證據(jù)理論方法詳解

PAGE1PAGE55第五章證據(jù)理論（EvidenceTheory）方法在本章§1，我們將討論一種被稱之為登普斯特-謝弗（Dempster-Shafer）或謝弗-登普斯特（Shafer-Dempster）理論（簡(jiǎn)稱D-S理論或證據(jù)理論）的不精確推理方法。這一理論最初是以登普斯特（Dempster，1967年）的工作為基礎(chǔ)的，登普斯特試圖用一個(gè)概率區(qū)間而不是單一概率數(shù)值去建模不確定性.1976年，謝弗（Shafer，1976年）在《證據(jù)的數(shù)學(xué)理論》一書中擴(kuò)展和改進(jìn)了登普斯特工作.D-S理論具有好的理論基礎(chǔ)。確定性因子能被證明是D-S理論的一種特殊情形。在§2我們將描述一種簡(jiǎn)化的證據(jù)理論模型MET1.在§3我們將給出支持有序命題類問(wèn)題的具有凸函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)化證據(jù)理論模型。圍繞證據(jù)理論的一些新的研究工作，將在第六章介紹?！?D-S理論（Dempster-ShaferTheory）●辨別框架（FramesofDiscernment）D-S理論假定有一個(gè)用大寫希臘字母表示的環(huán)境（environment），該環(huán)境是一個(gè)具有互斥和可窮舉元素的集合：={1,2,,n}

術(shù)語(yǔ)環(huán)境在集合論中又被稱之為論域（theuniverseofdiscourse）。一些論域的例子可以是：={airliner,bomber,fighter}={red,green,blue,orange,yellow}={barn,grass,person,cow,car}注意，上述集合中的元素都是互斥的。為了簡(jiǎn)化我們的討論，假定是一個(gè)有限集合。其元素是諸如時(shí)間、距離、速度等連續(xù)變量的D-S環(huán)境上的研究工作已經(jīng)被做。理解的一種方式是先提出問(wèn)題，然后進(jìn)行回答。假定={airliner,bomber,fighter}

提問(wèn)1：“這軍用飛機(jī)是什么？”；答案1：是的子集{2,3}={bomber,fighter}

提問(wèn)2：“這民用飛機(jī)是什么？”；答案2：是的子集{1}={airliner}，{1}是單元素集合。因?yàn)樵厥腔コ獾?，環(huán)境是可窮舉的，對(duì)于一個(gè)提問(wèn)只能有一個(gè)正確的答案子集。環(huán)境的所有子集是對(duì)應(yīng)論域的所有可能的有效答案。飛機(jī)環(huán)境的所有可能的子集由圖5.1.1示出。注意，圖5.1.1是一個(gè)格，子集節(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)父親節(jié)點(diǎn)，這個(gè)格（Lattice）是一個(gè)分層結(jié)構(gòu)。從到的任一路徑都表達(dá)了連接父節(jié)點(diǎn)到兒子節(jié)點(diǎn)的子集分層關(guān)系，例如，.當(dāng)一個(gè)環(huán)境的元素可以被解釋成可能的答案，并且僅有一個(gè)答案是正確的，那么該環(huán)境被稱之為一個(gè)鑒別框架。鑒別這個(gè)術(shù)語(yǔ)意味著，對(duì)于一個(gè)提問(wèn)，從與該提問(wèn)相關(guān)的所有可能的答案中能區(qū)分出一個(gè)正確的答案。能區(qū)分出一個(gè)正確的答案需要鑒別框架是可窮舉的，其子集是不相交的。一個(gè)大小為N的集合包括自身恰有2N個(gè)子集，這些子集定義了冪集，記為,對(duì)于飛機(jī)框架有=和對(duì)應(yīng)于環(huán)境的所有可能提問(wèn)的正確答案之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?！馦ASS函數(shù)和無(wú)知在貝葉斯理論中，后驗(yàn)概率隨著證據(jù)而改變是所需要的。同樣地，在D-S理論中，關(guān)于證據(jù)的信任圖圖5.1飛機(jī)環(huán)境的所有子集，其中A,B,C分別代表airliner,bomber和fighter{A}{B}{F}={A,B,F}{A,F}{A,B}{B,F}也可以改變。在D-S理論中，習(xí)慣上把證據(jù)的信任度類似于物理對(duì)象的質(zhì)量去考慮，即證據(jù)的質(zhì)量（Mass）支持了一個(gè)信任。關(guān)于質(zhì)量這一術(shù)語(yǔ)也被稱為基本概率賦值（BPA,theBasicprobabilityassignment）或簡(jiǎn)稱為基本賦值（Basicassignment）。為了避免與概率論相混淆，我們將不使用這些術(shù)語(yǔ)，而是簡(jiǎn)單的使用質(zhì)量（Mass）一詞。D-S理論和概率論的基本區(qū)別是關(guān)于無(wú)知的處理。即使在無(wú)知的情況下，概率論也必須分布一個(gè)等量的概率值。假如你沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)，那么你必須假定每一種可能性的概率值都是P其中，N是可能性的總數(shù)。事實(shí)上，這賦值為P是在無(wú)可奈何的情況下作出的。但是，概率論也有一種冠冕堂皇的說(shuō)法，即所謂的中立原理（theprincipleofindifference）。當(dāng)僅僅有兩種可能性存在的時(shí)候，比方說(shuō)“有石油”和“沒(méi)有石油”，分別用H和H表示，那么出現(xiàn)應(yīng)用中立原理的極端情況。在與此相類似的情況中，即使在沒(méi)有一點(diǎn)知識(shí)的條件下，那么也必須是P=50%，因?yàn)楦怕收撘驪(H)+P(H)=1，就是說(shuō)，要么贊成H，要么反對(duì)H，對(duì)H無(wú)知是不被允許的。在沒(méi)有關(guān)于H的任何證據(jù)的情況下，即使不用中立原理，那么約束P(H)+P(H)=1也要求必須對(duì)H進(jìn)行概率賦值。D-S理論不要求必須對(duì)無(wú)知假設(shè)H和反駁假設(shè)H賦以信任值，而是僅僅將Mass分配給你希望對(duì)其分配信任的環(huán)境的子集。任一未被分配給具體子集的‘信任’被看成‘未表達(dá)意見(jiàn)’，并將其分配給環(huán)境.反駁一個(gè)假設(shè)的‘信任’，實(shí)際上，是對(duì)該假設(shè)的‘不信任’，但不是對(duì)該假設(shè)‘未表達(dá)意見(jiàn)’。例1.1假定一個(gè)敵友飛機(jī)識(shí)別（IFF,IdentificationFriendorFoe）傳感器（敵友飛機(jī)識(shí)別（IFF,IdentificationFriendorFoe）傳感器也被簡(jiǎn)稱為敵友飛機(jī)識(shí)別器），從一架飛機(jī)的應(yīng)答器獲得了一個(gè)響應(yīng)。如果某飛機(jī)是友機(jī)，那么它的發(fā)射機(jī)應(yīng)答器應(yīng)通過(guò)回送它的識(shí)別代碼立即進(jìn)行應(yīng)答。若接收應(yīng)答的飛機(jī)未收到某架飛機(jī)A的應(yīng)答，那么接收應(yīng)答的飛機(jī)的缺省處理結(jié)果是：飛機(jī)A是一架敵機(jī)。一架飛機(jī)A*可能因下列原因未能發(fā)送應(yīng)答信息：A*的敵友飛機(jī)識(shí)別器發(fā)生了故障A*的發(fā)射機(jī)應(yīng)答器發(fā)生了故障A*上沒(méi)有敵友飛機(jī)識(shí)別器A*的敵友飛機(jī)識(shí)別器受到了干擾A*收到了保持其雷達(dá)沉默的命令假定因敵友飛機(jī)識(shí)別器的故障，導(dǎo)致了關(guān)于目標(biāo)飛機(jī)有0.7的可能性是敵機(jī)的證據(jù)，其中僅僅轟炸機(jī)和戰(zhàn)斗機(jī)被認(rèn)為是敵機(jī)。由此，這Mass的賦值為m1({B,F})=0.7

其中，m1系指由第一個(gè)敵友飛機(jī)識(shí)別器提供的證據(jù)的Mass值。注意，其余的信任將被留給環(huán)境，作為未表達(dá)意見(jiàn)的部分：m1({})=1－0.7=0.3

注意‘未表達(dá)意見(jiàn)’既不是信任，也不是不信任。而概率論對(duì)此卻給出不同的結(jié)果P(敵機(jī))=0.7P(敵機(jī))=1－0.7=0.3對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，兩種理論卻給出了不同的處理，這正體現(xiàn)了D-S理論和概率論之間的主要差別。證據(jù)理論概率論0.7m1({B,F})支持假設(shè)P(敵機(jī))支持假設(shè)0.3m1({})未表達(dá)意見(jiàn)P(敵機(jī))反駁假設(shè)環(huán)境的冪集合中的任一個(gè)集合，若其Mass值大于0（zero），則稱其為焦點(diǎn)元素（focalelement）。使用焦點(diǎn)元素這一術(shù)語(yǔ)的原因是：一個(gè)冪集合元素X的Mass值m(X)大于0，意味著可用證據(jù)在X中的被聚焦，或者說(shuō)被集中。表5.1.1說(shuō)明Mass比概率有大得多的自由度：D-S理論概率論m()不必須等于1如果，m(X)m(Y)不是必須的如果，P(X)P(Y)是必須的m(X)和m(X)之間沒(méi)有什么關(guān)系P(X)+P(X)=1表5.1.1D-S理論和概率論的比較每一個(gè)Mass能被形式化表成一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)映射冪集合中的每一個(gè)元素成為區(qū)間[0,1]的一個(gè)實(shí)數(shù)。函數(shù)的形式化描述為m：[0,1]按著慣例，空集合的Mass通常被定義為0（zero），m()=0.的冪集合2的所有子集的Mass和為1或例如，在飛機(jī)環(huán)境中有●組合證據(jù)當(dāng)新的證據(jù)變成可用的時(shí)候，我們希望組合所有的證據(jù)以產(chǎn)生一個(gè)更好的信任評(píng)價(jià)。為了說(shuō)明如何組合證據(jù)（也稱之為證據(jù)組合），我們首先看一個(gè)證據(jù)組合一般公式的一種特殊的情形。假定另一類型的一個(gè)傳感器用0.9的信任識(shí)別出目標(biāo)飛機(jī)為轟炸機(jī)?，F(xiàn)在，來(lái)自傳感器的證據(jù)的Mass為：m1({B,F})=0.7m1()=0.3m2({B})=0.9m2()=0.1

其中，m1和m2與第一和第二種類型的傳感器相對(duì)應(yīng)。使用下述登普斯特的組合規(guī)則的特殊形式以產(chǎn)生組合Mass其中，求和遍布使XY=Z成立的所有元素X與Y，操作符表示正交和或直接和。

登普斯特的規(guī)則組合兩個(gè)Mass以產(chǎn)生一個(gè)新的Mass，新Mass表示初始可能是沖突的證據(jù)間的一致意見(jiàn)。這新Mass通過(guò)僅僅對(duì)交集的Mass求和匯集了一致意見(jiàn)，集合的交集表達(dá)了公共的證據(jù)元素。十分重要的一點(diǎn)是：用于組合的證據(jù)必須是獨(dú)立差錯(cuò)的（independenterrors）。注意，獨(dú)立差錯(cuò)的證據(jù)獨(dú)立采集的證據(jù)。表5.1.2給出了登普斯特的組合規(guī)則，其中每一個(gè)交集之后都跟隨一個(gè)數(shù)值（兩個(gè)Mass的乘積）。m2({B})=0.9m2()=0.1m1({B,F})=0.7{B}0.63{B,F}0.07m1()=0.3{B}0.270.03表5.1.2行列Mass相乘（轟炸機(jī)）（轟炸機(jī)或戰(zhàn)斗機(jī)）（未表示意見(jiàn)）這m12({B})表示目標(biāo)飛機(jī)是轟炸機(jī)的信任。但是，這m12({B,F})和m12()卻包含著另外的信息。因?yàn)樗鼈兊募现邪宿Z炸機(jī)，所以把它們的正交和貢獻(xiàn)給轟炸機(jī)一個(gè)信任似乎是合理的。由此，關(guān)于{B}的最大信任為0.03+0.07+0.9，關(guān)于{B}的最小信任為0.9，{B}的真實(shí)的信任在區(qū)間[0.9,1.0]中的某處。在證據(jù)推理中，證據(jù)導(dǎo)致一個(gè)證據(jù)區(qū)間（EI,EvidenceInterval）。EI的下界在證據(jù)推理中被稱為support(Spt)，在D-S理論中被稱為Bel，這上界被稱為plausibility（Pls）。這support是基于證據(jù)的最小信任，而plausibility是基于證據(jù)的最大信任。我們有，0BelPls1成立。在證據(jù)理論中，下界和上界有時(shí)被稱做下概率和上概率。表5.1.3給出了一些通常的證據(jù)區(qū)間。support或belief函數(shù)（即Bel函數(shù)）是一個(gè)集合和它的所有子集的總的信任。Bel之定義如下：以飛機(jī)環(huán)境中的第一個(gè)傳感器為例，Bel1({B,F})=m1({B,F})+m1({B})+m1({F})=0.7+0+0=0.7證據(jù)區(qū)間區(qū)間含義的解釋[1,1]完全是真的[0,0]完全是假的[0,1]完全無(wú)知[Bel,1]其中0<Bel<1趨向于支持[0,Pls]其中0<Pls<1趨向于反駁[Bel,Pls]其中0<BelPls<1既趨向于支持又趨向于反駁表5.1.3一些通常的證據(jù)區(qū)間Mass是關(guān)于一個(gè)集合的信任，而不包括它的任何一個(gè)子集的信任，Mass是一個(gè)較為局部的信任。belief函數(shù)應(yīng)用于一個(gè)集合和該集合的任何一個(gè)子集，Bel是一個(gè)更為全局的信任。這Mass和belief函數(shù)之間的關(guān)系可表示為其中，|X－Y|是集合X－Y的基數(shù)。Bel1Bel2({B,F})=m1m2({B,F})+m1m2({B})+m1m2({F})=0.07+0.90+0=0.97實(shí)際上，Bel()=1，因?yàn)樗械腗ass和必須等于1。證據(jù)組合恰恰在不同的子集中重新分配了Mass值。一個(gè)集合S的證據(jù)區(qū)間，EI(S)，可用信任來(lái)定義：如果S={B}，那么，有Bel({A,F})=m1m2({A,F})+m1m2({A})+m1m2({F})=0，所以，又有EI({B})=[0.90,10]=[0.90,1].一個(gè)集合X的似然性（plausibility）被定義為不反對(duì)X（或不反駁X）的程度：●信任的標(biāo)準(zhǔn)化假定第三個(gè)傳感器報(bào)告了關(guān)于目標(biāo)飛機(jī)的一個(gè)沖突的證據(jù)m3({A})=0.95m3()=0.05表5.1.4給出了證據(jù)組合的十字相乘的結(jié)果：m1m2({B})0.90m1m2({B,F})0.07m1m2({})0.03m3({A})=0.950.8550.0665{A}0.0285m3()=0.05{B}0.045{B,F}0.00350.0015表5.1.4組合第三個(gè)證據(jù)因?yàn)橛衶A}{B}=，{A}{B,F}=，所以出現(xiàn)了空集合。具體計(jì)算如下：m1m2m3({A})=0.0285m1m2m3({B})=0.045m1m2m3({B,F})=0.0035m1m2m3()=0.855+0.0665=0.9215m1m2m3()=0.0015注意，我們有所有Mass之和必須等于1，即，其中求和只需遍及所有的焦點(diǎn)元素。但是，由于m1m2m3()>0就產(chǎn)生了問(wèn)題：該事實(shí)與m()=0之定義相矛盾。一種解決辦法是使焦點(diǎn)元素標(biāo)準(zhǔn)化。就是用某種原則把m1m2m3()分給焦點(diǎn)元素。首先定義，然后對(duì)每一個(gè)焦點(diǎn)元素Z作：置ZZ/(1Κ)

對(duì)表5.1.4的例子，Κ=0.855+0.0665=0.9215，1Κ=0.0785，每個(gè)焦點(diǎn)元素標(biāo)準(zhǔn)化后的值為：m1m2m3({A})=0.363m1m2m3({B})=0.573m1m2m3({B,F})=0.045m1m2m3()=0.019可見(jiàn)，由于第三個(gè)（與前兩個(gè)證據(jù)相沖突的）關(guān)于{A}的證據(jù)的存在，顯著地侵蝕了對(duì){B}的信任。有，Bel({B})=m1m2m3({B})=0.573又有，{B}的證據(jù)區(qū)間注意，由于{A}的沖突證據(jù)使{B}的support和plausibility都明顯地減小了。登普斯特的證據(jù)組合規(guī)則的一般形式為其中，注意，當(dāng)時(shí)，正交和無(wú)定義。Κ的值指出了被組合證據(jù)相互沖突的程度。當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)證據(jù)完全一致（完全相容）；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)證據(jù)完全沖突；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)證據(jù)部分相容?！褚苿?dòng)（MovingMassesandSets）移動(dòng)Mass的模擬有利于理解支持（support）和似真性（plausibility）。主要原則如下：支持（support）是賦予一個(gè)集合和它的所有子集的Mass；一個(gè)集合的Mass能夠自由地移入它的子集；一個(gè)集合的Mass不能移到它的超集（superset）中去；如果從一個(gè)集合移動(dòng)Mass進(jìn)入它的子集，則這些被移動(dòng)的Mass在相應(yīng)的子集中僅僅能貢獻(xiàn)給子集的似真部分，而不能貢獻(xiàn)給支持部分；環(huán)境的Mass能移到任一子集。假定M(X)=0.6，M(Y)=0.4，分別是X和Y的支持。X的似真性是0.6，因?yàn)閅的Mass不能移入X.然而，X的Mass能移入Y，所以Y的似真性是0.4+0.6=1.X和Y的證據(jù)區(qū)間是EI(X)=[0.6,0.6]，EI(Y)=[0.4,1].圖5.2圖5.2移動(dòng)MassXYD-S理論的困難由于標(biāo)準(zhǔn)化使D-S理論出現(xiàn)了困難，并導(dǎo)致了與人們期待相反的結(jié)果。1984年，扎德（Zadeh）引用了兩個(gè)醫(yī)生A,B關(guān)于對(duì)同一個(gè)患者疾病的信任的例子。關(guān)于一個(gè)患者疾病的信任如下：mA(腦膜炎)=0.99，mA(腦瘤)=0.01mB(腦震蕩)=0.99，mB(腦瘤)=0.01兩個(gè)醫(yī)生都認(rèn)為這個(gè)患者得腦瘤的可能性只有0.01.用登普斯特的證據(jù)組合規(guī)則計(jì)算如下：mA({腦膜炎})=0.99mA({腦瘤})=0.01mB({腦震蕩})=0.990.98010.0099mB({腦瘤})=0.010.0099{腦瘤}0.0001mAmB({腦瘤})=0.0001mAmB()=0.9801+0.0099+0.0099=0.99991Κ=10.9999=0.0001標(biāo)準(zhǔn)化后得到：mAmB({腦瘤})=1，mAmB({腦膜炎})=0，mAmB({腦震蕩})=0這樣一個(gè)結(jié)果與我們的直覺(jué)完全不同。我們認(rèn)為不僅當(dāng)Κ=1時(shí)，不能做正交和，而且當(dāng)Κ接近于1的時(shí)候也不能做正交和。§2一種簡(jiǎn)化的證據(jù)理論模型MET1考慮集合S＝{s1，s2，…，sn}，設(shè)是集合2S{}上的一個(gè)函數(shù)，說(shuō)是2S{}上的一個(gè)基本支持函數(shù)（這里的基本支持函數(shù)與D-S中的Mass函數(shù)相當(dāng)），如果滿足：①②；③；④在比較普遍的一類應(yīng)用問(wèn)題中，，若(A)>0，則必有：換言之，.在后面將看到，基于此，可使基本支持函數(shù)的運(yùn)算大為簡(jiǎn)化。為簡(jiǎn)便計(jì)，簡(jiǎn)記.于是基本支持函數(shù)的定義又可改述如下：2S{}上的一個(gè)函數(shù)說(shuō)是上的一個(gè)基本支持函數(shù)，如果滿足：①②③.這樣，基本支持函數(shù)就完全取決于它在集合中的元素的取值?！窠M合規(guī)則（或曰綜合函數(shù)）設(shè)，是上的兩個(gè)基本支持函數(shù)，其直乘積函數(shù)（也稱之為綜合函數(shù)，或組合規(guī)則、綜合運(yùn)算、直乘積運(yùn)算等）定義如下：=其中，D0.如果D=0，則說(shuō)與相互矛盾，對(duì)相互矛盾的基本支持函數(shù)與不作直乘積運(yùn)算。可以證明存在一個(gè)基本支持函數(shù)對(duì)于任意一個(gè)基本支持函數(shù)，都有=所以，我們有：{s1，s2，...,sn}上的所有基本支持函數(shù)和，構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮有壹的阿貝爾半群?！窬C合函數(shù)（綜合運(yùn)算）的封閉性、可交換性與可結(jié)合性若，是S上的兩個(gè)基本支持函數(shù)，那么=也是S上的基本支持函數(shù)。==，，證明從略。●關(guān)于A的支持函數(shù)對(duì)于AS,定義關(guān)于A的支持函數(shù)，，（對(duì)應(yīng)于D-S理論中的Bel,Spt,Belief函數(shù)）.●關(guān)于A的不反對(duì)函數(shù)直觀上說(shuō)，是A中元素的值總和，(A)是1減去SA中元素的值總和。這里的分別與D-S理論中support和plausibility對(duì)應(yīng)。和(A)之含義由圖5.2.1示出。無(wú)知無(wú)知A（不反對(duì)A）SSA反對(duì)AA支持A（不反對(duì)A）圖5.2.1(A)和(A)顯然，對(duì)于任意A和，有(A)(A)；又對(duì)于S的任意兩個(gè)子集A1和A2我們有我們可以把看成是對(duì)A無(wú)知的程度。在應(yīng)用中，稱集合S為一個(gè)“概念”。設(shè)X是2S{}上的一個(gè)變量，稱X=A為一個(gè)命題（簡(jiǎn)記為A），表示“S是A”。命題A的不確定性值[(A)，(A)]，并稱[(A)，(A)]為命題A的證據(jù)區(qū)間，簡(jiǎn)記為EI(A)。為了說(shuō)清楚命題A的不確定性值究竟在EI(A)中的何處，在MES1中定義了關(guān)于命題A的認(rèn)可函數(shù)：或者，其中，是兩個(gè)待定常數(shù)。其中，分別表示A和S中元素的個(gè)數(shù)?？梢宰C明命題A的認(rèn)可函數(shù)滿足：①；②,其中f(a)表示f({a}).事實(shí)上，f(A)0自明。證明f(A)l如下：注意f(A)＝(A)＋[(A)－(A)]×A/S=(a)＋[1－(a)]×A/S(a)＋1－(a)=1對(duì)于，我們有，f(A)=(A)+[(A)(A)]×A/S=顯然有，證畢下面，讓我們看一個(gè)例子。設(shè)S={油層，同層，水層，干層，氣層}，是S上的基本支持函數(shù)，且（油層）＝0.40，（同層）＝0.30，（水層）＝0.00，（干層）＝0.10，（）＝0.20于是，對(duì)于A＝{油層，同層}，支持函數(shù)、不反對(duì)函數(shù)和認(rèn)可函數(shù)的值分別為(A)＝(油層)＋(同層)＝0.70(A)＝()＋(A)＝0.20＋0.7＝0.90f(A)＝(A)＋[(A)－(A)]×A/S＝0.70＋(0.90－0.70)×2÷5＝0.78上面，我們討論了支持函數(shù)，不反對(duì)函數(shù)和認(rèn)可函數(shù)。注意，我們的這些討論都是在同一個(gè)概念S上進(jìn)行的。在實(shí)際應(yīng)用中，通常將同時(shí)來(lái)考慮多個(gè)不同的概念S，T，…。為此，我們將S上的支持函數(shù)，不反對(duì)函數(shù)，認(rèn)可函數(shù)及基本支持函數(shù)分別記為：.定義規(guī)則在定義規(guī)則之前，我們先給出，MET1用于油氣資源評(píng)價(jià)的一個(gè)具體例子。[方法名]：用有機(jī)碳含量評(píng)價(jià)生油巖豐度[方法注釋]：作者：吳立真；時(shí)間：1985年8月；參考文獻(xiàn)：黃弟藩，《中國(guó)陸相油氣生成》[對(duì)應(yīng)任務(wù)]：生油巖豐度評(píng)價(jià)[方法適應(yīng)條件]：有機(jī)碳含量低于4％[規(guī)則]：（1）如果：有機(jī)碳含量大于1.0%則：有可信度（CF1）證明應(yīng)屬于高豐度，同時(shí)有可信度（CF2）證明應(yīng)屬于較高豐度；（2）如果：有機(jī)碳含量屬于區(qū)間[0.6%,1.0%]則：有可信度（CF1）證明應(yīng)屬于高豐度，同時(shí)有可信度（CF2）證明應(yīng)屬于較高豐度，同時(shí)有可信度（CF3）證明應(yīng)屬于較低豐度；（3）如果：有機(jī)碳含量屬于區(qū)間[0.4%,0.6%]則：有可信度（CF2）證明應(yīng)屬于較高豐度，同時(shí)有可信度（CF3）證明應(yīng)屬于較低豐度，同時(shí)有可信度（CF4）證明應(yīng)屬于非生油巖；（4）如果：有機(jī)碳含量小于0．4%則：有可信度（CF3）證明應(yīng)屬于較低豐度，同時(shí)有可信度（CF4）證明應(yīng)屬于非生油巖； 下面將給出上面MET1用于油氣資源評(píng)價(jià)的一個(gè)具體例子的進(jìn)一步解釋。我們定義規(guī)則的形式化描述：〈后件〉＝（〈屬性值1〉〈可信度1〉…〈屬性值k〉〈可信度k〉）或〈后件〉＝（〈屬性值1〉〈可信度1〉）且（〈屬性值2〉〈可信度2〉）且…（〈屬性值k〉〈可信度k〉）命題B＝（〈屬性值1〉〈屬性值2〉…〈屬性值k〉），實(shí)際上命題B是一組命題：T是屬性值1，T是屬性值2，…，T是屬性值k，這里T是一個(gè)概念。命題B的可信度因子：CF＝(〈可信度1〉〈可信度2〉…〈可信度k〉)＝（CF1,CF2,…,CFk）并滿足：2）〈前件〉由若干個(gè)〈斷言〉的邏輯與連接所構(gòu)成：〈前件〉＝〈斷言〉A(chǔ)ND〈斷言〉A(chǔ)ND…AND〈斷言〉〈規(guī)則〉＝IF〈斷言〉A(chǔ)ND〈斷言〉A(chǔ)ND…AND〈斷言〉THEN（〈屬性值1〉〈可信度1〉…〈屬性值k〉〈可信度k〉）為定義〈前件〉的可信度，首先來(lái)定義一個(gè)〈斷言〉的可信度?！粗^詞〉是〈斷言〉的核心，所有〈謂詞〉的解釋都是由系統(tǒng)或用戶給出的?！粗^詞〉在[0,1]上取值。一個(gè)〈規(guī)則〉的〈前件〉的可信度BF，定義為反復(fù)使用如下規(guī)則得到的值：若〈前件〉中只有一個(gè)〈斷言〉,則〈前件〉的可信度定義為該〈斷言〉的可信度；使用一個(gè)新的〈斷言〉代替用AND連接的〈斷言〉，這個(gè)新〈斷言〉的可信度被定義為這些用AND連接的〈斷言〉的可信度中的最小值。定義一個(gè)〈規(guī)則〉之〈后件〉的可信度CER為：CER＝（BF×CF1BF×CF2…BF×CFk），其中BF是〈前件〉的可信度，CFi是〈后件〉中的可信度因子，即規(guī)則強(qiáng)度。下面通過(guò)屬性A（或命題A）來(lái)闡明其可信度因子CFi的解釋：CF可信度因子CFi的解釋CF4CF3CF2CF110X-1XX+1Y-2YY+2Z-3ZZ+3A1＝(Y－X)×d1；2＝(Z－Y)×d3；3＝2；取d1＝d3假定A取非負(fù)實(shí)數(shù)值1AZ＋3CF1＝(A－Z＋3)÷(2×3)Z－3<A<Z＋31Y＋2AZ－3CF2＝1－(A－Z＋3)÷(2×3)Z－3<A<Z＋3(A－Y＋2)÷(2×2)Y－2<A<Y＋21X＋1AY－2CF3＝(Y＋2－A)÷(2×2)Y－2<A<Y＋2(A－X＋1)÷(2×1)X－1<A<X＋11AX－1CF4＝(X＋1－A)÷(2×1)X－1<A<X＋1如果一條〈規(guī)則〉之〈后件〉中有一個(gè)概念T上的命題A，，則當(dāng)這條產(chǎn)生式規(guī)則被觸發(fā)后，就得到一個(gè)關(guān)于命題A＝{a1，a2，…，ak}的可信度（或該規(guī)則之結(jié)論的可信度）CER＝(BF×CF1BF×CF2…BF×CFk)我們利用這組值，來(lái)定義T上的一個(gè)基本支持函數(shù)T：BF×CFi如果a＝ai(aiA)T(a)＝0若且aA；顯然T滿足基本支持函數(shù)的定義。所以，我們可以利用每條被觸發(fā)的規(guī)則定義一個(gè)基本支持函素?cái)?shù)。設(shè)T，…，T是概念T上由若干條不同的規(guī)則所定義的基本支持函數(shù)，我們定義T＝T…T為所有這些規(guī)則執(zhí)行后，T上的新的基本支持函數(shù)，同一概念上的基本支持函數(shù)具有綜合關(guān)系。當(dāng)用概念T作為進(jìn)一步推理的證據(jù)時(shí)，我們將使用這個(gè)新的基本支持函數(shù)T作為T上的當(dāng)前的基本支持函數(shù)?？偨Y(jié)起來(lái)，不確定性傳播的過(guò)程為：初始時(shí)，每個(gè)概念S其上都有基本支持函數(shù)，如S。若對(duì)此函數(shù)完全無(wú)知，則S()＝1，S(s)＝0，對(duì)于任意sS。然后，利用被觸發(fā)的規(guī)則，根據(jù)一些概念上已知的基本支持函數(shù)值，通過(guò)求〈前件〉的可信度值，得到〈前件〉的可信度。再與規(guī)則的可信度因子結(jié)合，得到關(guān)于〈后件〉的可信度，即結(jié)論的可信度。然后，利用這組可信度值定義相應(yīng)概念上的一個(gè)基本支持函數(shù)，結(jié)合此概念上的原有的基本支持函數(shù)，產(chǎn)生新的基本支持函數(shù)，用作進(jìn)一步推理的基本支持函數(shù)。這就是MES1的不確定性傳播的一個(gè)周期?！?一個(gè)新的簡(jiǎn)化證據(jù)理論模型凸函數(shù)證據(jù)理論模型不精確推理模型IRM(InexactReasoningModel)，是專家系統(tǒng)的重要組成部分之－。IRM與其所隸屬的專家系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域的知識(shí)和問(wèn)題求解特點(diǎn)的符合程度，直接決定著專家系統(tǒng)的問(wèn)題求解質(zhì)量[1]?！?.1IRM1的困難對(duì)應(yīng)用領(lǐng)域中的有序命題類問(wèn)題（文中下面給出定義），MES1的不確定性處理方法遇到了困難，下面用一些例子說(shuō)明。在這些例子中，用一個(gè)n元組表示生油條件的評(píng)價(jià)結(jié)果，n元組的第i項(xiàng)（即第個(gè)i元素）表示第i個(gè)命題：生油巖豐度是第i類（的），設(shè)第i個(gè)命題有真值[0，1]．例1：在由MES1支撐建造的生油條件評(píng)價(jià)專家系統(tǒng)中，對(duì)一個(gè)圈閉的生油巖豐度進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，采用了有機(jī)碳、總烴和氯仿瀝青等方法，假定用有機(jī)碳和氯仿瀝青方法分別得到的評(píng)價(jià)結(jié)果是：（0.1，0.6，0.0，0.0），（0.0，0.0，0.1，0.6），其中：四元組（0.1，0.6，0.0，0.0）代表了一個(gè)基本支持函數(shù)：，，；四元組（0.0，0.0，0.1，0.6）代表了另一個(gè)基本支持函數(shù)：。那么利用MESl系統(tǒng)中的綜合函數(shù)得到的綜合結(jié)果是：（0.0325，0.353，0.0325，0.353）．在這個(gè)綜合結(jié)果中，“生油巖豐度是第二類”與“生油巖豐度是第四類”的真值都比較大，由此可得出結(jié)論：“生油巖豐度既是第二類的，又是第四類的”。在石油地質(zhì)勘探領(lǐng)域中，第一、二、三、四類分別被認(rèn)為是好類、較好類、較差類和差類，這個(gè)結(jié)論就表示：“生油巖豐度既是較好的，又是差的”，毋庸置疑，這是一個(gè)不能被地質(zhì)專家接收的錯(cuò)誤的結(jié)論。例2：當(dāng)使用有機(jī)碳方法和氯仿瀝青方法得到的評(píng)價(jià)結(jié)果分別是：（0.2，0.8，0.0，0.0），（0.0，0.0，0.8，0.2）時(shí)，MES1認(rèn)為這樣的兩個(gè)結(jié)果是不相容的，無(wú)法進(jìn)行綜合。因此，只能將這兩個(gè)結(jié)果羅列起來(lái)，而不能給出評(píng)價(jià)。從有序命題的觀點(diǎn)出發(fā)，石油地質(zhì)勘探專家卻認(rèn)為：這種情況應(yīng)該進(jìn)行綜合，并完全能夠進(jìn)行綜合。為此，我們基于MESl系統(tǒng)中的基于簡(jiǎn)化證據(jù)理論提出了一個(gè)新模型凸函數(shù)證據(jù)理論模型。上面的例子可作形式描述：S是一個(gè)概念，概念S即“生油巖豐度”，S{s1，s2，s3，s4}，其中：si表示“第i類”，對(duì)于1i4.第i個(gè)命題是“生油巖豐度是第i類”，對(duì)于1i4.我們注意到：這些命題均呈“S是P”的形式，并且表示被考察對(duì)象的主詞，即S，均相同，表示對(duì)象性質(zhì)的謂詞P又依次是“第一類”，“第二類”，“第三類”和“第四類”，即呈序關(guān)系。例3：如果S={用先進(jìn)設(shè)備裝備的，寬敞的，裝修典雅的，明亮的}，所考察的對(duì)象是“205教室”。若四個(gè)命題“205教室是用先進(jìn)設(shè)備裝備的”,“205教室是寬敞的”,“205教室是裝修典雅的”和“205教室是明亮的”的不確定性值分別為：0.059,0.353,0.059和0.353，那么，該結(jié)果是完全可以接受的，其含義是“205教室（是）既寬敞又明亮（的）”。對(duì)上述例1和例3作一下分析可知：第3個(gè)例子中各命題的謂詞分別是“用先進(jìn)設(shè)備裝備的”，“寬敞的”，“裝修典雅的”和“明亮的”。它們描述的是概念“205教室”的不同特征或性質(zhì)。而第1個(gè)例子中各謂詞描述的卻是概念“生油巖豐度”的同一性質(zhì)，并且各謂詞間還存在著“序”關(guān)系?！?.2具有凸函授性質(zhì)的簡(jiǎn)化證據(jù)理論模型我們把例1中的命題稱為一組有序命題。有序命題的定義如下：定義1.說(shuō)一組簡(jiǎn)單命題P1，P2，…，Pn，是一組有序命題，如果它們滿足：對(duì)i=1，2，…，n，命題Pi的主詞項(xiàng)均為S，謂詞項(xiàng)為si；對(duì)i=1，2，…，n，si均描述S的同一性質(zhì)或特征；謂詞項(xiàng)s1，s2，…，sn描述S的同一性質(zhì)的程度依次增強(qiáng)或減弱。下面來(lái)定義一組有序命題間的“小于等于”關(guān)系，記為“”。定義2.設(shè)一組有序命題P1，P2，…，Pn，對(duì)任意1i,jn，說(shuō)PiPj，當(dāng)且僅當(dāng)ij.（S,）是一個(gè)全序集，這里S是有序命題集，簡(jiǎn)記PiPj和PjPk為PiPjPk.對(duì)實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中的評(píng)價(jià)類、解釋類等問(wèn)題，在有序命題的情況下，人們對(duì)同一事物的某一特征或性質(zhì)的評(píng)價(jià)結(jié)果，一定表現(xiàn)出一種趨向性和連續(xù)性，其形式化描述如下：定義3.對(duì)一組有序命題P1，P2，…，Pn，|Pi|表示命題Pi的真值，1in.若|Pm|=max{|P1|，…，|Pn|}，則：對(duì)i{1,2,…,m-1}，都有|Pi||Pi+1|；對(duì)i{m,m+1,…,n-1}，都有|Pi||Pi+1|.由此我們得到：定義4.一組有序命題P1，P2，…，Pn的真值|P1|，|P2|，···，|Pn|應(yīng)呈現(xiàn)出凸的性質(zhì)，即對(duì)：任意PiPjPk都有|Pj|min{|Pi|，|Pk|}成立。設(shè)S{s1，s2，…，sn}。S表示一個(gè)概念，s1，s2，…，sn是一組有序命題，命題“S是si”(1in)簡(jiǎn)寫為si。定義5.={是2S{}上的基本支持函數(shù)}，表示2S{}上的基本支持函數(shù)空間。說(shuō)f：×是綜合函數(shù)，如果f滿足如下性質(zhì)：（i）設(shè)1，2，則也是基本支持函數(shù)（記），稱之為新的基本支持函數(shù)，即滿足（ii）應(yīng)是凸函數(shù)，即對(duì)S中的任意命題si，sj，sk，若sisjsk，則有.性質(zhì)（i）由綜合函數(shù)定義本身得到。綜合函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是把兩個(gè)基本支持函數(shù)組合成為一個(gè)新的基本支持函數(shù)。性質(zhì)（ii）由評(píng)價(jià)有序命題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的凸性質(zhì)得到。下面，我們給出針對(duì)有序命題的新的綜合函數(shù)f的定義。定義6.設(shè)概念S{s1，s2，…，sn}。s1，s2，…，sn為一組有序命題。則其不確定性值的綜合函數(shù)f為1，2（i）當(dāng)1=0，有;（ii）當(dāng)10且20時(shí)，有：其中0滿足0(si)=0，對(duì)i=1，2，…，n.(3.2.下面，將以定理形式證明函數(shù)f具備性質(zhì)(i)，(ii)：定理1如上定義的函數(shù)=f(1,2)是基本支持函數(shù)1,2證：當(dāng)1=0,或2=0時(shí)，顯然。當(dāng)10，20時(shí)，證明.令，(3.2](3.2.2(3.2.3由(3.2.1)：(3.2由(3.2.3)：(3.由(3.2.2),(3.2.4),(3.2對(duì)于，都有，所以又有：(3.2.6故1得證又由新基本支持函數(shù)的定義有(si)0，i=1，2，…，n故=f(1,2)是基本支持函數(shù)。證畢引理對(duì)于1,2，有：當(dāng)sisg時(shí)，=f(1,2)是遞增函數(shù)，又當(dāng)sgsi時(shí)，=f(1,2)是遞減函數(shù)，其中g(shù)在定義6中被定義。證：對(duì)任意由引理，易證：定理2有序命題的綜合=f(1,2)是凸函數(shù)。事實(shí)上我們提出的新綜合函數(shù)=f(1,2)將找出有序命題集中最有可能成立（或最有可能為真）之命題的序號(hào)g，當(dāng)一命題之序號(hào)與g之差的絕對(duì)值越小時(shí)，該命題的不確定性值與序號(hào)為g的命題的不確定性值就越接近。應(yīng)用這個(gè)新定義的綜合函數(shù)于引言中的例1和例2，分別得到新的綜合結(jié)果分別是：（0.0325，0.585，0.1625，0.13）（0.05，0.6833334，0.2333333，0.0333333）這兩個(gè)結(jié)果是比較令人滿意的。我們面向有序命題類問(wèn)題構(gòu)造的新綜合函數(shù)，有效解決了有序命題類問(wèn)題。實(shí)際驗(yàn)證還表明：對(duì)有序命題類且滿足MES1的簡(jiǎn)化證據(jù)理論和一般證據(jù)理論模型的綜合條件的領(lǐng)域問(wèn)題，與MES1的簡(jiǎn)化證據(jù)理論和一般證據(jù)理論模型相比，這個(gè)新綜合函數(shù)得到的綜合結(jié)果不僅更合理，而且與領(lǐng)域?qū)＜宜o出的結(jié)論之間有著更好的吻合?！?.3具有凸函授性質(zhì)的簡(jiǎn)化證據(jù)理論模型的分析新綜合函數(shù)中的g的公式為：(3.3.令，故有.命題：g[1,n]，g表示最有可能為真之命題的序號(hào)。證：為此只須證明進(jìn)而只須證明又證畢g表示最有可能成立之命題的序號(hào)，所以我們必須準(zhǔn)確地確定gd實(shí)際上更接近于哪一個(gè)命題之序號(hào)。因此，我們改寫關(guān)于g的表達(dá)式(3.2.0)成為如下的公式(3.(3.3.其中的符號(hào)“”和“”分別是天棚函數(shù)和地板函數(shù)。我們稱由公式(3.3.1)確定g的方法為新法，由定義6決定g（即由公式(3.2.0)決定例4．假定有如上定義的兩組有序命題，為簡(jiǎn)便計(jì)，這里不給出命題的具體含義，只給出與之對(duì)應(yīng)的兩組數(shù)據(jù)：(0.2，0.6，0.0，0.0)(0.0，0.0，0.2，0.8)由舊法得到的結(jié)果為(0.06，0.6033334，0.1833333，0.1333333)由新法得到的結(jié)果為(0.04，0.22，0.52，0.2)

第一組數(shù)據(jù)說(shuō)明某對(duì)象是第二類的可能性為最大，第二組數(shù)據(jù)說(shuō)明某對(duì)象是第三類的可能性為最大，由此可知命題“某對(duì)象是第三類的”（即序號(hào)為3的命題）成立的可能性為最大。由此可以得出：舊法得到的結(jié)果是不夠合理的。例5．最后讓我們舉一個(gè)更為明顯的例子，有如上定義的兩組有序命題，與之對(duì)應(yīng)的兩組數(shù)據(jù)為：(0.2，0.8)(0.3，0.5)由舊法得到的結(jié)果為(0.63，0.35)

由新法得到的結(jié)果為(0.14，0.84)無(wú)庸置疑，這是一個(gè)很有說(shuō)服力的例子。事實(shí)上，在公式(3.3.1)中，我們還未認(rèn)真考慮gdgd=0.5的情況。在這種情況下，gd和gd例6．有如上定義的兩組有序命題，與之對(duì)應(yīng)的兩組數(shù)據(jù)為：(0.7，0.1，0.1，0.0)(0.0，0.1，0.1，0.7)g=gd得到的結(jié)果為(0.1925，0.4858333，0.1833333，0.1283333)

g=gd得到的結(jié)果為(0.1283333，0.1833333，0.4858333，0.1925)．

例7．有如上定義的兩組有序命題，與之對(duì)應(yīng)的兩組數(shù)據(jù)為：

(0.3，0.7)(0.7，0.3)

g=gd得到的結(jié)果為(0.75，0.25)

g=gd得到的結(jié)果為(0.25，0.75)．

由此，我們把關(guān)于g的表達(dá)式(3.3.1)改成為如下的公式(3.3.2)：

(3.3.2下面我們給出當(dāng)時(shí)，把所得到的兩個(gè)結(jié)果結(jié)合成一個(gè)新結(jié)果的方法。設(shè)時(shí)所得到的兩個(gè)結(jié)果為：1(k)，k=1,2,…,n；2(k)，k=1,2,…,n．(k)=0.5×[1(k)＋2(k)]，1kn，為合成得到的新結(jié)果。把公式(3.3.2)應(yīng)用于上面的例6和例7對(duì)于例6有：被綜合的兩組數(shù)據(jù)：(0.7，0.1，0.1，0.0)，(0.0，0.1，0.1，0.7)gdgd=0.5g=gd得到的綜合結(jié)果(0.1925，0.4858333，0.1833333，0.1283333)g=gd得到的綜合結(jié)果(0.1283333，0.1833333，0.4858333，0.1925)結(jié)合上述兩個(gè)綜合結(jié)果得到新結(jié)果(0.1604167,0.3345833,0.3345833,0.1604167)對(duì)于例7有：被綜合的兩組數(shù)據(jù)：(0.3，0.7)，(0.7，0.3)

gdgd=0.5g=gd得到的綜合結(jié)果(0.75，0.25)g=gd得到的綜合結(jié)果(0.25，0.75)結(jié)合上述兩個(gè)綜合結(jié)果得到新結(jié)果(0.5，0.5)

由此可見(jiàn)，公式(3.3.2)比公式(3.3.1)但事實(shí)上，在公式(3.3.2)中，我們對(duì)gdgd>0.5和gdgd<0.5的兩種情況的處理還是很粗糙的。實(shí)際上，當(dāng)且僅當(dāng)gdgd=0時(shí)，g之確定才是準(zhǔn)確的。由此，我們可根據(jù)具體的應(yīng)用領(lǐng)域選擇兩個(gè)正實(shí)數(shù)1，2>0（兩個(gè)待定常數(shù)），譬如，一般可選1=0.2,2(3.3.3下面我們給出當(dāng)時(shí)，把所得到的兩個(gè)結(jié)果結(jié)合成一個(gè)新結(jié)果的方法。設(shè)時(shí)，分別得到的兩個(gè)結(jié)果為：，；，．，，，為合成得到的新結(jié)果。假定之間的距離為1（表示一個(gè)等級(jí)），是離的距離，當(dāng)離越近時(shí)，在組合中所起的作用就應(yīng)該越大，所以作為的組合權(quán)重應(yīng)該是，同理，因是離的距離，所以的組合權(quán)重應(yīng)該是．考慮規(guī)范化，的權(quán)重應(yīng)該是，的權(quán)重應(yīng)該是．圖3.3.1圖3.3.1公式（3.3.4）的圖示§3.3.1讓我們把定義6中的公式改寫為：其中，，1，2>0（兩個(gè)待定常數(shù)），結(jié)果合成方法見(jiàn)§3.3.