三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及高考題庫(kù)(學(xué)生版)

2218-三角函數(shù)任意角的概念任意角的概念弧長(zhǎng)與扇形面積公式角度制與弧度制同角三函數(shù)的基本關(guān)系任意角的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)計(jì)算與化簡(jiǎn)證明恒等式已知三角函數(shù)值求角和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)框架圖知識(shí)要點(diǎn):定義1角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等分為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為l，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|=,其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角α的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sinα=,余弦函數(shù)cosα=,正切函數(shù)tanα=,2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為=第二象限角的集合為=第三象限角的集合為=_________________PvxyPvxyAOMT終邊在軸上的角的集合為=____________________終邊在軸上的角的集合為=_________________終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為=__________________3、與角終邊相同的角的集合為=__________________4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再?gòu)妮S的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．5、弧度制與角度制的換算公式：，，．6、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，．7、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．(口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦)8、三角函數(shù)線：，，．若，則sinx<x<tanx.9、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；;．10、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：（把角寫成形式，利用口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限），，．，，．，，．，，．，．，．11、兩角和與差的三角函數(shù)公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．12、和差化積與積化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2cossin,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（，）．=3\*GB2⑶．14、半角公式:sin=；15、輔助角公式:，其中．16、萬能公式，，17、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的||倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．例：以變換到為例向左平移個(gè)單位（左加右減）橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變）橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）向左平移個(gè)單位（左加右減）縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變）注意：在變換中改變的始終是x。函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心無對(duì)稱軸三角函數(shù)題型分類總結(jié)三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明問題常用的方法技巧有：常數(shù)代換法：如：配角方法：,,,1、===2、（1）(10全國(guó)Ⅰ)是第四象限角，，則__________（2）（11北京文）若，則.(3)是第三象限角，，則==3、(1)(09陜西)已知?jiǎng)t=.(2)（12全國(guó)文）設(shè)，若，則=.（3）（08福建）已知?jiǎng)t=4.(1)(10福建)=(2)（11陜西）=。（3）。5.(1)若sinθ＋cosθ＝，則sin2θ=（2）已知，則的值為(3)若,則=6.（10北京）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則==7．（09浙江）已知，且，則tan＝8.若，則=9.（09重慶文）下列關(guān)系式中正確的是（）A． B．C． D．10．已知，則的值為（）A．B．C．D．11．已知sinθ=－，θ∈（－，0），則cos（θ－）的值為（）A．－ B． C．－ D．12．已知f（cosx）=cos3x，則f（sin30°）的值是（）A．1 B．C．0 D．－113．已知sinx－siny=－，cosx－cosy=，且x，y為銳角，則tan(x－y)的值是()A．B．－C．±D．14．已知tan160o＝a，則sin2000o的值是()A.eq\f(a,EQ\r(1＋a2))B.－eq\f(a,EQ\r(1＋a2))C.eq\f(1,EQ\r(1＋a2))D.－eq\f(1,EQ\r(1＋a2))15.若，則的取值范圍是：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）16.已知cos（α-）+sinα=()（A）-（B）(C)-(D)17.若則=（）（A）（B）2（C）（D）二.最值1.（09福建）函數(shù)最小值是=。2.①（08全國(guó)二）．函數(shù)的最大值為。②（08上海）函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinx+sin(eq\f(,2)+x)的最大值是③（12江西）若函數(shù)，，則的最大值為3.（08海南）函數(shù)的最小值為最大值為。4.（12上海）函數(shù)的最小值是.5．（11年福建）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于6.（12遼寧）設(shè)，則函數(shù)的最小值為．7．將函數(shù)的圖像向右平移了n個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則n的最小正值是A．B．C．D．8.若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為（）A．1 B． C． D．29．函數(shù)y=sin（x+θ）cos（x+θ）在x=2時(shí)有最大值，則θ的一個(gè)值是（）A． B． C． D．10.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是()A.1 B. C. D.1+ 11.求函數(shù)的最大值與最小值。三.單調(diào)性1.（09天津）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）.A.B.C.D.2.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．4．（07天津卷）設(shè)函數(shù)，則（）A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)5.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A．B．C．D．6．若函數(shù)f(x)同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①f(x)是偶函數(shù)，②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f()=f()，則f(x)的解析式可以是（） A．f(x)=cosxB．f(x)=cos(2x)C．f(x)=sin(4x)D．f(x)=cos6x四.周期性1．（07江蘇卷）下列函數(shù)中，周期為的是（）A．B．C．D．2.（08江蘇）的最小正周期為，其中，則=3.（04全國(guó)）函數(shù)的最小正周期是（）.4.（1）（04北京）函數(shù)的最小正周期是.（2）（09江蘇）函數(shù)的最小正周期為（）.5.（1）函數(shù)的最小正周期是(2)（09江西文）函數(shù)的最小正周期為(3).（08廣東）函數(shù)的最小正周期是．(4)（12年北京卷.理9）函數(shù)的最小正周期是.6.(09年廣東文)函數(shù)是()A．最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)7.（浙江卷2）函數(shù)的最小正周期是.8．函數(shù)的周期與函數(shù)的周期相等，則等于（）(A)2(B)1(C)(D)五.對(duì)稱性1.（08安徽）函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程可能是（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（） ABC D3．（11福建）函數(shù)的圖象（）Ａ．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 Ｂ．關(guān)于直線對(duì)稱Ｃ．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 Ｄ．關(guān)于直線對(duì)稱（09全國(guó)）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（）(A)(B)(C)(D)六.圖象平移與變換1.（08福建）函數(shù)y=cosx(x∈R)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)的解析式為2.（08天津）把函數(shù)（）的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是3.(09山東)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是4.(09湖南)將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0＜2的單位后，得到函數(shù)y=sin的圖象，則等于5．要得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象向平移個(gè)單位6（1）（12山東）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向平移個(gè)單位（2）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向平移個(gè)單位（3）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向平移個(gè)單位長(zhǎng)度7.（2009天津卷文）已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則的一個(gè)值是（）ABCD8.將函數(shù)y=EQ\R(3)cosx－sinx的圖象向左平移m（m>0）個(gè)單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小正值是（D）A.EQ\F(p,6)B.EQ\F(p,3) C.EQ\F(2p,3)D.EQ\F(5p,6)9.函數(shù)f(x)=cosx(x)(xR)的圖象按向量(m,0)平移后，得到函數(shù)y=-f′(x)的圖象，則m的值可以為()A. B. C.－ D.－ 10.若函數(shù)y=sin（x+）+2的圖象按向量a平移后得到函數(shù)y=sinx的圖象，則a等于（）A．（－，－2）B．（，2）C．（－，2）D．（，－2）11．將函數(shù)y=f（x）sinx的圖象向右平移個(gè)單位，再作關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線，得到函數(shù)y=1－2sin2x的圖象，則f（x）是（）A．cosx B．2cosxC．sinxD．2sinx12．若函數(shù)的圖象按向量平移后，它的一條對(duì)稱軸是，則的一個(gè)可能的值是A．B．C．D．13.將函數(shù)的圖象按向量平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則向量的坐標(biāo)可能為A． B． C． D．圖象1．（07寧夏、海南卷）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．函數(shù)在區(qū)間Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2（浙江卷7）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（A）0（B）1（C）2（D）43.已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在區(qū)間[0，2π]的圖像如下：那么ω=（）A.1 B.2 C.1/2 D.1/34．（2012年四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是（）（A）（B）（C）（D）5.（2009寧夏海南卷文）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則。6．為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象，只需把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象()A．向左平移eq\f(π,4)個(gè)長(zhǎng)度單位B．向右平移eq\f(π,4)個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移eq\f(π,2)個(gè)長(zhǎng)度單位D．向右平移eq\f(π,2)個(gè)長(zhǎng)度單位7．已知函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，則下列判斷正確的是()A．此函數(shù)的最小正周期為2π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))B．此函數(shù)的最小正周期為π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))C．此函數(shù)的最小正周期為2π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))D．此函數(shù)的最小正周期為π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))8．如果函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,8)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．1D．－19．(2010·福建)已知函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則f(x)的取值范圍是________．10．設(shè)函數(shù)y＝coseq\f(1,2)πx的圖象位于y軸右側(cè)所有的對(duì)稱中心從左依次為A1，A2，…，An，….則A50的坐標(biāo)是________．11．把函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象向左平移m個(gè)單位(m>0)，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是________．12．已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2))).(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且f(α)＝eq\f(3,5)，f(β)＝eq\f(12,13)，求f(α－β)的值．14．(2010·山東)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))(0<φ<π)，其圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))).(1)求φ的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值．八.解三角形1.(2009年廣東卷文)已知中，的對(duì)邊分別為若且，則2.（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于2，的取值范圍為.3.（09福建）已知銳角的面積為，，則角的大小為4、在△ABC中，等于。5．已知△ABC中，，則的值為6.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)的面積，求的長(zhǎng)．7.在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，求及8.已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A為銳角.（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）求函數(shù)的值域.9.在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．九..綜合1.（11年天津）定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為2．(11年廣東)函數(shù)f(x)是（） A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為2的偶函數(shù) D．.周期為2的奇函數(shù)3．（09四川）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為2B.函數(shù)在區(qū)間［0，］上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線＝0對(duì)稱D.函數(shù)是奇函數(shù)4．(07安徽卷)函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③函數(shù))內(nèi)是增函數(shù);④由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.5.（08廣東卷）已知函數(shù)，則是（）A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為的偶函數(shù)6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是C（A）0（B）1（C）2（D）47．若α是第三象限角，且cos<0，則是