彈塑性力學(xué)復(fù)習(xí)提綱和考試習(xí)題

《彈塑性力學(xué)》復(fù)習(xí)提綱1.彈性力學(xué)和材料力學(xué)在求解的問(wèn)題以及求解方法方面的主要區(qū)別是什么？研究對(duì)象的不同：材料力學(xué)，基本上只研究桿狀構(gòu)件，也就是長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件。非桿狀結(jié)構(gòu)則在彈性力學(xué)里研究研究方法的不同：材料力學(xué)大都引用一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，得到的解答往往是近似的，彈性力學(xué)研究桿狀結(jié)構(gòu)一般不必引用那些假定，得到的結(jié)果比較精確。并可用來(lái)校核材料力學(xué)得出的近似解。2.彈性力學(xué)有哪些基本假設(shè)？（1）連續(xù)性，（2）完全彈性，（3）均勻性，(4)各向同性，(5)假定位移和形變是微小的3.彈性力學(xué)有哪幾組基本方程？試寫出這些方程。(1)平面問(wèn)題的平衡微分方程:QUOTEQUOTE平面問(wèn)題的幾何方程：QUOTEQUOTEQUOTE平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程：QUOTEQUOTEQUOTE(在平面應(yīng)力問(wèn)題中的物理方程中將E換為QUOTE，QUOTE換為QUOTE就得到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程)(2)空間問(wèn)題的平衡微分方程;QUOTEQUOTEQUOTE空間問(wèn)題的幾何方程;QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE空間問(wèn)題的物理方程：QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE4.按照應(yīng)力求解和按照位移求解，其求解過(guò)程有哪些差別？(1)位移法是以位移分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，解出位移分量，然后再求形變分量和應(yīng)力分量。要使得位移分量在區(qū)域里滿足微分方程，并在邊界上滿足位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件。(2)應(yīng)力法是以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和邊界條件，解出應(yīng)力分量，然后再求出形變分量和位移分量。滿足區(qū)域里的平衡微分方程，區(qū)域里的相容方程，在邊界上的應(yīng)力邊界條件，其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。5.掌握以下概念：應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件；圣文南原理；平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；逆解法與半逆解法。位移邊界條件：若在QUOTE部分邊界上給定了約束位移分量QUOTE和QUOTE,則對(duì)于此邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù)u和v和應(yīng)滿足條件QUOTE=QUOTE，QUOTE=QUOTE（在QUOTE上）應(yīng)力邊界條件：若在QUOTE部分邊界上給定了面力分量QUOTE(s)和QUOTE(s),則可以由邊界上任一點(diǎn)微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。平面應(yīng)力問(wèn)題：設(shè)所研究的物體為等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向無(wú)變化，可以認(rèn)為在整個(gè)薄板里任何一點(diǎn)都有：QUOTE=0,QUOTE=0,QUOTE=0,注意到剪應(yīng)力互等關(guān)系，可知QUOTE=0,QUOTE=0,這樣只剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)力分量，即QUOTE，QUOTE，它們是x和y的函數(shù)，不隨z而變化平面應(yīng)變問(wèn)題：設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，所受的荷載都垂直于z軸且沿z方向沒(méi)有變化，則所有一切應(yīng)力分量，變形分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是x和y的函數(shù)，如果近似的認(rèn)為柱形體的兩端受到平面的約束，使之在z方向無(wú)位移，則任何一個(gè)橫截面在z方向都沒(méi)有位移，所有變形都發(fā)生在xy面里。逆解法：就是先設(shè)定各種形式的，滿足相容方程QUOTE的應(yīng)力函數(shù)的Ф，并由式QUOTE求的應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問(wèn)題。半逆解法：就是針對(duì)所要求解的問(wèn)題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式；并從而推出應(yīng)力函數(shù)的形式；然后代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的具體表達(dá)式；在按式QUOTE)由應(yīng)力函數(shù)求的應(yīng)力分量；并考察這些應(yīng)力分量能負(fù)滿足全部應(yīng)力邊界條件6.什么是各向同性體？橫觀各向同性體？正交各向異性體？極端各向異性體？他們各有多少?gòu)椥猿?shù)？彈性對(duì)稱面：如果在彈性體中存在這么一個(gè)平面，該平面兩邊各點(diǎn)的彈性常數(shù)關(guān)于它對(duì)稱，該平面就稱為彈性對(duì)稱面。各向同性體：如果在彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)沿任意兩個(gè)方向的彈性性質(zhì)都相同，則稱其為各向同性體。2個(gè)彈性常數(shù)橫觀各向同性體：如果彈性體內(nèi)存在一個(gè)彈性對(duì)稱面和一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，則稱其為橫觀各向同性體。5個(gè)彈性常數(shù)正交各向異性體：如果彈性體內(nèi)存在三個(gè)相互正交的彈性對(duì)稱面，則稱其為正交各向異性體。9個(gè)彈性常數(shù)極端各向異性體：如果在彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)沿任意兩個(gè)方向的彈性性質(zhì)都相同，則稱其為各向同性體。21個(gè)彈性常數(shù)7.什么是應(yīng)力函數(shù)？雙諧方程？如何推導(dǎo)出雙諧方程？應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的關(guān)系？如何求解雙諧方程？QUOTE稱為平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)。QUOTE是用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。8.由直角坐標(biāo)下的多項(xiàng)式解可以獲得哪些有意義的彈性力學(xué)解？如何計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變和位移？可以獲得諸如：受集中荷載的懸臂梁、受分布荷載的簡(jiǎn)支梁以及受純彎曲的簡(jiǎn)支梁的解首先由逆解法或半逆解法求出相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求出相應(yīng)的應(yīng)力分量，再根據(jù)本構(gòu)方程求得應(yīng)變，然后再由幾何方程求得位移。9.由彈性力學(xué)所獲得的受集中荷載的懸臂梁、受分布荷載的簡(jiǎn)支梁以及受純彎曲的簡(jiǎn)支梁的解答，與材料力學(xué)所得到的解答有哪些共同之處和哪些不同之處？由此可以說(shuō)明哪些問(wèn)題？在彎應(yīng)力QUOTE的表達(dá)式中，第一項(xiàng)是主要項(xiàng)，和材料力學(xué)的解答相同，第二項(xiàng)則是彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)，對(duì)于通常的淺梁，修正項(xiàng)很小，可以不計(jì)，對(duì)于較深的梁，則必須注意修正項(xiàng)。彈性力學(xué)和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自的解法不同。簡(jiǎn)而言之，彈性力學(xué)的解答是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程，物理方程，以及在邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是較精確的。而在材料力學(xué)的解法中，沒(méi)嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的解答時(shí)近似的。一般來(lái)說(shuō)，材料力學(xué)的解法只適用解決桿狀構(gòu)件的問(wèn)題，這時(shí)他它的解答具有足夠的精度，對(duì)于非桿狀構(gòu)件的問(wèn)題，不能用材料力學(xué)的解法來(lái)求解，只能用彈性力學(xué)的解法來(lái)求解。9.如何推導(dǎo)出極坐標(biāo)下彈性力學(xué)的基本方程？極坐標(biāo)下彈性力學(xué)的基本方程與直角坐標(biāo)下的方程有哪些區(qū)別？只需將角碼x和y分別換成為QUOTE。區(qū)別：在直角坐標(biāo)系中，xy都是直線，有固定的方向，xy坐標(biāo)的量綱都是L，在極坐標(biāo)中QUOTE在不同的點(diǎn)有不同的方向，QUOTE坐標(biāo)線是直線，量綱是L，QUOTE是圓弧曲線，QUOTE坐標(biāo)為量綱一的量，這些都引起彈性力學(xué)基本方程的差異。10.極坐標(biāo)下彈性力學(xué)基本方程的通解可以解答哪些問(wèn)題？受均布?jí)毫Φ膱A環(huán)、帶圓孔的無(wú)限大板、半平面體在邊界上受集中力、對(duì)徑受壓的圓盤，以及布辛捏斯克解，是如何獲得的？這些解答可以解決哪些工程問(wèn)題？極坐標(biāo)下彈性力學(xué)基本方程的通解可以解答由徑向線和圓弧線圍成的例如圓環(huán)、圓形、扇形等彈性體受力后的應(yīng)力、應(yīng)變及位移問(wèn)題。解答獲得：先由軸對(duì)稱條件簡(jiǎn)化相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)求得相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式，在聯(lián)立簡(jiǎn)化后的相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量的具體表達(dá)式，再根據(jù)各模型的特殊邊界條件，求得最終解答?？梢越鉀Q的工程問(wèn)題：隧洞開挖問(wèn)題、地基沉降問(wèn)題等11.什么是解析函數(shù)？復(fù)變函數(shù)的積分與實(shí)函數(shù)的積分有哪些共同之處和哪些不同之處？泰勒級(jí)數(shù)與羅倫級(jí)數(shù)有哪些共同之處和哪些不同之處？什么是保角映射？什么條件下一個(gè)映射是保角映射？若函數(shù)QUOTE在點(diǎn)QUOTE的某個(gè)領(lǐng)域QUOTE內(nèi)可導(dǎo)，則稱它在點(diǎn)QUOTE解析。復(fù)積分的基本思想是在一元實(shí)函數(shù)積分中，把實(shí)函數(shù)換成復(fù)函數(shù)，把實(shí)軸上的積分區(qū)間換成復(fù)平面內(nèi)逐段光滑的有向曲線，偏得到復(fù)函數(shù)積分凡在某區(qū)域內(nèi)處處具有保角性和伸縮率不變形的映射都稱為第一類保角映射對(duì)于相交于QUOTE的任意兩條有向曲線，其夾角大小和方向經(jīng)過(guò)QUOTE映射后都保持不變，這時(shí)，稱映射QUOTE在點(diǎn)QUOTE具有保角性。14.空間（3維）問(wèn)題彈性力學(xué)的基本方程與平面（2維）問(wèn)題的基本方程有哪些區(qū)別？空間（3維）問(wèn)題彈性力學(xué)的基本方程中含有15個(gè)未知函數(shù)：6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量，3個(gè)位移分量。平面（2維）問(wèn)題的基本方程中只含有8個(gè)未知函數(shù)：3個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)應(yīng)變分量，2個(gè)位移分量。15.什么是軸對(duì)稱問(wèn)題？軸對(duì)稱問(wèn)題有哪些特點(diǎn)？軸對(duì)稱問(wèn)題彈性力學(xué)的基本方程與空間問(wèn)題相比有哪些不同之處？所謂軸對(duì)稱：是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對(duì)稱的，凡通過(guò)對(duì)稱軸的任何面都是對(duì)稱面。相對(duì)于非軸對(duì)稱，軸對(duì)稱問(wèn)題的求解過(guò)程更為簡(jiǎn)單，也有希望得到有實(shí)際意義的解。軸對(duì)稱問(wèn)題彈性力學(xué)的基本方程與空間問(wèn)題相比，軸對(duì)稱的方程更為簡(jiǎn)單。16.什么塑性？塑性力學(xué)研究的內(nèi)容與彈性力學(xué)有哪些不同？為什么在塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變間不再有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？塑性力學(xué)的特點(diǎn)和基本假設(shè)各是什么？塑性：是材料的一種變形性質(zhì)或變形的一個(gè)階段，材料進(jìn)入塑性的特征是當(dāng)荷載卸載后以后存在不可恢復(fù)的永久變形。塑性力學(xué)研究問(wèn)題可以分為兩個(gè)方面：一是根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察所得結(jié)果為出發(fā)點(diǎn)，建立塑性狀態(tài)下變形的基本規(guī)律既本構(gòu)關(guān)系，二是應(yīng)用這些理論和關(guān)系求解具體問(wèn)題，既求物體在荷載等外來(lái)因素作用下的應(yīng)力和變形的分布。塑性力學(xué)遠(yuǎn)比彈性力學(xué)來(lái)的復(fù)雜，首先塑性力學(xué)沒(méi)有統(tǒng)一的本構(gòu)方程，因?yàn)樗苄宰冃问且粋€(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程，它是隨不同的材料和外界條件而改變的啊，其次是方程是非線性的啊，變形是和加載的歷史有關(guān)，再此是求解問(wèn)題是，在物體中彈性區(qū)和塑性區(qū)往往是共存的，需要決定這兩個(gè)區(qū)域的交界面。塑性力學(xué)的特點(diǎn)：（1）應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系的多值性（2）本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性塑性力學(xué)的假設(shè)：（1）材料是均勻的啊，連續(xù)的。（2）各向均勻的應(yīng)力狀態(tài)，既靜水應(yīng)力狀態(tài)不影響塑性變形而產(chǎn)生彈性的體積變化。（3）在溫度不高，時(shí)間不長(zhǎng)時(shí)，可以忽略蠕變和松弛的效應(yīng)，在應(yīng)變率不大的情況下，可以忽略應(yīng)變率對(duì)塑性變形的影響。17.金屬材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線有哪些類型？巖石的應(yīng)力應(yīng)變曲線有哪些類型？這些應(yīng)力應(yīng)變曲線之間有哪些共同之處和哪些不同之處？根據(jù)這些應(yīng)力應(yīng)變曲線可以總結(jié)出哪些力學(xué)模型？金屬材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線有兩種類型，彈塑性和彈脆性。巖石的應(yīng)力應(yīng)變曲線有5種類型：?jiǎn)我粡椥?、彈塑性、塑彈性、塑彈塑性、彈粘性?8.什么是求和約定？求和約定有什么意義？用什么方法表示導(dǎo)數(shù)？如何根據(jù)求和約定來(lái)簡(jiǎn)化公式的書寫？求和約定;在同一項(xiàng)中，重復(fù)出現(xiàn)兩次的字母標(biāo)號(hào)為求和標(biāo)號(hào)，它表示將該標(biāo)號(hào)依次取為1,2,3,時(shí)所得各項(xiàng)取和。例如：QUOTE;求和約定的意義;因?yàn)榍蠛蜆?biāo)號(hào)不再是區(qū)分分量的標(biāo)號(hào)，而只是一種約定求和的標(biāo)志，所以不論選用哪一個(gè)字母都不會(huì)改變其含意，即求和標(biāo)號(hào)可以任意變換字母都不會(huì)改變其含意。例如：QUOTE導(dǎo)數(shù)表示方法：QUOTE,QUOTE,QUOTE并用?,i表示，這里的逗號(hào)表示逗號(hào)后的字母標(biāo)號(hào)所代表的變量求導(dǎo)。用求和約定簡(jiǎn)化公式的書寫;例如：QUOTE表示一線性代數(shù)方程組QUOTEQUOTE19.什么是張量？張量是如何定義的？什么是零階張量？一階張量？二階張量？張量：在數(shù)學(xué)上，如果某些量依賴于坐標(biāo)抽的選擇，并在坐標(biāo)變換時(shí)，其變換具有某種指定形式，則這些量的總稱為張量。零階張量：由定義可知絕對(duì)標(biāo)量（與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)）是零階張量。（標(biāo)量：指完全由一個(gè)正值或負(fù)值的數(shù)量所確定的物理量）一階張量：矢量是一階張量，（矢量是指由三個(gè)分量所確定的物理量或幾何量，它是和坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定的規(guī)律）二階張量：設(shè)在給定的坐標(biāo)系QUOTE內(nèi)有具有兩個(gè)標(biāo)注的九個(gè)分量QUOTE,當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，它們?cè)谛伦鴺?biāo)系QUOTE內(nèi)的九個(gè)分量變?yōu)镼UOTE,若這些量滿足變換關(guān)系式則由此九個(gè)量的集構(gòu)成二階張量。20.什么是Bauschinger效應(yīng)？對(duì)于強(qiáng)化材料，正向加載屈服極限提高后再反向加載，會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？由Bauschinger效應(yīng)可以獲得哪些結(jié)論？Bauschinger效應(yīng)：如果在完全卸載后施加相反方向的應(yīng)力，比如由拉改為壓，則曲線沿QUOTE的延長(zhǎng)線下降，即開始是成直線關(guān)系（彈性變形），但至一定程度（QUOTE點(diǎn)）又開始進(jìn)入屈服，并有反方向應(yīng)力的屈服極限降低的現(xiàn)象（QUOTE<QUOTE，這種現(xiàn)象稱為Bauschinger效應(yīng)。結(jié)論：即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形后，就帶各向異性。21.什么是Bridgman試驗(yàn)？由Bridgman試驗(yàn)可以獲得哪些結(jié)論？Bridgman試驗(yàn)：Bridgman試驗(yàn)結(jié)果指出，彈簧鋼在10000個(gè)大氣壓體積縮小約2.2%，而且這種體積變化是可以恢復(fù)的（在各向均勻壓縮的情況下），他又用各種鋼試件作出軸向拉伸時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線及軸向拉伸與靜水壓力同時(shí)作用下的應(yīng)力_應(yīng)變曲線。兩者加以比較，發(fā)現(xiàn)各向均壓對(duì)初始屈服的影響很小，可以忽略不計(jì)。結(jié)論:在靜水應(yīng)力狀態(tài)不影響塑性變形而只產(chǎn)生彈性的體積變化。22.什么是理想彈塑性？應(yīng)變硬化？應(yīng)變軟化？理想彈塑性、彈性-線形應(yīng)變硬化和彈性-應(yīng)變軟化模型各可以代表哪些不同類型的材料？理想彈塑性體：忽略硬化。應(yīng)變硬化：材料在屈服以后，必須繼續(xù)增大應(yīng)力才能使它產(chǎn)生新的塑性變形，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。應(yīng)變軟化：應(yīng)力降低，應(yīng)變?cè)黾拥默F(xiàn)象稱為應(yīng)變軟化。23.什么是應(yīng)力張量？應(yīng)力球張量？應(yīng)力偏張量？主應(yīng)力偏張量？把表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量分解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量，有什么意義？應(yīng)力張量：九個(gè)應(yīng)力分量的整體是一個(gè)二階張量，并寫成下面的形式QUOTE=QUOTE+QUOTE應(yīng)力球張量：它代表的應(yīng)力狀態(tài)為三個(gè)主應(yīng)力相等且等于QUOTE的應(yīng)力狀態(tài)，既表 示各個(gè)方向受相同的壓應(yīng)力或拉應(yīng)力,上式右邊第一個(gè)部分。應(yīng)力偏張量：反映一個(gè)實(shí)際的應(yīng)力狀態(tài)偏離均勻應(yīng)力狀態(tài)的程度，上式右邊第二部分。，則應(yīng)力偏張量可表示為：QUOTE意義：由于應(yīng)力球張量主要是和單元體的體積變化有關(guān)，至于應(yīng)力偏張量則主要是和單元體的形狀改變有關(guān)，既主要是和物體的塑性變形有關(guān)。24.什么是應(yīng)力張量的第一不變量？第二不變量？第三不變量？什么是應(yīng)力偏張量的第一不變量？第二不變量？第三不變量？QUOTE)則此三次方程的（QUOTE）系數(shù)應(yīng)與坐標(biāo)軸選擇無(wú)關(guān)，所以QUOTE，QUOTE，QUOTE是三個(gè)不變量，分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二，第三不變量。QUOTE=QUOTE如果取主軸為坐標(biāo)軸，上式可用主應(yīng)力表示為QUOTE)=（QUOTE這里QUOTE，QUOTE，QUOTE，就分別稱為應(yīng)力偏張量的第一，第二，第三不變量。25.什么是等傾面上的應(yīng)力？八面體剪應(yīng)力？應(yīng)力強(qiáng)度？等效應(yīng)力？設(shè)已知物體內(nèi)某點(diǎn)的主應(yīng)力及主方向，通過(guò)該點(diǎn)作一特殊平面，使此平面的外法線N與三個(gè)主方向成相等的夾角。取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，這時(shí)從物體內(nèi)取出的四面體，每個(gè)象限有一個(gè)，他們形成一個(gè)封閉的正八面體，這些面上的應(yīng)力就稱為八面體應(yīng)力，即八面體正應(yīng)力為QUOTE(QUOTE八面體剪應(yīng)力為QUOTE八面體剪應(yīng)力QUOTE為了使用方便將它乘以QUOTE，并稱之為應(yīng)力強(qiáng)度，用符號(hào)QUOTE來(lái)表示，即QUOTE=QUOTE在某種意義上來(lái)說(shuō)，就將原來(lái)的一個(gè)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作成一個(gè)具有相同“效應(yīng)”的單向應(yīng)力狀態(tài)，所以QUOTE又稱為有效應(yīng)力。26.什么是屈服準(zhǔn)則？為什么需要有屈服準(zhǔn)則？金屬材料常用的屈服準(zhǔn)則有哪幾個(gè)？Tresca準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則的主要差別是什么？巖土材料常用的屈服準(zhǔn)則有哪幾個(gè)？判斷材料是否處于彈性階段還是已進(jìn)入塑性階段的判斷式，即屈服條件（準(zhǔn)則）。金屬材料常用的屈服準(zhǔn)則：Tresca準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則Tresca準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則的主要差別是：Tresca準(zhǔn)則是指當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到材料所固有的某一值時(shí)，材料開始屈服。Mises準(zhǔn)則是指當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度達(dá)到一定數(shù)值是材料開始屈服。應(yīng)力空間內(nèi)，Tresca條件表示的屈服曲面是一個(gè)以L為軸線的正六棱柱體，其在π平面上的投影即屈服曲面為一個(gè)正六邊形，而Mises條件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱體的圓柱體，在π平面上的屈服曲線是一外接于前述的正六變形的圓。巖土材料常用的屈服準(zhǔn)則：Mohr-Coulomb條件，廣義Mises條件和廣義Tresca條件。27.什么是主應(yīng)力空間？什么是屈服面？金屬材料和巖土材料常用屈服準(zhǔn)則的屈服面各有什么樣的幾何形狀？Tresca準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則屈服面的形狀有哪些差別？Koulumb準(zhǔn)則和Druck-Prager準(zhǔn)則屈服面的形狀有哪些差別？主應(yīng)力空間：如果我們將QUOTE取為三個(gè)相互垂直的直角坐標(biāo)軸而構(gòu)成一空間直角坐標(biāo)系，則該空間中任一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值就相應(yīng)于物體中某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力的數(shù)值，也就是說(shuō)，該空間中的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于物體中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，我們把這個(gè)空間稱為應(yīng)力空間。屈服面：屈服函數(shù)在應(yīng)力空間中表示一個(gè)曲面。Tresca準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則屈服面的形狀主要差別是：應(yīng)力空間內(nèi)，Tresca條件表示的屈服曲面是一個(gè)以L為軸線的正六棱柱體，其在π平面上的投影即屈服曲面為一個(gè)正六邊形，而Mises條件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱體的圓柱體，在π平面上的屈服曲線是一外接于前述的正六變形的圓。28.在塑性狀態(tài)下區(qū)分加載與卸載有什么意義？如何區(qū)分加載與卸載？理想彈塑性材料和應(yīng)變硬化材料的加載與卸載有什么差別？什么是中性變載？（1）理想塑性材料(（QUOTE）=0）的加載和卸載準(zhǔn)則：在荷載改變的過(guò)程中，應(yīng)力點(diǎn)如保持在屈服面上，則QUOTE,此時(shí)塑性變形可以任意增長(zhǎng)，就稱為加載。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面移動(dòng)到屈服面內(nèi)，則d?<0,表示狀態(tài)從塑性退回到彈性，此時(shí)不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載。（2）硬化材料（QUOTE,K）=0）的加載和卸載準(zhǔn)則：如果應(yīng)力變化dQUOTE使應(yīng)力點(diǎn)從此時(shí)瞬時(shí)狀態(tài)所處的后繼屈服面向內(nèi)移，則變化的結(jié)果使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)退回到一個(gè)彈性狀態(tài)，即為卸載過(guò)程。如果應(yīng)力變化dQUOTE使應(yīng)力點(diǎn)沿后繼屈服面變化，實(shí)驗(yàn)證明此過(guò)程也不產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K也不變，dK=0，此過(guò)程稱為中性變載。如果應(yīng)力QUOTE和參數(shù)K都變化，使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)塑性狀態(tài)，應(yīng)力點(diǎn)從原來(lái)的后繼屈服面外移到相鄰的另一個(gè)后繼屈服面時(shí)即為加載。29.什么是后繼屈服面？等向（各向同性）硬化？運(yùn)動(dòng)（隨動(dòng)）硬化？混合硬化？根據(jù)Bauschinger效應(yīng)，應(yīng)該采用什么硬化模型？為什么等向（各向同性）硬化更為普遍？（1）后繼屈服面：在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由于會(huì)有各種應(yīng)力狀態(tài)的組合能達(dá)到初始屈服或后繼屈服，在應(yīng)力空間中這些點(diǎn)的集合而成的面就稱為后繼屈服面。（2）等向硬化：不考慮靜水應(yīng)力和Bauschinger效應(yīng)，該模型假定后繼屈服面在應(yīng)力空間中的形狀和中心位置O保持不變，但隨著塑性變形的增加，而逐漸等向的擴(kuò)大。（3）隨動(dòng)硬化：考慮Bauschinger效應(yīng)，假定材料在塑性變形的方向OP+上被硬化（即屈服值增大），而在其相反方向OP-上被同等地軟化了（即屈服值減少），這樣在加載過(guò)程中，隨著塑性變形的發(fā)展，屈服面的大小和形狀都不變，只是整體的在應(yīng)力空間中作平移。（4）混合硬化：把隨動(dòng)硬化模型和等向硬化模型結(jié)合起來(lái)，即認(rèn)為后繼屈服面的形狀，大小和位置一起隨塑性變形的發(fā)展而變化。（5）根據(jù)Bauschinger效應(yīng)，應(yīng)該采用隨動(dòng)硬化模型（6）由于等向硬化的模型在數(shù)學(xué)上處理比較容易，它是廣泛采用的硬化模型。30.什么是全量（形變）理論？為什么要發(fā)展全量理論？什么是簡(jiǎn)單加載？伊留辛彈塑性小變形理論有哪些假定？其本構(gòu)方程的形式如何?適用于哪些條件下？Nadai理論和Hencky理論有哪些假定？各適用于什么條件？（1）全量理論：在塑性狀態(tài)下仍是應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，建立在這個(gè)關(guān)系上的理論稱為全量理論。（2）簡(jiǎn)單加載;是指在加載過(guò)程中物體內(nèi)每一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量接比例增長(zhǎng)的。（3）伊留辛彈塑性小變形理論有哪些假定：（1）體積變化是彈性的，即應(yīng)變球張量和應(yīng)力球張量成正比。(2)應(yīng)變偏張量和應(yīng)力偏張量成比例QUOTE（3）應(yīng)力強(qiáng)度是應(yīng)變強(qiáng)度的確定函數(shù)QUOTE其本構(gòu)方程的形式：QUOTE;QUOTE,QUOTE；該式只是描述了加載過(guò)程中的彈塑性變形規(guī)律。（4）Nadai理論：考慮了有限變形和硬化，但總變形中仍不考慮彈性變形。Hencky理論：不計(jì)彈性變形，也不計(jì)硬化。31.什么是增量（流動(dòng)）理論？與全量理論有什么區(qū)別？為什么要發(fā)展增量理論？Lévy-Mises理論和Prandtl-Reuss理論各有什么假定，各適用于什么條件？增量理論：在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變?cè)隽浚ɑ驊?yīng)變率）和應(yīng)力及應(yīng)力增量（或應(yīng)力率）之間的關(guān)系，這類理論稱為增量理論。Lévy-Mises理論：應(yīng)變?cè)隽扛鞣至颗c相應(yīng)的應(yīng)力偏量各分量成比例即QUOTE(dQUOTE式中的系數(shù)dQUOTE決定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平。Prandtl-Reuss理論：將Lévy-Mises理論關(guān)系式推廣到應(yīng)用塑性平面應(yīng)變問(wèn)題，他考慮了塑性狀態(tài)的變形之中的彈性變形部分，并認(rèn)為彈性變形服從廣義的胡克定律。32.什么是塑性勢(shì)理論？塑性勢(shì)理論的基本假定是什么？假定塑性勢(shì)理論等于屈服函數(shù)，可以得到什么樣的結(jié)果？什么是正交法則?(1)如果我們引進(jìn)塑性勢(shì)函數(shù)g，由于塑性變形的特點(diǎn)，函數(shù)g不僅應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且和加載歷史有關(guān)，我們用一個(gè)硬化參數(shù)K表示加載歷史，則塑性勢(shì)函數(shù)可表示為g=g(QUOTE,K)(2)屈服函數(shù)f=塑性勢(shì)函數(shù)g(即屈服面和塑性勢(shì)面重合)則得：QUOTE這樣就把屈服條件和塑性本構(gòu)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)考慮，所得到流動(dòng)法則稱為聯(lián)合流動(dòng)法則。33.什么是極限荷載？對(duì)于三桿所組成的系統(tǒng)，如何計(jì)算其變形和極限荷載？變形與加載順序有無(wú)關(guān)系？極限荷載與加載順序有無(wú)關(guān)系？極限荷載：材料發(fā)屈服或破壞前所能承受的最大載荷。對(duì)于三桿系統(tǒng)，當(dāng)三桿所受的載荷均達(dá)到極限載荷時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到極限載荷。因此在計(jì)算其變形和極限荷載時(shí)，先對(duì)系統(tǒng)整體進(jìn)行受力平衡分析，求出桿與桿之間的應(yīng)力和變形之間的關(guān)系，在聯(lián)立變形協(xié)調(diào)方程，即可求解。變形與加載順序有關(guān)極限荷載與加載順序無(wú)關(guān)35.對(duì)于厚壁筒問(wèn)題和帶圓孔的無(wú)限大板，如何計(jì)算彈性和塑性狀態(tài)下的應(yīng)力以及極限荷載？彈性狀態(tài)下的應(yīng)力以及極限荷載：首先聯(lián)立軸對(duì)稱問(wèn)題下的應(yīng)力分量表達(dá)式和相應(yīng)的邊界條件，求出應(yīng)力分量的具體表達(dá)式。在與極限載荷比較即可。（詳見(jiàn)課本4-6節(jié)和4-8節(jié)）塑性狀態(tài)下的應(yīng)力以及極限荷載：36.巖土塑性力學(xué)有哪些特點(diǎn)？什么是擴(kuò)容？剪脹？非穩(wěn)定材料？彈塑性耦合？什么是壓硬性？等壓屈服性？什么是帽子模型？為什么要發(fā)展帽子模型？什么是相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則？非關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則？巖土塑性力學(xué)特點(diǎn)：（1）在傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，一般認(rèn)為體積變化是彈性的，而對(duì)巖土類介質(zhì)則明顯不符，試驗(yàn)表明不僅靜水壓力可以引起巖土塑性體積變化，而且偏應(yīng)力也可能引起塑性體積變化（稱為剪脹）（2）傳統(tǒng)塑性力學(xué)的屈服準(zhǔn)則是建立在剪切屈服的基礎(chǔ)上的，而巖土屈服準(zhǔn)則不僅考慮剪切屈服，還要考慮體積應(yīng)變屈服。（3）在轉(zhuǎn)統(tǒng)塑性力學(xué)中只考慮符合Drucker公設(shè)的所謂穩(wěn)定材料，不允許出現(xiàn)軟化階段，而巖土塑性力學(xué)不受穩(wěn)定材料的限制，也可考慮軟化階段的所謂不穩(wěn)定材料。（4）傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，主要考慮塑性勢(shì)函數(shù)和屈服函數(shù)相一致的所謂聯(lián)合流動(dòng)法則，這時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽亢颓鏁r(shí)正交的。而巖土塑性力學(xué)中往往還考慮塑性勢(shì)函數(shù)和屈服函數(shù)不一致的所謂非聯(lián)合流動(dòng)法則，這時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚝退苄詣?shì)面正交，而和屈服面不正交。（5）傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，材料的彈性系數(shù)和塑性應(yīng)變無(wú)關(guān)，彈，塑性不耦合，而巖土塑性力學(xué)中有時(shí)要考慮彈性系數(shù)隨塑性變形的發(fā)展而變化的彈，塑性耦合現(xiàn)象。中南大學(xué)第二章應(yīng)力理論和應(yīng)變理論2—3．試求圖示單元體斜截面上的σ30°和τ30°（應(yīng)力單位為MPa）并說(shuō)明使用材料力學(xué)求斜截面應(yīng)力為公式應(yīng)用于彈性力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算時(shí)，其符號(hào)及正負(fù)值應(yīng)作何修正。解：在右圖示單元體上建立xoy坐標(biāo)，則知σx=-10σy=-4τxy=-2（以上應(yīng)力符號(hào)均按材力的規(guī)定）代入材力有關(guān)公式得：代入彈性力學(xué)的有關(guān)公式得：己知σx=-10σy=-4τxy=+2由以上計(jì)算知，材力與彈力在計(jì)算某一斜截面上的應(yīng)力時(shí)，所使用的公式是不同的，所得結(jié)果剪應(yīng)力的正負(fù)值不同，但都反映了同一客觀實(shí)事。2—6.懸掛的等直桿在自重W作用下（如圖所示）。材料比重為γ彈性模量為E，橫截面面積為A。試求離固定端z處一點(diǎn)C的應(yīng)變?chǔ)舲與桿的總伸長(zhǎng)量Δl。解：據(jù)題意選點(diǎn)如圖所示坐標(biāo)系xoz，在距下端（原點(diǎn)）為z處的c點(diǎn)取一截面考慮下半段桿的平衡得：c截面的內(nèi)力：Nz=γ·A·z；c截面上的應(yīng)力：；所以離下端為z處的任意一點(diǎn)c的線應(yīng)變?chǔ)舲為：；則距下端（原點(diǎn)）為z的一段桿件在自重作用下，其伸長(zhǎng)量為：；顯然該桿件的總的伸長(zhǎng)量為（也即下端面的位移）：；（W=γAl）2—9.己知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為：σij=應(yīng)力單位為kg／cm2。試確定外法線為ni｛，，｝（也即三個(gè)方向余弦都相等）的微分斜截面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力σn及剪應(yīng)力τn。解：首先求出該斜截面上全應(yīng)力在x、y、z三個(gè)方向的三個(gè)分量：n＇=nx=ny=nzPx=n＇=Py=n＇=Pz=n＇=所以知，該斜截面上的全應(yīng)力及正應(yīng)力σn、剪應(yīng)力τn均為零，也即：Pn=σn=τn=02—15.如圖所示三角形截面水壩材料的比重為γ，水的比重為γ1。己求得應(yīng)力解為：σx=ax+by，σy=cx+dy-γy，τxy=-dx-ay；試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù)a、b、c、d。解：首先列出OA、OB兩邊的應(yīng)力邊界條件：OA邊：l1=-1；l2=0；Tx=γ1y；Ty=0則σx=-γ1y；τxy=0代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay并注意此時(shí)：x=0得：b=-γ1；a=0；OB邊：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0則：………………（a）將己知條件：σx=-γ1y；τxy=-dx；σy=cx+dy-γy代入（a）式得：化簡(jiǎn)（b）式得：d=γ1ctg2β；化簡(jiǎn)（c）式得：c=γctgβ-2γ1ctg3β2—17.己知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為試求該點(diǎn)的最大主應(yīng)力及其主方向。解：由題意知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，且知：σx=12×103σy=10×103τxy=6×103，且該點(diǎn)的主應(yīng)力可由下式求得：則顯然：σ1與x軸正向的夾角為：（按材力公式計(jì)算）顯然2θ為第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376°則：θ=+40.268840°16＇或（-139°44＇）2—19.己知應(yīng)力分量為：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，試計(jì)算出主應(yīng)力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。解：由2—11題計(jì)算結(jié)果知該題的三個(gè)主應(yīng)力分別為：；；；設(shè)σ2與三個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z的方向余弦為：l21、l22、l23，于是將方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向來(lái)。以及：由（1）（2）得：l23=0由（3）得：；；將以上結(jié)果代入（4）式分別得：；；同理于是主應(yīng)力σ2的一組方向余弦為：（，，0）；σ3的一組方向余弦為（，，）；2—20.證明下列等式：（1）：J2=I2+；（3）：；證明（1）：等式的右端為：故左端=右端證明（3）：右端=2—28：設(shè)一物體的各點(diǎn)發(fā)生如下的位移。式中a0、a1………c1、c2均為常數(shù)，試證各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)。證明：將己知位移分量函數(shù)式分別代入幾何方程得：；；；；；；2—29：設(shè)己知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。（1）：在（0，2）點(diǎn)處；（2）：在（1，3，4）點(diǎn)處解（1）：在（0，2）點(diǎn)處，該點(diǎn)的應(yīng)變分量為:；；寫成張量形式則為：；解（2）：將己知位移分量函數(shù)式代入幾何方程求出應(yīng)變分量函數(shù)式，然后將己知點(diǎn)坐標(biāo)（1，3，4）代入應(yīng)變分量函數(shù)式。求出設(shè)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。；；；用張量形式表示則為：2—32：試說(shuō)明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能（式中a、b、c均為常數(shù)）(1):(2):(3):解（1）：由應(yīng)變張量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐標(biāo)的函數(shù)，所以這是一個(gè)平面應(yīng)變問(wèn)題。將εx、εy、εxy代入二維情況下，應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件知：也即：2c+0=2c所以說(shuō)，該應(yīng)變狀態(tài)是可能的。解（2）：將己知各應(yīng)變分量代入空間問(wèn)題所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)方程得：………………（1）得：不滿足，因此該應(yīng)變狀態(tài)是不可能的。解（3）：將己知應(yīng)變分量代入上（1）式得：不滿足，因此該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不可能的。第三章：彈性變形及其本構(gòu)方程3-5．試依據(jù)物體三向受拉，體積不會(huì)縮小的體積應(yīng)變規(guī)律，來(lái)證明泊松比V的上下限為0＜V＜；證明：當(dāng)材料處于各向等值的均勻拉伸應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)，其應(yīng)力分量為：σ11=σ22=σ33=pσ12=σ23=σ31=0如果我們定義材料的體積彈性模量為k，則顯然：k=，e為體積應(yīng)變。將上述應(yīng)力分量的值代入廣義胡克定律：得：三式相加得：將p=ke代入上式得：……（1）由彈性應(yīng)變能u0的正定性（也就是說(shuō)在任何非零的應(yīng)力值作用下，材料變形時(shí)，其彈性應(yīng)變能總是正的。）知k＞0，E＞0，G＞0。因：我們知道體積變形e與形狀變化部分，這兩部分可看成是相互獨(dú)立的，因此由uo的正定性可推知：k＞0，G＞0。而又知：所以：E＞0。我們將（1）式變化為：……（2）由（2）式及k＞0，G＞0，E＞0知：1+V≥0，1-2V≥0。解得：-1≤V≤。但是由于到目前為止，還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有V＜0的材料，而只發(fā)現(xiàn)有V值接近于其極限值的材料（例如：橡膠、石臘）和V值幾乎等于零的材料（例如：軟木）。因此，一般認(rèn)為泊松比V的上、下限值為和0，所以得：0＜V＜或：0≤V≤；3-10．直徑為D=40mm的鋁圓柱體，緊密地放入厚度為2mm的鋼套中，圓柱受軸向壓力P=40KN。若鋁的彈性常數(shù)據(jù)E1=70G.V1=0.35,鋼的彈性常數(shù)E=210G解：設(shè)鋁塊受壓而則周向應(yīng)變∵q=2.8MN/m2鋼套；；；；4-14.試證明在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力不產(chǎn)生體積應(yīng)變，并由純剪狀態(tài)說(shuō)明v=0。證明：在外力作用下，物體將產(chǎn)生變形，也即將產(chǎn)生體積的改變和形狀的改變。前者稱為體變，后者稱為形變。并且可將一點(diǎn)的應(yīng)力張量σij和應(yīng)變張量εij分解為，球應(yīng)力張量、球應(yīng)變張量和偏應(yīng)力張量、偏應(yīng)變張量。而球應(yīng)變張量只產(chǎn)生體變，偏應(yīng)變張量只引起形變。通過(guò)推導(dǎo)，我們?cè)谛∽冃蔚那疤嵯?，?duì)于各向同性的線彈體建立了用球應(yīng)力、球應(yīng)變分量和偏應(yīng)力分量，偏應(yīng)變分量表示的廣義胡克定律：式中：e為體積應(yīng)變由（1）式可知，物體的體積應(yīng)變是由平均正力σm確定，由eij中的三個(gè)正應(yīng)力之和為令，以及（2）式知，應(yīng)變偏量只引起形變，而與體變無(wú)關(guān)。這說(shuō)明物體產(chǎn)生體變時(shí)，只能是平均正應(yīng)力σm作用的結(jié)果，而與偏應(yīng)力張量無(wú)關(guān)進(jìn)一步說(shuō)就是與剪應(yīng)力無(wú)關(guān)。物體的體積變形只能是并且完全是由球應(yīng)力張量引起的。由單位體積的應(yīng)變比能公式：；也可說(shuō)明物體的體變只能是由球應(yīng)力分量引起的。當(dāng)某一單元體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：其彈性應(yīng)變比能為：由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。由于到目前為止還沒(méi)有v<0的材料，所以，v必須大于零。即得：v>0。3-16．給定單向拉伸曲線如圖所示，εs、E、E′均為已知，當(dāng)知道B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)棣艜r(shí)，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。解：由該材料的σ—ε曲線圖可知，該種材料為線性強(qiáng)化彈塑性材料。由于B點(diǎn)的應(yīng)變已進(jìn)入彈塑性階段，故該點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)為：εB=ε=εe+εp故：εp=ε-εe；3-19．已知藻壁圓筒承受拉應(yīng)力及扭矩的作用，若使用Mises條件，試求屈服時(shí)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎?。解：由于是藻壁圓筒，所可認(rèn)圓筒上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：（采用柱坐標(biāo)表示），，；，；；于是據(jù)miess屈服條件知，當(dāng)該藻壁圓筒在軸向拉力（固定不變）ρ及扭矩M（遂漸增大，直到材料產(chǎn)生屈服）的作用下，產(chǎn)生屈服時(shí)，有：解出τ得：；τ就是當(dāng)圓筒屈服時(shí)其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量σm為：應(yīng)力偏量為：；；；；；由增量理論知：于是得：；；；；；所以此時(shí)的塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎禐椋海海海海海海海海?：0：也即：：：：：：（-1）：（-1）：2：0：0：6；3-20．一藻壁圓筒平均半徑為r，壁厚為t，承受內(nèi)壓力p作用，且材料是不可壓縮的，；討論下列三種情況：（1）：管的兩端是自由的；（2）：管的兩端是固定的；（3）：管的兩端是封閉的；分別用mises和Tresca兩種屈服條件討論p多大時(shí)，管子開始屈服，如已知單向拉伸試驗(yàn)σr值。解：由于是藻壁圓筒，若采用柱坐標(biāo)時(shí)，σr≈0，據(jù)題意首先分析三種情況下，圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：（1）：；（2）：；；；（3）：；；；顯然知，若采用Tresca條件討論時(shí)，（1）、（2）、（3）三種情況所得結(jié)果相同，也即：；解出得：；若采用mises屈服條件討論時(shí)，則（2）（3）兩種情況所得結(jié)論一樣。于是得：（1）：解出得：；（2）、（3）：解出得：；3-22．給出以下問(wèn)題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：（1）：受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設(shè)內(nèi)壓q，平均半徑為r，壁厚為t，材料為理想彈塑性。（2）：受拉力p和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積b×h，材料為理想彈塑性。解（1）：由于是藻壁圓管且<<1。所以可以認(rèn)為管壁上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，即σr=0,且應(yīng)力均勻分布。那么任意一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為：；；；若采用Tresca屈服條件，則有：；故得：；或：；若采用mises屈服條件，則有：；故得：；或：；解（2）：該桿內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，（受力如圖示）且知，當(dāng)桿件產(chǎn)生屈服時(shí)，首先在桿件頂面各點(diǎn)屈服，故知得：；若采用Tresca屈服條件，則有：；故得：；或：；若采用mises屈服條件，則有：故得：；或：；一般以σs為準(zhǔn)（拉伸討驗(yàn)）平面問(wèn)題直角坐標(biāo)解答5-2：給出；（1）：撿查是否可作為應(yīng)力函數(shù)。（2）：如以為應(yīng)力函數(shù)，求出應(yīng)力分量的表達(dá)式。（3）：指出在圖示矩形板邊界上對(duì)應(yīng)著什么樣的邊界力。（坐標(biāo)如圖所示）解：將代入式得：滿足。故知可作為應(yīng)力函數(shù)。求出相應(yīng)的應(yīng)力分量為：；；；上述應(yīng)力分量；在圖示矩形板的邊界上對(duì)應(yīng)著如圖所示邊界面力，該板處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。5-4：試分析下列應(yīng)力函數(shù)對(duì)一端固定的直桿可解出什么樣的平面問(wèn)題。；解：首先將函數(shù)式代入式知，滿足。故該函數(shù)可做為應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量為：；；；顯然上述應(yīng)力分量在ad邊界及bc邊界上對(duì)應(yīng)的面力分量均為零，而在ad邊界上則切向面力分量呈對(duì)稱于原點(diǎn)o的拋物線型分布，指向都朝下，法向面力為均布分布的載荷q。顯然法向均布載荷q在該面上可合成為一軸向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在該面上則可合成為一切向集中力：而cd邊界則為位移邊界條件要求，u=0，v=0，w=0以及轉(zhuǎn)角條件。由以上分析可知，該應(yīng)力函數(shù)對(duì)于一端固定的直桿（坐標(biāo)系如圖示），可解決在自由端受軸向拉伸（拉力為p=2cq）和橫向集中力F作用下的彎曲問(wèn)題。（如圖示）5-6：已求得三角形壩體的應(yīng)力為：其中γ為壩體的材料容重，γ1為水的容重，試據(jù)邊界條件求出常數(shù)a、b、c、d的值。解：據(jù)圖示列出水壩OA邊界和OB邊界面上的應(yīng)力邊界條件：OB邊：x=0,l=cos(180°)=-1，m=0,Tx=γy,Ty=0故得：OA邊：x=ytgβ，l=cosβ,m=cos(90°+β)=-sinβ,Tx=Ty=0故有：將代入（a）式得：；將：代入（b）式得：得a=0；將、代入（c）式得：；將、代入（d）式得：；5-7：很長(zhǎng)的直角六面體，在均勻壓力q的作用下，放置在絕對(duì)剛性和光滑和基礎(chǔ)上，不計(jì)體力。試確定其應(yīng)力分量和位移分量。解：由題意知，該問(wèn)題為一平面應(yīng)變問(wèn)題。由于不計(jì)體力所以平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的變形協(xié)調(diào)方程是一樣的，故可取一單位長(zhǎng)度的直角六面體來(lái)研究其應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)求知應(yīng)力分量函數(shù)后，再由平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系求得應(yīng)變分量，進(jìn)一步積分再利用有關(guān)位移邊界條件確定積分常數(shù)后求得位移分量。這里我們采用逆解法，首先據(jù)題目設(shè)應(yīng)力函數(shù)顯然式滿足雙調(diào)和方程式。相應(yīng)應(yīng)力分量為：，，顯然直角六面體左右兩面的應(yīng)力邊界條件自動(dòng)滿足。對(duì)于項(xiàng)邊：y=h,l=1,m=0,Tx=-q,Ty=0則可定出：；對(duì)于底邊：y=0,l=-1,m=0,Tx=q,Ty=0同樣定出：；因此滿足該問(wèn)題所有應(yīng)力邊界條件的解為：，，應(yīng)這分量為：，，積分得：利用位移邊界條件確定積分常數(shù)：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，u=0則：A=0當(dāng)x=0,y=0時(shí)，v=0則：B=0當(dāng)x=0時(shí)，u=0則：f(y)=0當(dāng)y=0時(shí)，v=0則：f1(x)=0因此知該問(wèn)題的位移分量為：；；5-10:設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用。而梁的比重為p，試用純?nèi)问剑旱膽?yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量?解:顯然式滿足式,可做為應(yīng)力函數(shù),相應(yīng)的應(yīng)力分量為:……（a）邊界條件：ox邊：y=0,l=0,m=-1,Fx=Fy=0則：2bx=0得：b=0-6ax=0得：a=0oa邊：則：由（c）式得：；代入(b)式得：；所以（a）式變?yōu)椋旱诹缕矫鎲?wèn)題的極坐標(biāo)解6-3:在極坐標(biāo)中取式中A與C都是常數(shù)。（i）：檢查是否可作應(yīng)力函數(shù)？（ii）：寫出應(yīng)力分量表達(dá)式？（iii）：在r=a和r=b的邊界上對(duì)應(yīng)著怎樣的邊界條件？解：首先將式代入式，其中：故：故：式可作為應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)力分量為：對(duì)于右圖所示圓環(huán)，上述應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)著如下邊界條件：當(dāng)r=a時(shí)（內(nèi)環(huán)）：（l=-1,m=0.）當(dāng)r=b時(shí)（外環(huán)）：（l=1，m=0.）6-5：試確定應(yīng)力函數(shù)中的常數(shù)c值。：（1）在并證明楔頂不有集中力與力偶作用。解：首先將式代入式，知其滿足,故可做為應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為：邊界條件：當(dāng)時(shí)，則：故得：由（e）式可知，該應(yīng)力函數(shù)在r=0處并不適用，所以（f）式也不反映o點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。如果我們以a為半徑截取一部分物體為研究對(duì)象（見(jiàn)右圖示），并假設(shè)在o點(diǎn)處存在集中力Rx、Ry、及集中力偶Mo,那么這部分物體在Rx、Ry、Mo、以及s、和這一力系的作用下應(yīng)保持平衡狀態(tài)。但事實(shí)上，由于s及力的作用線都通過(guò)o點(diǎn)，及、s的分布又都對(duì)稱為x軸，所以當(dāng)考慮兩平衡條件時(shí)，要求否則該物體將不平衡。如果存在Rx，則由楔形尖項(xiàng)處承受集中載荷的應(yīng)力的討論知（8-25）式，在楔形體內(nèi)就一定存在有隨r和而變化的應(yīng)力分量。然而我們?cè)谏鲜鲇懻撝兴媒Y(jié)果（f）中第一式中，并不存在隨r而變化的這部分應(yīng)力，所以要求。因此知，在楔頂（就題8-5圖所示問(wèn)題）不存在集中力與集中力偶的作用。（=0）和大小等于的負(fù)的切向面力分量.（θ以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。如果將?nèi)圓環(huán)上的切向面力分量對(duì)中心點(diǎn)0取矩，則得：故：；于是上式得：①則當(dāng)r=a時(shí)，對(duì)于內(nèi)環(huán)邊界對(duì)應(yīng)著面力分量：；；當(dāng)r=b時(shí)，對(duì)于外環(huán)邊界對(duì)應(yīng)著面力分量：；；②如果：r=a（內(nèi)環(huán)），r=b→∞.則為一無(wú)限大平板上挖有一半徑為a的圓孔。在孔壁上作用有切向面力分量：；③如果：r=a→0，r=b→∞，則為一無(wú)限大平板，在o點(diǎn)作用有一集中力偶M。第七章柱體的扭轉(zhuǎn)7-1：試用半逆解法求圓截面柱體的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解。解：圓截面柱體，設(shè)其半徑為a，則圓截面的邊界的方程為：設(shè)柱端作用有扭矩。采用半逆解法。據(jù)材料力學(xué)的有關(guān)理論知，該問(wèn)題的應(yīng)力解為：所以由邊界方程、上述應(yīng)力分解以及設(shè)滿足上(a)、(b)式中的B為待定常數(shù)。將(a)(b)分別代入應(yīng)滿足的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程得：得：故將(d)式代入式得：因：由(e)式求得應(yīng)力分量如下： 位移分量為：或：由式:。積分得：只能等于一常數(shù)，而就是圓柱體在方向的剛性位移，略去剛性位移，則。7-10：求邊長(zhǎng)為2a解：做出邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形的三棱錐體如右圖。顯然：設(shè):od=h,則:令:，則:故:;上式中為純剪屈服應(yīng)力。彈性力學(xué)-學(xué)習(xí)指南一、單選題：（每題2分，共40分）1.下列對(duì)象不屬于彈性力學(xué)研究對(duì)象的是（）A桿件B板殼C塊體D質(zhì)點(diǎn)2.所謂“完全彈性體”是指（）。A.材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律B.材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間歷史無(wú)關(guān)C.物理關(guān)系為非線性彈性關(guān)系D.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系3.下列哪種材料可視為各向同性材料（）A木材B竹材C混凝土D夾層板4.按彈性力學(xué)規(guī)定，圖示單元體上的剪應(yīng)力（）A均為正Bτ1、τ4為正，τ2、τ3為負(fù)C均為負(fù)Dτ1、τ3為正，τ2、τ4為負(fù)5．在平面應(yīng)變問(wèn)題中，如何計(jì)算？（）A不需要計(jì)算B由直接求C由求D6．在平面應(yīng)變問(wèn)題中（取縱向作z軸）ABCD7．圖示結(jié)構(gòu)腹板和翼緣厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于截面的高度和寬度，產(chǎn)生的效應(yīng)具有局部性的力和力矩是（P2=M/h）（）AP1一對(duì)力BP2一對(duì)力CP3一對(duì)力DP4一對(duì)力構(gòu)成的力系和P2一對(duì)力與M組成的力系8.在常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程等價(jià)于（）

A平衡微分方程

B幾何方程C

物理關(guān)系

D平衡微分方程、幾何方程和物理關(guān)系9．對(duì)圖示兩種截面相同的拉桿，應(yīng)力分布有差別的部分是（）AⅠBⅡCⅢDⅠ和Ⅲ10.圖示承受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁，材料力學(xué)解答:（）

A

滿足平衡微分方程

B滿足應(yīng)力邊界條件

C滿足相容方程

D不是彈性力學(xué)精確解

11．平面應(yīng)力問(wèn)題的外力特征是（）A只作用在板邊且平行于板中面B垂直作用在板面C平行中面作用在板邊和板面上D作用在板面且平行于板中面12．設(shè)有平面應(yīng)力狀態(tài)，其中a，b，c，d均為常數(shù)，為容重。該應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（）ABCD13.圓環(huán)僅受均布外壓力作用時(shí)（）A為壓應(yīng)力，為壓應(yīng)力

B為壓應(yīng)力，為拉應(yīng)力

C為拉應(yīng)力，為壓應(yīng)力

D為拉應(yīng)力，為拉應(yīng)力

14．某一平面應(yīng)力狀態(tài)，已知，則與xy面垂直的任意斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為（）15.彈性力學(xué)與材料力學(xué)的主要不同之處在于（）。A.任務(wù)B.研究對(duì)象C.研究方法D.基本假設(shè)16．下列問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題的是（）A墻梁B高壓管道C樓板D高速旋轉(zhuǎn)的薄圓盤17.圖示開孔薄板的厚度為t，寬度為h，孔的半徑為r，則b點(diǎn)的（

）A

q

B

qh/(h-2r)

C

2q

D

3q18.用應(yīng)變分量表示的相容方程等價(jià)于（）

A平衡微分方程

B幾何方程

C物理方程

D幾何方程和物理方程19.如果必須在彈性體上挖空，那么孔的形狀應(yīng)盡可能采用（

）

A

正方形

B

菱形

C

圓形

D

橢圓形20.圖示物體不為單連域的是（

）二、填空題：（每題3分，共60分）1.彈性力學(xué)是研究物體在外力作用下，處于彈性階段的、和。2.物體的均勻性假定是指物體的相同。3．平面應(yīng)力問(wèn)題有3個(gè)獨(dú)立的未知函數(shù)，分別是。4．平面應(yīng)變問(wèn)題的幾何形狀特征是。5．已知一平面應(yīng)變問(wèn)題內(nèi)某一點(diǎn)的正應(yīng)力分量為，，則。6．對(duì)于多連體變形連續(xù)的充分和必要條件是和。7．已知某物體處在平面應(yīng)力狀態(tài)下，其表面上某點(diǎn)作用著面力為，該點(diǎn)附近的物體內(nèi)部有，。8．將平面應(yīng)力問(wèn)題下的物理方程中的分別換成和就可得到平面應(yīng)變問(wèn)題下相應(yīng)的物理方程。9.校核應(yīng)力邊界條件時(shí)，應(yīng)首先校核，其次校核條件。10.孔邊應(yīng)力集中的程度與孔的形狀

，與孔的大小

。11．在常體力情況下，不論應(yīng)力函數(shù)是什么形式的函數(shù)，由確定的應(yīng)力分量恒能滿足

。12．對(duì)于兩類平面問(wèn)題，從物體內(nèi)取出的單元體的受力情況差別，所建立的平衡微分方程差別。13.對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題：，；對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：，。14．設(shè)有周邊為任意形狀的薄板，其表面自由并與oxy坐標(biāo)面平行。若已知各點(diǎn)的位移分量為，則板內(nèi)的應(yīng)力分量為。15.圣維南原理是把物體小邊界上的面力，變換為不同但的面力。16．在

情況下，平面問(wèn)題最后歸結(jié)為在滿足邊界條件的前提下求解四階偏微分方程。

17.平面曲梁純彎時(shí)

橫向的擠壓應(yīng)力，平面直梁純彎是

橫向的擠壓應(yīng)力。18．對(duì)于多連體，彈性力學(xué)基本方程的定解條件除了邊界條件外，還有。19．彈性力學(xué)分析結(jié)果表明，材料力學(xué)中的平截面假定，對(duì)承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁來(lái)說(shuō)是

。20.求薄板內(nèi)力有兩個(gè)目的：（1）薄板是按設(shè)計(jì)的；（2）在板邊上，要用的邊界條件代替的邊界條件。三、判斷改錯(cuò)題：（每小題3分，共39分）1．應(yīng)變狀態(tài)是不可能存在的。2．在y=a(常數(shù))的直線上，如u=0，則沿該直線必有

。3．圖示圓截面截頭錐體，問(wèn)題屬于平面應(yīng)變問(wèn)題。4.三次或三次以下的多項(xiàng)式總能滿足相容方程。

5.曲梁純彎曲時(shí)應(yīng)力是軸對(duì)稱的，位移并非軸對(duì)稱的。6.位移軸對(duì)稱時(shí)，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量一定也是軸對(duì)稱的；反之，應(yīng)力軸對(duì)稱時(shí)，其對(duì)應(yīng)的位移分量一定也是軸對(duì)稱的。7.體力作用在物體內(nèi)部的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，所以它屬于內(nèi)力。8．在體力是常數(shù)的情況下，應(yīng)力解答將與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。9.軸對(duì)稱圓板（單連域），若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓心，則應(yīng)力公式中的系數(shù)Ａ，B不一定為零。

10．圖示兩塊相同的薄板（厚度為1），在等效的面力作用下，大部分區(qū)域應(yīng)力分布是相同的。11.某一應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。12.應(yīng)力函數(shù)，不論a,b,c,d取何值總能滿足相容方程。13.對(duì)圖示偏心受拉薄板來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)和材料力學(xué)得到的應(yīng)力解答是相同的。

四、計(jì)算題：（每題分?jǐn)?shù)見(jiàn)題后，共161分）1.某一平面問(wèn)題的應(yīng)力表達(dá)式如下，試求A，B，C的值（體力不計(jì)）（5分）2.試考察，能解決圖示彈性體的何種受力問(wèn)題。（10分）3.（a）平面問(wèn)題中的應(yīng)力分量應(yīng)滿足哪些條件？（b）檢查下面的應(yīng)力在體力為零時(shí)是否是可能的解答.

бx=4x2,бy=4y2,τxy=-8xy

（c）在平面應(yīng)變狀態(tài)下，已知一組應(yīng)變分量為為非零的微小常數(shù)，試問(wèn)由此求得的位移分量是否存在？（15分）4．在無(wú)體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：（15分）5．列出圖示問(wèn)題的邊界條件。（16分）6.列出下圖所示問(wèn)題的全部邊界條件(，單位厚度)。在其中的小邊界上，采用圣維南原理改用積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替。（20分）7.矩形截面的柱體受到頂部的集中力和力矩M的作用，不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量。（20分）8.