競賽講座自然數(shù)的性質(zhì)(奧數(shù)、小升初、公務(wù)員考試)

馬到成功奧數(shù)網(wǎng)盡最大努力去做得更好！答疑郵箱：mdcg@8844攀登數(shù)學(xué)高峰，助你馬到成功！第六講整數(shù)問題整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題.在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)整數(shù)的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識以外，還必須通過課外活動來補(bǔ)充一些整數(shù)的知識，以及解決問題的思路和方法。對于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時要用下面的方法來表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，…就是一、整除整除是整數(shù)問題中一個重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù).1.整除的性質(zhì)性質(zhì)1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設(shè)a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性質(zhì)2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如：3丨6，6丨24，那么3丨24.性質(zhì)3如果a能同時被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數(shù)整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36.如果兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的.例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.性質(zhì)4整數(shù)a，能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除.例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72能被3與4的乘積12整除.性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形.因?yàn)閎與c互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是b×c.事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4，我們常常運(yùn)用如下解題思路：要使a被b×c整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題.2.數(shù)的整除特征（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除.是什么數(shù)字？解：18=2×9，并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考慮被9整除，四個數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0，只有a=7，此數(shù)是7740；如果b=2，只有a=5，此數(shù)是7542；如果b＝4，只有a＝3，此數(shù)是7344；如果b＝6，只有a＝1，此數(shù)是7146；如果b＝8，只有a＝8，此數(shù)是7848.因此其中最小數(shù)是7146.根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用辦法，例1就是一個典型.例2一本老賬本上記著：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請把這筆賬補(bǔ)上.解：把□67.9□寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除.72＝9×8，9與8又互質(zhì).按照前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a＝3.這筆帳是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個數(shù)（有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)），使得能被組成它的每一個數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.解：如果選數(shù)字5，組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5，這樣就不能被偶數(shù)2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數(shù)字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整除.組成的數(shù)是122364.例4四位數(shù)7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).解：55＝5×11，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.要被5整除，個位數(shù)只能是0或5.再考慮被11整除.（7+4）-（百位數(shù)字+0）要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040.（7+4）-（百位數(shù)字+5）要能被11整除，百位數(shù)字只能是6（零能被所有不等于零的整數(shù)整除），所得四位數(shù)是7645.滿足條件的四位數(shù)只有兩個：7040，7645.例5一個七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個？，要使它被11整除，要滿足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504.再介紹另一種解法.先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11（參見下頁除式）.要滿足題目的條件，這個數(shù)是9876543減6，或者再減去11的倍數(shù)中的一個數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數(shù)是9876504.思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個數(shù)呢？（答：1023495）例6某個七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？與上例題一樣，有兩種解法.解一：從整除特征考慮.這個七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個數(shù)：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.解二：直接用除式來考慮.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數(shù)是2520，這個七位數(shù)要被2520整除.現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：因?yàn)?520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面這個41位數(shù)能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？解：因?yàn)?11111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除.右邊的三個加數(shù)中，前、后兩個數(shù)都能被7整除，那么只要中間的55□99能被7整除，原數(shù)就能被7整除.把55□99拆成兩個數(shù)的和：55A00＋B99，其中□=A+B.因?yàn)?丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.注意，記住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.兩人先約定一個整數(shù)N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字之一填入下面任一個方格中每一方格只填一個數(shù)字，六個方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個六位數(shù).如果這個六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.如果N小于15，當(dāng)N取哪幾個數(shù)時，乙能取勝？解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個奇數(shù)（六位數(shù)的個位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數(shù)的個位，填一個不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.如果N＝1，很明顯乙必獲勝.如果N＝3或9，那么乙在填最后一個數(shù)時，總是能把六個數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數(shù)這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數(shù)字后，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2，這個六位數(shù)，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.記住，1001＝7×11×13，在數(shù)學(xué)競賽或者做智力測驗(yàn)題時，常常是有用的.習(xí)題一2整除，求這個五位數(shù).2.在43的右邊補(bǔ)上三個數(shù)字，組成一個五位數(shù)，使它能被3，4，5整除，求這樣的最小五位數(shù).3.一個五位數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，它能被3，5，7，11整除，這樣的數(shù)中最大的是幾？4.一個自然數(shù)與19的乘積的最后三位數(shù)是321，求滿足條件的最小的自然數(shù).5.四個連續(xù)自然數(shù)的和是一個在400至440之間的三位數(shù)，并且這個和能被9整除，求這四個連續(xù)自然數(shù).6.如果各位數(shù)字都是1的某個整數(shù)能被33333整除，那么這個整數(shù)中1的個數(shù)最少有多少個？8.用數(shù)字6，7，8各兩個，組成一個六位數(shù)，使它能被168整除，求這個六位數(shù).二、分解質(zhì)因數(shù)一個整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）.例如，2，5，7，101，….一個整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說法，恰好只有兩個約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個約數(shù)，也就是它本身.質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，….例9○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一個質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.解：209可以寫成兩個質(zhì)數(shù)的乘積，即209＝11×19.不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.這個算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝209.解例9的首要一步是把209分解成兩個質(zhì)數(shù)的乘積.把一個整數(shù)分解成若干個整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.一個整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).任何一個合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.還可以寫成360＝23×32×5.這里23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.例10有四個學(xué)生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)5040＝24×32×5×7.再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個連續(xù)自然數(shù)的乘積：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡單的例子.我們知道24的約數(shù)有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數(shù)，如果一個一個地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.因?yàn)?4＝23×3，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)（1，2，22，23）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.這里有4×2＝8個，即（3＋1）×（1＋1）個，即對于24＝23×3中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.這個方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的約數(shù)個數(shù)是（4＋1）×（2+1）＝15（個）.例11在100至150之間，找出約數(shù)個數(shù)是8的所有整數(shù).解：有8＝7＋1；8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個數(shù)合要求：128，104，135，136.利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每個公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是23×3＝24.在求最小公倍數(shù)時，很明顯每個質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請注意720中有5，而168中無5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是24×32×5×7＝5040.例12兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個數(shù)是90，另一個數(shù)是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.對同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2；從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是90＝2×32×5.就知道另一數(shù)是22×3×5＝60.還有一種解法：另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找30，60，90，120，….這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時會較費(fèi)力.例13有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個分?jǐn)?shù)是多少？解：把420分解質(zhì)因數(shù)420＝2×2×3×5×7.為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1.就稱這兩個數(shù)是互質(zhì)的.例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個互質(zhì)的整數(shù).利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個整數(shù)分解成若干個整數(shù)的乘積，是非?；居质呛苡杏玫姆椒ǎ倥e三個例題.例14將8個數(shù)6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個數(shù)，并且每組4個數(shù)的乘積相等，請寫出一種分組.解：要想每組4個數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也一樣才行.把8個數(shù)分解質(zhì)因數(shù).6＝2×3，24＝23×3，45＝32×5，65＝5×13，77＝7×11，78＝2×3×13，105＝3×5×7，110＝2×5×11.先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13，必須把77和65放在第一組中.看質(zhì)因數(shù)7，105應(yīng)放在第二組中，45放在第一組中，得到第一組：24，65，77，45.第二組：6，78，110，105.在講述下一例題之前，先介紹一個數(shù)學(xué)名詞--完全平方數(shù).一個整數(shù)，可以分解成相同的兩個整數(shù)的乘積，就稱為完全平方數(shù).例如：4＝2×2，9＝3×3，144＝12×12，625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方數(shù).一個完全平方數(shù)寫出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù).例如：144＝32×42，100＝22×52，…例15甲數(shù)有9個約數(shù)，乙數(shù)有10個約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？解：一個整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個約數(shù)可以配成一對.只有配成對的兩個約數(shù)相同時，也就是這個數(shù)是完全平方數(shù)時，它的約數(shù)的個數(shù)才會是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個完全平方數(shù).2800＝24×52×7.在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在這6個數(shù)中只有22×52＝100，它的約數(shù)是（2＋1）×（2+1）＝9（個）.2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100＝22×52，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.例16小明買紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆貴.小強(qiáng)打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？解：35＝5×7.紅、藍(lán)的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.記?。簩P價來說，已排除了5，7，10，12這四個數(shù).筆價不能是35-17=18（元）的約數(shù).如果筆價是18的約數(shù)，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數(shù)：1，2，3，6，9.當(dāng)然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11，17-9＝8.現(xiàn)在筆價又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支13元，藍(lán)筆每支4元.習(xí)題二1.邊長為自然數(shù)，面積為165的形狀不同的長方形共有多少種？2.四個連續(xù)自然數(shù)的乘積是11880，求此四個數(shù).3.兩個兩位的整數(shù)，乘積是6975，這兩個數(shù)中較小的數(shù)是多少？4.某個自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，包括1和它本身在內(nèi)共有10個約數(shù)，那么這個自然數(shù)是幾？5.將8個數(shù)14，30，33，75，143，169，4445，4953分成兩組，每組4個數(shù)，要使每組的4個數(shù)的乘積相等，如何分組？6.把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中，任意兩數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么至少要分多少個組？7.兩個整數(shù)A，B的最大公約數(shù)是C，最小公倍數(shù)是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B是多少？三、余數(shù)在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：65÷3＝21……2，38÷5＝7……3.上面兩個算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù).上面兩個算式可以寫成65＝3×21＋2，38＝5×7＋3.也就是被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖摹坝鄶?shù)”出發(fā)去考慮問題，這正是某些整數(shù)問題所需要的.特別要提請注意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時常作為依據(jù).例175397被一個質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個質(zhì)數(shù).解：這個質(zhì)數(shù)能整除5397-15＝5382，而5382＝2×31997×13×23.因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.當(dāng)被除數(shù)較大時，求余數(shù)的一個簡便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù).例18求645763除以7的余數(shù).解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763，再去掉14000還余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數(shù)是6.這個過程可簡單地記成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力強(qiáng)，上面過程可以更簡單地寫成：645763→15000→1000→6.帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：如果兩個數(shù)被同一個除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)之差就能被那個除數(shù)整除.例19有一個大于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多少？解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除967，1000，2001的兩兩之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.這個整數(shù)是這三個差的公約數(shù)11.請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因?yàn)榱硪粋€差總可以由這兩個差得到.例如，求出差1000-967與2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)之和被這個除數(shù)除所得的余數(shù).例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數(shù)是5＋9＝14被13除的余數(shù)1.例20有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個數(shù)是15，第二個數(shù)是40，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)中，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)是多少？解：我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來，再看每一個數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個數(shù)起，把前兩個數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下：從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個循環(huán)一次，因?yàn)?998＝8×249＋6，所以，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.一些有規(guī)律的數(shù)，常常會循環(huán)地出現(xiàn).我們的計(jì)算方法，就是循環(huán)制.計(jì)算鐘點(diǎn)是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.這十二個數(shù)構(gòu)成一個循環(huán).按照七天一輪計(jì)算天數(shù)是日，一，二，三，四，五，六.這也是一個循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)0，1，2，3，4，5，6的循環(huán).用循環(huán)制計(jì)算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作具有“周期性”，12個數(shù)的循環(huán)，就說周期是12，7個數(shù)的循環(huán)，就說周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事.下面我們再舉出兩個余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結(jié)論：甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)的積，被這個除數(shù)除所得的余數(shù).例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被11除的余數(shù)是4×5＝20被11除后的余數(shù)9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數(shù)是2×2＝4.例21191997被7除余幾？解：從上面的結(jié)論知道，191997被7除的余數(shù)與21997被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).先寫出一列數(shù)2，2×2＝4，2×2×2＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：事實(shí)上，只要用前一個數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請想一想.）從表中可以看出，第四個數(shù)與第一個數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對余數(shù)的計(jì)算，就知道，第五個數(shù)與第二個數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.1997＝3×665＋2.就知道21997被7除的余數(shù)，與21997被7除的余數(shù)相同，這個余數(shù)是4.再看一個稍復(fù)雜的例子.例2270個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和.這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，55，….問：最右邊一個數(shù)（第70個數(shù)）被6除余幾？解：首先要注意到，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都恰好等于前一個數(shù)的3倍減去再前一個數(shù)：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個數(shù)起，余數(shù)的計(jì)算辦法如下：將前一個數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.用這個辦法，可以逐個算出余數(shù)，列表如下：注意，在算第八個數(shù)的余數(shù)時，要出現(xiàn)0×3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以0×3加6再來減1.從表中可以看出，第十三、第十四個數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個數(shù)的余數(shù)對應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.70＝12×5+10.因此，第七十個數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù).這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前許多小學(xué)數(shù)學(xué)的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學(xué)生能弄明白的.這里，我們通過兩個例題，對較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.例23有一個數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個數(shù)除以12余幾？解：除以3余2的數(shù)有：2，5，8，11，14，17，20，23….它們除以12的余數(shù)是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的數(shù)有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它們除以12的余數(shù)是：1，5，9，1，5，9，….一個數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個數(shù)除以12的余數(shù)是5.上面解法中，我們逐個列出被3除余2的整數(shù)，又逐個列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù).這樣的列舉的辦法，在考慮的數(shù)不大時，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的.如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個數(shù).很明顯，滿足條件的數(shù)是很多的，它是5＋12×整數(shù)，整數(shù)可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實(shí)上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2，除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5例24一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的最小數(shù).解：先列出除以3余2的數(shù)：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，再列出除以5余3的數(shù)：3，8，13，18，23，28，….這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個條件合并成一個就是8＋15×整數(shù)，列出這一串?dāng)?shù)是8，23，38，…，再列出除以7余2的數(shù)2，9，16，23，30，…，就得出符合題目條件的最小數(shù)是23.事實(shí)上，我們已把題目中三個條件合并成一個：被105除余23.最后再看一個例子.例25在100至200之間，有三個連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續(xù)自然數(shù).解：先找出兩個連續(xù)自然數(shù)，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一個連續(xù)的自然數(shù)是11.3和5的最小公倍數(shù)是15，考慮11加15的整數(shù)倍，使加得的數(shù)能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56這三個連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3，5，7整除.為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5，7的最小公倍數(shù)105.所求三數(shù)是159，160，161.注意，本題實(shí)際上是：求一個數(shù)（100～200之間），它被3整除，被5除余4，被7除余5.請考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處？習(xí)題三1.237除以一個兩位數(shù)的余數(shù)是6.求出所有這樣的兩位數(shù).2.小張?jiān)谟?jì)算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)113錯寫成131，結(jié)果商比原來多3，但余數(shù)恰巧相同，那么該題的余數(shù)是多少？3.如果某個三位數(shù)除492，2241，3195都余15，那么這個三位數(shù)是幾？4.73，216，227被某個數(shù)b除的余數(shù)相同，那么108被這個數(shù)b除的余數(shù)應(yīng)是多少？5.有4個不同的自然數(shù)，它們當(dāng)中任意兩個數(shù)的和是2的倍數(shù)；任意三個數(shù)的和是3的倍數(shù).為了使這4個數(shù)盡可能的小，這4個數(shù)分別是多少？6.31997被7除的余數(shù)是幾？7.有一串?dāng)?shù)，第一個數(shù)是6，第二個數(shù)是3，從第二個數(shù)起，每個數(shù)都比它前面那個數(shù)與后面那個數(shù)的和小5.那么這串?dāng)?shù)中從第一個數(shù)起到第400個數(shù)為止的400個數(shù)之和被4除的余數(shù)是幾？8.一個數(shù)除以5余1，除以6余3，除以7余6，這個數(shù)是幾？9.有學(xué)生在操場上列隊(duì)做操，只知人數(shù)在90～150之間.如果排成3列不多也不少；如排成5列則少2人；如排成7列則少4人.問共有學(xué)生多少人？測驗(yàn)題1.有一個能被11整除的四位數(shù)，去掉它的千位上和個位上的數(shù)字后，是一個能同時被2，3，5整除的最大兩位數(shù)，這樣的四位數(shù)中，最小的數(shù)是多少？2.兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是12，且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個數(shù).3.阿龍喜歡把電話號碼作為數(shù)學(xué)練習(xí).一個電話號碼是八位數(shù)，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除.阿龍只記著前六個數(shù)字是257633□□但是算了一下，他便知道后兩個數(shù)字.問這個電話號碼最后兩個數(shù)字是什么？4.下面寫了一串?dāng)?shù)0，1，6，7，12，13，18，19，….按這個規(guī)律寫下去，問第134個位置上的數(shù)被7除余幾？5.346，304，563分別除以同一個自然數(shù)，得到的余數(shù)相同，求這個自然數(shù).6.有一個數(shù)被3除余2，被5除余1，問它被15除余幾？7.一個三位數(shù)除以9余6，除以4余2，除以5余1，這樣的三位數(shù)中，最大的是幾？8.一個三位數(shù)被37除余17，被36除余3，那么這個三位數(shù)是多少？第六講答案習(xí)題一2.這樣的最小五位數(shù)是43020.3.98175.用98765除以3×5×7×11=1155，余590，用98765-590=98175.4.16321.現(xiàn)介紹類似于大除式的一種除法：在被除數(shù)321的前面空上幾位，先商個位.要想除得盡，最后一位必須是1，所以商9，19×9=171，321-171=150.再商十位，為了消去末位5，商5，19×5=95，此時可以斷定15的前一位是1，115-95=20，為了消去2，商的百位是8，19×8=152，被除數(shù)就是19×859=16321.也可以這樣得到：同學(xué)們可再試做一題：找出末三位是501的、能被23整除的最小自然數(shù).5.這四個連續(xù)自然數(shù)是102，103，104，105.這四個數(shù)的和是9的倍數(shù).6.這個整數(shù)最少有15個1.33333=3×11111，1的個數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，所以最少有15個.7.方框代表的數(shù)字是6.六個7能被13整除.7774能被13整除，六個4能被13整除.2444能被13整除.□=4+2=6.8.768768.168=23×3×78+7+6=21，被3整除不成問題.后三位數(shù)要被8整除，只有768.為了能被7整除，可從例8得到啟發(fā).想起1001能被7整除.768768=768×1001.習(xí)題二1.有四種，分別是1×165，3×55，5×33，11×15.2.四個連續(xù)自然數(shù)是9，10，11，12.3.其中較小的是75.6975=32×52×3131一定是兩數(shù)中一個數(shù)的約數(shù).這個數(shù)只有31，93兩種可能.但是32×52=225，不是兩位數(shù).只能是93.另一個兩位數(shù)是3×52=75.4.這個自然數(shù)是48.10=2×5=（1+1）×（4+1），4=22，所以只能是3×24=48.5.一組是：14，75