北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件第1章階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法

BS版八年級(jí)下階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法第一章三角形的證明BS版八年級(jí)下階段核心方法第一章三角形的證明4提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示671235見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題8見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題4提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示671235見(jiàn)習(xí)題提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示9見(jiàn)習(xí)題提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示9見(jiàn)習(xí)題1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF.求證：(1)DE＝DF；1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件第1章階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法解：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF.(2)DE⊥DF.解：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDA＋又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.∴∠BPC＝∠AP′C＝135°.又∠CP′P＝45°，2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.(3)求證：AE平分∠DAB.(3)求證：AE平分∠DAB.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度數(shù)．(1)求證：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，則BC的長(zhǎng)等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試說(shuō)明理由．(1)求證：PD＝QD.∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.CP＝CE，連接PE，如圖．∴△ADF是等邊三角形，∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF.理由如下：在CB上截取6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(2)求證：AE⊥DE；又∠CP′P＝45°，4．如圖，等邊△ABC中，D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.求證：EB⊥AB.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，2．如圖，在△A證明：如圖，作EF⊥AC于點(diǎn)F，∵EA＝EC，∴AF＝FC.∴AC＝2AF.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.證明：如圖，作EF⊥AC于點(diǎn)F，3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)(點(diǎn)P與A，B不重合)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)求證：PD＝QD.3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，ED，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中4．如圖，等邊△ABC中，D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.求證：BG＝EG.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE，交AB的延長(zhǎng)線于F.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.又∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°.4．如圖，等邊△ABC中，D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF.∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∴△ADF是等邊三角形，5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度數(shù)．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CP′A，則P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠AP′C＝∠BPC.連接PP′，∵∠PCP′＝90°，∴∠CP′P＝∠CPP′＝45°，PP′2＝22＋22＝8.又P′A＝1，PA＝3，∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.∴PP′2＋P′A2＝PA2.∴∠AP′P＝90°.又∠CP′P＝45°，∴∠BPC＝∠AP′C＝135°.解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CP′A，則6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(1)求證：CE＝BE；(2)求證：AE⊥DE；(3)求證：AE平分∠DAB.【點(diǎn)撥】本題利用補(bǔ)形法構(gòu)造出△FBE，通過(guò)證明△DCE≌△FBE進(jìn)而得出相關(guān)結(jié)論．6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.【點(diǎn)撥】(1)求證：CE＝BE；證明：如圖，延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠2＝∠F.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF.∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF.又∵∠DEC＝∠FEB，∴△DCE≌△FBE，∴CE＝BE.(1)求證：CE＝BE；證明：如圖，延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)F，(2)求證：AE⊥DE；(3)求證：AE平分∠DAB.解：∵△DCE≌△FBE，∴DE＝EF.又∵AD＝AF，∴AE⊥DE.∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB.(2)求證：AE⊥DE；解：∵△DCE≌△FBE，∵DE＝E∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.(1)求證：BC＝BE＋AE.又∠CP′P＝45°，∵DE＝EF，AD＝AF，又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.(3)求證：AE平分∠DAB.(1)求證：BC＝BE＋AE.2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.求證：EC＝ED.6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CP′A，則P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠AP′C＝∠BPC.(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，ED，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.(2)探究：若∠A＝108°，則BC的長(zhǎng)等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試說(shuō)明理由．證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.(1)求證：CE＝BE；理由如下：在CB上截取7．如圖，△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AD，CE交于點(diǎn)F，且AE＝EF.求證：AB＝CF.【點(diǎn)撥】本題證法一運(yùn)用了倍長(zhǎng)中線法，借助AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，再證明△ABD和△GCD全等．利用全等三角形的性質(zhì)對(duì)線段或角進(jìn)行等量代換，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.7．如圖，△ABC中，A證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.∴AB＝CG，∠G＝∠EAF.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA.又∵∠EFA＝∠CFG，∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF，∴AB＝CF.證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵B證法二：如圖②，作BM⊥AD于點(diǎn)M，CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠BMD＝∠CND＝90°.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，∴BM＝CN.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠CFN.又∵∠BMA＝∠CNF＝90°，∴△ABM≌△FCN，∴AB＝CF.證法二：如圖②，作BM⊥AD于點(diǎn)M，CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.如圖，以BE為邊，∠B為內(nèi)角作等邊三角形BEF.8．如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE＝BD，連接EC，ED.

求證：EC＝ED.證明：∵△ABC是等邊三角形，8．如圖，已知△ABC為等邊三北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件第1章階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法9．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E.(1)求證：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，則BC的長(zhǎng)等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試說(shuō)明理由．9．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了截長(zhǎng)補(bǔ)短法．(1)BC比BE長(zhǎng)，在BC上截取BD＝BE，再通過(guò)相關(guān)證明得BC＝BE＋AE.(2)BC比EC長(zhǎng)，在BC上截取CP＝CE，連接EP，構(gòu)造△ABE與△PBE全等，進(jìn)而證線段關(guān)系．【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了截長(zhǎng)補(bǔ)短法．(1)BC比BE長(zhǎng)，在BC上截證明：在BC上截取BD＝BE，連接DE，如圖．(1)求證：BC＝BE＋AE.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝40°＝∠C，∴DE＝DC.證明：在BC上截取BD＝BE，連接DE，如圖．(1)求證：B北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件第1章階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.∵CP＝CE，∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.∴∠BPE＝180°－72°＝108°.∴∠BPE＝∠A.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.解：BC＝CE＋AB.理由如下：在CB上截取CP＝CE，連接PE，如圖．(2)探究：若∠A＝108°，則BC的長(zhǎng)等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試說(shuō)明理由．∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件第1章階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法BS版八年級(jí)下階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法第一章三角形的證明BS版八年級(jí)下階段核心方法第一章三角形的證明4提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示671235見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題8見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題見(jiàn)習(xí)題4提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示671235見(jiàn)習(xí)題提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示9見(jiàn)習(xí)題提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示9見(jiàn)習(xí)題1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF.求證：(1)DE＝DF；1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件第1章階段核心方法等腰三角形中作輔助線的九種常用方法解：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF.(2)DE⊥DF.解：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDA＋又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.∴∠BPC＝∠AP′C＝135°.又∠CP′P＝45°，2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.(3)求證：AE平分∠DAB.(3)求證：AE平分∠DAB.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度數(shù)．(1)求證：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，則BC的長(zhǎng)等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試說(shuō)明理由．(1)求證：PD＝QD.∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.CP＝CE，連接PE，如圖．∴△ADF是等邊三角形，∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF.理由如下：在CB上截取6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(2)求證：AE⊥DE；又∠CP′P＝45°，4．如圖，等邊△ABC中，D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.求證：EB⊥AB.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，2．如圖，在△A證明：如圖，作EF⊥AC于點(diǎn)F，∵EA＝EC，∴AF＝FC.∴AC＝2AF.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.證明：如圖，作EF⊥AC于點(diǎn)F，3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)(點(diǎn)P與A，B不重合)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)求證：PD＝QD.3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，ED，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中4．如圖，等邊△ABC中，D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.求證：BG＝EG.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE，交AB的延長(zhǎng)線于F.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.又∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°.4．如圖，等邊△ABC中，D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF.∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∴△ADF是等邊三角形，5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度數(shù)．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CP′A，則P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠AP′C＝∠BPC.連接PP′，∵∠PCP′＝90°，∴∠CP′P＝∠CPP′＝45°，PP′2＝22＋22＝8.又P′A＝1，PA＝3，∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.∴PP′2＋P′A2＝PA2.∴∠AP′P＝90°.又∠CP′P＝45°，∴∠BPC＝∠AP′C＝135°.解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CP′A，則6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(1)求證：CE＝BE；(2)求證：AE⊥DE；(3)求證：AE平分∠DAB.【點(diǎn)撥】本題利用補(bǔ)形法構(gòu)造出△FBE，通過(guò)證明△DCE≌△FBE進(jìn)而得出相關(guān)結(jié)論．6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.【點(diǎn)撥】(1)求證：CE＝BE；證明：如圖，延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠2＝∠F.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF.∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF.又∵∠DEC＝∠FEB，∴△DCE≌△FBE，∴CE＝BE.(1)求證：CE＝BE；證明：如圖，延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)F，(2)求證：AE⊥DE；(3)求證：AE平分∠DAB.解：∵△DCE≌△FBE，∴DE＝EF.又∵AD＝AF，∴AE⊥DE.∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB.(2)求證：AE⊥DE；解：∵△DCE≌△FBE，∵DE＝E∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.(1)求證：BC＝BE＋AE.又∠CP′P＝45°，∵DE＝EF，AD＝AF，又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.(3)求證：AE平分∠DAB.(1)求證：BC＝BE＋AE.2．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.求證：EC＝ED.6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CP′A，則P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠AP′C＝∠BPC.(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，ED，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.(2)探究：若∠A＝108°，則BC的長(zhǎng)等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試說(shuō)明理由．證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.(1)求證：CE＝BE；理由如下：在CB上截取7．如圖，△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AD，CE交于點(diǎn)F，且AE＝EF.求證：AB＝CF.【點(diǎn)撥】本題證法一運(yùn)用了倍長(zhǎng)中線法，借助AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，再證明△ABD和△GCD全等．利用全等三角形的性質(zhì)對(duì)線段或角進(jìn)行等量代換，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．∴∠A＝∠AFD＝∠ADF＝60°.7．如圖，△ABC中，A證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD.∴AB＝CG，∠G＝∠EAF.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA.又∵∠EFA＝∠CFG，∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF，∴AB＝CF.證法一：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，∵B證法二：如圖②，作BM⊥AD于點(diǎn)M，CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠BMD＝∠CND＝90°.又∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN，∴△BMD≌△CND，∴BM＝CN.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠CFN.又∵∠BMA＝∠CNF＝90°，∴△ABM≌△FCN，∴AB＝CF.證法二：如圖②，作BM⊥AD于點(diǎn)M，CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.如圖，