講等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用課件

新課標高中一輪總復(fù)習新課標高中一輪總復(fù)習第五單元數(shù)列、推理與證明第五單元第33講等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用第33講等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（１）“成對”和或積相等問題；（２）等差數(shù)列求和S2n-1與中項an；能靈活運用性質(zhì)解決有關(guān)問題.如分組求和技巧、整體運算.掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（１）“1.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，下列結(jié)論正確的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5當m+n=p+q時，等差數(shù)列中有am+an=ap+aq,等比數(shù)列中有bm·bn=bp·bq.1.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，下列結(jié)論正確的是2.已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b7=a7,則b5+b9等于（）CA.2B.4C.8D.16因為a3a11=a72=4a7，因為a7≠0，所以a7=4，所以b7=4.因為{bn}為等差數(shù)列，所以b5+b9=2b7=8，故選C.2.已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn3.命題①:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+b(a≠1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;命題②:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a≠0),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;命題③：若數(shù)列{an}的前n項和Sn=na-n,則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.上述三個命題中，真命題有()AA.0個B.1個C.2個D.3個3.命題①:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+b(a≠1)由命題①得，a1=a+b,當n≥２時，an=Sn-Sn-1(a-1)·an-1.若{an}是等比,數(shù)列則

=a,即=a,所以只有當b=-1且a≠0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列.由命題②得,a1=a+b+c,當n≥２時，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差數(shù)列，則a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有當c=0時，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列.

由命題③得，a1=a-1,當n≥２時，an=Sn-Sn-1=a-1,顯然{an}是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當a-1≠0，即a≠１時，數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列.由命題①得，a1=a+b,4.(1)等差數(shù)列的前n項的和為54，前2n項的和為60，則前3n項的和為

；

(2)等比數(shù)列的前n項和為54，前2n項的和為60，則前3n項的和為

.1860

(1)由等差數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列，則2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得S3n=18.(2)由等比數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列,則(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)，解得S3n=60.4.(1)等差數(shù)列的前n項的和為54，前2n項的和為60，則5.已知數(shù)列{an}、{bn}分別為等差、等比數(shù)列，且a1=b1>0，a3=b3，b1≠b3，則一定有a2

b2，a5

b5（填“>”“<”“=”).><(方法一)由中項性質(zhì)和等比數(shù)列性質(zhì)知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2=

=>=|b2|，故a2>b2；同理，a5=2a3-a1，b5=

，所以b5-a5=-(2b3-b1)==>0,即b5>a5.5.已知數(shù)列{an}、{bn}分別為等差、等比數(shù)列，且a1=(方法二)通項與函數(shù)關(guān)系.因為an=dn+(a1-d)為關(guān)于n的一次函數(shù)，bn=a1·qn-1=·qn為關(guān)于n的類指數(shù)函數(shù).當d>0，如圖1；當d<0時，如圖2.易知a2>b2，a5<b5.(方法二)通項與函數(shù)關(guān)系.1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)當公差d≠0時,等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;前n項和Sn=na1+=n2+(a1-)n是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.(2)若公差①

，則為遞增等差數(shù)列，若公差②

,則為遞減等差數(shù)列,若公差③

,則為常數(shù)列.d>0d<0d=01.等差數(shù)列的性質(zhì)d>0d<0d=0(3)當m+n=p+q時,則有④

,特別地,當m+n=2p時，則有am+an=2ap.(4)若{an}是等差數(shù)列，則{kan}(k是非零常數(shù))，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差數(shù)列，而{aan}(a≠0)成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lgan}是等差數(shù)列.(5)在等差數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時;S偶-S奇=⑤

;項數(shù)為奇數(shù)2n-1時;S奇-S偶=⑥

，S2n-1=(2n-1)·a中(這里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.am+an=ap+aqnda中(3)當m+n=p+q時,則有④(6)若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn,且=f(n),則===f(2n-1).(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前n項和的最大值是所有⑦

之和;“首負”的遞增等差數(shù)列中,前n項和的最小值是所有⑧

之和.(8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).非負項非正項(6)若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn2.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當m+n=p+q時，則有⑨

,特別地，當m+n=2p時，則有am·an=ap2.(2)若{an}是等比數(shù)列，則{kan}成等比數(shù)列；若{an}、{bn}成等比數(shù)列，則{anbn}、{}成等比數(shù)列;若{an}是等比數(shù)列,且公比q≠-1,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是⑩

數(shù)列.當q=-1,且n為偶數(shù)時,數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.am·an=ap·aq等比2.等比數(shù)列的性質(zhì)am·an=ap·aq等比(3)若a1>0,q>1,則{an}為

數(shù)列；若a1<0,q>1,則{an}為

數(shù)列;若a1>0,0<q<1,則{an}為遞減數(shù)列；若a1<0,0<q<1，則{an}為遞增數(shù)列；若q<0,則{an}為擺動數(shù)列；若q=1,則{an}為

數(shù)列.(4)當q≠１時,Sn=qn+=aqn+b,這里a+b=0，但a≠0，b≠0，這是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列.11遞增12遞減13常(3)若a1>0,q>1,則{an}為數(shù)列；(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在等比數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶=

；項數(shù)為奇數(shù)2n-1時,S奇=a1+qS偶.(7)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.14qS奇(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.14qS奇題型一“成對下標和”性質(zhì)例1(1)已知數(shù)列{θn}為等差數(shù)列,且θ1+θ8+θ15=2π，則tan(θ2+θ14)的值是（）A.B.-C.D.-A題型一“成對下標和”性質(zhì)例1(2)(2009·廣東卷)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2(1)因為θ1+θ8+θ15=2π，且{θn}成等差數(shù)列，則θ1+θ15=2θ8，故θ8=.于是tan(θ2+θ14)=tan2θ8=tan=.C(2)(2009·廣東卷)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,(2)因為a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等比數(shù)列,則a1·a2n-1=a3·a2n-3=a5·a2n-5=…=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+…+log2a2n-1，則S=log2a2n-1+…+log2a3+log2a1,所以2S=log2[(a1·a2n-1)(a3·a2n-3)…(a2n-3·a3)(a2n-1·a1)]=log2(22n)n,所以2S=2n·n，所以S=n2.(2)因為a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等本題是等差、等比的求值題，難點是找條件和目標之間的對應(yīng)關(guān)系.解題時，根據(jù)等差、等比數(shù)列的“成對下標和”性質(zhì)，列出方程或多個恒等式是解題的關(guān)鍵.一般的，對于涉及等差、等比數(shù)列的通項公式的條件求值題，合理利用通項或相關(guān)性質(zhì)進行化歸是基本方法.本題是等差、等比的求值題，難點

(2010·湖北省模擬)設(shè)數(shù)列{an}、{bn}都是正項等比數(shù)列，Sn、Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項和,且=

,則logb5a5=

.由題知，====logb5a5logb5a5=.(2010·湖北省模擬)設(shè)題型二部分“和”“積”與整體性質(zhì)例2(1)等差數(shù)列{an}中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比數(shù)列{an}中,若a1·a2·a3·a4=1,a13·a14·a15·a16=8,求a41·a42·a43·a44.題型二部分“和”“積”與整體性質(zhì)例2(1)等(1)將相鄰兩項和a1+a2,a3+a4,a5+a6,…,a99+a100分別記為b1,b2,b3,…,b50,可知{bn}成等差數(shù)列.此數(shù)列的公差d=

=.a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b-8a.(1)將相鄰兩項和a1+a2,a3(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a14·q6=1.①a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a14·q54=8.②②÷①得，=q48=8q16=2.又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a14q166=a14·q6·q160=(a14q6)·(q16)10=1·210=1024.(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q(方法二)由性質(zhì)可知，依次４項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,T1=a1·a2·a3·a4=1,T4=a13·a14·a15·a16=8,所以T4=T1·q3=1·q3=8q=2,所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.巧用性質(zhì)，減少運算，在有關(guān)等差、等比數(shù)列的計算中非常重要.如（１）（2）小題巧用性質(zhì)，構(gòu)造一個新的等差或等比數(shù)列求解.(方法二)由性質(zhì)可知，依次４項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,T題型三等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3已知等比數(shù)列{xn}的各項為不等于１的正數(shù)，數(shù)列{yn}滿足ynlogxna=2(a>0,a≠1)，設(shè)y3=18,y6=12.(1)求數(shù)列{yn}的前多少項和最大,最大值為多少?(2)試判斷是否存在自然數(shù)，使當n>M時，xn>1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M值；若不存在，請說明理由；(3)令an=logxnxn+1（n>13,n∈N*），試判斷數(shù)列{an}的增減性？題型三等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3

(1)由已知得，yn=2logaxn.設(shè)等比數(shù)列{xn}的公比為q(q≠１)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga=2logaq,得{yn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.因為y3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+1≤0yk≥0所以前11項與前12項和為最大,其和為132.設(shè)前k項和為最大,則11≤k≤12,y12=0,(1)由已知得，yn=2log(2)xn=a12-n,n∈N*.若xn>1，則a12-n>1.當a>1時，n<12，顯然不成立；當0<a<1時，n>12,所以存在M=12,13,14,…,當n>M時，xn>1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=

.因為an+1-an=-=,又n>13,所以an+1<an.所以n>13時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運用方程、分類討論等思想方法進行分析、探索及解決問題的能力.(2)xn=a12-n,n∈N*.在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)·an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*),證明：{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項.在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=(1)證明:由題設(shè)an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.又b1=a2-a1=1,q≠0，所以{bn}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.(1)證明:由題設(shè)an+1=(1+q(2)由(1)知，a2-a1=1,a3-a2=q,…an-an-1=qn-2(n≥２).將以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).1+(q≠1)

n(q=1).上式對n=1顯然成立.所以當n≥2時,an=(2)由(1)知，a2-a1=1,所以當n≥2時,an=(3)由(2)知，當q=1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8,由q≠0，得q3-1=1-q6,①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=-.另一方面,an-an+3==(q3-1),an+6-an==(1-q6).由①可得an-an+3=an+6-an(n∈N*).所以對任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項.3(3)由(2)知，當q=1時，顯然a3不是a6與a9的等差中1.知三求二：在等差（比）數(shù)列中，a1,d(q),n,an,Sn共五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個.解這類問題時，一般是轉(zhuǎn)化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關(guān)運算.1.知三求二：在等差（比）數(shù)列中，a1,d(q),n,an,2.巧用性質(zhì)、減少運算量：在等差、等比數(shù)列的計算中，巧用性質(zhì)非常重要，同時樹立“目標意識”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用條件，又要時刻注意問題的目標，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.2.巧用性質(zhì)、減少運算量：在等差、等比數(shù)列的計算中，巧用性質(zhì)學例1(2009·安徽卷)已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是()BA.21B.20C.19D.18學例1(2009·安徽由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35.①由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33.②則由①-②得d=-2，所以an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n.an≥0

an+1<0，解得19.5<n≤20.5,又n∈N*,故n=20.令由a1+a3+a5=105,得3a3=(2009·江西卷)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有=.(1)當a=,b=時，求通項an;(2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對于每個正整數(shù)n,都有≤an≤λ.學例2(2009·江西卷)各項均為

(1)由=得=.將a1=,a2=代入上式化簡得a=.所以=·,故數(shù)列{}為以為公比的等比數(shù)列，其首項為==，從而=，即an=.可驗證，an=滿足題設(shè)條件.(1)由(2)由題設(shè)的值僅與m+n有關(guān)，記為bm+n,則bn+1=

=.考察函數(shù)f(x)=(x>0),則在定義域上有,a>1,a=1,0<a<1.f(x)≥g(a)=(2)由題設(shè)的值僅故對n∈N*，bn+1≥g(a)恒成立.又b2n=≥g(a),注意到0<g(a)≤，解上式得=≤an≤,取λ=，即有≤an≤λ.故對n∈N*，bn+1≥g(a)恒成立.本節(jié)完，謝謝聆聽立足教育，開創(chuàng)未來本節(jié)完，謝謝聆聽立足教育，開創(chuàng)未來新課標高中一輪總復(fù)習新課標高中一輪總復(fù)習第五單元數(shù)列、推理與證明第五單元第33講等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用第33講等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（１）“成對”和或積相等問題；（２）等差數(shù)列求和S2n-1與中項an；能靈活運用性質(zhì)解決有關(guān)問題.如分組求和技巧、整體運算.掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（１）“1.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，下列結(jié)論正確的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5當m+n=p+q時，等差數(shù)列中有am+an=ap+aq,等比數(shù)列中有bm·bn=bp·bq.1.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，下列結(jié)論正確的是2.已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b7=a7,則b5+b9等于（）CA.2B.4C.8D.16因為a3a11=a72=4a7，因為a7≠0，所以a7=4，所以b7=4.因為{bn}為等差數(shù)列，所以b5+b9=2b7=8，故選C.2.已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn3.命題①:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+b(a≠1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;命題②:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a≠0),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;命題③：若數(shù)列{an}的前n項和Sn=na-n,則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.上述三個命題中，真命題有()AA.0個B.1個C.2個D.3個3.命題①:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+b(a≠1)由命題①得，a1=a+b,當n≥２時，an=Sn-Sn-1(a-1)·an-1.若{an}是等比,數(shù)列則

=a,即=a,所以只有當b=-1且a≠0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列.由命題②得,a1=a+b+c,當n≥２時，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差數(shù)列，則a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有當c=0時，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列.

由命題③得，a1=a-1,當n≥２時，an=Sn-Sn-1=a-1,顯然{an}是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當a-1≠0，即a≠１時，數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列.由命題①得，a1=a+b,4.(1)等差數(shù)列的前n項的和為54，前2n項的和為60，則前3n項的和為

；

(2)等比數(shù)列的前n項和為54，前2n項的和為60，則前3n項的和為

.1860

(1)由等差數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列，則2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得S3n=18.(2)由等比數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列,則(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)，解得S3n=60.4.(1)等差數(shù)列的前n項的和為54，前2n項的和為60，則5.已知數(shù)列{an}、{bn}分別為等差、等比數(shù)列，且a1=b1>0，a3=b3，b1≠b3，則一定有a2

b2，a5

b5（填“>”“<”“=”).><(方法一)由中項性質(zhì)和等比數(shù)列性質(zhì)知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2=

=>=|b2|，故a2>b2；同理，a5=2a3-a1，b5=

，所以b5-a5=-(2b3-b1)==>0,即b5>a5.5.已知數(shù)列{an}、{bn}分別為等差、等比數(shù)列，且a1=(方法二)通項與函數(shù)關(guān)系.因為an=dn+(a1-d)為關(guān)于n的一次函數(shù)，bn=a1·qn-1=·qn為關(guān)于n的類指數(shù)函數(shù).當d>0，如圖1；當d<0時，如圖2.易知a2>b2，a5<b5.(方法二)通項與函數(shù)關(guān)系.1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)當公差d≠0時,等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;前n項和Sn=na1+=n2+(a1-)n是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.(2)若公差①

，則為遞增等差數(shù)列，若公差②

,則為遞減等差數(shù)列,若公差③

,則為常數(shù)列.d>0d<0d=01.等差數(shù)列的性質(zhì)d>0d<0d=0(3)當m+n=p+q時,則有④

,特別地,當m+n=2p時，則有am+an=2ap.(4)若{an}是等差數(shù)列，則{kan}(k是非零常數(shù))，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差數(shù)列，而{aan}(a≠0)成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lgan}是等差數(shù)列.(5)在等差數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時;S偶-S奇=⑤

;項數(shù)為奇數(shù)2n-1時;S奇-S偶=⑥

，S2n-1=(2n-1)·a中(這里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.am+an=ap+aqnda中(3)當m+n=p+q時,則有④(6)若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn,且=f(n),則===f(2n-1).(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前n項和的最大值是所有⑦

之和;“首負”的遞增等差數(shù)列中,前n項和的最小值是所有⑧

之和.(8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).非負項非正項(6)若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn2.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當m+n=p+q時，則有⑨

,特別地，當m+n=2p時，則有am·an=ap2.(2)若{an}是等比數(shù)列，則{kan}成等比數(shù)列；若{an}、{bn}成等比數(shù)列，則{anbn}、{}成等比數(shù)列;若{an}是等比數(shù)列,且公比q≠-1,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是⑩

數(shù)列.當q=-1,且n為偶數(shù)時,數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.am·an=ap·aq等比2.等比數(shù)列的性質(zhì)am·an=ap·aq等比(3)若a1>0,q>1,則{an}為

數(shù)列；若a1<0,q>1,則{an}為

數(shù)列;若a1>0,0<q<1,則{an}為遞減數(shù)列；若a1<0,0<q<1，則{an}為遞增數(shù)列；若q<0,則{an}為擺動數(shù)列；若q=1,則{an}為

數(shù)列.(4)當q≠１時,Sn=qn+=aqn+b,這里a+b=0，但a≠0，b≠0，這是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列.11遞增12遞減13常(3)若a1>0,q>1,則{an}為數(shù)列；(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在等比數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶=

；項數(shù)為奇數(shù)2n-1時,S奇=a1+qS偶.(7)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.14qS奇(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.14qS奇題型一“成對下標和”性質(zhì)例1(1)已知數(shù)列{θn}為等差數(shù)列,且θ1+θ8+θ15=2π，則tan(θ2+θ14)的值是（）A.B.-C.D.-A題型一“成對下標和”性質(zhì)例1(2)(2009·廣東卷)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2(1)因為θ1+θ8+θ15=2π，且{θn}成等差數(shù)列，則θ1+θ15=2θ8，故θ8=.于是tan(θ2+θ14)=tan2θ8=tan=.C(2)(2009·廣東卷)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,(2)因為a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等比數(shù)列,則a1·a2n-1=a3·a2n-3=a5·a2n-5=…=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+…+log2a2n-1，則S=log2a2n-1+…+log2a3+log2a1,所以2S=log2[(a1·a2n-1)(a3·a2n-3)…(a2n-3·a3)(a2n-1·a1)]=log2(22n)n,所以2S=2n·n，所以S=n2.(2)因為a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等本題是等差、等比的求值題，難點是找條件和目標之間的對應(yīng)關(guān)系.解題時，根據(jù)等差、等比數(shù)列的“成對下標和”性質(zhì)，列出方程或多個恒等式是解題的關(guān)鍵.一般的，對于涉及等差、等比數(shù)列的通項公式的條件求值題，合理利用通項或相關(guān)性質(zhì)進行化歸是基本方法.本題是等差、等比的求值題，難點

(2010·湖北省模擬)設(shè)數(shù)列{an}、{bn}都是正項等比數(shù)列，Sn、Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項和,且=

,則logb5a5=

.由題知，====logb5a5logb5a5=.(2010·湖北省模擬)設(shè)題型二部分“和”“積”與整體性質(zhì)例2(1)等差數(shù)列{an}中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比數(shù)列{an}中,若a1·a2·a3·a4=1,a13·a14·a15·a16=8,求a41·a42·a43·a44.題型二部分“和”“積”與整體性質(zhì)例2(1)等(1)將相鄰兩項和a1+a2,a3+a4,a5+a6,…,a99+a100分別記為b1,b2,b3,…,b50,可知{bn}成等差數(shù)列.此數(shù)列的公差d=

=.a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b-8a.(1)將相鄰兩項和a1+a2,a3(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a14·q6=1.①a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a14·q54=8.②②÷①得，=q48=8q16=2.又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a14q166=a14·q6·q160=(a14q6)·(q16)10=1·210=1024.(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q(方法二)由性質(zhì)可知，依次４項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,T1=a1·a2·a3·a4=1,T4=a13·a14·a15·a16=8,所以T4=T1·q3=1·q3=8q=2,所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.巧用性質(zhì)，減少運算，在有關(guān)等差、等比數(shù)列的計算中非常重要.如（１）（2）小題巧用性質(zhì)，構(gòu)造一個新的等差或等比數(shù)列求解.(方法二)由性質(zhì)可知，依次４項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,T題型三等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3已知等比數(shù)列{xn}的各項為不等于１的正數(shù)，數(shù)列{yn}滿足ynlogxna=2(a>0,a≠1)，設(shè)y3=18,y6=12.(1)求數(shù)列{yn}的前多少項和最大,最大值為多少?(2)試判斷是否存在自然數(shù)，使當n>M時，xn>1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M值；若不存在，請說明理由；(3)令an=logxnxn+1（n>13,n∈N*），試判斷數(shù)列{an}的增減性？題型三等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3

(1)由已知得，yn=2logaxn.設(shè)等比數(shù)列{xn}的公比為q(q≠１)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga=2logaq,得{yn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.因為y3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+1≤0yk≥0所以前11項與前12項和為最大,其和為132.設(shè)前k項和為最大,則11≤k≤12,y12=0,(1)由已知得，yn=2log(2)xn=a12-n,n∈N*.若xn>1，則a12-n>1.當a>1時，n<12，顯然不成立；當0<a<1時，n>12,所以存在M=12,13,14,…,當n>M時，xn>1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=

.因為an+1-an=-=,又n>13,所以an+1<an.所以n>13時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運用方程、分類討論等思想方法進行分析、探索及解決問題的能力.(2)xn=a12-n,n∈N*.在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)·an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*),證明：{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項.在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=(1)證明:由題設(shè)an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.又b1=a2-a1=1,q≠0，所以{bn}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.(1)證明:由題設(shè)an+1=(1+q(2)由(1)知，a2-a1=1,a3-a2=q,…an-an-1=qn-2(n≥２).將以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).1+(q≠1)

n(q=1).上式對n=1顯然成立.所以當n≥2時,an=(2)由(1)知，a2-a1=1,所以當n≥2時,an=(3)由(2)知，當q=1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8,由q≠0，得q3-1=1-q6,