2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題銳角三角函數(shù)的經(jīng)典綜合題附答案解析

2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題銳角三角函數(shù)的經(jīng)典綜合題附答案解析一、銳角三角函數(shù).如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在 AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定： AD與水平面夾角為i,且在水平線上的射影AF為1cm)?1.4m.1cm)?1.4m.現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為 2,并已知tani1.082,tan20.412.如果安裝工人確定支架 AB高為25cm,求支架CD的高（結(jié)果精確到解；過點(diǎn)且作聞7CD于P，AE# 女3千F?在R2△ADF中,DF=AFt^n^=1,4x1.082=1.5148（^）,q在檢△EAP中,EF——tan0=1.4x0.412=0,576S（ff?） （2分）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"二口因二口尸一后尸=1.5148-03762=0932（喀） （1分）又可證四邊形ABCS為平行四邊形，故有CE』■=25二酬 （2分）\o"CurrentDocument"二C7?二口正十重二938十25二11&8總119仁切 （2分）答：支架CD的高妁為11%陽. 口分）/【解析】過A作AFCD于F,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用 。1、色表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm］再再根據(jù)DC=DE+ECffi行解答即可..如圖，在平行四邊形ABCD中，"平分地。交"「于點(diǎn)幺平分乙田匚，交仞于點(diǎn)與"交于點(diǎn)「，連接。".（1）求證：四邊形同"F是菱形；⑵若獨(dú)=必叩=6。"=60二求tan"DP的值.3C3C【答案】(1)證明見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得AF=AB=BE從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知AP的長及/PAF=60,過點(diǎn)P作PHI±AD于H,即可得到PH、DH的長，從而可求tan/ADP試題解析：(1).「AE平分/BADBF平分/ABC/BAE=ZEAF/ABF=ZEBF1.AD//BC/EAF=ZAEBZAFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=/ABF.?.AB=BEAB=AF.?.AF=AB=BE.AD//BC??ABEF為平行四邊形又AB=BE?.ABEF為菱形(2)作PHI±AD于H由/ABC=60而已（1）可知/PAF=60,PA=2,貝U有PH=7J,AH=1,?.DH=AD-AH=5??tanZADP=—考點(diǎn)：1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)3.在等腰4ABC中，/B=90°,AM是4ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)N,/EMF=135.。將/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的」兩邊交直線AB于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,請解答下列問題：(1)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM(2)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖②，圖③的位置時(shí)，請分別寫出線段 BE,CF,BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

（3）在（1）和（2）的條件下，tan/BEMy,AN=/?+1,貝UBM=,CF=BAE圖② 圖③【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）1,1+1Z或1-C\3\[T【解析】【分析】（1）由等腰△ABC中，ZB=90°,AM是△ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNXAC于點(diǎn)N,可得BM=MN,/BMN=135,又/EMF=135°,可證明的△BME0^NMF,可得BE=NRNC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；（2）①如圖②時(shí)，同（1）可證△BME^^NMF,可得BE-CF=BM,(3)在RtAABM和RtAANM中,[BW!=Nt!

(3)在RtAABM和RtAANM中,[BW!=Nt!

Iam=ah(2)的可得RtAABM^RtAANM,后分別求出AB、ACCN、BM、BE的長，結(jié)合（(2)的結(jié)論對圖①②③進(jìn)行討論可得CF的長.（1）證明：.△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=ZC=45;.AM是/BAC的平分線，MNLAC,.?.BM=MN,在四邊形ABMN中，/,BMN=360-90-90-45=135°,/ENF=135,°,/BME=ZNMF,??.△BME^ANMF,.?.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.?.NC=NM=BM,.CN=CF+NF?.BE+CF=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得，△BME^^NMF,.?.BE=NF,.MN±AC,/C=45；

/CMN=ZC=45」，.?.NC=NM=BM,??NC=NF-CF,.BE-CF=BM；針對圖3,同(1)的方法得，△BME^^NMF,.?.BE=NF,.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.?.NC=NM=BM,.NC=CF-NF,?.CF-BE=BM;(3)在(3)在RtAABM和RtAANM中，“"EM二NM,蝴二AM???RtAABM^RtAANM(HL.),.?.AB=AN=>/2+1,在RtAABC中,AC=AB=f2+1,?.AC=AB=2+ ,.?.CN=AC-AN=2+J1-(V2+D=1,在Rt^CMN中，CM=.^CN=/2，.?.BM=BC-CM= +1- =1,在Rt^BME在Rt^BME中，tanZBEM二?BE"w1??.①由(1)知，如圖1,BE+CF=BM.?.CF=BM-BE=1—②由（2）.?.CF=BM-BE=1—②由（2）知，如圖，此種情況不成立；③由（2）知，如圖32,由tan/BEM=733,CF-BE=BM,.?.CF=BM+BE=1故答案為1,1+^^■或1-【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識求解PE.4.在Rt^ACB和4AEF中，ZACB=ZAEF=90°,若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC,特殊發(fā)現(xiàn)：PE.如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB,AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）.

問題探究：把圖1中的4AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(2)如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)記公(3)記公C=k,當(dāng)k為何值時(shí)，4CPE總是等邊三角形？(請直接寫出后的值，不必說)BC【答案】1PCPE成立2,PCPE成立3當(dāng)k為又3時(shí)，VCPE總是等邊三3角形【解析】【分析】(1)過點(diǎn)P作PMLCE于點(diǎn)M,由EF±AE,BC±AC,得到EF//MP//CB,從而有PC=PEPD,先證PD=PEPC=PEPD,先證PD=PE最后根據(jù)————，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC,據(jù)此得到MCPB(2)過點(diǎn)F作FD±AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接△DAF0^EAF,即可得出AD=AE；再證△DA彥△EAP,即可得出FD±AC,BC±AC,PM^AC,可得FD//BC//PM,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PR再根據(jù)PD=PE即可得到結(jié)論.(3)因?yàn)?CPE總是等邊三角形，可得ZCEP=60,/CAB=60;由/ACB=90,求出/CBA=30;0最后根據(jù)*Ck,^AC=tan30；求出當(dāng)△CPE總是等邊三角形時(shí)，k的值是BCBC多少即可.【詳解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：如圖2,過點(diǎn)P作PMLCE于點(diǎn)M, EF±AE,BC±AC,..EF//MP//CB,EMFPMCPB??點(diǎn)EMFPMCPB??點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，..EM=MC,又..PM^CE,?.PC=PE5圖2(2)PC=PE^立，理由如下：如圖3,過點(diǎn)F作FD，AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD,</DAF=/EAF,/FDA=ZFEA=90「在△DAF和△EAF中,???/DAF=ZEAF,/FDA=ZFEA,AF=AF,?.△DAF^AEAF(AAS,.?.AD=AE,在ADAP和AEAP中，.AD=AE,/DAP=/EAP,AP=AP,?.△DAP^AEAP(SAS,?.PD=Pg.FD±AC,BC±AC,PMXAC,?.FD//BC//PM,DMFPMCPB'??點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，.?.DM=MC,又???PMXAC,PC=PD,又..PD=PE.?.PC=PEC圖3(3)如圖4, CPE總是等邊三角形,/CEP=60,°/CAB=60；???/ACB=90；/CBA=90-/ACB=90-60=30；..殷k,改=tan30；BCBC

k=tan30=3???當(dāng)k為Y3時(shí)，^CPE總是等邊三角形.3圖4【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.5.如圖，PB為。。的切線，B為切點(diǎn)，過B作OP的垂線BA,垂足為C,交。。于點(diǎn)A,連接PAAO.并延長AO交。。于點(diǎn)E,與PB的延長線交于點(diǎn)D.（1）求證：PA是。。的切線;0C2(2)若(2)若,且OC=4,求PA的長和tanD的值.【答案】（1）證明見解析；（2）PA=3廣，tanD='試題分析：（1）連接OB,先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得： OP是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而可得：PA=PB然后證明4PA必△PBO,進(jìn)而可得/PBO=/PAO,然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得/PBO=90,進(jìn)而可得：/PAO=90,進(jìn)而可證：PA是。。的切線;（2）連接BE,由（2）連接BE,由0C2 =_AC3,且OC=4,可求AC,OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求 AP的值.試題解析：（1）連接OB,則OA=OB,

pSi?.OPXAB, AC=BC；??.OP是AB的垂直平分線,PA=PBpSi?.OPXAB, AC=BC；??.OP是AB的垂直平分線,PA=PB在^PAO和^PBO中，,PA=PBPO-POLoz=OB,.-.APAO^APBO(SSS/PBO=ZPAO,PB=PA???PB為。。的切線，B為切點(diǎn)，「./PBO=90/PAO=90即PA!OA,??.PA是。O的切線；(2)連接BE,DD圖2]pc2AC3.，且OC=4,，AC=6,，AB=12,在RtMCO中，由勾股定理得：AO人附,榕=2內(nèi)_/13??.AE=2OA=4_/13??.AE=2OA=4OB=OA=2/T3,在Rt^APO中，AC±OP,..AC2=OCPC,解彳導(dǎo):PC=9,?.OP=PC+OC=13在Rt^APO中，由勾股定理得：在Rt^APO中，AC±OP,..AC2=OCPC,解彳導(dǎo):PC=9,?.OP=PC+OC=13在Rt^APO中，由勾股定理得：AP=%"P"°ABEDEDE=3x/T3l.易證性。￡/?8八"。「，所以364口D=20A+￡JE=T_-JPA5,在取△中,考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)； 3.解直角三角形.6.如圖13,矩形ASCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，1C0D關(guān)于CQ的對稱圖形為ACED.（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）連接ME,若w5=6em，BcMm①求sin/E仞的值；②若點(diǎn)F為線段NE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接8F,一動(dòng)點(diǎn)2從點(diǎn)8出發(fā)，以〃加」5的速度沿線段0P勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)「，再以的速度沿線段巴看勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T,到達(dá)點(diǎn)工后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3所需要的時(shí)間最短時(shí)，求刁尸的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.【答案】（1）詳見解析；（2）①【答案】（1）詳見解析；（2）①sinZ^W=二②二和。走完全程所需時(shí)間為3 2【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（2）①構(gòu)造直角三角形求;②先確定點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間 .試題解析：解：（1）證明：:四邊形X5CD是矩形.-.AC=BD:AC與3白交于點(diǎn)。，且3C0D、aC￡D關(guān)于CD對稱:.D0=C0=D0=DE:0C=EC :.DO=OC=EC=ED二四邊形OCED是菱形.（2）①連接口工,直線OE分別交AJS于點(diǎn)F,交DC于點(diǎn)G「aCOD關(guān)于CQ的對稱圖形為1CED/.OE±DC=tDC二.必'.OFL。二心二在矩形.4CD中，G為0。的中點(diǎn)，且。為ac的中點(diǎn)二.0G為的中位線二0G=GE』同理可得：F為的中點(diǎn)，0F=@，月產(chǎn)=32sinUAD=sitiTEF=4-=~93②過點(diǎn)P作PM 交出i于點(diǎn)M二0由。運(yùn)動(dòng)到p所需的時(shí)間為3s2由①可得，AM=，且產(chǎn)3二點(diǎn)O以L5u帆/5的速度從P到A所需的時(shí)間等于以 le朋Y從M運(yùn)動(dòng)到OP1/J即：?一 ■' --.-二0由O運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是OP+MA和最小.;如下圖，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到嚀，即4。二一二時(shí)，所用時(shí)間最短./.I-0P+鼻力-3---在R△犯皿中,設(shè)AU=2工.建=3M.珥】=力fJ+月必二 二(3y)2=(2x):+(止)2解得： …>■)-3 3二月尸二二和。走完全程所需時(shí)間為不AM"FAM"F考點(diǎn)：菱形的判定方法；構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值；確定極值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的特殊位置D在拋物線上7.如圖，拋物線y=-x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)且橫坐標(biāo)為D在拋物線上(1)求tan/DBC的值；(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且/DBP=45,求點(diǎn)P的坐標(biāo).⑵P,專）.A、A、試題分析：（1）連接CD,過點(diǎn)D作DE，BC于點(diǎn)E.利用拋物線解析式可以求得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，則可得CD//AB,OB=OC,所以/BCO之BCD=ZABC=45°.由直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得 BC=4J2，BE=BC-DE=2區(qū).由此可知2DE3TOC\o"1-5"\h\ztan/DBC= =一；成5（2）過點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)F.由/DBP=45及/ABC=45可得/PBF=ZDBC,利用（1）中的結(jié)果得到：tan/PBF].設(shè)P（x,-x2+3x+4）,則利用銳角三角函數(shù)定義推知\o"CurrentDocument"一了二3,十43 2 66 =—,通過解方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-j)4-x 5 525試題解析：(1)令y=0,貝U-x2+3x+4=-(x+1)(x-4)=0,解得xi=-1,x2=4.??A(T,0),B(4,0).當(dāng)x=3時(shí)，y=-32+3x3+4=4???D(3,4).?.CD//AB,/BCD=ZABC=45.°在直角^OBC中，-.OC=OB=4,??BC=4拒?在直角4CDE中，CD=3.CE=ED=CE=ED=5abBE=BC-DE=.,DE3tan/DBC= =一；RE5(2)過點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)F.?/CBF》DBp=45；/PBF=ZDBC,?.tan/PBF二,設(shè)P(x,—x2+3x+4),貝U一“+,工十’='4一jc 5解得x1=,x2=4(舍去)，266266考點(diǎn)：1、二次函數(shù)；2、勾股定理；3、三角函數(shù)8.(2013年四川攀枝花12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD是梯形，2AB//CD,點(diǎn)B(10,0),C(7,4).直線l經(jīng)過A,D兩點(diǎn)，且sinZDAB=—.動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B-C^D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A-D-C相交于點(diǎn)M,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t>0),4MPQ的面積為S.(1)點(diǎn)(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,直線l的解析式為(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍;(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值；(4)隨著P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N,試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，4QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.【答案】解：(1)(-4,0);y=x+4.(2)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中：①當(dāng)0vtw時(shí)，如圖1,55過點(diǎn)C作CF，x軸于點(diǎn)F,則CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.過點(diǎn)Q作QE，x軸于點(diǎn)E,則BE=BQ?cosZCBF=5t?3=3tTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 ,?.PE=PB—BE=(14—2t)-3t=14-5t,S=1PM?PE=1X2tg4—5t)=-5t2+14t.2 2②當(dāng)1vtw對，如圖2,過點(diǎn)CQ分別作x軸的垂線，垂足分別為 F,E,則CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-(5t—5)=16—7t.1 1 2S=—PM?PE=—X2tg16-7t)=-7t2+16t.③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7,即(2t—4)+(5t—5)=7,解得t=—.7當(dāng)2<t<16時(shí)，如圖3,7

MQ=CD—DM—CQ=7—(2t—4)—(5t—5)=16—7t,S=1PM?MQ=1X4X16-7t)=T4t+32.2 2綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為(3)①當(dāng)0vtw]M,S5t214t27t55t214t0<t1S{7t214t16t1<t2322<t<—749 55-a=-5<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線 t=-5,???當(dāng)0vtw時(shí)，S隨t的增大而增大.???當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為9.2_, … 2 8 64②當(dāng)1vtw對，s7t16t 7t-一7 7.a=-7<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)t=，時(shí)，S有最大值，最大值為日③當(dāng)2vtv16時(shí)，S=-14t+327.?*=-14V0,，S隨t的增大而減小.又..當(dāng)t=2時(shí)，S=4;當(dāng)t=16時(shí)，S=0,/.0<S<4.7綜上所述，當(dāng)t=8時(shí)，S有最大值，最大值為64.⑷t=⑷t=20或t*時(shí),△QMN為等腰三角形.(1)利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，由sinZDAB=—,利用特殊三角函數(shù)值，得到2△AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn) A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式：,.C(7,4),AB//CD, D(0,4).?.sinZDAB=—,，/DAB=45...OA=OD=4.，A(—4,0).4kb0 k1設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b,則有｛b4 ,解得：I，，y=x+4.

，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),直線l的解析式為：y=x+4.(2)弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程分別求解： ①當(dāng)0vtw附，如圖1；②當(dāng)1vtW2時(shí)，如圖2；③當(dāng)2vtv16時(shí)，如圖3.7(3)根據(jù)(2)中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定 S的最大值.(4)4QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：①如圖4,點(diǎn)M在線段CD上，MQ=CD—DM—CQ=7—(2t—4)—(5t—5)=16—7t,MN=DM=2t-4,由MN=MQ，得16-7t=2t-4,解得t=20.9②如圖5,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，同時(shí)當(dāng)Q剛好運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D,此時(shí)4QMN為等腰三角形，t=12.5.?.當(dāng)t=20或t=12時(shí)，4QMN為等腰三角形.考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題，雙動(dòng)點(diǎn)問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用.9.某條道路上通行車輛限速60千米/時(shí)，道路的AB段為監(jiān)測區(qū)，監(jiān)測點(diǎn)P到AB的距離PH為50米(如圖).已知點(diǎn)P在點(diǎn)A的北偏東45方向上，且在點(diǎn)B的北偏西60。方向

上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東75°方向上，那么車輛通過AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速？（參考數(shù)據(jù)：J3=i.7J2=i.4.【答案】車輛通過AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知/CAB=75,/CAP=45,/PBD=60,金/PAH=/CAB-/CAP=30；50???/PHA=ZPHB=90；PH=50,「.AH= =73=5073,tanPAH31.AC//BD, /ABD=180CAB=105 /PBH=ZABD—/PBD=45,°貝UPH=BH=50, AB=AH+BH=5073+50,50 50、350 _.一60千米/時(shí)=~米/秒，「.時(shí)間t=50 =3+3J3=8.1（秒），33即車輛通過AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速.點(diǎn)睛：該題考查學(xué)生通過構(gòu)建直角三角形，利用某個(gè)度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長，即實(shí)際路程，并進(jìn)行判斷相關(guān)的量。10.許昌芙蓉湖位于許昌市水系建設(shè)總體規(guī)劃中部，上游接納清泥河來水，下游為鹿鳴湖等水系供水，承擔(dān)著承上啟下的重要作用，是利用有限的水資源、形成良好的水生態(tài)環(huán)境打造生態(tài)宜居城市的重要部分.某校課外興趣小組想測量位于芙蓉湖兩端的 A,B兩點(diǎn)之間的距離他沿著與直線AB平行的道路EF行走，走到點(diǎn)C處，測得/ACF=45,再向前走300米到點(diǎn)D處，測得/BDF=60°.若直線AB與EF之間的距離為200米，求A,B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】215.6米.【解析】【分析】過A點(diǎn)做EF的垂線，交EF于M點(diǎn)，過B點(diǎn)做EF的垂線，交EF于N點(diǎn)，根據(jù)Rt^ACM和三角函數(shù)tanBDF求出CM、DN,然后根據(jù)MNMDDNAB即可求出A、B兩點(diǎn)間的距離.【詳解】解：過A點(diǎn)做EF的垂線，交EF于M點(diǎn)，過B點(diǎn)做EF的垂線，交EF于N點(diǎn)在Rt^ACM中，???ACF45,?.AM=CM=200米，X/CD=3007k,所以MDCDCM100米，在Rt^BDN中，/BDF=60,BN=200米??DNBNo115.6米，tan60??MNMDDNAB215.6米即A,B兩點(diǎn)之間的距離約為215.6米.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，正確做輔助線是解題的關(guān)鍵 ^11.如圖，在4ABC中，ZA=90°,/ABC=30°,AC=3,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，在AB邊上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CD,作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)若4BDE是以BE為底的等腰三角形，求t的值;(2)若4BDE為直角三角形，求t的值；. 9 (3)當(dāng)2BCEEC9時(shí)，所有滿足條件的t的取值范圍(所有數(shù)據(jù)請保留準(zhǔn)確值，參考2數(shù)據(jù)：tan15=2-志).【答案】(1) 3/3 ; (2) 73秒或3秒；(3) 6-373 <t<32【解析】【分析】(1)如圖1,先由勾股定理求得AB的長，根據(jù)點(diǎn)A、E關(guān)于直線CD的對稱，得CD垂直平分AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得：AD=DE,所以AD=DE=BQ由AB=3j3,可得t的值；(2)分兩種情況：①當(dāng)/DEB=90。時(shí)，如圖2,連接AE,根據(jù)AB=3t=3Q,可得t的值；②當(dāng)/EDB=90°時(shí)，如圖3,根據(jù)△AGX^EGD,彳導(dǎo)AC=DE由AC//ED,得四邊形CAED是平行四邊形，所以AD=CE=3即t=3;(3)△BCE中，由對稱得：AC=CE=3所以點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，CE的長不變，所以4BCE面積的變化取決于以CE作底邊時(shí)，對應(yīng)高的大小變化，當(dāng)4BCE在BC的下方時(shí)，當(dāng)4BCE在BC的上方時(shí)，分別計(jì)算當(dāng)高為3時(shí)對應(yīng)的t的值即可得結(jié)論.【詳解】解：(1)如圖1,連接AE,由題意得：AD=t,??/CAB=90；/CBA=30；BC=2AC=。,,AB=V62—3'=3>/3,??點(diǎn)A、E關(guān)于直線CD的對稱，??CD垂直平分AE,.?.AD=DE,??△BDE是以BE為底的等腰三角形，DE=BD,.?.AD=BD,?.t=AD=3—3;2(2)△BDE為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)/DEB=90°時(shí)，如圖2,連接AE,.「CD垂直平分AE,.?.AD=DE=t,??/B=30；BD=2DE=2t,.?.AB=3t=3>/3,k3;②當(dāng)/EDB=90°時(shí)，如圖3,連接CE,.「CD垂直平分AE,?.CE=CA=3??/CAD=ZEDB=90；?.AC//ED,/CAG=/GED,,.AG=EG,/CGA=/EGD,.?.△AGC^AEGD,.?.AC=DE,AC//ED,???四邊形CAED是平行四邊形，?.AD=CE=3,即t=3;綜上所述，4BDE為直角三角形時(shí)，t的值為J3秒或3秒；(3)4BCE中，由對稱得：AC=CE=3所以點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，CE的長不變，所以4BCE面積的變化取決于以CE作底邊時(shí)，對應(yīng)高的大小變化，①當(dāng)4BCE在BC的下方時(shí)，過B作BHXCE,交CE的延長線于H,如圖4,當(dāng)AC=BH=3I此時(shí)S\bce=1AE?BH=1X3X9=,2 2 2易得AACG^AHBG,.CG=BG/ABC=ZBCG=30,°/ACE=60-30=30:.AC=CEAD=DE,DC=DC?.△ACD^AECD,/ACD=ZDCE=15,°tan/ACD=tan15=；=2一百,'''t=6-3y/3,由圖形可知：0vtv6-3百時(shí)，ABCE的BH越來越小，則面積越來越小，②當(dāng)4BCE在BC的上方時(shí)，如圖3,CE=ED=3且CE1ED,此時(shí)S\bce=1CE?DE=1X3X3=,此時(shí)t=3,2 2 2綜上所述，當(dāng)S>abce<一時(shí)，t的取值范圍是6-3j3wt032

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積問題、軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會尋找特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考壓軸題.12.在Rt^ABC中，/ACB=90°,AB=J7,AC=2,過點(diǎn)B作直線m//AC,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 B'尤A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,B',)射線CA,CB分別交直線m于點(diǎn)P,Q.(1)如圖1,當(dāng)P與A重合時(shí)，求/ACA'的度數(shù)；(2)如圖2,設(shè)A'國BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為A'的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在CA',CB'的延長線上時(shí)，i3t探究四邊形 PA'B’的面積8QmFBQm8是否存在最小值.若存在，求出四邊形 PA'B'的最小面積；若不存在，請說明理由.8QmFBQm8圖1 圖2 畜用圖【答案】(1)60°；(2)PQ=7；(3)存在，S四邊形pabq=3—J32【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2,進(jìn)而得到BCJ3,依據(jù)/A′BC=90°,可得cos/A'CB-BC--,即可得到ZA'CB=30°,/ACA=60-A'C2(2)根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出(2)根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出2 2

tan/Q=tan/A—,即可得到BQ=BC馬2,進(jìn)而得出PQ=PB+BQ-;2 3 2小，而Sapcq1PQXBC2(3)依據(jù)S四邊形PABQ=Sz\PCQ-S^A'C^=SAPCQJ3,即可得到S四邊形PAB'Q小，而Sapcq1PQXBC2Y3PQ,利用幾何法即可得到 SAPCQ的最小值=3,即可得到結(jié)2論.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=A'C=2.???/ACB=90；AB用,AC=2,BC后BC???/ACB=90；mIIAC,../A'BC=90；，cos/A'CB—A'C旦,ZA'CB=30°,2??./ACA=60???"為A'B'的中點(diǎn)，ZA'CM=ZMA'C,由旋轉(zhuǎn)可得:/MA'C=ZA,，/A=/A'CM,.-.tanZPCB=tanZA—,2PB—3BC??(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=A'C=2.???/ACB=90；AB用,AC=2,BC后BC???/ACB=90；mIIAC,../A'BC=90；，cos/A'CB—A'C旦,ZA'CB=30°,2??./ACA=60???"為A'B'的中點(diǎn)，ZA'CM=ZMA'C,由旋轉(zhuǎn)可得:/MA'C=ZA,，/A=/A'CM,.-.tanZPCB=tanZA—,2PB—3BC??/BQC=/BCP=/A,，tan/BQC=tan/A2,.1.PQ=PB+BQ7a；.S四邊形pa'B'q=S\pcq-Saa'cb'=Sapcq_3SS四邊形PAB'Q最小,即Sapcq>小,Sapcq—PQ>BC2yPQ,取PQ的中點(diǎn)G.???/PCQ=90；CG1r ，…， …一PQ,即PQ=2CG當(dāng)CG最小時(shí)，PQ最小,2CG±PQ,即CG與CB重合時(shí)，CG最小,???CGninJ3,PQmin=2j3, SaPCQ的最小值=3,S四邊形MAf(P)BQ布尸BrArS'_C爸用圖【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等..已知拋物線y=-1x2-2x+2與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對6 3

稱軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以O(shè)GOA為邊作矩形AECO(1)求直線AC的解析式；(2)如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對稱軸上有一動(dòng)點(diǎn) M,當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí)，求|PM-OM|的值.(3)如圖，將AAOC沿直線AC翻折得AACD,再將4ACD沿著直線AC平移得^A'C'.D使得點(diǎn)A'、C在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)D',使得ED；直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)D'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.即 圖2 即 圖2 副【答案】(1)y=lx+2；(2)點(diǎn)M坐標(biāo)為(-2,5)時(shí)，四邊形AOCP的面積最大，此時(shí)3 3|PM-OM|有最大值手；(3)存在，D坐標(biāo)為：(0,4)或(-6,2)或(|,￡)【解析】【分析】(1)令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或-6,求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，即可求解；(2)連接OP交對稱軸于點(diǎn)M,此時(shí)，|PM-OM|有最大值，即可求解；(3)存在；分①A'D」AE；②ADTED'；③ED±AE三種情況利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】(1)令x=0,貝Uy=2,令y=0,貝Ux=2或-6,..A(―6,0)、B(2,0)、C(0,2),函數(shù)對稱軸為：x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,8),C點(diǎn)坐標(biāo)為(。，2),則過點(diǎn)C3的直線表達(dá)式為：y=kx+2,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式，解得：k1,則：直線AC的表達(dá)式3為：y；x+2；(2)如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于點(diǎn)H.四邊形AOCP面積=4AOC的面積+4ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時(shí)，只需要△ACP的面積最大即可，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,1m26+2),則點(diǎn)G坐標(biāo)為（m,1m+2）,3S>AACP-PG?OA21-?(22—m+231—m—2)3?61.—m2-3m,當(dāng)m=-3時(shí)，上式2取得最大值，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-I).連接OP交對稱軸于點(diǎn)M,此時(shí)，|PM-OM|有最大值，直線OP的表達(dá)式為:5-x,當(dāng)x=—2時(shí),6y5,即：點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2,35 一）,|PM-OM|的最大值為:3(32Ym222守616（3）存在.?.AE=CD,/AEC=/ADC=90°,DM,AM=MC,設(shè)：EM=a,則:/EMA=/DMC, AEAM^ADCM(AAS)),?.EM=MC=6-a.在Rt^DCM中，由勾股定理得：MC2=DC2+MD2,即：(6-a)2=22+a2,解得：a8,則:310MC——,過點(diǎn)3D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N,交EC于點(diǎn)H.在Rt^DMC中，1DH?MC21—MD?DC,即:2DH103則：DH85HCDC2DH26r」 ,,，「，一，即：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5618一，一）55設(shè)：4ACD沿著直線AC平移了m個(gè)單位，則：點(diǎn)A'坐標(biāo)（-3mmj…一7=,刁=),點(diǎn)D坐標(biāo)10.1063m18為(—~j=，一5 .105m 一~i=）,而點(diǎn)E坐標(biāo)為（-6,2）,則.10m2 2m2 24m( 2)=m 4,10 .10若^AED為直角三角形，分三種情2 6、2 /18、2 2/3m2A'D'2=(65) (―)=36,A'E2=(10)9*4 3m、2 / m、2 2 32m 128ED'=(W ..io) (5/o)=m .10 不況討論：2①當(dāng)A'D'2+A'E2=ED'2時(shí)，36+m4m」032m128.10TOC\o"1-5"\h\z…， 63m18 m 、，4)；此時(shí)D(— ,—，一 ,—)為(04)；5、,105 10c2 2 2 32m 128 24m②當(dāng)A'D'2+ED'2=A'E2時(shí)，36+m -==-=m-y=.10 5 j1063m185標(biāo)63m185標(biāo)’5m~r=)10為（一6,2）;m=8.1050 ° … 24m 2 m=8.105③當(dāng)A'E2+ED'2=A'D'2時(shí)，m-7=4+m~r===36,解得:.10 .10 5或m=50,此時(shí)D，（64m,18m）為（—6,2）或（-3,19）.5 5.105 ,10 55 . . 3 19綜上所述：D坐標(biāo)為：（0,4）或（-6,2）或（—-,一）.5 5【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)知識綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形平移、解直角三角形等知識，其中（3）中圖形是本題難點(diǎn)，其核心是確定平移后 A'、口的坐標(biāo)，本題難度較大..關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin(a+0=sinacos3+cosasin3①cos(a+)3=cosacos-時(shí)nasin3②圖口那+tan^tan(tan(a+)3=利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如:lan45s+tan60。 1+v'3 (1+^)(1+1-tan45°，tan6flfli_i，門-43］門+tan105=tan(45+60)= 11VI」\八」十")=—(2+根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題:如圖，直升飛機(jī)在一建筑物 CD上方A點(diǎn)處測得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角”=60；底端C點(diǎn)的俯角3=75；此時(shí)