歸納推理,提升數(shù)學(xué)智慧

PAGEPAGE8關(guān)注歸納推理提升數(shù)學(xué)智慧——關(guān)于小學(xué)生歸納推理能力培養(yǎng)的研究與實(shí)踐內(nèi)容摘要：史寧中教授強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)創(chuàng)新性人才必須重視對(duì)學(xué)生的歸納推理能力的培養(yǎng)。目前，教師專業(yè)知識(shí)缺乏，應(yīng)試教育，以及教師的實(shí)踐研究不足和實(shí)踐策略缺失，直接影響了學(xué)生歸納推理能力的發(fā)展。由此，本文闡述了歸納推理能力的要義和重要性，梳理了承載培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的教學(xué)內(nèi)容，以及結(jié)合實(shí)踐提出了四條引導(dǎo)路徑。關(guān)鍵詞：歸納推理教學(xué)內(nèi)容引導(dǎo)路徑一、對(duì)學(xué)生歸納推理能力培養(yǎng)現(xiàn)狀的調(diào)研與分析史寧中教授指出：歸納推理能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的發(fā)展有著十分重要的意義；歸納推理應(yīng)該引起數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重視。那么，目前小學(xué)數(shù)學(xué)教育對(duì)學(xué)生歸納推理能力培養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)狀況如何？于是，我對(duì)某鎮(zhèn)中心校、村完小的23位數(shù)學(xué)老師以及六年級(jí)105名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研和分析。1、從教師層面調(diào)查結(jié)果分析現(xiàn)狀一：教師專業(yè)知識(shí)缺乏對(duì)教師的訪談和調(diào)查顯示（見表一）：有21.7%的教師不了解歸納推理。有47.8%的教師表示有所了解，但不能準(zhǔn)確地舉例說明。部分教師說：“好像在讀師范時(shí)《心理學(xué)》課上聽老師講過，現(xiàn)在已經(jīng)忘了?！敝挥?0.4%的教師了解歸納推理，并能正確舉例?，F(xiàn)狀二：應(yīng)試教育影響巨大培養(yǎng)歸納推理推理，更重要的意義在于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)智慧。調(diào)查顯示只有17.3%的教師表示比較重視對(duì)學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)（見表一），其余教師在課堂教學(xué)中并沒有培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的主動(dòng)意識(shí)。經(jīng)訪談得知，其中主要的原因是不了解和考試不會(huì)考到?？梢?，考試這根指揮棒仍然在發(fā)揮著巨大地影響?，F(xiàn)狀三：研究不足，策略缺失經(jīng)訪談得知，23名教師中沒有哪位教師對(duì)本主題進(jìn)行深入實(shí)踐研究過。52.1%的教師表示不知道如何有效地在實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力,47.8%的教師不完全清楚哪些教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力。表一：教師調(diào)查統(tǒng)計(jì)表題目選項(xiàng)人數(shù)百分率（％）你了解什么是歸納推理嗎？請(qǐng)你舉例說明A了解（能正確舉例）730.43B了解（不能舉例）1147．82C不了解521.74在教學(xué)中你重視對(duì)學(xué)生的“歸納推理”的能力培養(yǎng)嗎？是否經(jīng)常讓學(xué)生做如題1、題2這樣的練習(xí)？A重視，有417.40B一般，偶爾1982.60C不重視，沒有00.00關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生的“歸納推理”能力你有什么困惑？（可以多選、不選或者補(bǔ)充）A不知道教什么1147.82B不知道怎么教1252.17C其他00.002、從學(xué)生層面調(diào)研結(jié)果分析題1：觀察①、②兩個(gè)等式有什么特點(diǎn)，在其它等式的（）里填上適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)。①EQ\f(7,2)+EQ\f(7,5)=EQ\f(7,2)×EQ\f(7,5)②EQ\f(8,3)+EQ\f(8,5)=EQ\f(8,3)×EQ\f(8,5) ③（）+EQ\f(7,4)=（）×EQ\f(7,4)④6+（）=6×（）調(diào)研結(jié)果與分析：103名學(xué)生中有64名學(xué)生能完成算式③，占總?cè)藬?shù)的62.14%，37.86%的學(xué)生不能從算式①和算式②中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并把規(guī)律運(yùn)用在新的問題中。有36名學(xué)生完成算式④，只占總?cè)藬?shù)的34.95%?？梢姴糠謱W(xué)生雖然能從上面的算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能運(yùn)用規(guī)律解決一般性問題。但是，一旦問題發(fā)生了某些變化，就不能很好的通過類比（整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系）來解決稍復(fù)雜問題了。題2：以下這些圖形我們都稱之為同心圖形。拿同心圓來說，最里面圓的直徑是2厘米，每相鄰兩個(gè)圓的直徑差是1厘米，請(qǐng)你計(jì)算一下：從里往外數(shù)，第2個(gè)圓與第1個(gè)圓的周長(zhǎng)的差，第3個(gè)圓和第2個(gè)圓的周長(zhǎng)的差以及第4個(gè)圓和第3個(gè)圓的周長(zhǎng)的差。=1\*GB3①通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)了什么？=2\*GB3②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，你能提出什么猜想？調(diào)研結(jié)果與分析：能回答問題=1\*GB3①的學(xué)生有86人，占了總?cè)藬?shù)的83.50%，除了那些不能進(jìn)行正確計(jì)算的學(xué)生外幾乎都能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相鄰的圓之間周長(zhǎng)的差是一樣的。但能合理地提出猜想的學(xué)生只有12人，僅占總?cè)藬?shù)的11.65%?？梢妼W(xué)生缺乏對(duì)歸納的結(jié)果進(jìn)行類比聯(lián)想的經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想的能力非常薄弱，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。由以上的調(diào)查結(jié)果分析來看，我認(rèn)為有必要對(duì)歸納推理的要義和重要性做簡(jiǎn)要的闡述，也有必要梳理一下承載培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的教學(xué)內(nèi)容，以及對(duì)如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的實(shí)踐策略作進(jìn)一步探討。二、歸納推理的要義與重要性思維的基本形式有概念、判斷和推理。所謂推理，就是從已知的判斷推出新的判斷的思維形式。它主要的形式有兩類：歸納推理和演繹推理。演繹推理是從一般原理到特殊事物的推理。而歸納推理則相反，它是從特殊事物推出一般原理的推理。是基于經(jīng)驗(yàn)和事實(shí)的推理。如：多個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，得出所有三角形的內(nèi)角和都是180°。我們把歸納推理分為完全歸納和不完全歸納。心理學(xué)上所說的歸納推理一般是指不完全歸納，而完全歸納與演繹推理一樣，都是用于科學(xué)證明的。由此，通過歸納推理得出的結(jié)論不一定正確，我們只能稱它為“猜想”。波利亞稱之為“合情推理”，“是一種冒風(fēng)險(xiǎn)的推理。”由此，它需要演繹推理給予證明。在小學(xué)里，由于小學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和抽象思維能力有限，我們往往讓學(xué)生用舉例檢驗(yàn)或因果分析的方法來代替數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)證明。就方法而論，歸納推理涵蓋了觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類、因果分析、統(tǒng)計(jì)推斷、枚舉、歸納、類比等（這里所說的“歸納”是指從特殊事例概括一般結(jié)論的方法或過程，是基于一個(gè)類的歸納推理，而像“類比”則是基于兩個(gè)類的推理）。波利亞指出：歸納過程的典型步驟為，我們注意到了某些相似性；然后是一個(gè)推廣的步驟，即把所說的相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題；最后我們又應(yīng)對(duì)所得出的一般命題進(jìn)行檢驗(yàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，像分類、探索規(guī)律、以及概念、定義、規(guī)則、概率和解決問題等學(xué)習(xí)都有體現(xiàn)歸納推理的思維過程。雖然亞里士多德創(chuàng)立的演繹推理對(duì)后世科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，但意大利物理學(xué)家、天文學(xué)家伽利略認(rèn)為：“現(xiàn)實(shí)的認(rèn)識(shí)過程是歸納先于演繹，許多公式和定律都是從實(shí)驗(yàn)結(jié)論中歸納出來的。”數(shù)學(xué)家舒爾更明確指出：“在數(shù)學(xué)研究中，非數(shù)學(xué)的歸納法起著重要的作用。”數(shù)學(xué)中許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想、四色猜想、七橋猜想等都是經(jīng)歸納推理獲得的結(jié)論，雖然某些結(jié)論不一定正確，卻在很大的程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。史寧中教授在新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中特別指出：“演繹推理可以表現(xiàn)為一種知識(shí)，而歸納推理可以表現(xiàn)為一種智慧。”“歸納推理有利于發(fā)現(xiàn)新的問題，是一種‘創(chuàng)新’所要依賴的推理。如果教學(xué)中只有演繹沒有歸納是不利于創(chuàng)新人才培養(yǎng)的?！笔方淌谶€特別強(qiáng)調(diào)：歸納推理很難在中國(guó)傳統(tǒng)的過分注重傳授知識(shí)和技能的教學(xué)中得到實(shí)施，但為了培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，我們必須培養(yǎng)這種基于經(jīng)驗(yàn)、通過想象和抽象推斷結(jié)果的能力，無論在時(shí)間上還是在內(nèi)容上都應(yīng)當(dāng)給予足夠的重視。三、承載培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的教學(xué)內(nèi)容小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中哪些內(nèi)容的教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力呢？我認(rèn)為有這樣兩類，一類是顯性的，教材編排的意圖是非常明確的；另一類是隱性的，它隱含在一些練習(xí)或知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系中，需要教師深入的挖掘。下面就對(duì)教材中比較典型的顯性內(nèi)容做簡(jiǎn)要的整理。表二：教材內(nèi)容整理數(shù)與代數(shù)圖形與幾何數(shù)學(xué)思考一年級(jí)=1\*GB3①9加幾的算式的規(guī)律探索=2\*GB3②20以內(nèi)退位減法表的規(guī)律探索=1\*GB3①圖形的認(rèn)識(shí)，圖形特征地歸納=1\*GB3①分類=2\*GB3②找規(guī)律二年級(jí)=1\*GB3①乘法口訣表的規(guī)律探索=2\*GB3②除法算式中被除數(shù)、除數(shù)和商的變化規(guī)律=1\*GB3①角與軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)=1\*GB3①找規(guī)律三年級(jí)=1\*GB3①探索余數(shù)與除數(shù)之間的大小關(guān)系=2\*GB3②同分母分?jǐn)?shù)和同分子分?jǐn)?shù)的大小比較規(guī)律探索=3\*GB3③小數(shù)各位上的數(shù)表示實(shí)際意義的歸納=1\*GB3①認(rèn)識(shí)四邊形=2\*GB3②長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的探索=1\*GB3①排列組合教學(xué)中初步對(duì)乘法原理的歸納=2\*GB3②重疊問題教學(xué)中思想方法的歸納四年級(jí)=1\*GB3①大數(shù)讀、寫法的歸納=2\*GB3②探索積和商的變化規(guī)律=3\*GB3③運(yùn)算規(guī)律的探索=4\*GB3④基本數(shù)量關(guān)系的歸納=1\*GB3①平行四邊和梯形的認(rèn)識(shí)=2\*GB3②三角形的分類，內(nèi)角和、三邊關(guān)系的探索=1\*GB3①統(tǒng)籌思想教學(xué)中思想方法的歸納=2\*GB3②植樹問題教學(xué)中思想方法的歸納五年級(jí)=1\*GB3①因數(shù)與倍數(shù)單元中數(shù)的分類=2\*GB3②分?jǐn)?shù)意義的歸納以及分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的探索=1\*GB3①多邊形面積的計(jì)算公式的探索。=2\*GB3②長(zhǎng)方體表面積、體積計(jì)算公式的探索=1\*GB3①量一量，找規(guī)律=2\*GB3②用計(jì)算器探索規(guī)律=3\*GB3③找次品中的方法歸納六年級(jí)=1\*GB3①分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算方法的探索=2\*GB3②比與比例的基本性質(zhì)的探索=1\*GB3①圓周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式的探索=1\*GB3①雞兔同籠和抽屜原理教學(xué)中思想方法的歸納=2\*GB3②“數(shù)學(xué)思考”總復(fù)習(xí)除了表二中三塊內(nèi)容外，概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的預(yù)測(cè)以也體現(xiàn)了歸納推理的過程。有些內(nèi)容教材雖沒有編排，但也是很好的素材。第一，可以在練習(xí)中挖掘，比如探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與面積的關(guān)系。第二，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)游戲中也有很多很有價(jià)值的素材，比如猜數(shù)游戲、角谷猜想、神奇的缺8數(shù)等等。四、構(gòu)建課堂教學(xué)中培養(yǎng)歸納推理能力的引導(dǎo)路徑如何在課堂教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力呢？史寧中教授指出：“歸納推理能力的培養(yǎng)更多的依賴于過程的教育和經(jīng)驗(yàn)的積累?！庇纱?，教師在課堂教學(xué)中，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)過程和并作有效地引導(dǎo)，將對(duì)學(xué)生的歸納推理能力的發(fā)展起著重要的作用。以下主要介紹四種較典型的課堂教學(xué)引導(dǎo)路徑：1、觀察→分類→歸納→應(yīng)用（以“平行四邊形與梯形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例）觀察出示各種形狀的平行四邊形、梯形和普通四邊形。也可以通過學(xué)生地操作“畫一畫”形成。注意給學(xué)生同一類圖形的形狀要多樣，因?yàn)檫@是抽象本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)。分類接著教師提出要求：根據(jù)這些四邊形對(duì)邊之間的關(guān)系，你能給它們分分類嗎？分類需要學(xué)生要對(duì)觀察對(duì)象進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的異同，找到屬于同類的對(duì)象，從而自主地進(jìn)行了初步的抽象。歸納學(xué)生分完類之后，首先對(duì)各類對(duì)象的共同本質(zhì)進(jìn)行抽象，比如讓學(xué)生說一說這一類圖形有什么共同的特征。接著教師要給這兩類圖形貼上語言標(biāo)簽，即給它們?nèi)∶?。然后再讓學(xué)生說一說怎樣的圖形就是平行四邊形，怎樣的圖形就是梯形。這就是心理學(xué)上所說的概括，即把抽象出來的共同的本質(zhì)推廣到同類事物上去。應(yīng)用像定義的學(xué)習(xí)，由于怎樣的圖形是平行四邊形是一種人為的規(guī)定，所以無需對(duì)結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。我們可以讓學(xué)生用得出的結(jié)論去判斷一些四邊形是否是平行四邊形或梯形，從而進(jìn)一步加深對(duì)這些某一類圖形特征的認(rèn)識(shí)。2、觀察→比較→歸納→分析（以“探索9加幾的算式中的規(guī)律”教學(xué)為例）觀察以上已提及觀察的材料可以從學(xué)生那里來，也可以由教師直接呈現(xiàn)，有時(shí)候還可以是師生共同完成的。比如9加幾的算式，教師提供算式，學(xué)生計(jì)算結(jié)果，形成了觀察材料。當(dāng)然，最后形成的觀察材料應(yīng)該是有序的，有利于學(xué)生觀察的。比較學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，要對(duì)一個(gè)算式中“和”的個(gè)位上的數(shù)與另一個(gè)“加數(shù)”的關(guān)系進(jìn)行比較，同時(shí)還要在不同算式中做比較，這樣他們才會(huì)發(fā)現(xiàn)：在9加幾的算式中，“和”的個(gè)位上的數(shù)總要比另一個(gè)“加數(shù)”少1。歸納幾道9加幾的算式中，算式雖然都在變化，其中卻有不變的東西。學(xué)生把他們觀察比較中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用較準(zhǔn)確的語言概括出來，形成一般性結(jié)論。分析這個(gè)規(guī)律是否屬于偶然還是有它必然的原因呢？這時(shí)就有必要進(jìn)行因果分析。教師提問：同學(xué)們，為什么“和”個(gè)位上的數(shù)總是比另一“加數(shù)”少1呢？這1到底去哪兒了呢？抽象思維好一些的學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的秘密，但對(duì)于大部分學(xué)生來說，僅僅從算式上觀察是不容易發(fā)現(xiàn)其中奧秘的。我們可以把抽象的算式直觀化，借實(shí)物圖展示湊十法的計(jì)算過程，學(xué)生就比較容易發(fā)現(xiàn)：原來那個(gè)1跑到9那兒與它湊整十了。3、類比→實(shí)驗(yàn)→歸納→枚舉（以“比的基本性質(zhì)為例”教學(xué)為例）類比所謂類比就是根據(jù)兩類事物在某些屬性上的相同，推出它們其它的某一項(xiàng)屬性也可能相同的推理。類比和歸納是歸納推理中的兩種常用的方法，它們與聯(lián)想、直覺一起構(gòu)成了發(fā)現(xiàn)新問題、提出猜想的思維基礎(chǔ)。在教學(xué)比的基本性質(zhì)時(shí)，我們先來復(fù)習(xí)商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，因?yàn)槌?、分?jǐn)?shù)和比，它們?nèi)咴诒緦傩陨暇哂幸恢滦浴＜热怀ê头謹(jǐn)?shù)都有這樣的基本性質(zhì)，那么比是否也存在著這種基本性質(zhì)呢？在類比的基礎(chǔ)上，猜想的提出就水到渠成。實(shí)驗(yàn)?zāi)敲吹降走@個(gè)猜想是否正確呢？這就需要實(shí)驗(yàn)操作來檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)上的實(shí)驗(yàn)不一定要?jiǎng)邮植僮?，?jì)算同樣也是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。這時(shí)，可以讓學(xué)生自己隨意寫一個(gè)比，并對(duì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)進(jìn)行相同的計(jì)算，這時(shí)，課堂上就形成了由實(shí)驗(yàn)直接獲得的一組數(shù)據(jù)。歸納教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這組數(shù)據(jù)，抽象出內(nèi)在的規(guī)律，并把規(guī)律推廣到所有的比上，從而獲得了一般性的結(jié)論（比的基本性質(zhì)）。枚舉是否所有的比都具有這樣的性質(zhì)呢？在小學(xué)里，學(xué)生只要再舉幾個(gè)例子，找不到反例，就視結(jié)論的正確性。雖然這樣的過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但小學(xué)生的知識(shí)有限，再說小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，都比較形象，有學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)做支撐，學(xué)生心里一般不會(huì)有疑惑。4、問題→類推→歸納→推廣（以“一道練習(xí)題”教學(xué)為例）問題把4米長(zhǎng)的繩子平均剪成5段，每段（）米，每段繩子是全長(zhǎng)的（）。本題是學(xué)生比較容易出錯(cuò)的一個(gè)問題，主要考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的掌握情況?？吹竭@個(gè)問題，許多學(xué)生會(huì)在腦子里拼命搜尋類似的練習(xí)留下的記憶，造成機(jī)械式解題非常嚴(yán)重。類推所謂類推就是基于數(shù)值一步一步推演的解答問題的方法。以上問題，可以先引導(dǎo)學(xué)生思考：如果把20米的繩子平均剪成5段，每段是幾米？每段是繩子的幾分之幾？結(jié)合圖學(xué)生會(huì)比較容易解決。接著再把20米改成15米，改成10米，改成5米，改成4米，甚至還可以改成米，依次讓學(xué)生回答題目中的兩個(gè)問題，并形成板書。除了類推，有些問題還可以用“嘗試?yán)e”的方法，為歸納一般性的方法做好鋪墊，如用列表法解決“雞兔同籠”問題。歸納有了以上類推的經(jīng)歷，再引導(dǎo)學(xué)生觀察。這時(shí)，學(xué)生就比較容易發(fā)現(xiàn)：求每段是多少米要把總長(zhǎng)度除以剪成的段數(shù)，而求每段的長(zhǎng)度與總長(zhǎng)度的關(guān)系則要看分幾段，跟總長(zhǎng)度無關(guān)。推廣教學(xué)到這里，看似問題已經(jīng)解決，其實(shí)還沒有結(jié)束。我們可以把同樣的數(shù)學(xué)關(guān)系放入不同的情境中，從而獲得更深一層次的抽象。如把情境改成：把4個(gè)月餅平均分給5個(gè)人；把4千克的白糖平均分給5個(gè)人等。由此可以進(jìn)一步抽象歸納得出：求每份數(shù)要把總數(shù)