y2% f,1x1微(n)若m=1,比較1烏與『1112J的大小關(guān)系，并說明理由.TOC\o"1-5"\h\ze e“q f,xx2【答案】(i)討論見解析；(n)1_*+<口…2:理由見解析le) le/【解析】(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)的極值情況.(n)將y-a與fJxJ區(qū)|作差，進(jìn)行參數(shù)集中，令t="構(gòu)造函數(shù)h(t),通過x2-xi 2 xi導(dǎo)數(shù)研究h(t)的最值，從而得到結(jié)論.【詳解】. 1 1-mx\o"CurrentDocument"(I)依題意，xW(0,y),故f'(x)=」—m=^~mx；x x當(dāng)mM0時(shí)，f'(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)無極值；1當(dāng)m>0時(shí)，令f(x)=0,解得x=—，mf'(x)<0,故當(dāng)xW.b」j時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xW：2，收〕.m mf'(x)<0,故函數(shù)f(故函數(shù)f(x)有極大值fIm1二In一一1=Tnm-1,m無極小值;綜上所述，當(dāng)m之0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)m<0時(shí)，故函數(shù)f(x)有極大值-Inm-1,無極小值;

（n）依題意,TOC\o"1-5"\h\z1 -XX2 2Y（n）依題意,fx)=lnx—x,f'(x)=——1,f'. = -1,''x 2xxi+x2y2- y1 In x? -x? ?iIn x1 一x〔 In x2 -Inx1乂——-=：一:一一：一二= -1,乂2-x1 乂2-x1 乂2-x1y2-y1x2-x1‘x1 x2Inx2-Inx12 x2 x12x1x2y2-y1x2-x1‘x1 x2Inx2-Inx12 x2 x12x1x21 1nx22(X2—x1)、x2-x1,x2In一x11+至 x2-x1X,x2 4cIn— -2x x21不妨設(shè)0MX<x2, 一>1,令t=—,t>1,x1 x124 1 4t-1i設(shè)h(t)=lnt+——-2,h'(t)=_— 2=- 0,t1 tt1tt1???h（t自（0,收）上是增函數(shù)h(t)>h(1)=0,lnx2-20x1y2-y〔>f'A+x2'x2-x1 2又x2-x1A0,【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查了構(gòu)造函數(shù)法，屬于較難題.x=22cos122.在平面直角坐標(biāo)系中， 曲線C的參數(shù)方程為? 凸（10為參數(shù)），直線I的y=2sin參數(shù)方程為x=--t2一y=1舊2（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立(I)求曲線C以及直線l的極坐標(biāo)方程;(n)(n)若A(0,1),直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)求 + AMAN的值.【答案】(I)P=4cosH,"Psin.8十二|=1；(n)3打4【解析】(1)消去參數(shù)t可得l的普通方程，利用平方關(guān)系消去參數(shù) 日可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，把任=x2+y2,y=psin伏入，可得曲線C以及直線l的極坐標(biāo)方程..(II)把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)的幾何意義求得結(jié)果.【詳解】(I)依題意，曲線C：(*一2(+丫2=4,故*2+丫2-4*=0,即P2-4Pcos8=0,即P=4cos8；直線l：y=1—x,即x+y—1=0,即PcosQ+Psin0-1=0,故V2PsinI0+—1=1-4 '^x=-——t(n)將直線l的參數(shù)方程2 2 代入x2+y2—4x=0中,.、2…3t化簡可得t2+3折+1=0，設(shè)M,N所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2,則t1*t2=—3>/2,t1t2=