浙江大學07-08《線性代數(shù)I》期中試卷及答案

浙江大學2007-2008學年《線性代數(shù)I》期中試卷設(shè)X,YfXYXRxRxf(x)f(x

)。證明R是X中的等價關(guān)系。1 2 1 2（）自反性：對于xXf(x)f(x)xRx。xRxxxXf(xf(xxRx。1 2 1 2 2 1 2 1傳遞性：設(shè)x

,xRx

，其中xx

Xf(x

)f(x

)f(x)，即xRx。

1 2 2 3

1 2 3

1 2 31 3所以R是X中的等價關(guān)系。f?2?3f(xy)xxyxy定義。f是線性映射。f是否(i)單射；(ii)滿射；(iii)雙射；并給出理由。（a）對(x,y),(x,

?2，我們有1 1 2 2f((x,y)(x,y

))f(xx,yy)f(x,y

)f(x,y),1 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2f((x,y))f(x,y)f(x,y)1 1 1 1 1 1（其中省略號按題設(shè)中的定義即可得）所以f是線性映射。f(xyxxyxy0xy0，所以kerf{(0,0)}f是單射；因為dim?22，所以dimImf23dim?3f不是滿射；ff不是雙射。求3中向量關(guān)于有序基1

(0,1,1),v2

3

(1,0,2)}的坐標。(xxx，則有x(0,1,1)x(1,1,0)x

(1,0,2)，即1 2 3 1 2 3xx 1有方程組2 31 ，解之得

1,x

0,

1關(guān)于有序x x1 2

1 2 3x2x 1基{v1

1(0,1,1),v2

33

(1,0,2)}的坐標為(1,0,1)。配3xyz03上以為鏡面的鏡面映射的表達式。（自己參照課本寫出答案5．設(shè)[x]axa

xn1|a,a,,

}為全部次數(shù)n的實多項式。n 0 1

n1

0 1 n1D:[x]n

[x]n1

n0ff。（a）給出[x]n

的一組基和他的維數(shù)。D的核kerD和他的維數(shù)。D的像ImD和他的維數(shù)。用上面三部分驗證維數(shù)公式。（）易知1,x,x2,,xn1是[x]n

的一組基，所以dim[x]n

n。（b）設(shè)f(x)aaxa

xn1kerD，即0 1 n10Df(x)a1

2a2

x(n1)an1

xn2。所以f(x)kerDaa1 2

an1

0f(x)a。0所以kerDa，且dimkerD1。（c）對f(x)aaxa xn1[x]，有0 1 n1 nDf(x)a1

2a2

x(n1)an1

xn2L(1,x,,xn2)。x2 xn1D(x)1,D2x,Dn1xn2， 所以ImDL(1,x,xn2且dimImDn1。（d）由上面結(jié)果，顯然有dimkerDdimImD1n1)ndim[x]。n6．S4，WS生成的子空間。試用Schmidt正交化過程的方法求W的一組單位正交基。解：略。B是有限維內(nèi)積空間VuvV。若bB，有(u,b)0，證明u0。若bB，有(u,b)v,b，證明uv。a）B,u

。由題設(shè)可得對1 2 n 1 1 2 2 n nB，有(ui

)0，所以(u,u)(u,

)

,

11 (,

2

)0，u 1 1

u2

(u,n nnn所以u0。nn（b）若bB，有(u,b)(v,b)，則(uv,b)0。由（a）可得uv0，即uv。設(shè)V是由全部收斂的實數(shù)列構(gòu)成的集合，即Vn

|an1

?,{an

}n1

收斂}，試給出V一個實線性空間的結(jié)構(gòu)。V是有限維的實線性空間嗎？V一個實線性空間的結(jié)構(gòu)”意指給出V數(shù)乘運算。自己給出答案！V不是有限維的線性空間，這是因為：令 0,,0,1,0,,n1,2,3,n可證明（請自己給出）對于\{0}，有,1 2

,,n

線性無關(guān)。試證明或舉反例否定下面命題。若S和T是線性空間V的兩組線性無關(guān)的子集，則ST也是。ST是S性無關(guān)。解：錯。如（自己給出?2的兩組基。內(nèi)積空間的任意兩個向量uv恒滿足(uv0。解：錯。比如u(1,0),v1,0)?2，顯然(uv10。若dimVdimW，則不存在從V到W上的滿線性映射。