2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中的其他問題》含答案解析

專題銳角三角函數(shù)優(yōu)選提升題三：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題型四：其他問題一、解答題1．（2022·河南南陽·九年級期末）如圖，、兩地間有一座山，汽車原來從地到地需要經(jīng)折線繞山行駛．為加快城鄉(xiāng)對接，建立全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對、兩地間的公路進(jìn)行改建，在這座山打一條隧道，使汽車可以直接沿行駛．已知千米，，．求：(1)開通隧道前，汽車從地到地需要行駛多少千米；(2)開通隧道后汽車從地到地大約少行駛多少千米？（結(jié)果精確到千米）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)【分析】（1）開通隧道前，汽車從地到地要走的距離為的長，利用角的正弦值即可算出；（2）開通隧道后，汽車從地到地要走的距離為的長，汽車從地到地比原來少走的路程為的長，利用角的余弦值和正切值即可算出．（1）解：如圖，過點(diǎn)作于，∵，，，∴，，∴（千米）．∴開通隧道前汽車從A地到B地需要行駛千米．（2）∵，，，，∴，由（1）知：，∴，∴，∴（千米）∴開通隧道后汽車從A地到B地可以大約少行駛千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在解直角三角形中的應(yīng)用，明確三角函數(shù)的定義式及其變形是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分倒下，點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合，CF交水面于點(diǎn)D．已知，，，求大樹AB的高度．（，，精確到）【答案】10.2米【分析】設(shè)CE=CF=xm，則CD=CF-DF=（x-2）m，結(jié)合，，得到BC=CEsin30°=m，BC=CDsin45°=m，建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)CE=CF=xm，則CD=CF-DF=（x-2）m，因?yàn)?，，所以BC=CEsin30°=m，BC=CDsin45°=m，所以=，解得x=，故BC==，所以AB=AC+BC=CE+BC=+=≈6+1.41×3≈10.2（m），答：大樹AB的高約為10.2米．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握三角函數(shù)，靈活解直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江·九年級期末）定義：三角形內(nèi)部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在原三角形的三邊上（頂點(diǎn)可重合），則稱這兩個(gè)三角形是星相似三角形例如：如圖1，中，，和是星相似三角形．如圖2，是的中點(diǎn)，以為直徑畫圓，交，于點(diǎn)，，．（1）①若，求的長．②設(shè)，，試寫出與的函數(shù)關(guān)系式．（2）若，則與哪個(gè)三角形星相似，并證明．（3）在（2）的條件下，求的長．【答案】（1）①；②；（2）△CEG與△FEC星相似，證明見解析；（3）．【分析】（1）①利用勾股定理和等面積法即可求得CE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD，在利用勾股定理即可求得DE；②證明△FOG∽△EDG，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得與的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對等角可得∠BCE=∠CGE，從而可證明△FEC∽△CEG，即△CEG與△FEC星相似；（3）可利用三角形外角的性質(zhì)證明∠GCE=∠GDE，從而可得EC=ED=m，從而可得，，解直角三角形即可得出．【詳解】解：（1）①在Rt△ABC中，，，∴，∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②連接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴；（2）△CEG與△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,又∵O為CD的中點(diǎn)，∴OF為△CBD的中位線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∵∠CEB=180°-∠CEA=90°,∴,∴∠BCE=∠FEC，∵CG=CE，∴∠CGE=∠FEC，∴∠BCE=∠CGE，∵∠FEC=∠FEC，∴△FEC∽△CEG，∴△CEG與△FEC星相似；（3）∵CD=BD，BF=EF，∴∠B=∠FCD=∠DEG，∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED，設(shè)CE=m，則DE=m，，，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線和三角形中位線定理等．熟練掌握相關(guān)定理，正確作出輔助線并能正確表示對應(yīng)線段的長度是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇江蘇·九年級期末）如圖1，是手機(jī)支架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，其中長為，長為，，．(1)點(diǎn)D到的距離為_____；(2)求點(diǎn)D到的距離．【答案】(1)6(2)【分析】（1）過點(diǎn)D作于F，則點(diǎn)D到的距離為DF的長度，根據(jù)題意得到，設(shè)，在中，，利用勾股定理即可求得答案；（2）過點(diǎn)B作于B，過點(diǎn)D作于H，過點(diǎn)D作于F，過點(diǎn)D作于G，則四邊形DFBH是矩形，點(diǎn)D到的距離是DG的長度，先證DF是BC的垂直平分線，又得，可證四邊形GHBF是正方形，即可得到，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得出，在中，再利用銳角三角函數(shù)得出長度，即點(diǎn)D到的距離．（1）解：過點(diǎn)D作于F則點(diǎn)D到的距離為DF的長度設(shè)在中，即點(diǎn)D到的距離為6cm故答案為：6；（2）過點(diǎn)B作于B，過點(diǎn)D作于H，過點(diǎn)D作于F，過點(diǎn)D作于G則四邊形DFBH是矩形，點(diǎn)D到的距離是DG的長度由（1）得DF是BC