惠州市2017屆高三第三次調(diào)研考試(理數(shù))

PAGEPAGE12惠州市2017屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學（理科）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，則圖1中陰影部分所表示的集合為()圖1（A）{0,1,2}（B）{0,1}（C）{1,2} （D）圖1（2）設(shè)函數(shù),“是偶函數(shù)”是“的圖像關(guān)于原點對稱”的()（A）充分不必要條件（B）充要條件（C）必要不充分條件（D）既不充分也不必要條件（3）執(zhí)行如右圖2所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()（A）7（B）9（C）10（D）11圖2（4）設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C圖2l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()（A）eq\r(3)（B）eq\r(2)（C）2（D）3（5）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的展開式中x2y3的系數(shù)是()（A）－20（B）－5（C）5 （D）20

（6）某四棱錐的三視圖如圖3所示，該四棱錐最長棱的棱長為()圖3（A）1（B）eq\r(2)（C）eq\r(3) （D）2圖3（7）若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀為()（A）等腰三角形 （B）直角三角形（C）正三角形 （D）等腰直角三角形（8）函數(shù)y＝cos2x＋2sinx的最大值為()（A）（B）1（C） （D）2（9）已知x，y滿足約束條件，若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于()（A）3（B）2（C）－2 （D）－3（10）函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))cosx(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為()（A）（B）（C）（D）（11）如圖4是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.圖4其中正確的有(圖4（A）1個（B）2個（C）3個 （D）4個（12）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖像上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個考生都必須做答。第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位)，則的共軛復數(shù)是________．（14）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)：零件數(shù)(個)1020304050加工時間(分鐘)6268758189由最小二乘法求得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋a，則a的值為________．（15）在中，角的對邊分別是，已知，且，則的面積為_____________.（16）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，給出以下四個命題：（1）函數(shù)是周期函數(shù)；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；（3）函數(shù)為上的偶函數(shù)；（4）函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)．其中真命題的序號為______________．（寫出所有真命題的序號）三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，點在直線上，且首項.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列中，，，數(shù)列的前項和為，請寫出適合條件的所有的值.

（18）（本小題滿分12分）某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）．（Ⅰ）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；（Ⅱ）設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．（19）（本小題滿分12分）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在圓柱的底面圓周上，是的中點，圓柱的底面圓的半徑，側(cè)面積為，．QODBCQODBCAGP．（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．1919題圖（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求證：當時，.請考生在第22題和第23題中任選一題做答，做答時請在答題卡的對應(yīng)答題區(qū)寫上題號，并用2B鉛筆把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．（22）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．（Ⅰ）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與曲線相交于、兩點,且,求直線的傾斜角的值．（23）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)＝|x－a|.（Ⅰ）若不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤5}，求實數(shù)a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案DCBAACACBDBB1.【解析】因為A∩B＝{2,3,4,5}，而圖中陰影部分為A去掉A∩B，所以陰影部分所表示的集合為{1}．2.【解析】是偶函數(shù)不能推出的圖像關(guān)于原點對稱，反之可以。3.【解析】否；否；否；否；是，輸出故選B．4.【解析】設(shè)雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為：x＝c或x＝－c，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得y2＝b2(eq\f(c2,a2)－1)＝eq\f(b4,a2)，∴y＝±eq\f(b2,a)，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，依題意eq\f(2b2,a)＝4a，∴eq\f(b2,a2)＝2，∴eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝2，∴e＝eq\r(3).5.【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))5－r·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－r·(－2)r·x5－r·yr.當r＝3時，Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·(－2)3＝－20.6.【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1，最長棱長PA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3).7.【解析】因為(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，∵eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形，故選A.8.【解析】y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，設(shè)t＝sinx(－1≤t≤1)，則原函數(shù)可以化為y＝－2t2＋2t＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，∴當t＝eq\f(1,2)時，函數(shù)取得最大值eq\f(3,2).9.【解析】(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．易知A(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴當a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項；當a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，故選B.10.【解析】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))cosx(－π≤x≤π且x≠0)為奇函數(shù)，排除選項A，B；當x＝π時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(1,π)))cosπ＝eq\f(1,π)－π<0，排除選項C，故選D.11.【解析】將幾何體展開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯；因為B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因為EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯．12.【解析】由已知，得到方程，即在上有解，設(shè)，求導得，因為，所以在有唯一的極值點，因為，且，故方程在上有解等價于，所以實數(shù)的取值范圍是，故選B.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.14.54.915.16.（1）（2）（3）13.【解析】，所以的共軛復數(shù)是14.【解析】由eq\o(x,\s\up6(－))＝30，得eq\o(y,\s\up6(－))＝75，則a＝54.915.【解析】由正弦定理，又，且，所以，所以，所以16．【解析】，所以是周期為3的周期函數(shù)，（1）正確；函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，（2）正確；，，所以，（3）正確；是周期函數(shù)，在上不可能是單調(diào)函數(shù)，（4）錯誤．真命題序號為（1）（2）（3）．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17.（本小題滿分12分）解:（I）根據(jù)已知，即， ……2分所以數(shù)列是一個等差數(shù)列， ………4分（II）數(shù)列的前項和 ……………6分等比數(shù)列中，，，所以，……8分數(shù)列的前項和 ……10分即，又，所以或2 …12分18.（本小題滿分12分）解:（Ⅰ）設(shè)“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,7)＋C\o\al(0,3)·C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為eq\f(49,60).……………4分（Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)·C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30).…8分……10分所以，隨機變量X……10分X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).……12分19.（本小題滿分12分）解:（Ⅰ）(解法一)：由題意可知，解得，……分在中，，…………分∴，又∵是的中點，∴.①…………分∵為圓的直徑，∴.由已知知，∴，∴.…………分∴.②∴由①②可知：，∴.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，∴是二面角的平面角.…………8分,,.∴..………12分QOQODBCAGP．由題意可知.解得.則，，，，∵是的中點，∴可求得.…………3分（Ⅰ），，∴.∵，∴.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,，，，.∵，.∴是平面的法向量.……8分設(shè)是平面的法向量，由，，解得………10分.所以二面角的平面角的余弦值.…………12分20.（本小題滿分12分）解:（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，則，因為在橢圓上，所以，……2分因此，故橢圓的方程為．．．．．．5分（Ⅱ）橢圓上不存在這樣的點，證明如下：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，的中點為，由消去，得，……………6分所以，且，故且．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由得．．．．．．．．．9分所以有，．．．．．．．．．．．．10分(也可由知四邊形為平行四邊形，而為線段的中點，因此，也為線段的中點，所以，可得)，又，所以，