材料力學(xué)第五版課后習(xí)題答案

軸向拉伸和壓縮2-1

試求圖示各桿1-1和2-2橫截面上的軸力，并作軸力圖。（a）解：；；（b）解：；；

（c）解：；。(d)解：。

2-2

試求圖示等直桿橫截面1-1，2-2和3-3上的軸力，并作軸力圖。若橫截面面積，試求各橫截面上的應(yīng)力。解：

返回2-3

試求圖示階梯狀直桿橫截面1-1，2-2和3-3上的軸力，并作軸力圖。若橫截面面積，，，并求各橫截面上的應(yīng)力。解：返回2-4

圖示一混合屋架結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋架的上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中間豎向撐桿用角鋼構(gòu)成，其截面均為兩個(gè)75mm×8mm的等邊角鋼。已知屋面承受集度為的豎直均布荷載。試求拉桿AE和EG橫截面上的應(yīng)力。

解：=1）

求內(nèi)力取I-I分離體

得

（拉）取節(jié)點(diǎn)E為分離體，

故（拉）2）

求應(yīng)力

75×8等邊角鋼的面積A=11.5cm2

(拉)

（拉）

返回2-5(2-6)

圖示拉桿承受軸向拉力，桿的橫截面面積。如以表示斜截面與橫截面的夾角，試求當(dāng)，30，45，60，90時(shí)各斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，并用圖表示其方向。

解：

返回2-6(2-8)

一木樁柱受力如圖所示。柱的橫截面為邊長(zhǎng)200mm的正方形，材料可認(rèn)為符合胡克定律，其彈性模量E=10GPa。如不計(jì)柱的自重，試求：（1）作軸力圖；（2）各段柱橫截面上的應(yīng)力；（3）各段柱的縱向線應(yīng)變；（4）柱的總變形。解：

（壓）

（壓）返回2-7(2-9)

一根直徑、長(zhǎng)的圓截面桿，承受軸向拉力，其伸長(zhǎng)為。試求桿橫截面上的應(yīng)力與材料的彈性模量E。解：

2-8(2-11)

受軸向拉力F作用的箱形薄壁桿如圖所示。已知該桿材料的彈性常數(shù)為E，，試求C與D兩點(diǎn)間的距離改變量。解：橫截面上的線應(yīng)變相同因此返回2-9(2-12)

圖示結(jié)構(gòu)中，AB為水平放置的剛性桿，桿1，2，3材料相同，其彈性模量E=210GPa，已知，，，。試求C點(diǎn)的水平位移和鉛垂位移。解：（1）受力圖（a），。（2）變形協(xié)調(diào)圖（b）因，故=（向下）（向下）為保證，點(diǎn)A移至，由圖中幾何關(guān)系知；返回第三章

扭轉(zhuǎn)3-1

3-2

3-3

3-4

3-5

3-6

3-7

3-8

3-9

3-10

3-11

3-12

3-1

一傳動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速，軸上裝有五個(gè)輪子，主動(dòng)輪Ⅱ輸入的功率為60kW，從動(dòng)輪，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次輸出18kW，12kW,22kW和8kW。試作軸的扭矩圖。解：kNkNkNkN

返回3-2(3-3)

圓軸的直徑，轉(zhuǎn)速為。若該軸橫截面上的最大切應(yīng)力等于，試問(wèn)所傳遞的功率為多大？解：

故即

又

故

返回

3-3(3-5)

實(shí)心圓軸的直徑mm，長(zhǎng)m，其兩端所受外力偶矩，材料的切變模量。試求：（1）最大切應(yīng)力及兩端截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角；（2）圖示截面上A，B，C三點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值及方向；（3）C點(diǎn)處的切應(yīng)變。解：=

返回3-4(3-6)

圖示一等直圓桿，已知，，，。試求：（1）最大切應(yīng)力；（2）截面A相對(duì)于截面C的扭轉(zhuǎn)角。解：（1）由已知得扭矩圖（a）

（2）返回3-5(3-12)

長(zhǎng)度相等的兩根受扭圓軸，一為空心圓軸，一為實(shí)心圓軸，兩者材料相同，受力情況也一樣。實(shí)心軸直徑為d；空心軸外徑為D，內(nèi)徑為，且。試求當(dāng)空心軸與實(shí)心軸的最大切應(yīng)力均達(dá)到材料的許用切應(yīng)力），扭矩T相等時(shí)的重量比和剛度比。解：重量比=因?yàn)榧?/p>

故

故

剛度比=

=返回3-6(3-15)

圖示等直圓桿，已知外力偶矩，，許用切應(yīng)力，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，切變模量。試確定該軸的直徑d。解：扭矩圖如圖（a）

（1）考慮強(qiáng)度，最大扭矩在BC段，且

（1）

(2）考慮變形

（2）比較式（1）、（2），取返回3-7(3-16)

階梯形圓桿，AE段為空心，外徑D=140mm，內(nèi)徑d=100mm；BC段為實(shí)心，直徑d=100mm。外力偶矩，，。已知：，，。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。

解：扭矩圖如圖（a）（1）強(qiáng)度=

，BC段強(qiáng)度基本滿足

=故強(qiáng)度滿足。（2）剛度

BC段：

BC段剛度基本滿足。

AE段：AE段剛度滿足，顯然EB段剛度也滿足。返回3-8(3-17)

習(xí)題3-1中所示的軸，材料為鋼，其許用切應(yīng)力，切變模量，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度及剛度條件選擇圓軸的直徑。解：由3-1題得：

故選用。返回3-9(3-18)

一直徑為d的實(shí)心圓桿如圖，在承受扭轉(zhuǎn)力偶矩后，測(cè)得圓桿表面與縱向線成方向上的線應(yīng)變?yōu)?。試?dǎo)出以，d和表示的切變模量G的表達(dá)式。解：圓桿表面貼應(yīng)變片處的切應(yīng)力為

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)處于純剪切狀態(tài)，圖（a）。切應(yīng)變

（1）對(duì)角線方向線應(yīng)變：

（2）式（2）代入（1）：

返回3-10(3-19)

有一壁厚為25mm、內(nèi)徑為250mm的空心薄壁圓管，其長(zhǎng)度為1m，作用在軸兩端面內(nèi)的外力偶矩為180。試確定管中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。已知材料的切變模量。解：

3-11(3-21)

簧桿直徑mm的圓柱形密圈螺旋彈簧，受拉力作用，彈簧的平均直徑為mm，材料的切變模量。試求：（1）簧桿內(nèi)的最大切應(yīng)力；（2）為使其伸長(zhǎng)量等于6mm所需的彈簧有效圈數(shù)。解：，

故

因?yàn)?/p>

故

圈返回3-12(3-23)

圖示矩形截面鋼桿承受一對(duì)外力偶矩。已知材料的切變模量，試求：

（1）桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向；（2）橫截面矩邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力；（3）桿的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。解：

，，

由表得

MPa

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彎曲應(yīng)力4-1

4-2

4-3

4-4

4-5

4-6

4-7

4-8

4-9

4-10

下頁(yè)4-1(4-1)

試求圖示各梁中指定截面上的剪力和彎矩。解：（a）

（b）

（c）

（d）

=

（e）

（f）（g）（h）=

返回4-2(4-2)

試寫(xiě)出下列各梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：（a）

（b）時(shí)

時(shí)

（c）時(shí)

時(shí)

（d）

（e）時(shí)，

時(shí)，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段內(nèi)：

BC段內(nèi)：

（h）AB段內(nèi)：

BC段內(nèi)：

CD段內(nèi)：

返回4-3(4-3)

試?yán)煤奢d集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作下列各梁的剪力圖和彎矩圖。

返回4-4(4-4)

試作下列具有中間鉸的梁的剪力圖和彎矩圖。

返回4-5(4-6)

已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖如圖所示。試作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒(méi)有集中力偶作用。

返回4-6(4-7)

試根據(jù)圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖作出梁的剪力圖與荷載圖。

返回4-7(4-15)

試作圖示剛架的剪力圖、彎矩圖和軸力圖。

返回

4-8(4-18)

圓弧形曲桿受力如圖所示。已知曲桿軸線的半徑為R，試寫(xiě)出任意橫截面C上剪力、彎矩和軸力的表達(dá)式（表示成角的函數(shù)），并作曲桿的剪力圖、彎矩圖和軸力圖。解：（a）

（b）

返回4-9(4-19)

圖示吊車梁，吊車的每個(gè)輪子對(duì)梁的作用力都是F，試問(wèn)：（1）吊車在什么位置時(shí)，梁內(nèi)的彎矩最大？最大彎矩等于多少？（2）吊車在什么位置時(shí)，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？解：梁的彎矩最大值發(fā)生在某一集中荷載作用處。

，得：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)M極大時(shí)：，則

，故，故為梁內(nèi)發(fā)生最大彎矩的截面故：=

返回4-10(4-21)

長(zhǎng)度為250mm、截面尺寸為的薄鋼尺，由于兩端外力偶的作用而彎成中心角為的圓弧。已知彈性模量。試求鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力。解：由中性層的曲率公式及橫截面上最大彎曲正應(yīng)力公式得：由幾何關(guān)系得：于是鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力為：

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梁彎曲時(shí)的位移5-1

5-2

5-3

5-4

5-5

5-6

5-7

5-85-1(5-13)

試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-4。解：

（向下）（向上）

（逆）

（逆）返回

5-2(5-14)

試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-5。

解：分析梁的結(jié)構(gòu)形式，而引起B(yǎng)D段變形的外力則如圖（a）所示，即彎矩與彎矩。

由附錄（Ⅳ）知，跨長(zhǎng)l的簡(jiǎn)支梁的梁一端受一集中力偶M作用時(shí)，跨中點(diǎn)撓度為。用到此處再利用迭加原理得截面C的撓度

（向上）返回5-3(5-15)

試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-10。解：

返回5-4(5-16)

試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-7中的。解：原梁可分解成圖5-16a和圖5-16d迭加，而圖5-16a又可分解成圖5-16b和5-16c。由附錄Ⅳ得返回5-5(5-18)

試按迭加原理求圖示梁中間鉸C處的撓度，并描出梁撓曲線的大致形狀。已知EI為常量。解：（a）由圖5-18a-1

（b）由圖5-18b-1=返回

5-6(5-19)

試按迭加原理求圖示平面折桿自由端截面C的鉛垂位移和水平位移。已知桿各段的橫截面面積均為A，彎曲剛度均為EI。

解：返回

5-7(5-25)

松木桁條的橫截面為圓形，跨長(zhǎng)為4m，兩端可視為簡(jiǎn)支，全跨上作用有集度為的均布荷載。已知松木的許用應(yīng)力，彈性模量。桁條的許可相對(duì)撓度為。試求桁條橫截面所需的直徑。（桁條可視為等直圓木梁計(jì)算，直徑以跨中為準(zhǔn)。）解：均布荷載簡(jiǎn)支梁，其危險(xiǎn)截面位于跨中點(diǎn)，最大彎矩為，根據(jù)強(qiáng)度條件有

從滿足強(qiáng)度條件，得梁的直徑為

對(duì)圓木直徑的均布荷載，簡(jiǎn)支梁的最大撓度為

而相對(duì)撓度為

由梁的剛度條件有

為滿足梁的剛度條件，梁的直徑有

由上可見(jiàn)，為保證滿足梁的強(qiáng)度條件和剛度條件，圓木直徑需大于。返回

5-8(5-26)

圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長(zhǎng)等于0.20m的正方形，，；鋼拉桿的橫截面面積。試求拉桿的伸長(zhǎng)及梁中點(diǎn)沿鉛垂方向的位移。

解：從木梁的靜力平衡，易知鋼拉桿受軸向拉力40于是拉桿的伸長(zhǎng)為

=木梁由于均布荷載產(chǎn)生的跨中撓度為

梁中點(diǎn)的鉛垂位移等于因拉桿伸長(zhǎng)引起梁中點(diǎn)的剛性位移與中點(diǎn)撓度的和，即

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簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題6-1

6-2

6-3

6-4

6-5

6-6

6-7

6-8

6-9

6-10

6-11

6-12

6-13

6-1

試作圖示等直桿的軸力圖。解：取消A端的多余約束，以代之，則（伸長(zhǎng)），在外力作用下桿產(chǎn)生縮短變形。

因?yàn)楣潭ǘ瞬荒芤苿?dòng)，故變形協(xié)調(diào)條件為：故故返回6-2

圖示支架承受荷載各桿由同一材料制成，其橫截面面積分別為，和。試求各桿的軸力。解：設(shè)想在荷載F作用下由于各桿的變形，節(jié)點(diǎn)A移至。此時(shí)各桿的變形及如圖所示?，F(xiàn)求它們之間的幾何關(guān)系表達(dá)式以便建立求內(nèi)力的補(bǔ)充方程。

即：亦即：將

，，代入，得：即：亦即：

（1）此即補(bǔ)充方程。與上述變形對(duì)應(yīng)的內(nèi)力如圖所示。根據(jù)節(jié)點(diǎn)A的平衡條件有：；亦即：

（2）；，

亦即：

（3）聯(lián)解（1）、（2）、（3）三式得：（拉）（拉）（壓）返回6-3

一剛性板由四根支柱支撐，四根支柱的長(zhǎng)度和截面都相同，如圖所示。如果荷載F作用在A點(diǎn)，試求這四根支柱各受力多少。解：因?yàn)?，4兩根支柱對(duì)稱，所以，在F力作用下：

變形協(xié)調(diào)條件：

補(bǔ)充方程：求解上述三個(gè)方程得：

返回6-4

剛性桿AB的左端鉸支，兩根長(zhǎng)度相等、橫截面面積相同的鋼桿CD和EF使該剛性桿處于水平位置，如圖所示。如已知，兩根鋼桿的橫截面面積，試求兩桿的軸力和應(yīng)力。解：，

（1）又由變形幾何關(guān)系得知：，

（2）聯(lián)解式（1），（2），得，故，返回6-5(6-7)

橫截面為250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等邊角鋼加固，并承受壓力F，如圖所示。已知角鋼的許用應(yīng)力，彈性模量；木材的許用應(yīng)力，彈性模量。試求短木柱的許可荷載。解：（1）木柱與角鋼的軸力由蓋板的靜力平衡條件：

（1）由木柱與角鋼間的變形相容條件，有

（2）由物理關(guān)系：

（3）式（3）代入式（2），得

（4）解得：

代入式（1），得：（2）許可載荷

由角鋼強(qiáng)度條件由木柱強(qiáng)度條件：故許可載荷為：返回6-6(6-9)

圖示階梯狀桿，其上端固定，下端與支座距離。已知上、下兩段桿的橫截面面積分別為和，材料的彈性模量。試作圖示荷載作用下桿的軸力圖。解：變形協(xié)調(diào)條件故

故

，返回6-7(6-10)

兩端固定的階梯狀桿如圖所示。已知AC段和BD段的橫截面面積為A，CD段的橫截面面積為2A；桿材料的彈性模量為，線膨脹系數(shù)℃-1。試求當(dāng)溫度升高℃后，該桿各部分產(chǎn)生的應(yīng)力。解：設(shè)軸力為，總伸長(zhǎng)為零，故

==返回6-8(6-11)

圖示為一兩端固定的階梯狀圓軸，在截面突變處承受外力偶矩。若，試求固定端的支反力偶矩，并作扭矩圖。解：解除B端多余約束，則變形協(xié)調(diào)條件為即

故：即：解得：由于

故

返回6-9(6-13)

一空心圓管A套在實(shí)心圓桿B的一端，如圖所示。兩桿在同一橫截面處各有一直徑相同的貫穿孔，但兩孔的中心線構(gòu)成一個(gè)角?，F(xiàn)在桿B上施加外力偶使桿B扭轉(zhuǎn)，以使兩孔對(duì)準(zhǔn)，并穿過(guò)孔裝上銷釘。在裝上銷釘后卸除施加在桿B上的外力偶。試問(wèn)管A和桿B橫截面上的扭矩為多大？已知管A和桿B的極慣性矩分別為；兩桿的材料相同，其切變模量為G。解：解除Ⅱ端約束，則Ⅱ端相對(duì)于截面C轉(zhuǎn)了角，（因?yàn)槭孪葘UB的C端扭了一個(gè)角），故變形協(xié)調(diào)條件為=0故：故：故連接處截面C，相對(duì)于固定端Ⅱ的扭轉(zhuǎn)角為：

=而連接處截面C，相對(duì)于固定端I的扭轉(zhuǎn)角為：

=應(yīng)變能

=

=返回6-10(6-15)

試求圖示各超靜定梁的支反力。解（a）：原梁AB是超靜定的，當(dāng)去掉多余的約束鉸支座B時(shí)，得到可靜定求解的基本系統(tǒng)（圖i）去掉多余約束而代之以反力，并根據(jù)原來(lái)約束條件，令B點(diǎn)的撓度，則得到原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)（圖ii）。利用的位移條件，得補(bǔ)充方程：

由此得：由靜力平衡，求得支反力，為：

剪力圖、彎矩圖分別如圖（iii），（iv）所示。梁的撓曲線形狀如圖（v）所示。這里遵循這樣幾個(gè)原則：（1）固定端截面撓度，轉(zhuǎn)角均為零；（2）鉸支座處截面撓度為零；（3）正彎矩時(shí)，撓曲線下凹，負(fù)彎矩時(shí)，撓曲線上凸；（4）彎矩為零的截面，是撓曲線的拐點(diǎn)位置。（b）解：由相當(dāng)系統(tǒng)（圖ii）中的位移條件，得補(bǔ)充方程式：

因此得支反力：根據(jù)靜力平衡，求得支反力：

,

剪力圖、彎矩圖，撓曲線圖分別如圖（iii）、（iv）、（v）所示。（c）解：由于結(jié)構(gòu)、荷載對(duì)稱，因此得支反力；應(yīng)用相當(dāng)系統(tǒng)的位移條件，得補(bǔ)充方程式：

注意到，于是得：

=剪力圖、彎矩圖、撓曲線分別如圖（iii）、（iv）、（v）所示。

其中：

若截面的彎矩為零，則有：

整理：解得：或。返回6-11(6-16)

荷載F作用在梁AB及CD的連接處，試求每根梁在連接處所受的力。已知其跨長(zhǎng)比和剛度比分別為

解：令梁在連接處受力為，則梁AB、CD受力如圖（b）所示。梁AB截面B的撓度為：梁CD截面C的撓度為：

由于在鉛垂方向截面B與C連成一體，因此有。將有關(guān)式子代入得：變換成：

即：解得每個(gè)梁在連接處受力：返回6-12(6-18)

圖示結(jié)構(gòu)中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI為常量。試?yán)L出梁CD的剪力圖和彎矩圖。解：由EF為剛性桿得即

圖（b）：由對(duì)稱性，剪力圖如圖（c）所示，彎矩圖如圖（d）所示，

返回6-13(6-21)

梁AB的兩端均為固定端，當(dāng)其左端轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度時(shí)，試確定梁的約束反力。解：當(dāng)去掉梁的A端約束時(shí)，得一懸臂梁的基本系統(tǒng)（圖a）。對(duì)去掉的約束代之以反力和，并限定A截面的位移：。這樣得到原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)（圖b）。利用位移條件，，與附錄（Ⅳ）得補(bǔ)充式方程如下：

（1）

（2）由式（1）、（2）聯(lián)解，得：從靜力平衡，進(jìn)而求得反力是：

返回第七章

應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論7-1

7-2

7-3

7-4

7-5

7-6

7-7

7-8

7-9

7-10

7-11

7-12

7-13

7-1(7-3)

一拉桿由兩段桿沿m-n面膠合而成。由于實(shí)用的原因，圖中的角限于范圍內(nèi)。作為“假定計(jì)算”，對(duì)膠合縫作強(qiáng)度計(jì)算時(shí)可以把其上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別與相應(yīng)的許用應(yīng)力比較。現(xiàn)設(shè)膠合縫的許用切應(yīng)力為許用拉應(yīng)力的3/4，且這一拉桿的強(qiáng)度由膠合縫的強(qiáng)度控制。為了使桿能承受最大的荷載F，試問(wèn)角的值應(yīng)取多大？解：按正應(yīng)力強(qiáng)度條件求得的荷載以表示：按切應(yīng)力強(qiáng)度條件求得的荷載以表示，則

即：

當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，由、隨而變化的曲線圖中得出，當(dāng)時(shí)，桿件承受的荷載最大，。若按膠合縫的達(dá)到的同時(shí)，亦達(dá)到的條件計(jì)算

則

即：

，則

故此時(shí)桿件承受的荷載，并不是桿能承受的最大荷載。返回7-2(7-7)

試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求圖示懸臂梁距離自由端為0.72m的截面上，在頂面以下40mm的一點(diǎn)處的最大及最小主應(yīng)力，并求最大主應(yīng)力與x軸之間的夾角。解：

=由應(yīng)力圓得

返回7-3(7-8)

各單元體面上的應(yīng)力如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求：

（1）指定截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力的數(shù)值；（3）在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。

解：（a），，，，

（b），，，，

（c）,

,

,

（d），，，，，

返回7-4(7-9)

各單元體如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求：（1）主應(yīng)力的數(shù)值；（2）在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。解：（a），，，

（b），，，

（c），，，

（d），，，

返回7-5(7-10)

已知平面應(yīng)力狀態(tài)下某點(diǎn)處的兩個(gè)截面上的應(yīng)力如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值和主平面方位，并求出兩截面間的夾角值。解：由已知按比例作圖中A，B兩點(diǎn)，作AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)C，以C為圓心，CA或CB為半徑作圓，得（或由得

半徑）（1）主應(yīng)力

（2）主方向角

（3）兩截面間夾角：

返回7-6(7-13)

在一塊鋼板上先畫(huà)上直徑的圓，然后在板上加上應(yīng)力，如圖所示。試問(wèn)所畫(huà)的圓將變成何種圖形？并計(jì)算其尺寸。已知鋼板的彈性常數(shù)E=206GPa，=0.28。解：所畫(huà)的圓變成橢圓，其中

（長(zhǎng)軸）

（短軸）返回7-7(7-15)

單元體各面上的應(yīng)力如圖所示。試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。解：（a）由xy平面內(nèi)應(yīng)力值作a，b點(diǎn)，連接ab交軸得圓心C（50，0）

應(yīng)力圓半徑故

（b）由xz平面內(nèi)應(yīng)力作a，b點(diǎn)，連接ab交軸于C點(diǎn)，OC=30，故應(yīng)力圓半徑

則：

（c）由圖7-15（c）yz平面內(nèi)應(yīng)力值作a，b點(diǎn)，圓心為O，半徑為50，作應(yīng)力圓得

返回7-8(7-18)

邊長(zhǎng)為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=14kN作用。已知=0.3，假設(shè)鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦力可略去不計(jì)。試求立方體各個(gè)面上的正應(yīng)力。

解：（壓）

（1）

（2）聯(lián)解式（1），（2）得（壓）返回7-9(7-20)

D=120mm，d=80mm的空心圓軸，兩端承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)力偶矩，如圖所示。在軸的中部表面A點(diǎn)處，測(cè)得與其母線成方向的線應(yīng)變?yōu)?。已知材料的彈性常?shù)，，試求扭轉(zhuǎn)力偶矩。解：方向如圖返回7-10(7-22)

一直徑為25mm的實(shí)心鋼球承受靜水壓力，壓強(qiáng)為14MPa。設(shè)鋼球的E=210GPa，=0.3。試問(wèn)其體積減小多少？解：體積應(yīng)變=返回7-11(7-23)

已知圖示單元體材料的彈性常數(shù)。試求該單元體的形狀改變能密度。解：主應(yīng)力：

形狀改變能密度：

==返回7-12(7-25)

一簡(jiǎn)支鋼板梁承受荷載如圖a所示，其截面尺寸見(jiàn)圖b。已知鋼材的許用應(yīng)力為。試校核梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并按第四強(qiáng)度理論校核危險(xiǎn)截面上的點(diǎn)a的強(qiáng)度。注：通常在計(jì)算點(diǎn)a處的應(yīng)力時(shí)近似地按點(diǎn)的位置計(jì)算。解：

=

（1）梁內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上、下邊緣

超過(guò)的5.3%尚可。（2）梁內(nèi)最大剪應(yīng)力發(fā)生在支承截面的中性軸處（3）在集中力作用處偏外橫截面上校核點(diǎn)a的強(qiáng)度

超過(guò)的3.53%，在工程上是允許的。返回7-13(7-27)

受內(nèi)壓力作用的容器，其圓筒部分任意一點(diǎn)A（圖a）處的應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示。當(dāng)容器承受最大的內(nèi)壓力時(shí)，用應(yīng)變計(jì)測(cè)得。已知鋼材的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3，許用應(yīng)力。試按第三強(qiáng)度理論校核A點(diǎn)的強(qiáng)度。解：

，，根據(jù)第三強(qiáng)度理論：

超過(guò)的7.64%，不能滿足強(qiáng)度要求。返回第八章

組合變形及連接部分的計(jì)算8-1

8-2

8-3

8-4

8-5

8-6

8-7

8-8

8-9

8-10

下頁(yè)8-114號(hào)工字鋼懸臂梁受力情況如圖所示。已知m，，，試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力。解：危險(xiǎn)截面在固定端==返回8-2

受集度為的均布荷載作用的矩形截面簡(jiǎn)支梁，其荷載作用面與梁的縱向?qū)ΨQ面間的夾角為，如圖所示。已知該梁材料的彈性模量；梁的尺寸為m，mm，mm；許用應(yīng)力；許可撓度。試校核梁的強(qiáng)度和剛度。解：

=，強(qiáng)度安全，==剛度安全。返回8-3(8-5)

圖示一懸臂滑車架，桿AB為18號(hào)工字鋼，其長(zhǎng)度為m。試求當(dāng)荷載作用在AB的中點(diǎn)D處時(shí)，桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。設(shè)工字鋼的自重可略去不計(jì)。解：18號(hào)工字鋼，，AB桿系彎壓組合變形。，，====返回8-4(8-6)

磚砌煙囪高m，底截面m-m的外徑m，內(nèi)徑m，自重kN，受的風(fēng)力作用。試求：（1）煙囪底截面上的最大壓應(yīng)力；（2）若煙囪的基礎(chǔ)埋深m，基礎(chǔ)及填土自重按計(jì)算，土壤的許用壓應(yīng)力，圓形基礎(chǔ)的直徑D應(yīng)為多大？注：計(jì)算風(fēng)力時(shí)，可略去煙囪直徑的變化，把它看作是等截面的。解：煙囪底截面上的最大壓應(yīng)力：==土壤上的最大壓應(yīng)力：即

即

解得：m返回8-5(8-8)

試求圖示桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。力F與桿的軸線平行。解：，z為形心主軸。固定端為危險(xiǎn)截面，其中：軸力，彎矩，=

A點(diǎn)拉應(yīng)力最大==B點(diǎn)壓應(yīng)力最大==因此返回8-6(8-9)

有一座高為1.2m、厚為0.3m的混凝土墻，澆筑于牢固的基礎(chǔ)上，用作擋水用的小壩。試求：

（1）當(dāng)水位達(dá)到墻頂時(shí)墻底處的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力（設(shè)混凝土的密度為）；（2）如果要求混凝土中沒(méi)有拉應(yīng)力，試問(wèn)最大許可水深h為多大？解：以單位寬度的水壩計(jì)算：

水壓：混凝土對(duì)墻底的壓力為：墻壩的彎曲截面系數(shù)：墻壩的截面面積：墻底處的最大拉應(yīng)力為：==當(dāng)要求混凝土中沒(méi)有拉應(yīng)力時(shí)：即

即

m返回8-7(8-10)

受拉構(gòu)件形狀如圖，已知截面尺寸為40mm×5mm，承受軸向拉力?，F(xiàn)拉桿開(kāi)有切口，如不計(jì)應(yīng)力集中影響，當(dāng)材料的時(shí)，試確定切口的最大許可深度，并繪出切口截面的應(yīng)力變化圖。解：即整理得：解得：

mm返回8-8(8-11)

一圓截面直桿受偏心拉力作用，偏心距mm，桿的直徑為70mm，許用拉應(yīng)力為120MPa。試求桿的許可偏心拉力值。解：圓截面面積圓截面的彎曲截面系數(shù)即：，返回8-9(8-15)

曲拐受力如圖示，其圓桿部分的直徑mm。試畫(huà)出表示A點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求其主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。解：A點(diǎn)所在的橫截面上承受彎矩和扭矩作用，其值它們?cè)邳c(diǎn)A分別產(chǎn)生拉應(yīng)力和切應(yīng)力，其應(yīng)力狀態(tài)如圖8-15a，其中

注：剪力在點(diǎn)A的切應(yīng)力為零。返回8-10(8-16)

鐵道路標(biāo)圓信號(hào)板，裝在外徑mm的空心圓柱上，所受的最大風(fēng)載，。試按第三強(qiáng)度理論選定空心柱的厚度。解：忽略風(fēng)載對(duì)空心柱的分布?jí)毫Γ挥?jì)風(fēng)載對(duì)信號(hào)板的壓力，則信號(hào)板受風(fēng)力空心柱固定端處為危險(xiǎn)截面，其彎矩：

扭矩：

=mm返回第九章壓桿穩(wěn)定9-1

9-2

9-3

9-4

9-5

9-6

9-7

9-8

9-9

9-10

9-119-1(9-2)

圖示各桿材料和截面均相同，試問(wèn)桿能承受的壓力哪根最大，哪根最小（圖f所示桿在中間支承處不能轉(zhuǎn)動(dòng)）？解：對(duì)于材料和截面相同的壓桿，它們能承受的壓力與成反比，此處，為與約束情況有關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)。（a）=1×5=5m（b）=0.7×7=4.9m（c）=0.5×9=4.5m（d）=2×2=4m（e）=1×8=8m（f）=0.7×5=3.5m故圖e所示桿最小，圖f所示桿最大。返回9-2(9-5)

長(zhǎng)5m的10號(hào)工字鋼，在溫度為時(shí)安裝在兩個(gè)固定支座之間，這時(shí)桿不受力。已知鋼的線膨脹系數(shù)。試問(wèn)當(dāng)溫度升高至多少度時(shí)，桿將喪失穩(wěn)定？解：返回9-3(9-6)

兩根直徑為d的立柱，上、下端分別與強(qiáng)勁的頂、底塊剛性連接，如圖所示。試根據(jù)桿端的約束條件，分析在總壓力F作用下，立柱可能產(chǎn)生的幾種失穩(wěn)形態(tài)下的撓曲線形狀，分別寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的總壓力F之臨界值的算式（按細(xì)長(zhǎng)桿考慮），確定最小臨界力的算式。解：在總壓力F作用下，立柱微彎時(shí)可能有下列三種情況：（a）每根立柱作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)：

（b）兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面內(nèi)失穩(wěn)

失穩(wěn)時(shí)整體在面內(nèi)彎曲，則1，2兩桿組成一組合截面。

（c）兩根立柱一起作為下端固定而上端

自由的體系在面外失穩(wěn)

故面外失穩(wěn)時(shí)最小=。返回9-4(9-7)

圖示結(jié)構(gòu)ABCD由三根直徑均為d的圓截面鋼桿組成，在點(diǎn)B鉸支，而在點(diǎn)A和點(diǎn)C固定，D為鉸接點(diǎn)，。若結(jié)構(gòu)由于桿件在平面ABCD內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能力，試確定作用于結(jié)點(diǎn)D處的荷載F的臨界值。解：桿DB為兩端鉸支，桿DA及DC為一端鉸支一端固定，選取。此結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)桿DB失穩(wěn)時(shí)結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到桿AD及DC也失穩(wěn)時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)才喪失承載能力，故

返回9-5(9-9)

下端固定、上端鉸支、長(zhǎng)m的壓桿，由兩根10號(hào)槽鋼焊接而成，如圖所示，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。已知桿的材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求壓桿的許可荷載。解：m返回9-6(9-10)

如果桿分別由下列材料制成：

（1）比例極限，彈性模量的鋼；（2），，含鎳3.5%的鎳鋼；（3），的松木。試求可用歐拉公式計(jì)算臨界力的壓桿的最小柔度。解：（1）

（2）

（3）返回9-7(9-11)

兩端鉸支、強(qiáng)度等級(jí)為T(mén)C13的木柱，截面為150mm×150mm的正方形，長(zhǎng)度m，強(qiáng)度許用應(yīng)力。試求木柱的許可荷載。解：由公式（9-12a），

返回9-8(9-13)

一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角鋼組成（如圖），并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。支柱的兩端為鉸支，柱長(zhǎng)l=6m，壓力為450。若材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求支柱橫截面邊長(zhǎng)a的尺寸。解：（查表：，），查表得：m4=mm返回9-9(9-14)

某桁架的受壓弦桿長(zhǎng)4m,由綴板焊成一體，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求，截面形式如圖所示，材料為Q235鋼，。若按兩端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。解：由型鋼表查得角鋼：

得查表：故

返回9-10(9-16)

圖示一簡(jiǎn)單托架，其撐桿AB為圓截面木桿，強(qiáng)度等級(jí)為T(mén)C15。若架上受集度為的均布荷載作用，AB兩端為柱形鉸，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求撐桿所需的直徑d。解：取I-I以上部分為分離體，由，有設(shè)

，m則

求出的與所設(shè)基本相符，故撐桿直徑選用m。返回9-11(9-17)

圖示結(jié)構(gòu)中桿AC與CD均由Q235鋼制成，C，D兩處均為球鉸。已知mm，mm，mm；，，；強(qiáng)度安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù)。試確定該結(jié)構(gòu)的許可荷載。解：（1）桿CD受壓力

梁BC中最大彎矩（2）梁BC中

（3）桿CD

=

（由梁力矩平衡得）

返回（第Ⅱ冊(cè)）第三章

能量法10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

下頁(yè)10-1(3-1)試求圖示桿的應(yīng)變能。各桿均由同一種材料制成，彈性模量為。各桿的長(zhǎng)度相同。解：（a）（b）（c）取長(zhǎng)的微段（如圖），在均布軸力的作用下，它具有的應(yīng)變能：式中：,

桿具有的應(yīng)變能：題（d）與題（c）同理，得桿的應(yīng)變能返回10-2(3-2)試求圖示受扭圓軸內(nèi)的應(yīng)變能。解：應(yīng)變能式中：因此

返回10-3、10-4(3-3)試計(jì)算圖示梁或結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能。略去剪切的影響，為已知。對(duì)于只受拉伸（或壓縮）的桿件，考慮拉伸（壓縮）時(shí)的應(yīng)變能。解：（a）梁的彎矩方程式：利用對(duì)稱性，得梁的彎曲應(yīng)變能（b）梁的彎矩方程式梁的應(yīng)變能

（c）剛架的彎矩方程，剛架的應(yīng)變能

（d）結(jié)構(gòu)中梁的彎矩方程，拉桿的軸力結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能等于梁的彎曲應(yīng)變能與拉桿的拉伸應(yīng)變能的和，即

返回10－5、10－6、10－7、10－8（3-7）試用卡氏第二定理求圖示各剛架截面的位移和截面的轉(zhuǎn)角。略去剪力和軸力的影響，為已知。解：（a）

（1）求截面的水平位移截面處添加一水平集中荷載，剛架的應(yīng)變能（向右）(2)求截面的轉(zhuǎn)角截面處添加一集中力偶矩，剛架的應(yīng)變能（逆）（3）求截面B的轉(zhuǎn)角B處添加力偶矩，剛架的應(yīng)變能（順）解：（b）

（1）

求截面的鉛垂位移截面處添加一鉛垂集中力，剛架的應(yīng)變能

（向上）（2）

求截面水平位移截面處添加一水平面的集中力，剛架的應(yīng)變能

（向右）（3）求截面的轉(zhuǎn)角在截面處，添加一集中力偶，剛架的應(yīng)變能

（逆）（4）求截面的轉(zhuǎn)角截面B添加一集中力偶，剛架的應(yīng)變能=（逆）解:（c）（1）

截面A處的鉛垂位移令作用于A處的集中力，剛架的應(yīng)變能

=（向下）（2）求截面A處的水平位移令作用于B處的集中力，則剛架的應(yīng)變能==（向右）（3）求截面A的轉(zhuǎn)角于截面A處添加一力偶矩，則剛架的應(yīng)變能

==（順）（4）求截面B的轉(zhuǎn)角在截面B處添加一力偶矩，則剛架的應(yīng)變能==（順）

解：（d）（1）

求截面A處的水平位移剛架的應(yīng)變能=（向右）（2）求截面A的轉(zhuǎn)角截面A處加一力偶矩，剛架的應(yīng)變能于是==（逆）（3）求截面B的轉(zhuǎn)角因?yàn)閯偧艿腁B段未承受橫向力，所以AB段未發(fā)生彎曲變形，轉(zhuǎn)角等于轉(zhuǎn)角。返回10-9(3-11)試用卡氏第二定理求圖示梁在荷載作用下截面的轉(zhuǎn)角及截面的鉛垂位移。為已知。解：（1）求截面A的轉(zhuǎn)角在截面A處加一力偶矩（圖a）,梁的彎矩方程梁的應(yīng)變能

(逆)（2）求截面B的鉛垂位移截面B處加一豎直向下荷載F。梁的彎矩方程

梁的應(yīng)變能==

=（向下）返回10-10(3-12)試用卡氏第二定理求解圖示超靜定結(jié)構(gòu)。已知各桿的，相同。解：（a）一次靜不定，靜定基如圖3-12a-1由對(duì)稱性知

（1）由節(jié)點(diǎn)C平衡

（2）由節(jié)點(diǎn)B平衡

（3）

（4）

（拉）

（5）代入式（3），（壓）

（拉）解：（b）一次靜不定，靜定基如圖3-12b-1

（1）

（2）

=即

（3）代入式（2），得：解：（c）解除B端約束，代之反力，并令B端沿鉛垂方向的位移，于是得到原超靜定的剛架（圖c1）的相當(dāng)系統(tǒng)（圖c2）。圖（c2）所示剛架的應(yīng)變能為B截面處的鉛垂位移為：

===0解得

內(nèi)力圖如圖（c3）、（c4）、（c5）所示。解：（d）靜定基3-12d1

=

解：（e）由結(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載反對(duì)稱，得靜定基如圖3-12e1C處上下相對(duì)位移：

（與圖示反向）由左圖平衡

（向左）（向下），（逆）由反對(duì)稱，得右圖B處反力：（向左），（向上），（逆）解：（f）由對(duì)稱性得靜定基如圖3-12f1，

中間鉸處彎矩為零。故

返回（第Ⅱ冊(cè)）第二章

考慮材料塑性的極限分析11-1

11-2

11-3

11-4

11-511-1(2-1)一組合圓筒，承受荷載，如圖a所示。內(nèi)筒材料為低碳鋼，橫截面面積為，彈性模量為，屈服極限為；外筒材料為鋁合金，橫截面面積為，彈性模量為，屈服極限為。假設(shè)兩種材料均可理想化彈性-理想塑性模型，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖b所示。試求組合筒的屈服荷載和極限荷載。解：（1）求屈服荷載

低碳鋼剛出現(xiàn)屈服時(shí)，此時(shí)鋁仍處于線彈性階段，且其應(yīng)變與低碳鋼相同，即故

屈服荷載

（2）求極限荷載此時(shí)鋁剛達(dá)屈服

返回11-2(2-2)一水平剛性桿，端為固定鉸鏈支承，在處分別與兩根長(zhǎng)度、橫截面面積和材料均相同的等直桿鉸接，如圖所示。兩桿的材料可理想化為彈性-理想塑性模型，其彈性模量為、屈服極限為。在剛性桿的處承受集中荷截，試求結(jié)構(gòu)的屈服荷載。和極限荷載。解：（1）由圖2-2a，

（1）

在線彈性階段

（2）

代入式（1），得

，

（2）顯然桿C先達(dá)到屈服，此時(shí)

（3）桿C屈服后，桿C受力保持，桿C失去約束作用，使桿B也達(dá)屈服，此時(shí)桿B應(yīng)力達(dá)：

即

故

返回11-3(2-4)等直圓軸的截面形狀如圖所示，實(shí)心圓軸的直徑，空心圓軸的內(nèi)、外徑分別為。材料可視為彈性-理想塑性，其剪切屈服極限。試求兩軸的極限扭矩。解：

返回11-4(2-7)圖示T形截面梁的材料可視為彈性-理想塑性，其屈服極限，試求該梁的極限彎矩。解：1.求極限塑性中性軸位置

2.返回11-5(2-8)矩形截面簡(jiǎn)支梁受載如圖所示。已知梁的截面尺寸為；梁的材料可視為彈性-理想塑性，屈服極限。試求梁的極限荷載。解：由圖2-8a，

返回（第Ⅱ冊(cè)）第六章動(dòng)荷載·交變應(yīng)力12-1

12-2

12-3

12-4

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12-6

12-7

12-8

12-9

12-10

12-1112-