2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題30復(fù)數(shù)【含答案】

專題30復(fù)數(shù)一、學(xué)習(xí)目標【學(xué)習(xí)目標】1．理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，并會應(yīng)用．2．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法，能進行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算．3．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義，會簡單應(yīng)用．二．知識點與方法總結(jié)1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a=0，則a＋bi為純虛數(shù)，i為虛數(shù)單位．(2)復(fù)數(shù)相等：復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a=c,b=d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a=c,b=-d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→）的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|．2．復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．3．兩條性質(zhì)(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.4.方法規(guī)律總結(jié)（1）.設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法.（2）.實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，兩個純虛數(shù)的積是實數(shù).（3）.復(fù)數(shù)問題幾何化，利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論，有效利用數(shù)和形的結(jié)合，取得事半功倍的效果.三．命題類型及陷阱措施1.復(fù)數(shù)模的幾何意義2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算3.共軛復(fù)數(shù)4.復(fù)數(shù)冪的運算5.復(fù)數(shù)與向量的綜合四．命題陷阱講解及練習(xí)1.復(fù)數(shù)模的幾何意義例1.1．已知，，，，則（）A.1B.C.2D.D2．已知，，則的最大值和最小值分別是（）A.和B.3和1C.和D.和3A，設(shè)，則,表示在以為圓心為半徑的圓上，則表示到的距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓上的動點到點的最大值為，最小值為，故選A.3．表示（）A.點與點之間的距離B.點與點之間的距離C.點與原點的距離D.點與點之間的距離A4．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位），則（）A.2B.C.1D.C5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則為（）A.4B.3C.2D.1D故選2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算例2已知復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的虛部是A.B.C.D.B，所以虛部是，故選B。練習(xí)1．已知，復(fù)數(shù)，若的虛部為1，則（）A.2B.-2C.1D.-1B，所以，。故選B。2．已知復(fù)數(shù)z＝1－2i，那么等于()A.B.iC.D.C＝＝，選C.3．已知，其中m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，若，則m的值為（）A.4B.C.6D.0B由題意，，解得，故選B。4．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.C5．設(shè)復(fù)數(shù)，設(shè)（）A.B.C.2D.-2C故選6．已知復(fù)數(shù)，（）A.-3B.-1C.1D.3B∵，∴，∴．選B．3.共軛復(fù)數(shù)例3已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)練習(xí)1．設(shè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，，則＝()A.－2＋iB.4C.－2D.－2－iB由題意得，∴．選B．2．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.D復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到，共軛復(fù)數(shù)為：。故D。3．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限C因為復(fù)數(shù)，所以，對應(yīng)點坐標為，由此復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，故選C.4．若z=4+3i,則=()A.1B.-1C.+iD.-iD由題意得，所以，故選D.4.復(fù)數(shù)冪的運算例4.(1+i)20-(1-i)20的值是()A.-1024B.1024C.0D.512C(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.故C?！痉椒ㄖv解】：這個題目考查的是復(fù)數(shù)的乘方運算，i的平方等于-1，根據(jù)這個可以得到規(guī)律，這是周期為4的一個周期性地規(guī)律，對于次數(shù)較高的復(fù)數(shù)運算，可以根據(jù)這個規(guī)律計算。練習(xí)1.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限C，故，故在第三象限.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限C因為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限,故選C.3．復(fù)數(shù)（）A.1B.1+C.D.1-B4.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A.B.C.D.D∵∴故選D5.設(shè)(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為________．3因為f(n)＝＝in＋(－i)n，所以f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0＝f(1)，…，故集合{f(n)}中共有3個元素．6．已知復(fù)數(shù)z＝，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為__________．分子則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為5.復(fù)數(shù)與向量的綜合例5在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時鐘方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是：（）A.B.C.D.B由題意得所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是選B.練習(xí)1、已知A,B,C是復(fù)平面內(nèi)的三個不同點,點A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是-2+3i,-i,若=,則點C表示的復(fù)數(shù)是()A.-2+2iB.-2+4iC.-1+iD.-1+2iC設(shè)表示的復(fù)數(shù)為,點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是,，因為所以，解得，所以點表示的復(fù)數(shù)是，故選C.2．在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若向量,對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-1+3i,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2iD由題意可得，在平行四邊形中，則，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故選D．3.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則|z1＋z2|＝()A.2B.3C.2D.3A由題圖可知，z1＝－2－i，z2＝i，則z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故選A.五．高考真題試卷演練1.【2017課標1，理3】設(shè)有下面四個命題：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為A. B． C． D．B當(dāng)時，滿足，但，知不正確；對于，因為實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確，故選B.【考點】復(fù)數(shù)的運算與性質(zhì).【名師點睛】分式形式的復(fù)數(shù)，分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡成的形式進行判斷，共軛復(fù)數(shù)只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可.2.【2017課標II，理1】（）A．B．C．D．D試題分析：由復(fù)數(shù)除法的運算法則有：，故選D?！究键c】復(fù)數(shù)的除法【名師點睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除。除法實際上是分母實數(shù)化的過程。在做復(fù)數(shù)的除法時，要注意利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)將分母實數(shù)化。3.【2017山東，理2】已知,i是虛數(shù)單位，若，則a=（A）1或-1（B）（C）-（D）A【名師點睛】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，據(jù)此結(jié)合已知條件，求得的方程即可.5.【2017課標3，理2】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=A． B． C． D．2C試題分析：由題意可得：，由復(fù)數(shù)求模的法則：可得：.故選C.【考點】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運算法則【名師點睛】共軛與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，注意運算性質(zhì)有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).6.【2017北京，理2】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）（D）（–1，+∞）B【考點】復(fù)數(shù)的運算【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.7.【2016新課標理】設(shè)其中,實數(shù),則()（A）1（B）（C）（D）2B試題分析：因為所以故選B.考點：復(fù)數(shù)運算【名師點睛】復(fù)數(shù)題也是每年高考必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),屬得分題.高考中復(fù)數(shù)考查頻率較高的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)相等,復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運算,這類問題一般難度不大,但容易出現(xiàn)運算錯誤,特別是中的負號易忽略,所以做復(fù)數(shù)題要注意運算的準確性.8.【2015高考安徽，理1】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限B由題意，其對應(yīng)的點坐標為，位于第二象限，故選B.【考點定位】1.復(fù)數(shù)的運算；2.復(fù)數(shù)的幾何意義.【名師點睛】復(fù)數(shù)的四則運算問題主要是要熟記各種運算法則，尤其是除法運算，要將復(fù)數(shù)分母實數(shù)化（分母乘以自己的共軛復(fù)數(shù)），這也歷年考查的重點；另外，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)一一對應(yīng)的點為.9.【2014高考廣東卷.理.2】已知復(fù)數(shù)滿足，則()A.B.C.D.A【考點定位】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于容易題.【名師點晴】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的除法運算，屬于容易題．解題時一定注意分子和分母同時乘以的共軛復(fù)數(shù)，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是復(fù)數(shù)的除法運算，即，．10.【2016高考新課標3理數(shù)】若，則（）(A)1(B)-1(C)(D)C試題分析：，故選C．考點：1、復(fù)數(shù)的運算；2、共軛復(fù)數(shù)．【舉一反三】復(fù)數(shù)的加、減法運算中，可以從形式上理解為關(guān)于虛數(shù)單位“”的多項式合并同類項，復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把換成－1.復(fù)數(shù)除法可類比實數(shù)運算的分母有理化．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可依平面向量的加、減法的幾何意義進行理解．11.【2015高考廣東，理2】若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，則（）A．B．C．D．．因為，所以，故選．【考點定位】復(fù)數(shù)的基本運算，共軛復(fù)數(shù)的概念．【名師點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，共軛復(fù)數(shù)的概念和運算求解能力，屬于容易題；復(fù)數(shù)的乘法運算應(yīng)該是簡單易解，但學(xué)生容易忘記和混淆共軛復(fù)數(shù)的概念，的共軛復(fù)數(shù)為．12.【2014湖南1】滿足（是虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.B【考點定位】復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)除法【名師點睛】在對復(fù)數(shù)之間進行乘法運算時，直接利用多項式的乘法分配律進行計算，在最后一步的計算中，根據(jù)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的加法原則，實部與實部相加，虛部與虛部相加便可得到最終結(jié)果；在進行復(fù)數(shù)的除法運算時，首先將分式的分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子的運算遵循復(fù)數(shù)的乘法運算法則，從而得到相應(yīng)的結(jié)果.13.【2016高考新課標2理數(shù)】已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）A試題分析：【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.14.【2016高考山東理數(shù)】若復(fù)數(shù)z滿足其中i為虛數(shù)單位，則z=（）（A）1+2i （B）12i （C） （D）B試題分析：設(shè)，則，故，則，選B.考點：1.復(fù)數(shù)的運算；2.復(fù)數(shù)的概念.【名師點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，復(fù)數(shù)題目往往不難，有時運算與概念、復(fù)數(shù)的幾何意義綜合考查，也是考生必定得分的題目之一.15.【2015高考山東，理2】若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，則=（）（A）（B）（C）（D）A因為，所以，，所以，故選：A.【考點定位】復(fù)數(shù)的概念與運算.【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念和運算，采用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的概念進行化簡求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.16.【2015高考新課標2，理2】若為實數(shù)且，則（）A．B．C．D．B【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，要利用復(fù)數(shù)相等列方程求解，屬于基礎(chǔ)題．17.【2014新課標，理2】設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，，則（）A.-5B.5C.-4+iD.-4-iA由題意知：，所以-5，故選A。【考點定位】復(fù)數(shù)的運算及概念.【名師點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.18．【2015高考四川，理2】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)()（A）-i（B）-3i（C）i.（D）3iC，選C.【考點定位】復(fù)數(shù)的基本運算.【名師點睛】復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可.19.【2015高考新課標1，理1】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=，則|z|=()（A）1（B）（C）（D）2A由得，==，故|z|=1，故選A.【考點定位】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模等.【名師點睛】本題將方程思想與復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模結(jié)合起來考查，試題設(shè)計思路新穎，本題解題思路為利用方程思想和復(fù)數(shù)的運算法則求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模公式求出|z|,本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.20.【2015高考北京，理1】復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．A【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，本題屬于基礎(chǔ)題，數(shù)的概念的擴充部分主要知識點有：復(fù)數(shù)的概念、分類，復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運算，特別是復(fù)數(shù)的乘法與除法運算，運算時注意，注意運算的準確性,近幾年高考主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法，求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的虛部、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的位置等.21.【2014天津，理1】是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）（A）（B）（C）（D）A．試題分析：，故選A．考點：復(fù)數(shù)的運算．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，本題屬于基礎(chǔ)題，數(shù)的概念的擴充部分主要知識點有：復(fù)數(shù)的概念、分類，復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運算，特別是復(fù)數(shù)的乘法與除法運算，運算時注意，注意運算的準確性,近幾年高考主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法，求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的虛部、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的位置等.22.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷1】為虛數(shù)單位，則（）A.B.C.D.A試題分析：因為，故選A.考點：復(fù)數(shù)的運算，容易題.【名師點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，屬容易題.其難度雖然不大，但仍能較好的考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算法則，充分體現(xiàn)了高考始終堅持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基礎(chǔ)，強調(diào)教材的重要性.23.【2015高考湖北，理1】為虛數(shù)單位，的共軛復(fù)數(shù)為（）A．B．C．1D．A,所以的共軛復(fù)數(shù)為，選A.【考點定位】共軛復(fù)數(shù).【名師點睛】復(fù)數(shù)中，是虛數(shù)單位,.24.【2014福建，理1】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（）C25.【2014遼寧理2】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．B．C．D．A試題分析：因為，故選A.考點：復(fù)數(shù)的運算.【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念和運算，其解答利用方程思想，采用分母實數(shù)化求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.26.【2015湖南理1】已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)=（）B.C.D.D.【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念與基本運算，屬于容易題，意在考查學(xué)生對復(fù)數(shù)代數(shù)形式四則運算的掌握情況，基本思路就是復(fù)數(shù)的除法運算按“分母實數(shù)化”原則，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法進行計算，而復(fù)數(shù)的乘法則是按多項式的乘法法則進行處理.27.【2017天津，理9】已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為.為實數(shù)，則.【考點】復(fù)數(shù)的分類【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．復(fù)數(shù)，當(dāng)時，為虛數(shù)，當(dāng)時，為實數(shù)，當(dāng)時，為純虛數(shù).28.【2017浙江，12】已知a，b∈R，（i是虛數(shù)單位）則